精品解析：安徽省阜阳市颍上县九校联考2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

八年级测评·数学 下册第16~18章 说明：共八大题，23个小题，满分150分，答题时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若方程是关于的一元二次方程，则“□”可以是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 2 5. 下列长度的三条线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. 8，15，17 B. 2，3，4 C. ，， D. ，，5 6. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 7. 如图，将一根铁丝首尾相接可以围成一个长为宽为的矩形．若将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆形，则该圆的半径是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，这是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“帅”两棋子（看成一个点）所在格点（正方形网格线的交点）之间的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 我们知道，利用这个性质可以求方程的解．两边平方，得，从而求出该方程的解为．若方程的解为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，是射线上的动点，，则当是直角三角形时，的长不可能是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围为______． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数_________． 13. 如图，该衣架可以近似的看成一个等腰三角形，其中于点．若，则的长为______． 14. 已知，去分母，得；移项，得；两边平方，得；整理，得．我们规定：方程称为的“还原方程”． （1）的“还原方程”是______； （2）若，则代数式______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 解方程：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，小正方形网格线的交点叫做“格点”，以格点为顶点分别按下列要求画出三角形． （1）在图1中画出钝角三角形，使它的面积为1； （2）在图2中画出面积为10的正方形． 18. 已知等腰的底边，D是腰上一点，且，，求的长． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 观察下列等式： ①； ②； ③； … 根据上述规律，解答下列问题． （1）______； （2）猜想：______； （3）计算：． 20. 如图，用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长为34米的围栏（围栏宽忽略不计）建两个相同面积的生态园，两个生态园各留一扇宽为1米的门．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过6米，每个生态园的面积为48平方米．设每个生态园垂直于墙的一边长为米． （1）平行于围墙的一边长为______米；（结果需化简，用含的代数式表示） （2）求满足条件的的值． 21. （1）已知，求代数式的值； （2）已知，求代数式的值． 22. 综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． （1）当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） （2）在（1）的条件下，当时，求t的值； （3）如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 23. 【探索】 （1）如图1，，请你利用该图形验证勾股定理． 【应用】 （2）如图2，表示一条铁路，A，B是两个城市，它们到铁路所在直线的垂直距离分别为千米，千米，且千米．现要在之间建一个中转站O，求中转站O应建在离点C多少千米处时，才能使它到A，B两个城市的距离相等？ 【拓展】 （3）在劳动课上，老师请同学们在一张长为、宽为的长方形纸板上剪下一个腰长为的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）．请你帮助同学们设计出不同类型的、你认为符合条件的等腰三角形（在图3中画出示意图），并分别计算该等腰三角形的面积．（位置不同，形状相同的将视为一种结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级测评·数学 下册第16~18章 说明：共八大题，23个小题，满分150分，答题时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特点：被开方数不含分母，被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 2. 若方程是关于的一元二次方程，则“□”可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义判断作答即可． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 则“□”含，可以是， 故选：A． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用二次根式的运算法则计算，进而得出答案． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 4. 已知是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，直接利用根与系数之间的关系求解即可．熟练掌握根与系数之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 5. 下列长度的三条线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. 8，15，17 B. 2，3，4 C. ，， D. ，，5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，三角形三边关系，若三角形三边满足，则三角形是直角三角形，根据勾股定理逆定理即可求解． 【详解】解：A.，能构成直角三角形； B.，不能构成直角三角形； C.，不能构成直角三角形； D.，不能构成三角形； 故选：A． 6. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故选B． 7. 如图，将一根铁丝首尾相接可以围成一个长为宽为的矩形．若将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆形，则该圆的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据题意得出圆的周长，进而求得圆的半径． 【详解】解：这根铁丝的周长为， ∴将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆形，则半径为， 故选D． 8. 如图，这是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“帅”两棋子（看成一个点）所在格点（正方形网格线的交点）之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理定理与网格问题，直接利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由图和勾股定理，得：“车”“帅”两棋子（看成一个点）所在格点（正方形网格线的交点）之间的距离为； 故选D． 9. 我们知道，利用这个性质可以求方程的解．两边平方，得，从而求出该方程的解为．若方程的解为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式．熟练掌握平方根定义，算术平方根定义，二次根式的性质，是解题的关键． 先将一个二次根式移到等号右边，两边同时平方去根号，移项，再平方，直至根号完全去掉，最后解整式方程，注意由于未知数的取值范围扩大，要检验根． 【详解】解：∵， ∴， 两边平方，得， ∴， ∴， 解得：或， 经检验：或都是原方程的解， ∴原方程的解为：，． A. ，∴A正确； B. ，∴B不正确； C. ，∴C不正确； D. ，∴D不正确． 故选：A． 10. 如图，在中，是射线上的动点，，则当是直角三角形时，的长不可能是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质．分，，三种情况，画出图形，分别求出的长，即可求解． 【详解】解：如图1，当时， 在中，， ， ， ， 为等边三角形， ． ； 如图2，当时， ， ， ． 在中，； 如图3，当时， 在中，， ， ， 为等边三角形， ． 综上可知，的长可能是或或1，不可能是2． 故选C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的二次根式有意义的条件即可求出的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴，则， 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：1． 13. 如图，该衣架可以近似的看成一个等腰三角形，其中于点．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，根据等腰三角形的性质，勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 已知，去分母，得；移项，得；两边平方，得；整理，得．我们规定：方程称为的“还原方程”． （1）的“还原方程”是______； （2）若，则代数式______． 【答案】 ①. ②. 4 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，解题关键是理解已知条件中的定义，并熟练掌握完全平方公式． （1）按照已知条件中的方法求出答案即可； （2）把所求代数式先提取公因式x，再把x的值代入分解后的式子，利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：（1）， 去分母得：， 移项得：， 两边平方得：， 整理得：， ∴的“还原方程”是， 故答案为：； （2）当时， ， 故答案为：4． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，先运用乘除，以及运用二次根式的性质化简，再运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，将方程移项后运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， 整理，得， 因式分解，得， ， ， 解得，． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，小正方形网格线的交点叫做“格点”，以格点为顶点分别按下列要求画出三角形． （1）在图1中画出钝角三角形，使它的面积为1； （2）在图2中画出面积为10的正方形． 【答案】（1） 如图，钝角三角形即为所画， （2） 如图，正方形即为所画． 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积，勾股定理，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据要求画出底边为2，高为1的钝角三角形即可； （2）根据要求作出边长为的正方形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知等腰的底边，D是腰上一点，且，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理及其逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理判断出，再利用勾股定理和等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵等腰的底边，，， ∴，， ∴是直角三角形，且， 在中，，， 由勾股定理得， 解得． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 观察下列等式： ①； ②； ③； … 根据上述规律，解答下列问题． （1）______； （2）猜想：______； （3）计算：． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查数字规律以及二次根式的运算，正确进行分母有理化是解答本题的关键． （1）根据题例进行计算即可； （2）依照所给示例和（1）总结规律即可； （3）根据规律解答即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为： 【小问2详解】 解： 故答案为：； 【小问3详解】 解： ． 20. 如图，用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长为34米的围栏（围栏宽忽略不计）建两个相同面积的生态园，两个生态园各留一扇宽为1米的门．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过6米，每个生态园的面积为48平方米．设每个生态园垂直于墙的一边长为米． （1）平行于围墙的一边长为______米；（结果需化简，用含的代数式表示） （2）求满足条件的的值． 【答案】（1）； （2）4． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出平行于围墙的一边长；找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用平行于围墙的一边长围栏的总长度门的宽度垂直于墙的一边长，即可用含的代数式表示出平行于围墙的一边长； （2）根据生态园的面积为平方米，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意得：平行于围墙的一边长为米． 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意，得， 整理，得， 解得，． ∵垂直于墙的一边长不超过6米， ． 故的值为4． 21. （1）已知，求代数式的值； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，准确熟练地进行计算是解答本题的关键． （1）根据已知得，然后利用完全平方公式进行计算即可解答； （2）利用完全平方公式进行计算即可解答． 【详解】解：（1）， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 22. 综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． （1）当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） （2）在（1）的条件下，当时，求t的值； （3）如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 【答案】（1）； （2）1 （3）7 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，矩形的性质，一元二次方程的应用，解答本题的关键是熟练运用矩形的性质解决问题． （1）根据路程等于速度乘以时间得到则； （2）根据矩形的性质得到，再根据直角三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）分点P在和点P在上两种情况，根据三角形面积计算公式列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ∴ 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 【小问3详解】 解：当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得， 由矩形的性质可得 ∴点P运动到点C的时间为秒， ∴此种情况不存在； 当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，． 23. 【探索】 （1）如图1，，请你利用该图形验证勾股定理． 【应用】 （2）如图2，表示一条铁路，A，B是两个城市，它们到铁路所在直线的垂直距离分别为千米，千米，且千米．现要在之间建一个中转站O，求中转站O应建在离点C多少千米处时，才能使它到A，B两个城市的距离相等？ 【拓展】 （3）在劳动课上，老师请同学们在一张长为、宽为的长方形纸板上剪下一个腰长为的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）．请你帮助同学们设计出不同类型的、你认为符合条件的等腰三角形（在图3中画出示意图），并分别计算该等腰三角形的面积．（位置不同，形状相同的将视为一种结果） 【答案】 （1）证明：梯形的面积为， 也可以表示为， ， ； （2）千米； （3）如图， 或或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据梯形的面积公式和三角形的面积公式即可验证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列出方程，求出的值即可得到结论； （3）根据题意画出符合题意的等腰三角形，再利用勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：设千米，则千米． 由题意，得，即． 由勾股定理，得， ，解得， 答：中转站应建在离点C千米处； （3）解：如图1，等腰三角形的面积； 如图2，由题意，得． 由勾股定理，得， 等腰三角形的面积； 如图3，由题意，得，． 由勾股定理，得， ∴等腰三角形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $