精品解析：吉林省长春市力旺实验初级中学2024-2025学年九年级下学期中考四模数学试题试卷

数学试题 一、选择题（共8题，每题3分，共24分） 1. 下列各数中最小的数是（ ） A. B. C. D. 0 2. 下列运算中正确的是（ ） A B. C. D. 3. 如图，下列水平放置的几何体中，其侧面展开图有可能是半圆的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一款小推车的示意图，其中扶手平行于座板，前轮支撑杆平行于推杆，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 不等关系在生活中广泛存在．如图，小颖与小红现在的年龄分别是a岁，b岁．图中两人的对话体现的数学原理是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 如图，当太阳光线与地面成的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m，则热气球的直径是（ ） A. 20m B. C. D. 10m 7. 在中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断与大小关系的是（　　） A. B. C D. 8. 如图，在中，，，轴，轴，反比例函数经过点，交于点，且，则的值是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 24 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 9. 因式分解：__________． 10. 若，且、是两个连续整数，则的值是___________． 11. 关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是__________(写出一个即可)． 12. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为______． 13. 如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是______． 14. 如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点，过点作，垂足为点．①；②；③；④当点与点重合时，若，则阴影部分的面积为；⑤当时，与的面积比为．上述结论中，正确结论的序号是__________． 三、解答题（共10题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 某博物馆一号展厅有两道门，参观者需先进第一道门，参观部分展台，再进第二道门参观另一部分展台．佳佳进入展厅参观时，先随机选择第一道门的一个门，再随机选择第二道门的一个门．用画树状图的方法或列表的方法，求佳佳全部参观完一号展厅所选择的两道门门号都是奇数的概率． 17. 从甲地到乙地的长途汽车原行驶7小时，开通高速公路后，路程减少了30千米，而车速平均每小时增加了30千米，只需4小时即可到达．求甲、乙两地之间高速公路的路程？ 18. 如图，在四边形中，，点E是的中点，连接、，，．求证：四边形是矩形． 19. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆上三点A、B、C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，完成下列各题： （1）在图1中，画出圆心O． （2）在图2中，点D为圆上任意一点，在圆上找一点E，使得是圆上最长的弦． （3）在图3中，点M是圆上任意一点（不与点A重合），作一条弦，使得． 20. 2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日．树立国家安全意识，自觉关心、维护国家安全，是每个公民的基本义务．为了增强学生国家安全意识，某中学组织七、八年级各200名学生举行了国家安全法知识竞赛，现分别从七、八两个年级参赛学生中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计、整理如下： 【收集数据】 七年级10名同学测试成绩统计如下：72，84，72，91，79，69，78，85，75，95 八年级10名同学测试成绩统计如下：85，72，92，84，80，74，75，80，76，82 【整理数据】两组数据各分·数段，如表所示： 成绩 七年级 1 5 2 a 八年级 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数方差如表： 年级统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 b 72 66.6 八年级 80 80 c 33 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______；______； （2）小明同学说自己的成绩能在本年级排到前，小强说“你的成绩在我们年级进不了前”，则小明是______（填“七”或“八”）年级的学生； （3）按照比赛规定90分及其以上算优秀，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有多少人？ 21. 甲、乙两种恒温热水壶在加热相同质量水的时候，壶中水的温度y（）随时间x（秒） 变化的函数关系图象如图． （1）甲、乙两个水壶加热前水的温度都为_________，加热到_________，温度将恒定保温，甲壶中的水温在达到80之前每秒上升的温度为_________： （2）当时，求乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式； （3）直接写出当甲壶中水温刚好达到80时乙壶中的水温． 22. 问题原型】 如图①，，点C为上一点，且，D是边上的动点，，且，连接，求的最大值． 【问题探究】 如图②，小明过点C做，过点E作，可得，连结、，将转化为，再利用，通过面积计算，从而确定为定值，又因为，最终确定点E的轨迹进而解决问题． 以下是小明确认为定值的部分过程： 证明：由【问题探究】的作法可知，． 证明过程缺失 ． 请你补全缺失的证明过程 【问题解决】 请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出【问题原型】中的点E的轨迹，并直接写出最大值______（保留作图痕迹） 【问题拓展】 如图，，C为上一点，，D是边上的动点，，且，直接写出的最大值______． 23. 如图，在中，，D是边中点，E是边上一动点，连结，当E不与B重合时，以为邻边作． （1）______； （2）求的最小值； （3）当为轴对称图形时，求的面积． （4）连结，当时，直接写出的长度． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（c是常数）经过点，点M是抛物线上一动点，且横坐标为m，将M向右平移两个单位得到点N，A点坐标为，当M、A、N不共线时，连结MA、AN、MN得到． （1）求该抛物线对应函数表达式； （2）当关于y轴对称时，求的正切值； （3）若点A在y轴的负半轴上，且的面积等于1，求m的值； （4）M、N关于A对称点分别为B、C，当直线BC与抛物线有两个公共点分别为P、Q（P在Q的左侧）时，若，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 一、选择题（共8题，每题3分，共24分） 1. 下列各数中最小的数是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数大小比较，根据正数大于，负数小于，正数大于负数；（3）两个正数中绝对值大的数大；（4）两个负数中绝对值大的反而小，解答本题即可． 【详解】解：， ， 故选：B． 2. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，一定要记准法则才能做题．根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并；故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项正确． 故选：D． 3. 如图，下列水平放置的几何体中，其侧面展开图有可能是半圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查几何体的展开图，根据几何体的展开图：三棱柱的侧面展开图是三个正方形；四棱柱的侧面展开图是四个矩形；圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥的侧面展开图是扇形；可得答案． 【详解】解：A．该几何体的侧面展开图是四个正方形，故此选项不符合题意； B．该几何体的侧面展开图是一个矩形，故此选项不符合题意； C．该几何体的侧面展开图是三个矩形，故此选项不符合题意； D．该几何体的侧面展开图是扇形，该扇形有可能是半圆，故此选项符合题意． 故选：D． 4. 如图是一款小推车的示意图，其中扶手平行于座板，前轮支撑杆平行于推杆，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．先根据得，所以，再根据得，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 5. 不等关系在生活中广泛存在．如图，小颖与小红现在的年龄分别是a岁，b岁．图中两人的对话体现的数学原理是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由图可知：，则：，即A选项符合题意． 故选：A． 6. 如图，当太阳光线与地面成的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m，则热气球的直径是（ ） A 20m B. C. D. 10m 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，圆的切线性质，理解题意是解题的关键．根据题意画出图形，解即可． 【详解】解：如图，记直径为，过点作于点， 由题意得，，，，与圆相切于点N， ∴， ∴， ， ， 故选：C． 7. 在中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断与大小关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本作图可直接对由A选项和B选项中和的长，再根据基本作图和线段垂直平分线的性质、三角形三边的关系，比较和的长，可判断C，不能比较和的长，可判断D． 【详解】解：A．由作图痕迹，在上截取线段等于，则，所以A选项不符合题意； B．由作图痕迹，在上延长线上截取线段等于，则，所以B选项不符合题意； C．由作图痕迹，作的垂直平分线，可知，根据三角形三边关系得，即，所以C选项不符合题意； D．由作图痕迹，作的垂直平分线，仿照C，可知，不能说明和的大小，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质． 8. 如图，在中，，，轴，轴，反比例函数经过点，交于点，且，则的值是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，勾股定理，相似三角形的判定和性质．设点的坐标为，利用勾股定理，证明，求得，，求得点的坐标为，据此列式计算即可求解． 【详解】解：作轴交于点， ∵轴，轴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴设点的坐标为， ∵轴， ∴点的纵坐标为， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， ∵反比例函数经过点， ∴， 解得， 故选：B． 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 9. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 若，且、是两个连续整数，则的值是___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查无理数的估值，先判断的取值范围，进而得到的取值范围，即可得出a、b的值，再求即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∵，且、是两个连续整数， ∴，， ∴， 故答案为：5． 11. 关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是__________(写出一个即可)． 【答案】4(答案不唯一，写一个小于等于4的数即可) 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程解的情况求参数，根据“关于的一元二次方程有实数解”得出，从而得出a的取值范围，根据这个范围写一个数值即可．掌握一元二次方程的解的情况与根的判别式之间的关系是解题的关键． 【详解】解：因为关于的一元二次方程有实数解， 所以， 解得， 所以可以是小于等于4的任意值． 故答案为：4(答案不唯一，写一个小于等于4的数即可) 12. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案即可． 【详解】解：设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为： ． 故答案是：． 13. 如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面密铺的问题．正多边形的组合进行平面镶嵌，位于同一顶点处的几个角之和为，从而可得的度数，计算正多边形的外角，由此可得边数． 【详解】解：正三角形和正方形的内角分别为与， ， 这块正多边形地砖的边数为， 故答案为：． 14. 如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点，过点作，垂足为点．①；②；③；④当点与点重合时，若，则阴影部分的面积为；⑤当时，与的面积比为．上述结论中，正确结论的序号是__________． 【答案】①②⑤ 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求阴影部分的面积．根据圆周角定理可判断①；证得是等腰直角三角形，可得，可判断②；根据，可得可判断③；当点与点重合时，可得是等腰直角三角形，根据阴影部分的面积为可判断④；根据，可设，则，可得，从而求出，，进而得到可判断⑤． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵是的直径， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵，即， ∴是等腰直角三角形， ∴，，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； 当点与点重合时，是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为，故④错误； ∵， ∴可设，则， ∴，，， ∴，故⑤正确； 故答案为：①②⑤ 三、解答题（共10题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，利用分式的相应运算法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 某博物馆一号展厅有两道门，参观者需先进第一道门，参观部分展台，再进第二道门参观另一部分展台．佳佳进入展厅参观时，先随机选择第一道门的一个门，再随机选择第二道门的一个门．用画树状图的方法或列表的方法，求佳佳全部参观完一号展厅所选择的两道门门号都是奇数的概率． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中所选择的两道门门号都是奇数的结果有2种，再由概率公式求解即可．此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画树状图如下： ； 共有6种等可能的结果，其中所选择的两道门门号都是奇数的结果有2种， ∴所选择的两道门门号都是奇数的概率为． 17. 从甲地到乙地的长途汽车原行驶7小时，开通高速公路后，路程减少了30千米，而车速平均每小时增加了30千米，只需4小时即可到达．求甲、乙两地之间高速公路的路程？ 【答案】甲，乙两地之间的高速公路是320千米. 【解析】 【分析】设长途汽车原来的速度是x千米/小时,根据两地在修高速路前后路程的关系可列出一元一次方程,解方程求出汽车原来的速度,再根据”路程等于速度乘以时间”即可求出两地高速公路的路程. 【详解】解:设长途汽车原来的速度是x千米/小时, 根据题意可得:7x=4×(x+30)+30,移项得:3x=150,解得x=50, 故两地高速公路的路程是:50×7－30=320千米, 答: 两地高速公路的路程是320千米. 18. 如图，在四边形中，，点E是的中点，连接、，，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，等腰三角形的性质，先判断四边形为平行四边形，然后由即可判断出四边形是矩形． 【详解】证明：， 四边形是平行四边形．  ． 点E是的中点， ．             四边形是平行四边形．       ，点E是的中点， ，即．        四边形是矩形． 19. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆上三点A、B、C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，完成下列各题： （1）在图1中，画出圆心O． （2）在图2中，点D为圆上任意一点，在圆上找一点E，使得是圆上最长的弦． （3）在图3中，点M是圆上任意一点（不与点A重合），作一条弦，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题是圆的综合题，考查作图，垂径定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作的垂直平分交于点O，即可求解； （2）连接，并延长交圆O于点E，即可求解； （3）分别连接，并延长分别交圆O于点Q，P，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，点O即为所求； 【小问2详解】 解：如图，点E即为所求； 【小问3详解】 解：如图，即为所求． 20. 2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日．树立国家安全意识，自觉关心、维护国家安全，是每个公民的基本义务．为了增强学生国家安全意识，某中学组织七、八年级各200名学生举行了国家安全法知识竞赛，现分别从七、八两个年级参赛学生中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计、整理如下： 【收集数据】 七年级10名同学测试成绩统计如下：72，84，72，91，79，69，78，85，75，95 八年级10名同学测试成绩统计如下：85，72，92，84，80，74，75，80，76，82 【整理数据】两组数据各分·数段，如表所示： 成绩 七年级 1 5 2 a 八年级 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数方差如表： 年级统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 b 72 66.6 八年级 80 80 c 33 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______；______； （2）小明同学说自己的成绩能在本年级排到前，小强说“你的成绩在我们年级进不了前”，则小明是______（填“七”或“八”）年级的学生； （3）按照比赛规定90分及其以上算优秀，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有多少人？ 【答案】（1）2；78.5；80 （2）七 （3）60人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表，求众数、中位数及方差，用样本估计总体的数量，用方差判断稳定性等知识，熟练掌握相关统计知识是解题的关键． （1）观察七年级10名同学测试成绩在范围内的数据可确定a的值，将七年级抽样成绩按大小排列后，中间两个数的平均数是中位数，可确定b；根据八年级成绩中出现次数最多的可求得c； （2）利用七年级数据中位数低于八年级数据的中位数，再结合题意即可解答； （3）根据样本估计总体的方法，分别计算两个年级大约达到优秀的人数，再相加即可； 【小问1详解】 解：由数据可得，七年级10名同学测试成绩在范围内有2个， ∴； 将七年级10名同学测试成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为，即中位数为， ∴； 八年级10名同学测试成绩的众数为80， ∴； 故答案为：2；78.5；80． 【小问2详解】 解：∵， ∴七年级数据的中位数低于八年级数据的中位数， 结合小明和小强同学的说法可得：小明是七年级的学生． 故答案为：七． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有60人． 21. 甲、乙两种恒温热水壶在加热相同质量水的时候，壶中水的温度y（）随时间x（秒） 变化的函数关系图象如图． （1）甲、乙两个水壶加热前水的温度都为_________，加热到_________，温度将恒定保温，甲壶中的水温在达到80之前每秒上升的温度为_________： （2）当时，求乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式； （3）直接写出当甲壶中水温刚好达到80时乙壶中的水温． 【答案】（1）20；80；1 （2） （3）当甲壶中水温刚好达到时，乙壶中的水温为 【解析】 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，一次函数的实际应用； （1）结合图象可得答案； （2）设乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为，把，代入可得答案； （3）先求解当甲壶中水温刚好达到时，，再代入乙的函数解析式即可得到答案． 【小问1详解】 解：由函数图象可知，当时，， 则加热前水温是， 加热到，温度将恒定保温， 甲壶中的水温在达到80之前每秒上升的温度为 【小问2详解】 解：设乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为， 把，代入可得： ， 解得：， ∴乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为． 【小问3详解】 解：∵甲壶中的水温在达到80之前每秒上升的温度为 ∴当甲壶中水温刚好达到时，， ∴， ∴当甲壶中水温刚好达到时，乙壶中的水温为． 22. 【问题原型】 如图①，，点C为上一点，且，D是边上的动点，，且，连接，求的最大值． 【问题探究】 如图②，小明过点C做，过点E作，可得，连结、，将转化为，再利用，通过面积计算，从而确定为定值，又因为，最终确定点E的轨迹进而解决问题． 以下是小明确认为定值的部分过程： 证明：由【问题探究】的作法可知，． 证明过程缺失 ． 请你补全缺失的证明过程 【问题解决】 请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出【问题原型】中的点E的轨迹，并直接写出最大值______（保留作图痕迹） 【问题拓展】 如图，，C为上一点，，D是边上的动点，，且，直接写出的最大值______． 【答案】问题探究：见解析；问题解决：；问题拓展： 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，考查了平行线的性质，圆周角定理，含角的直角三角形的性质，三角形的面积，勾股定理等知识，正确运用类比的方法解决问题是解本题的关键． 问题探究：如图1，根据三角形的面积公式和平行线间的距离相等即可解答； 问题解决：以为直径作圆，点E的轨迹是，当O，G，E三点共线时，有最大值，根据勾股定理即可解答； 问题拓展：同理作辅助线，即可解答． 【详解】解：问题探究：如图1，过点C作，过点E作，连接，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， 长为定值； 问题解决：， ∴点E在上运动； 如图2，作垂直平分线交于点G，以G为圆心，为直径作圆，点E的运动轨迹就是， 当过点G时的值最大， ， ， 由勾股定理得：， ， 即的最大值是； 故答案为：； 问题拓展：如图3，过点C作，过点E作，连接，，过点C作于点M， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 长为定值； 如图4，， ∴点E上运动， 过点G作于点N，过点F作于点K， ∴四边形、是矩形， ∴，， 当过点G时的值最大， ， ∴由勾股定理得：， ， 即的最大值为， 故答案为：． 23. 如图，在中，，D是边中点，E是边上一动点，连结，当E不与B重合时，以为邻边作． （1）______； （2）求的最小值； （3）当为轴对称图形时，求的面积． （4）连结，当时，直接写出的长度． 【答案】（1） （2） （3）或12 （4）2或 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质以及勾股定理可得的长，即可求解； （2）根据平行四边形的性质可得，从而得到当最小时，最小，当时，最小，即可求解； （3）根据题意可得为矩形或菱形：当菱形时，过点E作于点G，此时,设，可得，在中，根据勾股定理可求出 ，即可；当矩形时，此时,此时点E与点A重合，即可求解； （4）分两种情况讨论：当点F在内部时；当点F在外部时，结合相似三角形的性质解答即可。 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵，D是边中点， ∴，， ∴， ∴； 故答案为： 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当最小时，最小， 当时，最小， 此时， ∴， 解得：, 即的最小值为； 【小问3详解】 解：∵为轴对称图形， ∴为矩形或菱形， 如图，当菱形时，过点E作于点G，此时, ∵， ∴可设， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴的面积为; 如图，当矩形时，此时, ∵E是边上一动点， ∴此时点E与点A重合， 此时的面积为; 综上所述，的面积为或12； 【小问4详解】 解：∵四边形平行四边形， ∴， 如图，当点F在内部时，延长交于点M，分别过点A,B,D作的垂线，垂足分别为P,Q,H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴； 如图，当点F在外部时，延长交于点M，分别过点A,B,D作的垂线，垂足分别为P,Q,H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴； 综上所述，的长度为2或。 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（c是常数）经过点，点M是抛物线上一动点，且横坐标为m，将M向右平移两个单位得到点N，A点坐标为，当M、A、N不共线时，连结MA、AN、MN得到． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当关于y轴对称时，求的正切值； （3）若点A在y轴的负半轴上，且的面积等于1，求m的值； （4）M、N关于A的对称点分别为B、C，当直线BC与抛物线有两个公共点分别为P、Q（P在Q的左侧）时，若，直接写出m的值． 【答案】（1） （2）1 （3）或 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，正确理解题意是解答本题的关键． （1）把点代入，求出的值即可； （2）设，由平移得，根据点关于y轴对称，得，求出，得，，，可求出； （3）求出，根据三角形面积公式列式求出的值即可． （4）根据对称求出，，得直线的解析式为，联立方程组，得，设，，由根与系数的关系得，由两点间距离公式求出，，根据可求解． 【小问1详解】 解：把点代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设， ∵将M向右平移两个单位得到点N， ∴， ∵点关于y轴对称， ∴， ∴， ∴，，， 如图， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 而， ∴ 整理得，， 解得，或或， ∵点A在y轴的负半轴上， ∴， ∴或； 【小问4详解】 解：∵，，， 又关于点的对称点为， ∴，， ∴直线的解析式为， 联立方程组， ∴， ∴， 设，， 由根与系数的关系得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $