天津第一百中学2024-2025学年高二下学期过程性诊断（2）数学试卷

天津市第一百中学2024—2025学年第二学期过程性诊断(2) 高二数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟。 一、选择题(本题共9小题，每小题5分，共45分) 1. 设全集 = ( ) 2. 设a∈R, 则“a>1”是‘ 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.函数 的大致图像是( ) 4. 设 则a，b，c的大小关系为( ) A c<b<a B. c<a<b C. a<b<c D. a<c<b 5.有2位老师和4名学生排成一队照相，老师要求相邻且不排在两端，则不同的排法有( ). A. 144种 B. 96种 C. 72种 D. 48种 6.甲、乙、丙、丁四名农业专家被派驻到A，B，C三个村进行农业技术指导，若要求每个村至少派驻一名专家，且每名专家只能被派驻到一个村，则在甲被派驻到A村的条件下，甲、乙被派驻到同一个村的概率为( ) 高二数学试卷 第 1 页(共4 页) A. B. C. D. 7.已知 若对 总 使 成立，则实数的取值范围为( ) A. [-1,1] 8.下列说法中，正确的个数是( ) ①已知变量x，y线性相关，其一组样本数据 其中 用最小二乘法得到的经验回归方程为 则 ②根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到 根据小概率值α=0.05的 独立性检验 可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过 0.05. ③已知定义在R上的函数 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9.已知是定义在R上的奇函数，当. 且 时，都有 成立, , 则不等式的解集为( ) A. (-3,0)∪(3,+∞) B. (-∞,-3)∪(3,+∞) C. (-3,0)∪(0,3) D. (-∞,-3)∪(0,3) 二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 的展开式中的常数项为 . 11.若随机变量X~N(3,σ²),且P(X≤5)=0.7, 则P(1<X<3)= . 高二数学试卷 第 2 页(共4 页) 学科网（北京）股份有限公司 12.已知函数 在[1，3]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为 . 13.某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校正，有4支气枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中目标的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中目标的概率为0.4，某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中目标的概率是 ；若此少年射手任取一支气枪进行3次射击，每次射击结果相互不影响，则恰有2次射中目标的概率为 . 14. 函数 在 上的最大值为 . 15.已知函数 若f(x)≥0恒成立, 则a(2b+1)的取值范围是 . 三、解答题(本题共5题，共75分) 16.(本小题15分)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (I)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率； (Ⅱ)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望. 17. (本小题15分) 如图, AE⊥平面ABCD, CF∥AE, AD∥BC,AD⊥AB, AB=AD=1, AE=BC=2. (Ⅰ) 求证: BF∥平面ADE; (Ⅱ)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值； (Ⅲ)若平面BDE与平面BDF 夹角的余弦值为 ，求线段CF 的长. 高二数学试卷 第 3 页(共4 页) 学科网（北京）股份有限公司 18. (本小题15分) 设 是等差数列， 是等比数列，公比大于0， 已知 (1)求数列 和 的通项公式； (2)求数列 的前n项和 (3)若 求数列 的前n项和 19. (本小题15分)函数. (I) 当a=2时, 求曲线处的切线方程; (Ⅱ)若存在唯一的极值点，求实数a的取值范围； (Ⅲ)若存在成立,求实数b的取值范围. 20. (本小题15分).已知函数f(x)=x(1-lnx) (1)求的单调区间； (2) 若 对∀x∈(1，+∞)恒成立，求实数m的取值范围； (3) 若 其中a>0,b>0,a≠b, 证明: 高二数学试卷 第 4 页(共4 页) 学科网（北京）股份有限公司 $$高二数学月考（二）参考答案 一、选择题 CADBADDCA 二、填空题 10、15 11、02 12、a<5 24 14、 三、解答题 16.(1)解：设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A,则 P()-G.Gi+CC Clo 60 所以，选出的3名同学米自互不相同学院的概率为 9 60 (Ⅱ)解：随机变量X的所有可能值为0,1,2,3. P(=)=CiC (k=01,2,3) 所以，随机变量X的分布列是 X 0 1 2 3 1 P 3 6 30 3 随机变量X的数学期望E(X)=0×二+1×行+2×弓+3× 16 6 10 17依题意，可以建立以A为原点，分别以AB,AD,AE的方 向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系（如图）， 可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2) 设CF=h(h>0),则F(1,2,h) (I)依题意，AB=(1,0,0)是平面ADE的法向量， 又BF=(0,2,h),可得BF.AB=0, 又因为直线BF丈平面ADE,所以BF∥平面ADE, ()依题意，BD=(-1,1,0),BE=(-1,0,2,CE=(-1,-2,2), 设n=(x,y,)为平面0E的法向量， BD=0 -x+y=0 即 BE=0' -x+2:=0不纺令，可得n=(2,21, 因此有cos(C正，而= CE.n 4 CE9 所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为) m·BD=0 -x+y=0 (四设m=(x,y)为平面即F的法向量，则 mF=0'即 2y+h=0 不妨令1，可得m 有os(训 m 由题意 -引 解得h=8 32+层 经检险，符合愿盒，所以，线段CF的长为号 18.(1)设等差数列{an)的公差为d,等比数列{bn}的公比为q, 依题，用的二站解 (舍去) 故an=3+3(n-1)=3n,bn=3×3n-1=3m, 所以，{an)的通项公式为an=3n,bn)的通项公式为bn=3": (2)-1=2+ 3 所以5n=3×+5×+7×目++2m+1)目”， ,=3×③+5×+7x自++am-)-目+em+-自” 两式相减可得： =3×+2×G+2x+2x自++2x周-m+0-G自” =1+2× G③+個+)++G】-am+)” =1+2× -自]。 1- +)-周 =1+×1-)】]-(2m+1))”=-)×) 所以5=2-0n+2)月 19.(1)f(x)=2-(x+1)e,则f'(0)=1,又f(I)=2-e,则切线方程为y=(2-2e)x+e: (I)令f'(x)=a-(x+l)e=0,则a=(x+l)e, 令g(x)=(x+1)e,则g'(x)=(x+2)e, 当x∈(-∞，-2)时，g(x)<0,g(x)单调递减：当 x∈(-2，+oo)时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 当x→-0时，g(x)<0,g(-)=0,当x→+∞时， g(x)>0,画出g(x)大致图像如下： 所以当a>0时，y=a与y=g(x)仅有一个交点，令g(m)=a,则m>-1,且 f'(m)=a-g(m)=0, 当x∈(-o,m)时，a>g(x),则f'(x)>0,∫(x)单调递增， 当x∈(m,+o∞)时，a<g(x),则"(x)<0,∫(x)单调递减， x=m为∫(x)的极大值点，故(x)存在唯一的极值点： ()由(I)知f(x)a=f(m),此时a=(1+m)e",m>-l, 所以{f(x)-anx=f(m)-a=(m2-m-l)e",(m>-), 令hx)=(x2-x-1)e,(x>-l), 若存在a,使得(x)≤a+b对任意x∈R成立，等价于存在x∈(-l,+oo),使得(x)≤b, 即b之h(x)mm, h(x)=(x2+x-2）e=(x-10(x+2)e,x>-1, 当x∈(-1，)时，h(x)<0,h(x)单调递减，当x∈(L,+o)时，h(x)>0,h(x)单调递增， 所以h(x)mn=h(0=-e,故b≥-e,所以实数b的取值范闲[-e,+o∞).