河南省2025届普通高等学校招生全国统一考试青桐鸣大联考高三数学考试卷

2025届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高三） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结来后，将本试卷和答题卡一并变回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知对任意的，不等式恒成立，则实数（ ） A. 0 B. 1 C. D. -1 5. 已知曲线的一条切线的方程为，则实数（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 6. 如图，在四棱锥中，平面，则四棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆上有动点在任意位置时，总存在椭圆上的另外两点，使的重心为右焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是函数的3个相邻的零点，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 是实数 D. 在复平面上对应的点在第二象限 10. 已知直线与双曲线的图象相切，双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，若是双曲线上一点，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 直线和直线的斜率的乘积为 D. 11. 若函数满足；①定义域为；②，；③对，，；④不恒等于0，则下列说法一定正确的有（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 在上，单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的通项公式为，则从该数列的前10项中随机取出不同的两项，和为奇数的概率为__________. 13. 如图，在四棱台中，平面，四边形为正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 14. 已知对于，过点可作曲线3条不同的切线，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，的内角的对边分别为为的角平分线，且交于点，且. （1）求； （2）若的内切圆的半径为，求的周长. 16. 在直三棱柱中，. （1）证明：； （2）求二面角的正弦值. 17. 已知函数，且有两个极值点. （1）求实数的取值范围； （2）证明：. 18. 过点且斜率存在直线交抛物线于不同的两点，且. （1）求； （2）已知的半径为2，证明：对于抛物线上的动点，且，总存在抛物线上的另外两点，使为的内切圆. 19. 已知数列和常数存在以下关系：对，当时，，则称为的极限，若数列的极限是，则称数列为“超极限数列”.已知数列满足. （1）写出前5项； （2）证明：为“超极限数列”； （3）若，从中任取一项，求该项能被9整除的概率. 2025届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高三） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结来后，将本试卷和答题卡一并变回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2）15 【16题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析 【18题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析 【19题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高三） 数学参考答案 1.B【解析】易得M=(0,4),N=(1,5),故MUN= MN的中点为Q(xo,yo),F(c,0),由PF=2Fi,得 (0,5). 13c-x0 故选B. x0= 2 2.D【解析】a+b|2=a2+b2+2a·b=4+1+2= 7,故|a+b|=√7. y。=-2 故选D. 醉+净-型+<+ 3.A【解析】易得2sin0cos0=cos0,故cos0(2sin0 4a2 462 4a2 2(y+y) 1)=0,又9e(←受），放os0*0,故2si血9-1= 462 =1 0解得s血0=号放0=后 放3c) ,y 4a2 1, 故选A. 即e-6c+x 3-,a十A24621. 4.B【解析】x=1时，c一e=0,则对于任意的a∈ R,(a-x)(e-e)≤0恒成立，x∈(-oo,l)时， 整理得9-33cz。 4a-4<2a, e-e<0,故a-x>0,故a>x,即a≥1：x∈(1， 因为x。的任意性，此不等式恒成立， 十∞)时，e-e>0,故a-x<0,故a<x,即a≤ 1,综上a=1.验证a=1时，符合题意. 故%-2<3c二，即3e2+2e-1<0,解得 4a-4<2a2 故选B. 5.B【解析】y=x与∫(x)的图象相切，设切点为 0<号 (xo,x),则f'(x。)=1+ln(xo+k)=1,故x0+ k=1, 故椭圆E的离心率的取值范围为0，号》】 由f(xa)=xo,即(xo十k)ln(x。十)=xo,将x。十 故选C k=1代入上式，得x。=0,故k=1. 8.C【解析】令t-ux十p,则由x1十3x,=4x2,得 故选B. t1十3t,=4t2,故t2-t1=3(t1-t2),由t1-t1= 6.D【解析】因为AD⊥DC,AD⊥PC,DC∩PC= 2x,可得(11-t2)+(t2-11)=2x, C,DC,PCC平面PCD,所以AD⊥平面PCD,故 ∠ADP=90°，同理，∠ABP=90°，且易得 放，-a-受又+：=2×(2kx+),k∈z。 ∠ACP=90°，取PA的中点为O,则OB=OD= 故，=2x+经，k长乙 OC=OA=OP,故O为P-ABCD的外接球的球 心，且PA为外接球的直径，由BD2=52+72-2× 由sin-6=0,得6=in(2kx+）,k∈z,故 5×7cos60°=39，得BD=√39，又AC为四边形 ABCD外接圆的直径：AC一0=2v万，设四 6=、② 2 故选C. 棱锥P-ABCD的外接球的半径为R,(2R)2= PA2=AC2+PC2=(2√13)2+(2V5)2=64,解得 A8c【标1=侵+8号-号-1-i放 R=4.故四棱锥P-ABCD外接球的表面积为 =1+i,故A正确： S绿=4xR2=64元. |x-i=1一2i=√5，故B正确： 故选D. x'=(1-i)'=[(1-i)2]=(-2i)2=-4∈R,故C 7.C【解析】设P(xo,yg),M(x1,y1),N(x2,y2), 正确： ·数李答案（第1页，共4页）· 之=1一i在复平面上对应的点(1，一1)在第四象 易知x∈(0,5)时，∫(x)单调递减，x∈(W5, 限，故D错误， 十c∞)时，f(x)单调递增，故D错误. 故选ABC 故选AC. 10ABD【得折将y=z+1代人号-若=1， 8 12. 【解析】{a,}的前10项为1,3,6,10,15,21， 整理得(b2-4)x2-8x-4-4b2=0, 28,36,45,55,共有6个奇数、4个偶数，当取到两 4=64-4(b2-4)(-4-4b2)=0,解得b=√3，故 项为一奇一偶时，和为奇数，故和为奇数的概率为 A正确： 将4)代人双曲线方程得：4一普=1，可得 器品 y=9,即y0=土3，故B正确： la. ,【解析】连接BD,AC与BD交于点O,且易 A1(-2,0),A:(2,0),易得kM·kM-治 BD⊥AC,BD⊥CC,AC,CC,C平面 6 ACC,A:,又AC∩CC,=C,则BD⊥平面 兰-苔-橄c储调 ACC1A1,故C1O即为C,B在平面ACC,A1上的 射影，∠BC,O即为所求的线面角，又BO=√2， 1 设双曲线的焦距为2c,则S6m,=乞×2c·l= B0_2=3 37, BC,=6,故sim∠BC,0=BC后了 62 又Sa,Pm,= 一=37， tan2∠F,P 可得am方∠R,PR,-号，则血方∠R,PR, 【解析】设切点坐标为（红），则二 xo-a 故m∠R,PF,=2x号×-版D正晚 4 ∫'(x),即e-6 x。一a =(1-xo)e, 故选ABD. 11.AC【解析】令x=y=1,则f(1)=f(1)f(1)+ 整理可得(x-ax。十a)e一b=0, 2f(1),则f(1)[f(1)+1]-0,又f(1)≠-1，故 令h(x)=(x2-ax十a)eF一b,原条件等价于关 f(1)=0,故A正确： 于x的函数h(x)有3个不同的零点，h'(x)= 令x=y=-1,则f(1)=f(-1)-2f(-1)= -e[x2-(a+2)x+2a]=-e(x-2)(x- 0,故f(-1)[f(-1)-2]=0,f(-1)≠2，故 a),x∈（一∞，a)时，h(x)单调递减，值域为 f(-1)=0,故B错误； (h(a),十∞)，x∈(a,2)时，h(x)单调递增，值域 由f(y)=fx)f(y)+f2+2,得 为(h(a),h(2)),x∈(2，+∞)时，h(x)单调递 y 减，值域为（一b,h(2),故h(x)有3个零点等价 xyf(zy)=xyf(x)f(y)+xf(x)+yf(y), h(a)<0, xyf(xy)+1=[xf(x)+1][yf(y)+1],令 于4(2)>0，解得0<6<行，而a<0,放实数 xf(x)+1=g(x),则g(xy)=g(x)g(y),且 -b<0, g(-1)=-∫(-1)+1=1，取y=-1,则 g(-x)=g(x),故g(x)为偶函数，故∫(x)= 。的版值范图为，引 g）-为奇函数，故C正确： 15.解：(1)设AB=24k,AD=15k,AC=40k, x 2∠BAC=9, 1 (1分) 由C中8y)=g)8),可取gx)=子则 由S△Ae=S△ABD十S△ACD, x 得宁×24×40ksn20=宣×24k×15ksin0+ ·数学答案（第2页，共4页）· 2×40k×15ksin0】 (2分) 设平面A,BC的法向量为n=(x2y2,2), m·A,B=0, 解得600=宁》 则 (4分) n.BC=0, 又0<0<90°，即0=60°， (5分) 2xg-2x2=0, 即 故∠BAC=120, (6分) -2x2+2y2=0, (2)设△ABC的内切圆的半径为r,S△ABc= 取x2=1,则n=(1,1,1), (13分) 言a+6+e)r,面a2=公+r+c=40k+ m·n 所以cos(m,m)=m·a-2X53' (24k)2+40k·24k,可得a=56k, (7分) (14分) 故a十b十c=120k, (8分) 故所家二面角的正弦值为识。 (15分) 1 故由2×40k×24ksin120°= X120kx 2 17.解：(1)易得f(x)=e一2x一a有两个零点， (10分) (1分) 解得太一合 令g(x)=f'(x),g'(x)=e-2, (2分) (11分) 当x∈(-∞，ln2)时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 故120k=15, g(x)的值域为(2-2ln2-a,+o∞)： (4分) 所以△ABC的周长为15. (13分) 当x∈(In2,+o∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 16解：(1)证明：因为四边形ABB,A,是正方形，故 g(x)的值域为(2-2ln2-a,+∞)， (6分) BA1⊥B1A, (1分) g(x)有两个零点，等价于2-2ln2-a<0, 而BA:⊥B,C,又B1A∩B,C=B1,B,A,B1CC 解得a>2-2ln2,故a的取值范围为(2-2ln2, 平面B,AC,所以BA,⊥平面B1AC, (2分) +o). (7分) 又ACC平面B,AC,故BA,⊥AC, (3分) (2)证明：由(1)知：x1<ln2<x2,且e-2x,- 又AA1⊥AC,且BA,∩AA,=A1,BA1,AA,C a=0, (8分) 平面AA,B,B,故AC⊥平面AA,B,B,(4分) 故e-2x2=a, 又ABC平面AA:B,B,所以AC⊥AB,即 故f(x2)=e-x-(e3-2x:)x:-1=(1- ∠BAC=90°. (5分) (2)以A为坐标原点，A店，AC,AA方向分别为 z:)e":+x-1(z2>In 2), (12分) 令h(x)=(1-x)e+x2-1(x>ln2),(13分) x,y,x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐 则h'(x)=-xe+2x=x(2-e)<0,故h(x) 标系A-xyz, (8分) 单调递减， (14分) 故h(x)<h(ln2)=(1-ln2)2,故f(x:)= h(xz)<(1-ln2)2,故原式得证. (15分) C 18.解：(1)设直线AB:x=my十3(m≠0)， 代人y2=2pz,得y2=2p(my+3), (1分) 整理可得y2-2pmy一6p=0,△>0， (2分) yAyB=-6p=-12,解得p=2. (4分) (2)证明：由(1)知，C:y2=4x,设点Q(x1,y1), R(2) 则A,(0,0,2),C(0,2,0),B(2,0,0),B,(2,0, 则ko=6二当=当= 4 2),C1(0,2,2),A1B=(2,0,-2),A1C1=(0,2, (5分) x。一x1 0),BC=(-2,2,0), (9分) 44 设平面ABC,的法向量为m=(x1,y1,1), 直线PQ的方程y一y6=1（红一， y。十y1 m·A1B=0,m2x1-2z1=0, 则 即 (6分) m·AC=0,l2y1=0, 取x1=1,则m=(1,0,1), (11分) 将。=代人上式，化简得4红-(，+，)y中 ·数学答案（第3页，共4页）· y0y1=0, (7分) 5-1 5-1 b. 故点M(3,0)到直线PQ的距离为 2 2 故 112+yoy1 =2化简得(4-y)y- 5-1 B:- 5-1 √16+(y+y1)7 2 16yoy1+4y8-80=0, 5-1 同理(4-y)y2-16yy:+4y8-80=0, b一2 故y1,y2是方程(4-y)y2-16y0y+4y-80= 2 0的两个根， (10分) 16y。 4y-80 易知4+= 6.-sb·” 4-y6’ (12分) 而同理可得QR的方程为4x一(y1十y:)y十 .s< ,(8分) y1y:=0, (14分) .M(3,0)到直线QR的距离为 对V>0,要想使得b-52<,只需 4y8-80 12+ 112+y1y: 4-y6 5)<e,即m-1>oge,只需取s √16+(y1+y:) 16+(-为 [log]+2,其中[loge]为1ogge的整数 |-8y8-32 |8(8+4)1 =2. √16(4-y)+256y√16(y+4) 部分，此时-1>1ge,即b.-5 <t (16分) 原命题得证 (10分) 故对于C上的点P,总存在另外两点，使⊙M为 (3)当n≥2时，am=amt1一aw-1, △PQR的内切圆. (17分) 故a=a.a+1-a,-1a,=-a,-1a,十aamt1, 1 2 3 .5 19.解：1)b,=1,b,=2b=3,b=亏b,=8 故a十a}+…十a=-a,ag十a2a,-a2a,+ aga4十…-am-1a,十amaw+1=a,aw+1-1, (5分) 则S.=af十a+…十a=a.a+i, (12分) (2)证明：b.+1= at= at1一= 1一 at:a.+a+d+1 S.被9整除，有3种情况：①a,被9整除：②a+1 被9整除：③a.,a,+1都能被3整除. (13分) as+l 1 第③种情况：若a。,a+1都能被3整除，则a。-1= b,+1' a+1一a,能被3整除，则a,-2,a-1,a1能被 5-1=(-1)× 3整除，显然错误， (14分) 设a,除以9的余数为r。,将r1r2,…,r。一一列 516-6二1 出：1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,0,8,8,7,6,4,1,5， 2 6,2,8,1,0,1,1,… 2 bn+1’ (6分) 发现：(r1r:)=(rsr)=(1,1), (15分) 再由{a,}的特点：a+2=a。十a+,可知：rs,rs, 2 5-1 1 ra,…,r将会重复r1,r,r,…,r4的排列 2 6.+ (7分) 次序， 2 故(r,}是以24为周期的数列， (16分) 而当n≥2时，a+1=an十aw-1≤2a., 在一个周期内，rz=r4=0,即S1=a1a2,Sa= 11 2 a1au,Sa=ana,S4=aa5能被9整除，故 41 5-1 所求概率为4一6 (17分) b.+1 2 5-1 1 b.-5 2 2 ·数学答案（第4页，共4页）·