广东省东莞市虎门成才实验学校2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷

2024-2025学年广东省东莞市虎门成才实验学校八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列式子为最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列各组线段中，可以构成直角三角形的是（　　） A．1，5，6 B．2，3，4 C．5，12，13 D．1，，3 4．（3分）木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量两组对边是否相等 B．测量一组邻边是否相等 C．测量对角线是否相等 D．测量对角线是否互相垂直 5．（3分）如果，那么x的取值范围是（　　） A．x＜3 B．x≤3 C．x＞3 D．x≥3 6．（3分）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）．当∠BCD＝52°时，则∠BAC的度数为（　　） A．26° B．27° C．28° D．29° 7．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，BC＝7，则DE的长（　　） A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.5 8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交于BC上一点E，若AB＝3，AE＝2，则DE的长为（　　） A． B． C．5 D．6 9．（3分）如图，圆柱的高12厘米，底面周长10厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面B点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（　　） A． B．12.4cm C．13cm D．10cm 10．（3分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．现已知△ABC的三边长分别为，则△ABC面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）化简的结果是 　 　 ． 12．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A＝2∠B，则∠D＝　 　 ． 13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝5，BE＝2，则平行四边形ABCD的周长是　 　 ． 14．（3分）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮部分忽略不计）为 　 　 m． 15．（3分）如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为　 　 ．（提示：根据轴对称的性质） 三．解答题一（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 16．（6分）计算： （1）； （2）． 17．（6分）已知，，求下列代数式的值． （1）a2+b2+2ab； （2）a2﹣b2． 18．（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1． （1）分别求出线段AB、AC、BC的长． （2）判断△ABC的形状，并说明你的理由． 19．（6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F在BD上，AE∥CF，且AE＝CF． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 四、解答题二（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 20．（9分）由四条线段AB、BC、CD、DA所构成的图形，是某公园的一块空地，经测量∠ADC＝90°，CD＝3m、AD＝4m、BC＝12m、AB＝13m． （1）求这块四边形空地的面积； （2）现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少元？ 21．（9分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE∥BD，BE∥AC，OE＝AB． （1）求证：四边形ABCD是菱形． （2）若∠ADC＝60°，BE＝2，求BD的长． 22．（9分）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且∠ACB＝90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间 五、解答题三（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 23．（12分）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： （）（）＝1 （）（）＝1 （）（）＝1 （）（）＝1 （1）观察以上规律，请写出第5个等式：　 　 ． （2）观察以上规律，请写出第n个等式：　 　 （n为正整数）． （3）利用上面的规律，计算⋯． 24．（12分）综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形． （1）操作发现： 如图1，将△ABC纸片按所示折叠成完美长方形EFGH，若△ABC的面积为18，BC＝6，则此完美长方形的边长FG＝　 　 ，面积为　 　 ． （2）类比探究： 如图2，将▱ABCD纸片按所示折叠成完美长方形AEFG，若▱ABCD的面积为40，BC＝8，求完美长方形AEFG的周长． （3）拓展延伸： 如图3，将▱ABCD纸片按所示折叠成完美长方形EFGH，若EF：EH＝3：4，AD＝25，求此完美长方形EFGH的周长与面积． 2024-2025学年广东省东莞市虎门成才实验学校八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C C B A B B C B 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列式子为最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义即二次根式化简后，被开方数不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数小于2，判断即可． 【解答】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、2，不是最简二次根式，不符合题意； C、2，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 2．（3分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的运算法则和分母有理化作答即可． 【解答】解：A、原式，计算错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，计算错误，不符合题意； C、原式，计算错误，不符合题意； D、原式＝22×（2）＝12，计算正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算和分母有理化，解题的关键是准确计算． 3．（3分）下列各组线段中，可以构成直角三角形的是（　　） A．1，5，6 B．2，3，4 C．5，12，13 D．1，，3 【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【解答】解：A、1+5＝6，不能构成三角形，不是直角三角形，不符合题意； B、22+32≠42，不是直角三角形，不符合题意； C、52+122＝132，是直角三角形，符合题意； D、，不是直角三角形，不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 4．（3分）木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量两组对边是否相等 B．测量一组邻边是否相等 C．测量对角线是否相等 D．测量对角线是否互相垂直 【分析】根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【解答】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴要判断这块木板是否是矩形，可以测量对角线是否相等； 故选：C． 【点评】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解答本题的关键． 5．（3分）如果，那么x的取值范围是（　　） A．x＜3 B．x≤3 C．x＞3 D．x≥3 【分析】根据二次根式的性质，可得答案． 【解答】解：∵， ∴3﹣x≥0， 解得x≤3， 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 6．（3分）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）．当∠BCD＝52°时，则∠BAC的度数为（　　） A．26° B．27° C．28° D．29° 【分析】先根据菱形的对角相等得∠BCD＝∠BAD＝52°，再根据菱形的对角线平分对角即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线， ∴∠BCD＝∠BAD＝52°，AC平分∠BAD， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线平分对角的性质是解题的关键． 7．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，BC＝7，则DE的长（　　） A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.5 【分析】根据三角形的中位线定理进行求解即可． 【解答】解：∵D、E分别是边AB、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE， 故选：B． 【点评】本题考查三角形的中位线定理，掌握“三角形的中位线等于第三边的一半”是解题的关键． 8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交于BC上一点E，若AB＝3，AE＝2，则DE的长为（　　） A． B． C．5 D．6 【分析】根据角平分线可知，∠BAE＝∠DAE，∠CDE＝∠ADE，结合四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC，∠BAD+∠CDA＝180°，从而得到∠BAE＝∠BEA，∠DEC＝∠CDE，∠EAD+∠EDA＝90°，最后在Rt△AED中利用勾股定理即可求解． 【解答】解：平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交于BC上一点E，AB＝3， ∴AB∥CD，AB＝CD＝3，AD＝BC，AD∥BC， ∴∠BAD+∠CDA＝180°，∠DAE＝∠AEB，∠ADE＝∠CED， ∴，， ∴，∠BAE＝∠AEB，∠DEC＝∠CDE， ∴AB＝BE＝3，CD＝EC＝3， ∴BC＝BE+CE＝3+3＝6＝AD， ∵AE＝2， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 9．（3分）如图，圆柱的高12厘米，底面周长10厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面B点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（　　） A． B．12.4cm C．13cm D．10cm 【分析】根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段AB的长，求出AC，BC，根据勾股定理求出AB即可． 【解答】解：根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段AB的长， 由题意得：AC10厘米＝5厘米，BC＝12厘米， 由勾股定理得：AB13（厘米）， 故选：C． 【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 10．（3分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．现已知△ABC的三边长分别为，则△ABC面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】把代入计算即可． 【解答】解：由条件可知a2＝3，b2＝4，c2＝5， ∴ ， 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）化简的结果是 　9　 ． 【分析】根据二次根式的性质和乘方的意义进行计算即可． 【解答】解：原式＝（﹣3）2 ＝9， 故答案为：9． 【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握二次根式的性质和乘方的意义． 12．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A＝2∠B，则∠D＝　60°　 ． 【分析】由平行四边形的性质得出∠A+∠B＝180°，再由已知条件∠A＝2∠B，即可得出∠B的度数，进而可求出∠D的度数． 【解答】解：如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠B＝∠D， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝2∠B， ∴2∠B+∠B＝180°， 解得：∠B＝60°， ∴∠D＝60°， 故答案为60°． 【点评】本题考查了平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝5，BE＝2，则平行四边形ABCD的周长是　16　 ． 【分析】根据平行四边形的性质和DE平分∠ADC可得三角形CDE是等腰三角形，进而可得平行四边形ABCD的周长． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DEC， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠DEC＝∠CDE， ∴CD＝CE＝BC﹣BE＝AD﹣BE＝5﹣2＝3， ∴平行四边形ABCD的周长是2AD+2DC＝10+6＝16． 故答案为：16． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质． 14．（3分）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮部分忽略不计）为 　17　 m． 【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x m，可得AC＝AD＝x m，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x． 【解答】解：设旗杆高度为x m，则AC＝AD＝x m，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m， 在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2， 即（x﹣2）2+82＝x2， 解得：x＝17， 即旗杆的高度为17米． 故答案为：17． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线． 15．（3分）如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为　　 ．（提示：根据轴对称的性质） 【分析】首先连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF．证明只有点F运动到点M时，EF+BF取最小值，再根据菱形的性质、勾股定理求得最小值． 【解答】解：连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC，BD互相垂直平分， ∴点B关于AC的对称点为D， ∴FD＝FB， ∴FE+FB＝FE+FD≥DE． 只有当点F运动到点M时，取等号（两点之间线段最短）， △ABD中，AD＝AB，∠DAB＝60°， ∴△ABD是等边三角形． ∵E为AB的中点， ∴DE⊥AB， ∴AEAD＝1，DE， ∴EF+BF的最小值为． 【点评】此题主要考查菱形是轴对称图形的性质，容易出现错误的地方是对点F的运动状态不清楚，无法判断什么时候会使EF+BF成为最小值． 三．解答题一（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 16．（6分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）从左到右依次计算即可； （2）先根据零指数幂，绝对值的性质及数的开方法则分别计算出各数，再算加减即可． 【解答】解：（1） ＝8 ＝24 ＝24； （2） ＝1﹣（2）﹣2 ＝1﹣22 ＝﹣1． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 17．（6分）已知，，求下列代数式的值． （1）a2+b2+2ab； （2）a2﹣b2． 【分析】（1）利用完全平方公式，把所求代数式进行分解因式，然后把a，b的值代入进行计算即可； （2）利用平方差公式，把所求代数式分解因式，然后把a，b的值代入进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝（a+b）2 ＝20； （2）原式＝（a+b）（a﹣b） ． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式． 18．（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1． （1）分别求出线段AB、AC、BC的长． （2）判断△ABC的形状，并说明你的理由． 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）根据等腰三角形的判定定理求解即可． 【解答】解：（1）AB2，AC2，BC2； （2）△ABC是等腰三角形，理由如下： ∵AB＝2，BC＝2； ∴AB＝BC， ∴△ABC是等腰三角形． 【点评】此题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键． 19．（6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F在BD上，AE∥CF，且AE＝CF． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 【分析】由AE∥CF可得∠AED＝∠CFB，由AD∥BC可得∠ADE＝∠CBF，根据AAS可证明△AED≌△CFB，得到AD＝BC，根据平行四边形的判定判断即可． 【解答】证明：∵AE∥CF， ∴∠AED＝∠CFB， ∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠CBF， ∴， ∴△AED≌△CFB（AAS）， ∴AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，平行线的判定与性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出AD＝BC，主要考查学生运用性质进行推理的能力． 四、解答题二（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 20．（9分）由四条线段AB、BC、CD、DA所构成的图形，是某公园的一块空地，经测量∠ADC＝90°，CD＝3m、AD＝4m、BC＝12m、AB＝13m． （1）求这块四边形空地的面积； （2）现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少元？ 【分析】（1）连接AC，根据勾股定理求出AC，再利用勾股定理逆定理证得△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，进而利用S△ABC﹣S△ACD求出四边形ABCD的面积； （2）根据面积乘以单价即可得到答案． 【解答】解：（1）连接AC， ∵∠ADC＝90°，CD＝3m、AD＝4m， ∴， ∵BC＝12m，AB＝13m， ∴AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°， ∴四边形ABCD的面积＝S△ABC﹣S△ACD ＝24（m2）； （2）在该空地上种植草皮共需200×24＝4800（元）． 【点评】此题考查了勾股定理的应用，关键是勾股定理的熟练掌握． 21．（9分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE∥BD，BE∥AC，OE＝AB． （1）求证：四边形ABCD是菱形． （2）若∠ADC＝60°，BE＝2，求BD的长． 【分析】（1）根据平行四边形的性质和菱形的判定证明即可； （2）由菱形的性质可得AC⊥BD，BO＝DO，∠ADO＝30°，可求AO＝2，，即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵AE∥BD，BE∥AC， ∴四边形AEBO是平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC＝AB． ∵OE＝AB， ∴平行四边形AEBO是矩形， ∴∠BOA＝90°． ∴AC⊥BD． ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：由（1）得：四边形AEBO是矩形，四边形ABCD是菱形， ∴OA＝BE＝2，AC⊥BD，BO＝DO，∠ADO＝30°， ∴， ∴． 【点评】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质等知识；灵活运用有关性质是解题的关键． 22．（9分）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且∠ACB＝90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间 【分析】（1）利用勾股定理求出AB即可； （2）利用三角形面积得出CE的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出CD以及CF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝300km，BC＝400km， ∴AB500（km）， 答：监测点A与监测点B之间的距离为500km； （2）海港C受台风影响， 理由：∵∠ACB＝90°，CE⊥AB， ∴S△ABCAC•BCCE•AB， ∴300×400＝500CE， ∴CE＝240（km）， ∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域， ∴海港C会受到此次台风的影响； （3）以C为圆心，260km长为半径画弧，交AB于D，F， 则CD＝CF＝260km时，正好影响C港口， 在Rt△CDE中， ∵ED100（km）， ∴DF＝200km， ∵台风的速度为25千米/小时， ∴200÷25＝8（小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 五、解答题三（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 23．（12分）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： （）（）＝1 （）（）＝1 （）（）＝1 （）（）＝1 （1）观察以上规律，请写出第5个等式：　（）（）＝1　 ． （2）观察以上规律，请写出第n个等式：　（）（）＝1　 （n为正整数）． （3）利用上面的规律，计算⋯． 【分析】（1）利用前面4个等式中各数据与序号数的关系写出第5个等式； （2）根据第n个等式中各数据与序号数的关系求出第n个等式； （3）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1）第5个等式为（）（）＝1； 故答案为：（）（）＝1； （2）第n个等式为（）（）＝1； 故答案为：（）（）＝1； （3）原式1 1 ＝10﹣1 ＝9． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．也考查了分母有理化． 24．（12分）综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形． （1）操作发现： 如图1，将△ABC纸片按所示折叠成完美长方形EFGH，若△ABC的面积为18，BC＝6，则此完美长方形的边长FG＝　3　 ，面积为　9　 ． （2）类比探究： 如图2，将▱ABCD纸片按所示折叠成完美长方形AEFG，若▱ABCD的面积为40，BC＝8，求完美长方形AEFG的周长． （3）拓展延伸： 如图3，将▱ABCD纸片按所示折叠成完美长方形EFGH，若EF：EH＝3：4，AD＝25，求此完美长方形EFGH的周长与面积． 【分析】（1）根据折叠得到H是AC中点，过点A作AM⊥BC于M，根据△ABC的面积求出AM的长，推出GH是△ACM的中位线，得到，即可求出完美长方形的面积； （2）根据折叠可知EH＝BE，CF＝HF，从而求出EF的长，根据平行四边形的面积求出AE的长，即可求出周长； （3）根据折叠可证点E、G分别是AB、CD的中点，判定四边形ADGE是平行四边形，推出EG＝AD，推出矩形EFGH的对角线长后根据EF、EH之间的数量关系，利用勾股定理求出EF、FG的长后即可求出此完美矩形的周长． 【解答】解：（1）∵将△ABC纸片按所示折叠成完美长方形EFGH， ∴BF＝DF，CG＝DG，AH＝DH＝CH， ∴DF+DG＝BF+CG，点H是AC中点， ∴， 如图1，过点A作AM⊥BC于M，AM交EH于点N， ∵， ∴AM＝6， 由折叠可知：MN＝AN＝3， ∴EF＝HG＝MN＝3， ∴完美矩形的面积为：3×3＝9． 故答案为：3；9； （2）∵将▱ABCD纸片按所示折叠成完美长方形AEFG， ∴BE＝HE，CF＝HF， ∴， 同理可知：S△ABE＝S△AHE，S四边形AHFG＝S四边形DCFG， ∴矩形AEFG的面积为：40÷2＝20， ∴AE＝20÷4＝5， ∴矩形AEFG的周长＝2×（4+5）＝18； （3）∵将▱ABCD纸片按所示折叠成完美长方形EFGH， ∴点E、G分别是AB、CD的中点， ∴，， 由题意可知：AB＝CD，AB∥CD， ∴AE＝DG，AE∥DG， ∴四边形AEGD是平行四边形， ∴AD＝EG＝HF， 在Rt△HEF中，设EF＝3x，则EH＝4x， 根据勾股定理得：EF2+EH2＝FH2， ∴（3x）2+（4x）2＝252， 解得：x＝5， ∴EF＝15，EH＝20， ∴此完美矩形的周长为2×（15+20）＝70．面积是15×20＝300． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查新定义问题，平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识点，深入理解题意是解决问题的关键． 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