精品解析：江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025学年高三下学期5月适应性练习数学试题

江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025第二学期 高三数学5月卷 一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，，命题，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】利用特值法即可判断两个命题的真假，从而得到答案. 【详解】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题， 对于命题，不妨取，由，则命题为真命题，因此，和都是真命题. 故选：B. 2. 若二项式的展开式中存在常数项，则的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】求出二项式的展开式的通项公式，再利用幂指数特点求出最小值. 【详解】二项式展开式的通项为， 依题意，有正整数解，则是3的正整数倍， 所以的最小值为3. 故选：B 3. 已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】确定直线所过的定点，再求出圆心到该定点的距离，进而确定圆心到直线距离的取值范围，最后根据三角形面积公式求出面积的最大值. 【详解】直线过定点，圆， 易知 设到距离为， ， 当时，. 故选:B． 4. 如图，在平面直角坐标系中，以为始边，角与的终边分别与单位圆相交于，两点，且，，若直线的斜率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等腰三角形中角的关系以及直线斜率与倾斜角关系得，再根据二倍角的正切公式即可求出，最后结合的范围以及同角三角函数的关系即可得到答案. 【详解】由题意得，，， 则直线所对的倾斜角为， ，即，则， 则， ，，， 又因为，， 则，结合， 解得， 故选：B. 5. 已知函数，若集合恰有3个元素，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简解析式，解三角方程可得前四个正数解，再根据集合有三个元素列不等式求解即可. 【详解】 令，得， 则或， 解得①或②， ①②中，分别取，因为，从小到大排列得， 因为集合恰有3个元素， 所以需满足：，解得：. 故选：D. 6. 已知等差数列中， 记，，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分离常数可得，设，当，时，可得，故可得数列的前项和． 【详解】由等差数列性质得 设，当，时， 故 故选：C 7. 已知正三棱台，，点O为底面，的重心，过点O，，的截面将该三棱台分成两个几何体，则这两个几何体的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过构造平行截面展现空间想象能力，先由重心分割比例，来证明所分成的两个几何体中，有一部分是棱柱．然后利用台体体积和柱体体积公式来求解即可. 【详解】 根据，不妨设上底面边长为2，下底面边长为3， 则在正三棱台，可知上表面面积，下表面面积， 过O作分别交AB，BC于点E，F， O为的重心，， 且，则四边形为平行四边形， 且 ，同理可得且，为三棱柱， 设此正棱台高为， 则台体体积， 棱柱的体积，另一部分体积， 两部分体积之比为， 故选：B． 8. 已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化为有个实根，设，利用导数研究函数的性质，得到函数的图象，根据图象可得结果. 【详解】因为函数有3个零点，所以有个实根， 设， 当时，，， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以在时取得极大值， 当时，为减函数， 作出函数的图象如图： 由图可知，. 故选：A 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、多项选择题（每题6分，共18分，每题给出的选项中有多项符合要求，全部选对得6分，错选得0分，部分选对得部分分） 9. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则下列说法正确的有（ ） A. 若则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由复数不能比较大小，即可判断A，由复数的模长公式即可判断BC，举出反例即可判断D. 【详解】，如，，此时与无大小关系，A错． ，，，，，B对． ，，， 即， 则，，C对． 设，，此时但，D错， 故选：BC． 10. 已知，与夹角为，若且，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上的投影向量为 B. 当时， C. 当时， D. 的最大值为0 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知得是边长为2的等边三角形，且，由投影向量的定义及向量的线性关系判断A；由题设在中边的中线上，进而有判断B；应用向量数量积的运算律及模长列方程求参数值判断C；化，进而得到，结合有，即可得判断D. 【详解】由题设，是边长为2的等边三角形，且， A：当时，，又，即，故在上的投影向量为，错； B：当时，，即在中边的中线上， 又为等边三角形，故，即，对； C：当时，，则， 所以， 所以，即，又，故（负值舍），对； D：, 由，即①， 所以，要使该值最大，只需最小， 由①得，则，所以，对. 故选：BCD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别是棱、上的动点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 与的夹角取值范围是 B. 平面与正方体的截面为梯形 C. 三棱锥的体积为定值 D. 当E、F分别是棱、的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，建立空间直角坐标系，设，，设与的夹角为，利用向量夹角公式，结合二次函数的性质求解；对于B，当与重合，与重合时，平面与正方体的截面为；对于C，计算三棱锥的体积；对于D，建立空间直角坐标系，设三棱锥的外接球的球心坐标为，半径为，则由列方程组，求解可得，进而得外接球的表面积. 