精品解析：河北省沧州市泊头市第一中学2026-2027学年高一上学期第一次考试数学试题

2026-2027学年度高一年级第一次考试 数学试题 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出集合P，Q，再由并集定义即可求出. 【详解】， . 故选：A. 2. 命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】已知命题是全称量词命题：，， 因此为，，对应选项C, 3. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用待定系数法及不等式的性质计算即可得解. 【详解】设， 则有，解得， 因为，，所以， 所以. 4. 已知，则以下不等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质逐项判断即得. 【详解】∵，∴，故A正确； ∵，∴，∴，即，故B正确； 由可得，，∴，故C正确； 因为，所以，，所以，即．故D错误. 故选：D． 5. 若（为常数）对一切恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，列不等式组，求出k的范围. 【详解】由已知得，当时，原不等式为，显然恒成立；当时，需满足，解得，所以的取值范围是. 故选：A 6. “”是“不等式对于任意正实数x，y恒成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】不等式对于任意正实数x，y恒成立，则， 则， 当且仅当，即时，取等号，则，即， 解得或（舍去），所以， 当时，成立，反之时，不一定成立， 所以“”是“不等式对于任意正实数x，y恒成立”的充分不必要条件. 故选：A. 7. 已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，q是s的必要条件，下列命题正确的是（ ） A. 是的必要不充分条件 B. 是的充要条件 C. 是的充分不必要条件 D. 是的充要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的定义进行判断即可. 【详解】依题意是的充分不必要条件，是的充分条件， 是的必要条件，是的必要条件，， 所以是的充要条件，A、C错误;是的充分不必要条件, D错误; 是的充要条件，B正确. 故选：B 8. 某学校举办运动会，比赛项目包括田径、游泳、球类，经统计高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛．参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人．则高一年级参加比赛的同学有（ ） A. 110人 B. 108人 C. 106人 D. 104人 【答案】C 【解析】 【详解】 高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛． 参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛； 同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人． 作出韦恩图可得高一年级参加比赛的同学有人. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合A中有个元素，，，且当时，，则可能为（　　） A. B. C. D. 或或 【答案】AB 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系分类讨论即可. 【详解】对于A，当时，，满足题意，A正确； 对于B，当时，，满足题意，B正确； 对于C，当时，，不合题意，C错误； 对于D，由ABC知：或，D错误. 故选：AB. 10. “关于的方程的根为正实数”为真命题的一个必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】分为和两种情况，求出方程的根为正实数时的范围，结合必要条件的定义即可求解. 【详解】当时，方程的根为，符合； 当时，方程为一元二次方程， 若关于的方程的根为正实数，则，解得， 综上，“关于的方程的根为正实数”等价于， 故“关于的方程的根为正实数”为真命题的一个必要条件可以是或. 11. 若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A. ab有最大值 B. 有最小值 C. 的最小值是 D. 的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，则A可得； 由，则可解决B选项； 由，根据1的妙用，可以构造基本不等式，可解决C选项； 由 ，可解决D选项. 【详解】因为正实数a、b满足， 所以，当且仅当时，等号成立，故ab的最大值为，故A选项正确； ，则，当且仅当时，等号成立，故有最大值，故B选项错误； ， 当且仅当时，取等号，故的最小值是，故C正确； ， 当且仅当时，取等号，故的最小值是，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，，，，若，则_______． 【答案】1 【解析】 【详解】∵，∴， 当时，由集合内元素互异性 可知，该情况不成立，故舍去； 当时，，即 或(舍），此时 . 13. 已知命题p：x满足，命题q：x满足，若p是q的必要条件，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由条件知::,:,若是的必要条件,则,所以,解得．故正确答案为． 考点：1．充分必要条件；2．解不等式． 14. 已知正数，，满足，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得，即有，运用基本不等式即可得到所求最小值． 【详解】由正数，满足，可得， 则 ． 当且仅当，时，取得最小值． 故填：. 【点睛】本题考查利用基本不等式求函数最值，求解过程注意利用消元代入和分子分离法，把式子变形成可运用基本不等式求最值是解题的关键，考查转化与化归思想的运用. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，全集 （1）求; （2）若集合，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）；或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的基本运算即可求解； （2）由，分或，两种情况讨论即可求解. 【小问1详解】 由题意得：，或， 所以或； 【小问2详解】 由，所以或， 当时，，解得， 当时，， 综上所述，， 所以. 16. （1）已知实数x，y满足，，求的取值范围． （2）已知实数，求的最小值． （3）已知x，且，试求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由不等式的性质求解． （2）由基本不等式求最小值． （3）由，可得，从而有，进一步即可求出的取值范围． 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以的取值范围是 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为 【小问3详解】 由，，得，当且仅当时等号成立， 由得， ， 令，则， 即， 解得舍去，或， 即，当且仅当时等号成立， 所以的取值范围是． 17. 近年来，在国家政策的推动下，新能源汽车行业蓬勃发展．某新能源汽车配件公司为适应市场需求，计划扩大生产并改进技术，以生产某种新型组件．据测算，生产该组件的年固定成本为2300万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且 ，已知当年产量为10万件时，需另投入可变成本为16600万元．由市场调研知，该组件每件的售价为2000元，且假定全年产量可当年全部售完． （1）求年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； （2）当该组件的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）45万件；2600万元. 【解析】 【分析】（1）先根据题意求出的值，然后根据利润=销售收入-成本求出年利润与年产量的关系式. （2）先求出时年利润的最大值，再求出时利润的最大值，最后比较大小可得公司所获年利润最大. 【小问1详解】 当时，，解得. 由题意可知， 当时，， 当时，. 所以年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式为. 【小问2详解】 当时， 开口向下，所以当时，. 当时， . 当且仅当，即时，等号成立，此时， ，所以该组件的年产量为45万件时，公司所获年利润最大，利润最大为2600万元. 18. 设，． （1）当时，写出关于的不等式的解集； （2）解关于的不等式（结果用解集表示）； （3）设命题，，若为真命题，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 （3） 【解析】 【分析】(1)代入，解不等式即可； (2)分析当时， 当时， 当时， 当时，比较两根大小即可； (3) 根据题意可得到对，，分离参数，结合基本不等式求解. 【小问1详解】 当时，原不等式可化为，即， 解得， 故原不等式解集为. 【小问2详解】 ，即， 当时，即，解得， 不等式的解集为. 当时，解方程得或， 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为. 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【小问3详解】 因为为真命题，故对，， 所以，又，所以， 所以， 又，当且仅当，即时取“”. 所以， 所以实数的取值范围是. 19. 已知函数． （1）若，恒成立，求实数的取值范围； （2）若，使得，求实数的取值范围； （3）若关于的不等式恰有3个正整数解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】(1) ，恒成立，则恒成立,求在定义域上的最小值， (2) ，使得，代入整理得，即，当时，令，则，， 所以，根据基本不等式可求， (3)原不等式代入整理，即，恰有3个正整数解，分情况讨论，，，其中只有最后一种情况可满足条件，再根据时，原不等式的解集为，因为解集中恰有3个正整数，所以必须满足，最终求得实数的取值范围． 【小问1详解】 由题意，，恒成立，则恒成立 又当时，，当且仅当时，取等号 所以，即实数的取值范围为 【小问2详解】 由，得， 即， 因为，所以， 则，使得， 等价于 当时， 当时，令，则，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 综上，当时，， 所以，即实数的取值范围为 【小问3详解】 由题意，， 即， 即 ①当，即时，原不等式的解集为，显然不满足题意，舍去； ②当，即时，原不等式的解集为， 此时，不等式的解集中不可能有3个正整数，舍去； ③当，即时，原不等式的解集为， 因为解集中恰有3个正整数，所以，解得， 当时，，此时解集中的3个正整数分别为3，4，5，所以，即， 所以； 当时，，此时解集中的3个整数分别为4，5，6，所以， 所以． 综上，实数的取值范围是或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高一年级第一次考试 数学试题 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，那么（ ） A. B. C. D. 2. 命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则以下不等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若（为常数）对一切恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 6. “”是“不等式对于任意正实数x，y恒成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，q是s的必要条件，下列命题正确的是（ ） A. 是的必要不充分条件 B. 是的充要条件 C. 是的充分不必要条件 D. 是的充要条件 8. 某学校举办运动会，比赛项目包括田径、游泳、球类，经统计高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛．参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人．则高一年级参加比赛的同学有（ ） A. 110人 B. 108人 C. 106人 D. 104人 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合A中有个元素，，，且当时，，则可能为（　　） A. B. C. D. 或或 10. “关于的方程的根为正实数”为真命题的一个必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 11. 若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A. ab有最大值 B. 有最小值 C. 的最小值是 D. 的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，，，，若，则_______． 13. 已知命题p：x满足，命题q：x满足，若p是q的必要条件，则m的取值范围是______． 14. 已知正数，，满足，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，全集 （1）求; （2）若集合，且，求实数的取值范围. 16. （1）已知实数x，y满足，，求的取值范围． （2）已知实数，求的最小值． （3）已知x，且，试求的取值范围． 17. 近年来，在国家政策的推动下，新能源汽车行业蓬勃发展．某新能源汽车配件公司为适应市场需求，计划扩大生产并改进技术，以生产某种新型组件．据测算，生产该组件的年固定成本为2300万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且 ，已知当年产量为10万件时，需另投入可变成本为16600万元．由市场调研知，该组件每件的售价为2000元，且假定全年产量可当年全部售完． （1）求年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； （2）当该组件的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 18. 设，． （1）当时，写出关于的不等式的解集； （2）解关于的不等式（结果用解集表示）； （3）设命题，，若为真命题，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）若，恒成立，求实数的取值范围； （2）若，使得，求实数的取值范围； （3）若关于的不等式恰有3个正整数解，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $