精品解析：江苏省徐州市侯集高级中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试卷

侯集中学2024-2025高一年级6月月考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算. 【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，， 由共轭复数的定义可知，. 故选：D 2. 已知三个单位向量满足，则向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对等式两边同时平方即可得到，再利用向量数量积定义和向量夹角的范围即可得到答案. 【详解】，即， ，即，则， 因为，的夹角为， 故选：C. 3. 在中，边上的高等于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数，结合图形，即可求解. 【详解】如图，边上的高为，，且， 所以，则， 则，， 所以，则. 故选：B 4. 设是两个平面，是两条直线，则的一个充分条件是（    ） A. B. C. 与相交 D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例可判定ABC，利用线面垂直的判定定理及面面平行的判定定理可判定D. 【详解】对于A：当满足时，可能相交， 如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故A错误； 对于B：当满足时，可能相交， 如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故B错误； 对于C：当满足与相交时，可能相交， 如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故C错误； 对于D: 因为，又，所以， 故是的一个充分条件，故D正确； 故选：D 5. 如图，三棱锥中，均为正三角形，为直角三角形，斜边为，为的中点，则直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，连接，可得，所成的角即为直线所成的角，设，利用余弦定理可求解. 【详解】取的中点，连接，易得， 则，所成的角即为直线所成的角. 设，因为均为正三角形，为直角三角形，斜边为， 则，，， 在中，由余弦定理，得， 所以直线所成角的余弦值为. 故选：B. 6. 降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位，它可以直观地表示降雨的多少，目前，测定降雨量常用的仪器有雨量筒和量杯.测量时，将雨量筒中的雨水倒在量杯中，根据杯上的刻度就可知道当天的降雨量.某兴趣小组同学为测量降水量，自制了一种圆台形的雨量器（如图）.某次降水，这种容器收集到的雨水高度为150mm，则该次降水的降雨量最接近（ ） A. 60mm B. 65mm C. 70mm D. 75mm 【答案】B 【解析】 【分析】如图，根据相似三角形的性质求得mm，由圆台的体积公式求出收集到的雨水量，利用等体积法，结合圆柱的体积公式建立关于h的方程，解之即可求解. 【详解】如图，分别为上底面、下底面的半径，且，， 则， 当mm时，在中，，即， 解得mm，所以mm，所以圆的面积为， 又圆的面积为， 所以收集到的雨水量为， 设此时量杯的刻度为， 则，解得. 故选：B 7. 已知是边长为1的等边三角形，D在边BC上，且，E为AD的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立直角坐标系，利用坐标求解. 【详解】 如图，以BC中点为坐标原点，直线为轴建立平面直角坐标系， 则，由，得 而为AD的中点，则， 所以 故选：B 8. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝2B，则的最小值为（ ） A. －1 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理，结合三角形内的隐含条件及三角恒等变换得出，从而利用均值不等式求最小值. 【详解】因为A＝2B，,所以由正弦定理，得 ， 因为A＝2B，所以， 所以 ，所以， 当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，确定、的关系及范围，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式及诱导公式求解即得. 【详解】由，得，由，所以，即， 显然，而，则， 对于A：，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：ABD 10. 在棱长为2的正方体中，为中点，为四边形内一点（含边界），若平面，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥体积为 C. 线段最小值为2 D. 的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正方体的性质得出平面平面，则根据已知得出点在线段上（含端点）. 【详解】取中点分别为，连接，如下图： 因为是正方体，所以所以， 因为平面平面，且，所以平面平面， 因为为四边形内一点（含边界），且平面，所以点在线段上（含端点）. 当为时，则与的夹角为，此时，则，则与不垂直，A错误； 因为为四边形内一点（含边界），所以到平面的距离为， 所以三棱锥的体积为，B正确； 因为点在线段上（含端点），所以当时，线段最小， 因为，所以在边上的高为， 则，则当时，即，C错误； 因为是正方体，所以平面，因为平面，所以， 所以为直角三角形，且直角为，所以， 因为点在线段上（含端点），则当最大时，即点为点时，此时，此时最小为， 当最小时，即，此时，此时最大， 为，则的取值范围为，D正确. 故选：BD. 11. 在中，已知，AD为的内角平分线且，则下列选项正确的有（ ）. A. B. C. D. 的面积最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等面积法得到，即可判断A，再利用基本不等式求出的最小值，即可判断D，利用余弦定理判断B、C. 【详解】依题意，即， 所以，所以，故A正确； ，所以，当且仅当时取等号， 所以或（舍去）， 则，当且仅当时取等号，故D正确； 又，， 即，， 所以， 又，即， 所以， 所以， 即，所以，故C正确； 由余弦定理， 即 ， 所以，由于由已知条件无法得知的值， 故无法确定的值，故B错误. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，若，是的方程的两个实根，则____. 【答案】 【解析】 【分析】列出韦达定理，再由诱导公式及两角和的正切公式计算可得. 【详解】因为，是的方程的两个实根， 所以， 所以. 故答案为： 13. 已知平面向量是非零向量，向量在向量方向上的投影向量为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的求法有，可得，即可求值. 【详解】由题设，所以，则. 故答案为： 14. 已知等腰直角的斜边分别为上的动点，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面.若点均在球的球面上，则球表面积的最小值为______ 【答案】 【解析】 【分析】由题设共圆，进而确定，找到△，四边形外接圆圆心，由棱锥外接球、面面垂直的性质确定球心位置，设且，求外接球半径最小值，即可得结果. 【详解】由点均在球的球面上，且共圆（不与重合）， 所以（不与重合）， 又为等腰直角三角形，为斜边，即有， 如上图，、、都为直角三角形，且， 由平面图到立体图知：，， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，同理可得面平， 将翻折后，的中点分别为△，四边形外接圆圆心， 过作平面，过作面，它们交于，即为外接球球心，如下图示， 再过作平面，交于，连接，则为矩形， 综上，，，则为中点， 所以，而，， 令且，则，故，， 所以球半径， 当时，，故球表面积的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． （1）若，求； （2）若，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答. （2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答. 【小问1详解】 方法1：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. 【小问2详解】 方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 16. 在正三棱柱中，D为的中点． （1）证明：平面； （2）求证： 【答案】（1）证明：连接交于，连接， 由侧面为矩形，易知是的中点， 由D为的中点，则， 由平面，平面，所以平面； （2）证明：由D为的中点，为等边三角形，则， 由平面，平面，则， 都在平面内，则平面， 由平面，所以. 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，易得，利用线面平行的判定证明结论； （2）由已知及线面垂直的性质得，，再由线面垂直的判定和性质定理证明结论. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 17. 已知向量满足，，的夹角为. （1）若，求实数； （2）若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2），且 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直关系列方程，结合数量积运算律化简方程可求入； （2）根据数量积性质由条件列不等式求的范围． 【小问1详解】 ， ， ， ， 即， 解得 【小问2详解】 由已知，且与不共线， 由可得， 即，解得， 若与共线，则可得， 即，解得， 所以由与不共线可得， 综上所述，若与的夹角为钝角，则且. 18. 如图，设中角A，B，C所对的边分别为为边上的中线，已知且． （1）求的面积； （2）设点，分别为边上的动点，线段交于，且的面积为面积的一半，求的最小值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理将角化边，即可得到，从而求出，再由，设的夹角为，根据数量积的运算及夹角公式得到，解得，即可求出，再由面积公式计算可得； （2）设，，依题意可得，设，，根据平面向量基本定理得到，从而表示出、，根据数量积的运算律得到，再根据的范围计算可得. 【小问1详解】 ， 由正弦定理可得， 由余弦定理：． 因为为的中点，所以，设的夹角为， ， 又， ，即， 解得或，又，所以，易得， 的面积为． 【小问2详解】 设，，的面积为面积的一半，， 设，则，又共线， 所以设， 则， ，解得． ，又， ，又， 化简得，又，， 即，解得， 所以当时，的最小值为． 19. 已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点． （1）求证：平面； （2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值． 【答案】（1） ，，为等边三角形， 为的中点，， 取中点，连接，则， 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，． 又，，、平面，平面． 平面ABD，． 又，、平面， 平面． （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）由等边三角形得到，取中点，结合平面平面得平面，从而，进而平面，再得到，平面； （2）过点作，垂足为，则为与平面所成角，从而通过解三角形可得； （3）取的中点为，连接，过点作，垂足为，连接，则为二面角的平面角，由此通过解三角形可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作，垂足为．如图所示 由（1）知，平面．平面，． 又，平面，平面， 为与平面所成角． 由（1）知，平面ABD，平面，． 在中，，，， 为的中点，． 在中，，， 在中，， 在中，由余弦定理得， ． 与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 取的中点为，连接， 为线段的中点，，， 由（1）知，平面，平面． 又平面，所以． 过点P作，垂足为，连接． ，平面，平面． 又平面，， 为二面角的平面角． 在中，， 由（1）知，为等边三角形，为的中点，． 由（1）知，平面ACD． 又平面，所以． 在中，， 由（2）知，，即，解得． 平面，平面，． 在中，，． 所以二面角的平面角的余弦值为． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是通过作辅助线找到二面角的平面角，再结合勾股定理、等面积法等求出相关长度，最后再利用三角函数定义即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 侯集中学2024-2025高一年级6月月考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知三个单位向量满足，则向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，边上的高等于，则（ ） A. B. C. D. 4. 设是两个平面，是两条直线，则的一个充分条件是（    ） A. B. C. 与相交 D. 5. 如图，三棱锥中，均为正三角形，为直角三角形，斜边为，为的中点，则直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位，它可以直观地表示降雨的多少，目前，测定降雨量常用的仪器有雨量筒和量杯.测量时，将雨量筒中的雨水倒在量杯中，根据杯上的刻度就可知道当天的降雨量.某兴趣小组同学为测量降水量，自制了一种圆台形的雨量器（如图）.某次降水，这种容器收集到的雨水高度为150mm，则该次降水的降雨量最接近（ ） A. 60mm B. 65mm C. 70mm D. 75mm 7. 已知是边长为1的等边三角形，D在边BC上，且，E为AD的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝2B，则的最小值为（ ） A. －1 B. C. 3 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 10. 在棱长为2的正方体中，为中点，为四边形内一点（含边界），若平面，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥体积为 C. 线段最小值为2 D. 的取值范围为 11. 在中，已知，AD为的内角平分线且，则下列选项正确的有（ ）. A. B. C. D. 的面积最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，若，是的方程的两个实根，则____. 13. 已知平面向量是非零向量，向量在向量方向上的投影向量为，则______. 14. 已知等腰直角的斜边分别为上的动点，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面.若点均在球的球面上，则球表面积的最小值为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． （1）若，求； （2）若，求． 16. 在正三棱柱中，D为的中点． （1）证明：平面； （2）求证： 17. 已知向量满足，，的夹角为. （1）若，求实数； （2）若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围. 18. 如图，设中角A，B，C所对的边分别为为边上的中线，已知且． （1）求的面积； （2）设点，分别为边上的动点，线段交于，且的面积为面积的一半，求的最小值． 19. 已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点． （1）求证：平面； （2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $