天津市第五十四中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题

天津市第五十四中学高一第二学期阶段性质检测 数学试题 一、选择题 (每题3分，共30分) 1 .设有直线m， n，l和平面α β ， 下列四个命题中，正确的是 A.若m∥α,n∥α, 则m∥n B.若l∥α,m∥β,α∥β, 则l∥m C 若α⊥β,m⊂α, 则m⊥β D.若α⊥β,m⊥β,m⊄α, 则m∥α 2.一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( ) 3.水平放置的图形直观图如图所示，其中 那么原图形是一个( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.三边互不相等的三角形 D.三边中只有两边相等的等腰三角形 4.已知某圆柱的表面积是其下底面面积的4倍，则该圆柱的母线与底面直径的比为 ( ) A . 1:1 B . 1:2 C . 1:3 D. 1:4 5.从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分分数，将所得400个评分数据分为8 组: [66,70)、[70,74)、…、[94,98], 并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86)内的影视作品数量是( ) 学科网（北京）股份有限公司 A .20 B . 40 C.64 D. 80 6.12名跳高运动员参加一项校际比赛,成绩分别为1.70.1.65,1.68,1.69, 1.72, 1.59, 1.60, 1.67, 1.74, 1.78, 1.55, 1.75(单位: m),则比赛成绩的75%分位数是( ). A.1.72 B.1.73 C.1.74 D.1.75 7.《九章算术》中将正四棱台称为方婷，如图，在方婷ABCD-A₁B₁C₁D₁中， 其体积为 E, F分别为 AB, BC的中点，则异面直线AA₁与EF 所成角的余弦值为 ( ) A. B. 8 .如图，已知某圆台的体积为 其轴截面为梯形ABCD，AB=4，CD=2，则在该圆台的侧面上，从点A到C的最短路径的长度为 ( ) C.6 9、已知三棱锥P-ABC, 面PAB⊥面ABC, PA=PB=4, ，则三棱锥P-ABC外接球的表面积 ( ) A . 20π B. 32π C. 64π D. 80π 10、如图, 在四棱锥P-ABCD中, PA⊥平面ABCD, 四边形ABCD为正方形， PA=AB，E为AP的中点，则异面直线PC与DE所成的角的正弦值为 ( ) 二、填空题 (每题4分，共24分) 11.某校高一年级有900 名学生，其中女生400 名.按男女比例用分层随机抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为 45 的样本，则应抽取的男生人数为 . 12.如图，正方体 的棱长为1，则四棱锥 的体积为 13.已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为 14. 已知m，n为直线，α，β为平面，给出下列命题： 2 学科网（北京）股份有限公司 ① ③ 其中正确的是 .(写出所有正确命题的序号) 15.为了解人们对环保知识的认知情况，某调查机构对 A 地区随机选取n个居民进行了环保知识问卷调查(满分为100分)，并根据问卷成绩(不低于 60 分记为及格)绘制成如图所示的频率分布直方图(分为[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]六组), 若问卷成绩最后三组频数之和为360，则下列结论正确的是 . ①=480 ②问卷成绩在[70,80)内的频率为0.3 ③ =0.030 ④以样本估计总体，若对A地区5000人进行问卷调查，则约有1250人不及格 16.如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形，如果三棱柱的体积1 圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题 (共46分) 17.(6分)某中学举行电脑知识竞赛，现将参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求参赛学生的成绩的众数、中位数；(2)求参赛学生的平均成绩. 18. (8 分)如图,在四棱锥 中， 平面 AD⊥底面 ABCD、E,F分别是 CD,PC的中点. 求证:(1)BE∥平面 PAD; (2)CD⊥平面 BEF. 学科网（北京）股份有限公司 19.(10分)如图，在直四棱柱 中，底面是正方形，E、F₁ G分别是棱B₁B, D₁D, DA的中点. 求证: (1)平面AD₁E∥平面BGF; 6 学科网（北京）股份有限公司 20 . (10 分) 如图, 在三棱锥 中, PA⊥底面 ABC, AB⊥BC, 点 D为线段AC的中点，点E为线段PC上一点. (1)求证：平面 (2)当PA//平面 BDE时, 求三棱锥 的体积. 7 学科网（北京）股份有限公司 21 . (12分) 如图, 在六面体PABCD中, 为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD, PA⊥PD, AB =CD =2, BC =AD =4, (1)求证: (2)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值； (3)线段PC上是否存在一点M，使得二面角 的平面角的余弦值为 .若存在，求出 值；若不存在，请说明理由. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$数学参考答案 答案：1-10，DBABD,BDBCD B 11.25:12.1/313.483+V5)14.②3③15②3④16. 17.解：()因为频串分布直方图中最高小长方形所在的区间的中点值为65，所以众数 为65. 又因为第一个小长方形的面积为0.3， 第二个小长方形的面积是0.4,0.3十0.4>0.5，所以中位数在第二组， 设中位数为x,则0.3十（一60）X0.04=0.5,解得x=65,所以中位数为65. (2)依题意， 可得平均成绩为(55×0.030+65×0.040+75×0.015+85×0.010+95×0.005)×10=67， 所以参赛学生的平均成绩为67分。 20.(2)体积为号 2L.(2)连接AN. 由(I)中DN⊥平面PAC,可知∠DAW为直线AD与平面PAC所成的角， 因为△PCD为等边三角形.CD=2且N为PC的中点，所以DN=V5】 又DN L AN,在R△AND中，sinDAN=岩=号 4 所以。直线AD与平面PAC所成角的正弦值为片 (3)取AB中点Q.连接MQ,CQ, 在Rt△AND中，PA=VAD2-PD7=2V3. 因为PA⊥平面PCD,又PCc平面PAC 所以PA⊥PC.在Rt△PAC中，AC=VPC2+PA7=4. 所以△PBC兰△PAC,所以MB=MA,又点Q为AB中点， 所以MQ⊥AB.同理CQ⊥AB,所以LMQC为二面角M-AB-C的平面角， 设器=1(0≤1≤10. 在Rt△BMP中，BM=VBP2+PMZ=V12+4灭 在Rt△BMQ中，MQ=√BM2-BQ=V11+4灭 在Rt△MQC中，MC=2(1-),QC=V15,MQ=V11+4z. 由余弦定理可得：00S2C-盟即：山5- 2MQ·QC 2V11+42.V15 15 化简得到：162-401+9=0.所以1=或号（舍去）， 即线段PC上存在一点M,使得二面角M-AB-C平面角的余弦值为 15 此时兴=