辽宁省铁岭市铁岭县2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷

2024-2025学年辽宁省铁岭市铁岭县八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．1.5，2，3 B．3，4，5 C．5，12，13 D．7，24，25 3．（3分）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．若要使四边形ABCD为菱形，则可以添加的条件是（　　） A．.∠AOB＝60° B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB＝DC 5．（3分）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（　　） A．27° B．53° C．57° D．63° 6．（3分）下列说法正确的是（　　） A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 7．（3分）如图，E是▱ABCD的边CD的中点，AD，BE的延长线相交于点F，若DF＝3，DE＝2，则▱ABCD的周长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．18 8．（3分）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE．若AE＝4，BC＝5，则DE（　　） A．4 B．5 C． D． 9．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF，AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．8 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）当x　 　 时，二次根式有意义． 12．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝6cm，∠ABC角平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DE＝　 　 cm． 13．（3分）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面5米的B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为12米，则这棵大树在折断前的高度为 　 　 米． 14．（3分）如图，网格中每个小正方形边长均为1，以O点为圆心，OA为半径画弧，交网格线于点B，则BC的长是 　 　 ． 15．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在BC边上，将△DCE沿DE折叠，使点C恰好落在对角线BD上的点F处，则CE的长为 　 　 ． 三、解答题：（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16．（12分）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17．（7分）图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准． 18．（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE＝CF． 求证：四边形BEDF是平行四边形． 19．（8分）某初中数学小组欲测量吊车起重臂顶端与地面的距离，下面是他们设计的项目课题，请你根据下面的表格计算：吊车起重臂的顶端A到地面的距离AF． 项目名称 测量吊车起重臂顶端与地面的距离 对象简介 吊车作业时是通过液压杆CD的伸缩使起重臂AB绕点B转动的，从而使得起重臂完成升降作业（起重臂AB的长度也可以伸缩） 操作示意图 操作数据 起重臂AB＝10米，点B到地面的距离BE＝1.8米，钢丝绳所在直线AF垂直地面于点F，点B到AF的距离BG＝8米． 操作评价 … 20．（8分）数学课上，邱老师在黑板上给出了如下等式． 第1个等式： ； 第2个等式： ；… 请你根据上述方法完成下列题目： （1）计算：　 　 ； （2）计算：　 　 ； （3）计算：． 21．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AB＝15，BD＝18，求OE的长． 22．（10分）在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD，垂足为E，且AE平分∠BAO． （1）求∠AOB的度数； （2）若AB＝2cm，求矩形ABCD的面积． 23．（12分）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，如图①，四边形ABCD中对角线AC⊥BD于点O．所以四边形ABCD是垂美四边形． （1）在图①中，我们发现垂美四边形ABCD的两组对边满足：AB2+CD2＝AD2+BC2，请你证明这个结论； （2）如图②，请你用（1）中的结论解决下面问题：分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG．若AC＝4，AB＝5，求GE的长． 2024-2025学年辽宁省铁岭市铁岭县八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B C D D C D B C 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义解答即可． 【解答】解：A、2，不是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、，不是最简二次根式； D、是最简二次根式； 故选：D． 【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2．（3分）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．1.5，2，3 B．3，4，5 C．5，12，13 D．7，24，25 【分析】根据三角形三边关系，勾股定理的逆定理逐个判断即可． 【解答】解：∵1.52+22≠32；32+42＝52；52+122＝132；72+242＝252， ∴选项A不能，B，C，D能， 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理，三角形的三边关系，熟练掌握勾股定的逆定理是解题的关键． 3．（3分）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的乘法法则对A进行判断；根据二次根式的加减法对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断． 【解答】解：A、原式，所以A选项的计算正确； B、与不能合并，所以B选项的计算错误； C、原式3，所以C选项的计算正确； D、原式＝2，所以D选项的计算正确． 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 4．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．若要使四边形ABCD为菱形，则可以添加的条件是（　　） A．.∠AOB＝60° B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB＝DC 【分析】由条件OA＝OC，OB＝OD根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四边形，再由矩形和菱形的判定定理即可得出结论． 【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD为平行四边形， A、∠AOB＝60°不能得出四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意； B、∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意； D、AB＝DC，不能得出四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】此题主要考查了菱形的判定、矩形的判定；关键是掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 5．（3分）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（　　） A．27° B．53° C．57° D．63° 【分析】根据题意可知AE∥BF，∠EAB＝∠ABF，∠ABF+27°＝90°，等量代换求出∠EAB，再根据平行线的性质求出∠AED． 【解答】解：如图， ∵AE∥BF， ∴∠EAB＝∠ABF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∠ABC＝90°， ∴∠ABF+27°＝90°， ∴∠ABF＝63°， ∴∠EAB＝63°， ∵AB∥CD， ∴∠AED＝∠EAB＝63°． 故选：D． 【点评】本题结合矩形考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质得出角的相等或互补关系是解题的关键． 6．（3分）下列说法正确的是（　　） A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【分析】根据特殊的平行四边形的性质即可求出答案． 【解答】解：（A）对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A错误． （B）对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故B错误． （C）对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故C错误． 故选：D． 【点评】本题考查平行四边形，解题的关键是正确理解特殊平行四边形的性质，本题属于基础题型． 7．（3分）如图，E是▱ABCD的边CD的中点，AD，BE的延长线相交于点F，若DF＝3，DE＝2，则▱ABCD的周长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．18 【分析】根据平行四边形的性质可知DC∥AB，然后根据E为CD的中点可证DE为△FAB的中位线，已知DF＝3，DE＝2，可求得AD，AB的长度，继而可求得ABCD的周长． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴DC∥AB，AD∥BC， ∵E为CD的中点， ∴DE为△FAB的中位线， ∴AD＝DF，DEAB， ∵DF＝3，DE＝2， ∴AD＝3，AB＝4， ∴四边形ABCD的周长为：2（AD+AB）＝14． 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，属于基础题，解答本题需要同学们熟练掌握平行四边形的基本性质． 8．（3分）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE．若AE＝4，BC＝5，则DE（　　） A．4 B．5 C． D． 【分析】由全等三角形的性质得DH＝AE＝4，AD＝BC＝5，根据勾股定理得则AH＝3，所以EH＝AE﹣AH＝1，再根据勾股定理即可得到答案． 【解答】解：∵Rt△DAH≌Rt△ABE≌Rt△BCF， ∴DH＝AE＝4，AD＝BC＝5， ∴AH3， ∴EH＝AE﹣AH＝4﹣3＝1， ∵四边形形EFGH是正方形， ∴∠DHE＝90°， ∴DE． 故选：D． 【点评】此题重点考查全等三角形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，求得DH＝4，EH＝1，并且证明∠DHE＝90°是解题的关键． 9．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF，AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC＝4，再由勾股定理可求AE的长、AB的长，然后由直角三角形斜边上的中线性质可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AC⊥BD，OA＝OC＝4， ∴∠AOB＝∠COD＝90°， ∴AE5， ∴BE＝AE＝5， ∴OB＝BE+OE＝5+3＝8， ∴AB4， ∴CD＝4， ∵点F为CD的中点，∠COD＝90°， ∴OFCD＝2， 故选：B． 【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．8 【分析】连接PD，ED，利用将军饮马模型确定出PB+PE的最小值为线段DE的长，再利用勾股定理求出即可． 【解答】解：连接PD，ED， ∵正方形对角线AC所在直线是正方形ABCD的一条对称轴， ∴PD＝PB， ∴PB+PE＝PD+PE≥DE， ∴PB+PE的最小值为DE的长， ∵BE＝2，AE＝3BE， ∴AE＝6，AD＝AB＝8， 在Rt△DEA中，DE10． 故选：C． 【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，能利用将军饮马模型用一条线段的长表示两线段和的最小值是解题的关键． 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）当x　≥﹣1　 时，二次根式有意义． 【分析】二次根式的被开方数大于或等于0，据此列出关于x的不等式，通过解不等式即可求x的取值范围． 【解答】解：当x+1≥0，即x≥﹣1时，二次根式有意义； 故答案为：≥﹣1． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件．解题时，需要掌握二次根式的基本性质：有意义，则a≥0； 12．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝6cm，∠ABC角平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DE＝　2　 cm． 【分析】利用平行四边形的性质得出AD∥BC，进而得出∠AEB＝∠CBF，再利用角平分线的性质得出∠ABF＝∠CBF，进而得出∠AEB＝∠ABF，即可得出AE的长，即可得出答案． 【解答】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBF， ∵∠ABC的角平分线交AD于点E， ∴∠ABF＝∠CBF， ∴∠AEB＝∠ABF， ∴AB＝AE， ∵AB＝4cm，AD＝6cm， ∴DE＝AD﹣AE＝6﹣4＝2cm． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及角平分线的性质，得出∠AEB＝∠ABF是解题关键． 13．（3分）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面5米的B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为12米，则这棵大树在折断前的高度为 　18　 米． 【分析】先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论． 【解答】解：如图所示： ∵△ABC是直角三角形，AB＝5m，AC＝12m， ∴BC12（m）， ∴大树的高度＝AB+BC＝5+13＝18（m）， 故答案为：18． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关运算． 14．（3分）如图，网格中每个小正方形边长均为1，以O点为圆心，OA为半径画弧，交网格线于点B，则BC的长是 　　 ． 【分析】，根据即可求解． 【解答】解：由题意得：， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理与网格问题．注意计算的准确性． 15．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在BC边上，将△DCE沿DE折叠，使点C恰好落在对角线BD上的点F处，则CE的长为 　3　 ． 【分析】根据折叠可以得到EC＝EF，DC＝DF，∠DFE＝∠DCB＝90°，由直角三角形的勾股定理可求出对角线BD的长，在Rt△BEF中，设未知数，建立方程求出CE即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC，∠DCB＝90°， ∵AB＝CD＝6，AD＝BC＝8， 在Rt△BCD中，BD10， 由于折叠∠DFE＝∠DCB＝90°，DF＝DC＝6，EF＝EC， ∴∠BFE＝180°﹣∠DFE＝90°，BF＝BD﹣DF＝4， 设EC＝x，则BE＝8﹣x， 在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE2＝EF2+BF2， ∴（8﹣x）2＝x2+42， 解得：x＝3，即：EC＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查矩形的性质、折叠的性质、直角三角形勾股定理等知识，通过折叠对称相等的边和角，将问题转化到另一个直角三角形中，再利用边角关系和勾股定理可将问题得以解决． 三、解答题：（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16．（12分）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）先化简二次根式，再计算加减即可； （2）利用二次根式的乘除运算法则计算即可； （3）利用二次根式的乘除运算法则展开，再计算加减即可； （4）利用完全平方公式计算即可． 【解答】解：（1）原式＝44 ； （2）原式 ＝6； （3）原式＝433+2 ＝633； （4）原式＝18﹣1212 ＝30﹣12． 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的性质、运算法则和完全平方公式． 17．（7分）图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【分析】在Rt△ABD中，由勾股定理求出BD，在△BCD中，通过计算，根据勾股定理逆定理判断即可． 【解答】解：在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45， 在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴∠BCD＝90°， ∴BC⊥CD． 故该车符合安全标准． 【点评】本题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理的应用是解决问题的关键． 18．（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE＝CF． 求证：四边形BEDF是平行四边形． 【分析】根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形式平行四边形，可得证明结论． 【解答】证明：如图，连接BD设对角线交于点O． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD． ∵AE＝CF，OA﹣AE＝OC﹣CF， ∴OE＝OF． ∴四边形BEDF是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形． 19．（8分）某初中数学小组欲测量吊车起重臂顶端与地面的距离，下面是他们设计的项目课题，请你根据下面的表格计算：吊车起重臂的顶端A到地面的距离AF． 项目名称 测量吊车起重臂顶端与地面的距离 对象简介 吊车作业时是通过液压杆CD的伸缩使起重臂AB绕点B转动的，从而使得起重臂完成升降作业（起重臂AB的长度也可以伸缩） 操作示意图 操作数据 起重臂AB＝10米，点B到地面的距离BE＝1.8米，钢丝绳所在直线AF垂直地面于点F，点B到AF的距离BG＝8米． 操作评价 … 【分析】在Rt△ABG中，根据勾股定理求出得到AG，于是得到结论． 【解答】解：在Rt△ABG中， 由勾股定理得AG6（米）， ∵FG＝BE＝1.8米， ∴AF＝AG+GF＝6+1.8＝7.8（米）， 答：点A到地面的距离AF的长为7.8米． 【点评】本题考查了勾股定理，正确地识别图形是解题的关键． 20．（8分）数学课上，邱老师在黑板上给出了如下等式． 第1个等式： ； 第2个等式： ；… 请你根据上述方法完成下列题目： （1）计算：　3　 ； （2）计算：　　 ； （3）计算：． 【分析】（1）分母有理化即可； （2）分母有理化即可； （3）利用（2）中的规律将原式变形为（12）×（），再进一步计算即可． 【解答】解：（1）原式3， 故答案为：3； （2）原式， 故答案为：； （3）原式＝（12）×（） ＝（）（1） ＝2025﹣1 ＝2024． 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化． 21．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AB＝15，BD＝18，求OE的长． 【分析】（1）由AB∥DC，得∠BAC＝∠DCA，而∠BAC＝∠DAC，所以∠DCA＝∠DAC，则CD＝AD，因为AB＝AD，所以AB＝CD，可根据“AAS”证明△AOB≌△COD，得OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形，即可证明四边形ABCD是菱形； （2）由菱形的性质及AB＝15，BD＝18，得AC⊥BD，OB＝OD＝9，则∠AOB＝90°，求得OC＝OA12，由CE⊥AB，交AB的延长线于点E，得∠AEC＝90°，则OE＝OAAC＝12． 【解答】（1）证明：∵AB∥DC， ∴∠BAC＝∠DCA， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴CD＝AD， ∵AB＝AD， ∴AB＝CD， 在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（AAS）， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． （2）解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝15，BD＝18， ∴AC⊥BD，OB＝ODBD＝9， ∴∠AOB＝90°， ∴OC＝OA12， ∴AC＝2OA＝24， ∵CE⊥AB，交AB的延长线于点E， ∴∠AEC＝90°， ∴OEAC＝12， ∴OE的长为12． 【点评】此题重点考查平行线的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，推导出AB＝CD，进而证明△AOB≌△COD是解题的关键． 22．（10分）在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD，垂足为E，且AE平分∠BAO． （1）求∠AOB的度数； （2）若AB＝2cm，求矩形ABCD的面积． 【分析】（1）根据矩形的性质和已知条件可得：AO＝BO，进而可证明△AOB是等边三角形，由等边三角形的性质即可求出∠AOB的度数； （2）由（1）中的条件和AB的长可求出BC的长，进而可求出矩形ABCD的面积． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝BOBD， ∴AB＝AO， 又∵AE⊥BD，且AE平分∠BAO， ∴AO＝AB， ∴AB＝BO＝AO， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°； （2）∵△AOB是等边三角形， ∴∠BAO＝60°， ∴∠ACB＝30°， ∴ABAC， ∴AC＝2AB＝4cm，BC＝2 ∴矩形ABCD的面积＝2×24cm2． 【点评】本题考查了矩形的性质以及等边三角形的判定和等边三角形的性质，掌握各种图形的判定和性质是解题的关键． 23．（12分）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，如图①，四边形ABCD中对角线AC⊥BD于点O．所以四边形ABCD是垂美四边形． （1）在图①中，我们发现垂美四边形ABCD的两组对边满足：AB2+CD2＝AD2+BC2，请你证明这个结论； （2）如图②，请你用（1）中的结论解决下面问题：分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG．若AC＝4，AB＝5，求GE的长． 【分析】（1）利用勾股定理即可得证； （2）连接BE，CG，设CE分别交AB，BG于点M，N，先证出△ABG≌△AEC，根据全等三角形的性质可得∠ABG＝∠AEC，从而可得CE⊥BG，再证出四边形BEGC是垂美四边形，利用（1）的结论求解即可得． 【解答】（1）证明：在Rt△AOB中，AB2＝OA2+OB2， 在Rt△COD中，CD2＝OC2+OD2， 在Rt△AOD中，AD2＝OA2+OD2， 在Rt△BOC中，BC2＝OB2+OC2， 则AB2+CD2＝AD2+BC2． （2）解：如图，连接BE，CG，设CE分别交AB，BG于点M，N， ∵在Rt△ACB中，直角边AC＝4，斜边AB＝5， ∴BC2＝AB2﹣AC2＝9， ∵四边形ACFG和四边形ABDE都是正方形， ∴AB＝AE，AG＝AC，CG2＝2AC2＝32，BE2＝2AB2＝50，∠BAE＝∠CAG＝90°， ∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，即∠BAG＝∠EAC， 在△ABG和△AEC中， ， ∴△ABG≌△AEC（SAS）， ∴∠ABG＝∠AEC， ∴∠BNE＝180°﹣∠ABG﹣∠BMN＝180°﹣∠AEC﹣∠AME＝∠BAE＝90°， ∴CE⊥BG， ∴四边形BEGC是垂美四边形， ∴GE2+BC2＝CG2+BE2，即GE2+9＝32+50， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以GE的长为． 【点评】本题考查了勾股定理、正方形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$