广东省惠州市光正实验学校2024-2025学年高一下学期期末考试数学模拟试题二

惠州光正实验学校2024-2025学年高一下数学 期末模拟试题二 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为400，则中卷录取人数为（   ） A．40 B．70 C．110 D．150 3．已知向量，，若，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，对于下列四个命题：①，；②若，为异面直线，，，，；③，，；④，.其中正确命题的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．下列说法正确的是（   ） A．数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5 B．若一组样本数据4，6，7，8，9，的平均数为7，则 C．用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大 D．若的标准差为4，则的标准差是8 6．如图，在中，，为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．在中，点，在边上，为边上中线，为平分线，若，，的面积等于，则（） A． B． C． D． 8．如图所示，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，是棱上的动点，为棱的中点，则下列结论错误的是（   ） A．当为中点时，四点共面 B．当为中点时，直线与所成角为 C．三棱锥的体积为定值1 D．的最小值为 二、多选题 9．已知的内角的对边分别为，且，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．若，则的面积为 D．边上中线的最大值为4 10．有6个相同的球，分别编号1，2，3，4，5，6，从中先不放回的随机取两次，再将球全部放回随机取一次，记事件甲：第一次取球编号数字小于3；乙：第二次取球编号数字为偶数；丙：第三次取球编号为6；丁：前两次取球编号数字和为7；戊：第一、三次取球编号数字至少有一个1．则下列事件与甲事件独立的是：（    ）． A．乙 B．丙 C．丁 D．戊 11．已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B．的最大值为 C．的范围是 D．的范围是 三、填空题 12．设为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，其中是实数，则 . 13．已知正四棱台中，侧棱与底面所成的角为，，则该四棱台的体积为 ． 14．如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：就是一条移动路线.从1移动到数字n（）的不同路线条数记为，从1移动到11的事件中，跳过数字n（）的概率记为，则的值为 . 四、解答题 15．今年是国家安全法颁布十周年，4月15日迎来了第十个全民国家安全教育日．某大学团委组织开展了2025年全民国家安全教育知识竞答活动，旨在践行总体国家安全观，增强全民国家安全意识和素养．该活动共有200名学生参加，现将所有答案卷面成绩统计分成五段，分别为，并作出如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中x的值； (2)根据频率分布直方图，求这200名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； (3)已知学生成绩落在的平均数是77，方差是5；落在的平均数是84，方差是5．求这两组数据的总方差． 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差． 16． 已知向量满足 (1) 若且，求的坐标; (2)求 (3)若向量与向量的夹角为锐角，求实数m的范围. 17．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，， ． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 18．在中，角所对的边分别为，已知，的平分线与边交于点. (1)用，表示； (2)求的取值范围； (3)若的面积为2，求的最小值. 19．如图所示，正四棱锥中，为侧棱上的点，且． (1)记平面平面，证明：； (2)求点到平面的距离； (3)点为侧棱上一点，猜想：当为何值时，有平面，并证明你的猜想． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 惠州光正实验学校2024-2025学年高一下数学 期末模拟试题二答案解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C B D D D B BC ABC 题号 11 答案 ACD 1．C【详解】由复数，可得， 可得，其在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限.故选：C. 2．A【详解】依题意，中卷录取的比率为：，故会试录取人数为400时，中卷录取人数为.故选：A. 3．C【详解】由题设，则，即， 所以向量在上的投影向量为.故选：C 4．B【详解】对于①，，或，故①错误； 对于②，因为，，记，，则，因为，所以，假设不相交，则，则，这与，为异面直线，故相交， 又，，所以，故②正确；对于③，，，或异面，故③错误； 对于④，，或异面，故④错误.所以正确命题的个数有1个.故选：B. 5．D【详解】对于A，因为5个数据从小到大排列为1，3，5，6，8，且，所以第60百分位数是，则A错误.对于B，一组样本数据4，6，7，8，9，的平均数为7，可知，解得，B错误.对于C，因为在分层抽样中，每一层的抽样比是相同的，都等于总的抽样比，所以C错误.对于D，因为的标准差为4，所以它的方差为16，而的方差为，所以它的标准差是8，故D正确.故选：D. 6．D【详解】由，可得， 所以.由可得. 因为为CD上一点，所以设，则 .因为， 所以，解得，所以，所以 (当且仅当，即时等号成立).所以的最小值是.故选：D 7．D【详解】为边上的中线，， 即，即， 即，. 因为，， ，，为平分线，，故， 又，所以， 即，解得， 故选：D 8．B【详解】对于A，因为为中点，为棱的中点，所以， 因为，‖，所以，‖， 所以四边形为平行四边形，所以‖， 因为‖，所以‖，所以四点共面，所以A正确； 对于B，由选项A可知当为中点时，‖，所以为直线与所成角， 在中，，所以，所以，所以直线与所成角不为，所以B错误， 对于C，因为‖，平面，平面，所以‖平面， 所以，所以C正确，对于D，因为为等边三角形，是上的动点，所以当为中点时，取得最小值，因为等边的边长为2，所以边上的中线为，所以的最小值为，所以D正确.故选：B 9．BC 【详解】对于A：由和正弦定理，可得 移项得，即 因，则，代入上式，得， 因，则，故 又因，则得，故A错误； 对于B：由正弦定理，，即的外接圆半径为故B正确； 对于C：由余弦定理得，， 因为，所以，， 又因为，则， 可知的面积为，故C正确； 对于D：由余弦定理和基本不等式，可得，当且仅当时取等， 因为边上的中线，则有， 两边取平方，可得， 则，当且仅当时的最大值为 ，故D错误． 故选：BC. 10．ABC 【详解】根据题意，，，， ，， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误.故选：ABC. 11．ACD 【详解】已知，，，， 所以，，， ，，，所以A正确. ， 则 ， 由同角三角函数关系和余弦二倍角公式得，仅当时，，即，所以B错误. ， 因为，所以，所以的范围是，所以C正确. 当时，点与点之间没有关联，则两点都在单位圆上运动， 如图所示，当点与点重合时，最小时为0， 当都与单位圆相切时，最大， 此时可知,所以， 同理可得，，此时，所以D正确.故选：ACD. 12．【详解】设，∵复数的实部与虚部相等， ∴，又，则，.故答案为： 13．/【详解】由条件可知，上下底面对角线长为2和4，因为侧棱与底面所成角为， 所以高为，则四棱台的体积.故答案为： 14．【详解】由题意可知， 则，， 作树状图，如图， 分别计算1→5的路线共有5条，5→11的路线共有13条， 所以过数字5的路线共有条，则，故答案为： 15．(1)0.015(2)76.25，75(3)17 【详解】（1）根据频率分布直方图，有，   解得；（2）学生成绩落在的频率为， 学生成绩落在的频率为， 学生成绩落在的频率为， 学生成绩落在的频率为， 学生成绩落在的频率为，           由， 可得中位数为， 学生成绩的平均数为； （3）这两组数据的平均数为，     这两组数据的总方差为 ． 16．(1)或.(2)(3) 【详解】（1）因为解得：, 因为，设，因为 所以，解得：， 所以或. （2）, 所以. （3），， 因为向量与向量的夹角为锐角， 所以，解得：. 故实数m的范围为：. 17【详解】 （1）取的中点，连接. 因为为等边三角形，是的中点，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面. 所以，又，所以平面. （2）连接，由（2）知平面，所以为直线与平面的所成角. 在等边三角形中，，所以. 因为平面中，平面， 所以，根据勾股定理得. 所以. 所以直线与平面所成角的余弦值为. 18．(1)(2)(3) 【详解】（1）因为平分， 所以存在实数，满足， 因为，，三点共线，所以，则， 所以. （2）设，则. 由（1）可得，即， 又，故. 因为，所以，， 故的取值范围是. （3）由题意得，所以. 由余弦定理得. 令，则，， 所以，其中， 则，得， 所以，即的最小值为. 19【详解】（1）在正四棱锥中，，平面，平面， 则平面，而平面，平面平面， 所以. （2）由题意可知点到平面的距离即为点到平面的距离， 因为四棱锥是正四棱锥，所以在底面的射影为正方形的中心， 即的中点，由题意可得，所以， 又， 设点到平面的距离为，由，所以， 所以，所以点到平面的距离为； （3）在侧棱上存在一点，使平面，满足. 理由如下：连接交于，连接，则是的中点， 取中点，又，则， 过作的平行线交于，连接，在中，有， 由平面，平面，得平面，而，则， 又，平面，平面，则平面， 又，平面，因此平面平面， 又平面，得平面，所以存在，且. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$