【详解】对于A，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，，则， ， 设与的夹角为，，则， 令，则， 当时，，则； 当时，， ∵，∴，∴，当时取等号， ∴，则， 综上，，故A正确； 对于B，当与重合，与重合时，平面与正方体的截面为，如图，故B错误； 对于C，∵面, ∴三棱锥的体积,故C正确； 对于D，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 又E、F分别是棱、的中点，则， 设三棱锥的外接球的球心坐标为，半径为， 则由，得 ， 即，解得， ∴，， ∴三棱锥的外接球的表面积为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 已知函数满足：①为奇函数；②，则_________. 【答案】190 【解析】 【分析】由题意得，故只需算出即可进一步求解. 【详解】因为为奇函数，所以，即， 由， 用代替可得：， 所以，即. 又，，，， 所以， ， ， ， ， 所以. 故答案为：190. 13. 在中，，点满足，设，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用正弦定理，可得，，结合题设条件，即可求出答案. 【详解】 如图，设，则， 在和中，由正弦定理可得，，， 两式相除，可得：， 因，，代入解得. 故答案为：. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，轴上方的两点分别在双曲线的左右两支上，梯形两底边满足，以为直径的圆过右焦点，则双曲线的离心率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作图，利用双曲线的定义结合勾股定理、余弦定理建立边长的等量关系式，整理得出的关系式，求出离心率. 【详解】 如图，由题意，令，则，，， 因为以为直径的圆过，则， 又为梯形，易知，所以， 则在中，由勾股定理可得，整理得， 因为，所以解得， 在中，由勾股定理可得， 且，则， 在中，由余弦定理可得， ， 解得，，整理得， ，即 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，（），记． （1）求证：是等比数列； （2）设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明如下： 由已知，， ，，， 又， ， 数列中任意一项不为0， ， 数列是首项为2， 公比为2的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）证明为常数即可证明为等比数列，根据等比数列通项公式即可求通项公式，从而得证； （2）先求出，根据通项公式的特征，采用错位相减法求其前n项和，题设化简为，通过讨论为奇数或偶数，即可求λ的范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由第（1）问知， ， 则，所以①， ②， 所以①-②可得： ， 所以. 由，得， 化简得. 当 为奇数时，有，即， 而，所以； 当为偶数时，有， 而，所以. 综上，的取值范围为. 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） 当时，在单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，分，结合导数正负求单调性； （2）由（1）知时，在上单调递增，不符合题意，可知，若有两个零点，由（1）知，分别证明在有一个零点.，在有一个零点. 【小问1详解】 的定义域为， 若，则，则在单调递减； 若，则由得. 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 若，由（1）知，至多有一个零点. 若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，因为单调递增，单调递增，所以单调递增， 所以，，故没有零点； ③当时，由于，即， 又， 故在有一个零点. 设正整数满足，则， 故在有一个零点. 综上，的取值范围为. 17. 在中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且． （1）若，求角C的正切值； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入原式化简即可得出答案； （2）分和，由三角恒等变换化简已知式可得，再由正弦定理、二倍角的正弦、余弦公式以及同角三角函数基本关系可得，令，则，由二次函数的性质即可得出答案. 【小问1详解】 代入，所以，，即， 因，则， 所以，故，则. 【小问2详解】 由题可得：， 即， 即， 因为，所以，则， 因为， 则， 因为 ， 则，即， 故， 若，则；若，则，矛盾， 故， 则 ， 因为， 所以， ， 令，， 因为，因为，， 所以，所以，， . 故的取值范围为. 18. 某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，得到数据如下表： 零件直径（单位：厘米） 零件个数 10 25 30 25 10 已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）. 参考数据：；若随机变量，则， ，. （1）试估计这批零件直径在的概率； （2）以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为Z，求Z的分布列及数学期望； （3）若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的3倍，甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率. 【答案】（1）0.47725 （2） Z 0 1 2 3 4 P . （3）. 【解析】 【分析】（1）根据平均数与方差的计算公式计算出，再根据正态分布曲线的对称性计算概率； （2）写出二项分布的分布列，由二项分布的期望公式可得答案； （3）首先利用全概率公式计算出抽取的零件为次品的概率，再根据条件概率公式计算即可. 【小问1详解】 由平均数与方差的计算公式分别得 . . 故，. 设表示零件直径，则，即. 则， ，即. 【小问2详解】 由题意知，这批零件直径在的概率为. Z的取值范围为， 则， ， ， ， ， 因此可得Z的分布列为 Z 0 1 2 3 4 P 因为Z服从二项分布，则Z的数学期望. 【小问3详解】 设“抽取的零件为甲机器生产”记为事件，“抽取的零件为乙机器生产”记为事件， “抽取的零件为次品”记为事件B， 则，，，， 则， ， 所以这个零件是甲机器生产的概率为. 19. 已知双曲线的右顶点到其渐近线的距离为，点在上. （1）求的方程； （2）过点的直线交双曲线于，两点. （ⅰ）若与的渐近线交于点，，且（是坐标原点），求的方程； （ⅱ）记，若点满足，求点的轨迹方程. 【答案】（1） （2）（i）或；（ii） 【解析】 【分析】（1）先求得到双曲线右顶点为和一条渐近线方程为，结合题意，列出方程组，求得的值，即可求得双曲线的方程； （2）（ⅰ）设直线的方程为，联立方程组，得到，求得，得到，再联立方程组，求得的坐标，得到，结合，求得，即可得到直线的方程； （ⅱ）设，由，得到，再由表示出，化简可得到点的轨迹方. 【小问1详解】 解：由双曲线，可得右顶点为，其中一条渐近线方程为， 因为双曲线经过点，可得， 又因为右顶点到渐近线的距离为，可得， 联立方程组，解得，所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 解：（ⅰ）由双曲线，可得渐近线方程为，即， 设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 则且，解得， 可得， 则， 即，所以， 联立方程组，解得， 所以， 因为，可得，解得， 所以直线的方程为，即或. （ⅱ）设， 由，可得，可得， 又由，可得， 所以， 又， 所以， 所以点的轨迹方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025第二学期 高三数学5月卷 一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，，命题，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 2. 若二项式的展开式中存在常数项，则的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 3. 已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 10 4. 如图，在平面直角坐标系中，以为始边，角与的终边分别与单位圆相交于，两点，且，，若直线的斜率为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若集合恰有3个元素，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列中， 记，，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正三棱台，，点O为底面，的重心，过点O，，的截面将该三棱台分成两个几何体，则这两个几何体的体积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每题6分，共18分，每题给出的选项中有多项符合要求，全部选对得6分，错选得0分，部分选对得部分分） 9. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则下列说法正确的有（ ） A. 若则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，与夹角为，若且，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上的投影向量为 B. 当时， C. 当时， D. 的最大值为0 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别是棱、上的动点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 与的夹角取值范围是 B. 平面与正方体的截面为梯形 C. 三棱锥的体积为定值 D. 当E、F分别是棱、的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 已知函数满足：①为奇函数；②，则_________. 13. 在中，，点满足，设，若，则__________. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，轴上方的两点分别在双曲线的左右两支上，梯形两底边满足，以为直径的圆过右焦点，则双曲线的离心率为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，（），记． （1）求证：是等比数列； （2）设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求实数的取值范围. 17. 在中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且． （1）若，求角C的正切值； （2）求的取值范围． 18. 某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，得到数据如下表： 零件直径（单位：厘米） 零件个数 10 25 30 25 10 已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）. 参考数据：；若随机变量，则， ，. （1）试估计这批零件直径在的概率； （2）以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为Z，求Z的分布列及数学期望； （3）若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的3倍，甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率. 19. 已知双曲线的右顶点到其渐近线的距离为，点在上. （1）求的方程； （2）过点的直线交双曲线于，两点. （ⅰ）若与的渐近线交于点，，且（是坐标原点），求的方程； （ⅱ）记，若点满足，求点的轨迹方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $