精品解析：贵州省部分学校2024-2025学年高一下学期6月联考数学试卷

高一联考数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自已的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册至必修第四册第十章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 5. 对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，都是锐角，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若在区间内有且仅有3个零点和2条对称轴，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在中，若，且该三角形有两解，则的取值范围为 C. 若向量，则在上的投影向量的坐标为 D. 在中，若，则是等腰三角形 10. 已知是复数，且为纯虚数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆 D. 的最小值为 11. 已知函数，其部分图象如图所示，其中为最高点，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若在上单调递减且，则最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则___________． 13. 已知，则___________． 14. 已知，且，则的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数是定义在区间上的函数． （1）判断的奇偶性； （2）证明在区间上是增函数，并求不等式的解集． 16. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为顶点，轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与以为圆心的单位圆相交于点，且点的坐标为，单位圆与轴的非负半轴交于点，的面积是面积的． （1）求的值； （2）求的值． 17. 已知向量，令． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）已知当时，关于的方程有两个不等的实根，求的取值范围； （3）在锐角三角形中，角的对边分别为，已知，求周长的取值范围． 18. 遵义市举行“高一年级节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在内的概率． （3）已知本次竞赛最终由三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛两人，另一人轮空，每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束．已知每场比赛胜的概率为，胜的概率为，胜的概率为，每场比赛互不影响．请通过计算说明哪两人参加首场比赛获胜的概率最大． 19. 如图，在中，点在线段上，为等边三角形． （1）若，求线段长度； （2）若，求线段的最大值； （3）若，平分，求与内切圆半径之比取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一联考数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自已的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册至必修第四册第十章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再由交集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简复数，再由共轭复数的定义求出，即可求出的虚部. 【详解】因为， 所以，所以的虚部为. 故选：B. 3. 已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据公式求扇形的半径，然后利用扇形的面积公式即可求出答案. 【详解】设扇形的圆心角和弧长分别为， 由得， 所以该扇形的面积为. 故选：B. 4. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的定义求出，再由二倍角的正弦公式求解即可. 【详解】由三角函数的定义可得：，， 所以. 故选：A 5. 对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：A. 6. 已知，都是锐角，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角三角函数间的关系求得，利用二倍角的正切公式求得，进而利用两角和的正切公式可求的值. 【详解】因为，是锐角，所以， 所以，从而， 所以. 故选：A. 7. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义可求得的值，根据可求出的值，然后利用该函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为点在幂函数的图象上，则，解得， 所以，可得，故， 因为，，， 且函数在上为增函数， 又因为，则，故. 故选：C. 8. 已知函数，若在区间内有且仅有3个零点和2条对称轴，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据自变量的取值范围求解出的取值范围，进而根据已知条件结合三角函数图像求得的取值范围. 【详解】因为，所以， 由于函数在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴， 根据函数的图像： 所以，整理得：． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在中，若，且该三角形有两解，则的取值范围为 C. 若向量，则在上的投影向量的坐标为 D. 在中，若，则是等腰三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】利用余弦函数的单调性可判断A；利用正弦定理以及可判断B；利用投影向量的公式计算即可判断C；利用正弦定理得，再结合的范围即可得出是等腰三角形或直角三角形可判断D. 【详解】对于A，因为在上单调递减， 所以中，若，则，故A错误； 对于B，若三角形有两解，即，即，故B正确； 对于C，若向量，， 则在方向上的投影向量的坐标为，故C正确； 对于D，由和正弦定理，可得，即， 因，则，则或， 即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故D错误. 故选：BC. 10. 已知是复数，且为纯虚数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先设出复数的表达式，根据纯虚数的性质得到满足的条件，再据纯虚数的定义、复数的运算、复数的模以及复数的几何意义等知识逐一分析选项. 【详解】化简，设，，则. 为了将分母实数化，给分子分母同时乘以，得到： 因为为纯虚数，所以其实部为，虚部不为，即，整理可得且. 对于选项A，，由可知，所以选项A正确. 对于选项B， ，， 则，选项B正确. 对于选项C，由且可知，在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆去掉与轴的两个交点，选项C错误. 对于选项D，表示所对应的点到点的距离. 点到原点的距离为，因为的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆去掉与轴的两个交点， 所以最小值为，选项D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，其部分图象如图所示，其中为最高点，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C D. 若在上单调递减且，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题可得函数周期，据此可判断选项正误；对于B，由题可得或，，据此可判断选项正误；对于C，由题可得，然后结合函数的最小正周期，可得，可判断选项正误；对于D，由在单调递减且，可得不等式，然后由t的存在性结合可判断选项正误. 【详解】对于A，如图，过B点作x轴垂线，垂足为C，因， 则，设函数最小正周期为，所以，故 又，则，解得：，故A正确； 对于B，因，则，又由图可得，且点在减区间图象上， 所以，因，则. 则，令， 则，或，， 则，或，， 则当时，，故B正确； 对于C，由B分析，， ， ， ， 则， 又由A可知函数最小正周期为，， 则 ，故C错误； 对于D，由B分析，，因， 则，又在单调递减且， 则，则， 因存在，则. 则，的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】应用关系求目标函数值. 【详解】由，则，故， 由，得， 所以，可得. 故答案为： 13. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和与差的正弦公式，以及正切定义，即可求得结果. 【详解】由题知，， 即，， 所以，， 所以. 故答案为： 14. 已知，且，则的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】，, ，当且仅当=4时取等号， 结合,解得，或时，等号成立. 故答案为： 【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数是定义在区间上的函数． （1）判断的奇偶性； （2）证明在区间上是增函数，并求不等式的解集． 【答案】（1）函数为奇函数； （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明来证得为奇函数. （2）利用单调性的定义来证得在上为增函数，根据所奇函数及单调性解不等式即可. 【小问1详解】 由已知，函数的定义域为． ，都有， ． 所以函数为奇函数． 【小问2详解】 任取，且，则， 那么 因为 ， 所以 ，，， 所以 ， 所以 ， 所以 在上是增函数． 因为，所以，且在上是增函数． 所以，所以， 所以不等式的解集 16. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为顶点，轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与以为圆心的单位圆相交于点，且点的坐标为，单位圆与轴的非负半轴交于点，的面积是面积的． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出点的坐标，再根据三角函数的定义得解； （2）依题意可得，即可求出，再由平方关系求出，最后由诱导公式化简，代入计算可得. 【小问1详解】 因为在单位圆上，且位于第一象限， 所以且，解得，所以， 所以，； 【小问2详解】 因为的面积是的面积的倍， 所以， 又，所以，即，又， 解得或（舍去）； 所以. 17. 已知向量，令． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）已知当时，关于的方程有两个不等的实根，求的取值范围； （3）在锐角三角形中，角的对边分别为，已知，求周长的取值范围． 【答案】（1）;单调递增区间为. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的运算，结合和差角公式化简，即可利用周期公式以及整体法求解单调性； （2）利用整体法求解； （3）利用正弦定理，结合三角恒等变换以及三角函数的性质求解. 【小问1详解】 ， 故周期为， 令，解得， 故单调递增区间为； 【小问2详解】 当时，， 若有两个实数根，所以. 所以的取值范围为：. 【小问3详解】 由可得，则， 故或，故 或， 由于为锐角，故，故， 故， 由于，故， 因此，故， 因此，故. 故周长的取值范围为. 18. 遵义市举行“高一年级节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在内的概率． （3）已知本次竞赛最终由三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空，每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束．已知每场比赛胜的概率为，胜的概率为，胜的概率为，每场比赛互不影响．请通过计算说明哪两人参加首场比赛获胜的概率最大． 【答案】（1），众数为，平均成绩为77.5. （2） （3）首场由比赛才能使获胜的概率最大． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有频率之和为来求的值，再利用平均数的计算公式和众数的定义求解即可； （2）先根据分层抽样确定两组抽取的人数，然后利用古典概型的概率公式计算有1名或2名学生的成绩在内的概率； （3）需要分别计算与、与、与参加首场比赛时获胜的概率，再进行比较. 【小问1详解】 由频率分布直方图得，， 解得． 初赛成绩的众数为， 估计初赛成绩的平均数为：． 所以，众数为，平均成绩为77.5. 【小问2详解】 由（1）知，成绩在的频率之比为， 则在中随机抽取了人，记为， 在中随机抽取了人，记为， 从5人中随机抽取2人的样本空间为：， 共10个样本点， 设事件“有1名或2名学生的成绩在内”， 则，有7个样本点， 因此， 所以有1名或2名学生的成绩在内的概率为． 【小问3详解】 若首场比赛，则获胜有三种情况： ①比赛胜，比赛胜，概率为， ②比赛胜，比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为 ③比赛胜，比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为； 所以最终获胜的概率为； 若首场比赛，则获胜有三种情况： ①比赛胜，比赛胜的概率为， ②比赛胜，比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为， ③比赛胜，比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为， 所以最终获胜的概率为， 若首场比赛，则获胜有两种情况： ①比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为， ②比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为， 所以最终获胜的概率为， 因为， 所以首场由比赛才能使获胜的概率最大． 19. 如图，在中，点在线段上，为等边三角形． （1）若，求线段的长度； （2）若，求线段的最大值； （3）若，平分，求与内切圆半径之比的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题设得，应用向量数量积的运算律求模长即可得； （2）由，设，应用向量数量积的运算律、三角恒等变换及辅助角公式得，即可求最大值； （3）设，，与内切圆半径，角平分线的性质得，利用余弦定理得，再利用等面积法得到，最后根据的范围即可求出结果. 【小问1详解】 由， 所以； 【小问2详解】 由， 所以 ， 令，则， 所以，， 当，最大； 【小问3详解】 由角平分线的性质有，则， 设，，与内切圆半径， 由，即，得， 由，，则， 又，， 所以，则， 由， ， 所以， 令，则，而，则， 所以，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $