上海市宝山区2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试卷

2024学年第二学期期末 高一年级数学学科质量监测试卷 考生注意： 1.本试卷共21题，满分100分，考试时间90分钟； 2.本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3.在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4.可使用符合规定的计算器答题. 一、填空题（本大题共12小题，1-6每小题3分，7-12每小题4分，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分. 1. 函数的最小正周期是_____. 2. 已知集合，则________. 3. 已知，则_____. 4. 已知复数（是虚数单位），则的值为_____. 5. 若，用表示_____. 6. 某扇形的弧所对的圆心角为，且半径等于5，则其面积为_____. 7. 平行四边形中，，是的中点，记，，则_____.（用、表示） 8. 如图，某池塘中的浮萍蔓延的面积（单位：）与时间（单位：月）满足关系式：（且），则浮萍面积从到至少需要经过_____个月.（精确到0.1） 9. 已知函数有唯一的零点，则实数的取值范围是_____. 10. 已知函数的定义域为，满足，且在上为严格减函数，则不等式的解集为_____. 11. 如图，以边长为1的正方形的各边为基准向外作正三角形，构成八边形.若点、在八边形的内部（含边界），则的最小值为_____. 12. 已知函数，若对于任意正整数在区间上总存在个实数，，，，使得，则的最大值是_____. 二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分. 13. “”是“”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 14. 若均是单位向量，且，则（ ） A. B. 7 C. D. 6 15. 已知对任意，（且）均有意义，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 16. 已知非空集合、满足：，，函数已知如下两个命题：①存在唯一的非空集合对，使得为偶函数；②存在无穷多非空集合对，使得方程无解.则下列选项中正确的是（ ） A. ①、②都正确 B. ①、②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 三、解答题（本大题共有5题，满分46分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知点、. （1）求的单位向量； （2）求向量与夹角的余弦值. 18. 已知关于的实系数一元二次方程. （1）若（是虚数单位）是此方程的一个根.求、的值； （2）若是此方程的两个虚根，且满足，，求、的值. 19. 已知向量，，且函数. （1）若，，求的值； （2）求函数在上的严格增区间. 20. 上海某区计划将某乡村规划成休闲度假区，该度假区形状如图，设想在其中规划出三个功能区：为露营区，为垂钓区，为活动区.已知为直角三角形，，，，为内一点，且. （1）安全起见，垂钓区周围需要筑护栏，已知， ①求的大小； ②求护栏的长度（精确到0.01）； （2）求露营区面积的最大值. 21. 已知函数的定义域为，对任意，定义：. （1）若，判断和是否是集合中的元素； （2）若，，是否存在实数，使得？若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由； （3）若，设，且，求证：“是上的减函数”是“”的充分不必要条件. 2024学年第二学期期末 高一年级数学学科质量监测试卷 考生注意： 1.本试卷共21题，满分100分，考试时间90分钟； 2.本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3.在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4.可使用符合规定的计算器答题. 一、填空题（本大题共12小题，1-6每小题3分，7-12每小题4分，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分. 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分. 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】A 【15题答案】 【答案】A 【16题答案】 【答案】D 三、解答题（本大题共有5题，满分46分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 【17题答案】 【答案】（1） （2）. 【18题答案】 【答案】（1）； （2），. 【19题答案】 【答案】（1）或 （2）严格增区间为和 【20题答案】 【答案】（1）①；②千米； （2）. 【21题答案】 【答案】（1）是集合中的元素；不是集合中的元素. （2）当时，存在实数，使得，此时实数的取值范围为. （3） 充分性证明： 因为函数是上的减函数，，， 所以，. 根据余弦函数的有界性可得：， 则 所以 ，即， 所以. 必要性证明： 取，，， 则对于任意的任意，有， 所以. 又因为，，. 因为， 所以，这与是上的减函数相矛盾， 故必要性不成立， 综上可证得：“是上的减函数”是“”的充分不必要条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $