2025年四川省达州市中考数学模拟练习4

2025年四川省达州市中考数学模拟练习4 一、单项选择题（每小题4分，共40分）（本大题共10小题） 1．若收入2元记为，则支出3元记为（   ） A． B． C． D． 2．如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体，若去掉1号小正方体，则下列说法正确的是（　　） A．左视图和俯视图不变 B．主视图和左视图不变 C．主视图和俯视图不变 D．都不变 3．新华社北京5月5日电，记者从国家邮政局获悉，“五一”假期全国邮政快递业揽收快递包裹13.4亿件，同比增长2.3%，其中“13.4亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．一杆古秤在称物时的状态如图2-3-16所示，已知 ，则 的度数为( ) A． B． C． D． 5．下列式子运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．某校男子足球队的年龄分布情况如下表： 年龄（岁） 13 14 15 16 17 18 人数 2 6 8 3 2 1 则这些队员年龄的众数和中位数分别是（　　） A．15，15 B．15，14 C．16，15 D．14，15 7．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕的质量共一斤；雀重燕轻，互换其中一只，恰好质量相等．问：每只雀、燕的质量各为多少？设一只雀的质量为x斤，一只燕的质量为y斤（注：1斤＝500克），则根据题意列方程组为（    ） A． B． C． D． 8．如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为 A．1 B． C． D． 9．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点D，E，的垂直平分线分别交，于点F，G，且的周长是20，则线段的长为（    ） A．40 B．20 C．15 D．10 10．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若t为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，则，其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 二、填空题（每小题4分，共20分）（本大题共5小题） 11．分解因式：mn+4n＝ ． 12．若是关于的方程的解，则的值为 ． 13．若扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为 ． 14．计算的结果是______． 15．在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移a个单位长度，再向下平移b个单位长度，平移后对应的点为A′，且点A和A′关于原点对称，则a+b= ． 三、解答题;:解答时应写出必要的文字说明（本大题共10小题） 16．（1）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． （2）化简：． 17．某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：A．机器人，．围棋，．羽毛球，．电影配音．每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图中所占扇形的圆心角为． 根据以上信息，解答下列问题： 这次被调查的学生共有　 　人； 请你将条形统计图补充完整； 若该校共有学生加入了社团，请你估计这名学生中有多少人参加了羽毛球社团； 在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加机器人大赛．用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 18．在平面内，对于一个等腰三角形，若存在一个点到一条腰两端点的距离相等，且到三角形第三个顶点的距离等于腰长，则我们称这个点为等腰三角形的“双合点”．如图1，在等腰中，，且，，则点为等腰的“双合点”． (1)如图2，在等腰中，，请用无刻度的直尺和圆规作出该等腰三角形的一个“双合点”;（保留作图痕迹） (2)等腰中，，当“双合点”恰好在射线上时，且满足，求度数. 19．如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于两点，为常数． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式 的解集为 ； (3)点为轴上一点，若的面积为1，请直接写出点的坐标． 20．几位同学在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 篮球架的结构 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 篮球架（如实物图所示）的结构示意图如下：立柱垂直地面，横梁平行地面，篮筐与横梁在同一直线上，点、、在同一条垂直于地面的直线上． 测绘过程与数据信息 ①用测角仪在处测得后拉杆与水平面的夹角，在处测得伸臂与水平面的夹角； ②用皮尺测得后拉杆的长为，伸臂的长为，箱体的高度为； ③用计算器计算得到：，，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到） (1)求立柱的高度； (2)已知墩墩站立时手臂举至最高处，手掌距地面最大高度为，若墩墩站在地面上想摸到篮筐，则墩墩至少跳多高才能摸到篮筐？ 21．在中，，点为平面内一点，连接、，点为中点，连接． （1）如图1，点在边上，若，求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图2，点在内，连接，若，求证：； （3）如图3，，点在内且，当取最小值时，把沿着翻折到的同一平面得到，请直接写出四边形的面积． 22．一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出10顶．已知头盔的进价为每顶50元． 设每顶头盔售价x元，每月的销售量为y顶，每月获利w元． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)求w与x之间的函数表达式，并求出每顶头盔售价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？ 23．如图1，⊙O的半径为r（），若点在射线OP上，满足，则称点是点P关于⊙O的“反演点”． (1)若点A关于⊙O的“反演点”是本身，那么点A与⊙O的位置关系为（    ） A．点A在⊙O内      B．点A在⊙O上      C．点A在⊙O外 (2)如图1，若⊙O的半径为4，点是点关于⊙O的“反演点”，且，过点P的直线与⊙O相切于点Q，求PQ长． (3)如图2，若⊙O的半径为4，点Q在⊙O上，点A在⊙O内，且，点、分别是点Q、A关于⊙O的“反演点”，过点作且，连接，，求的最小值． 24．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于，， 交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2， 连接，点P是直线上方抛物线上的一动点， 过点 P作轴交于点E，过点P作 交x轴于点 F， 求 的最大值及此时点P坐标； (3)将抛物线沿y轴方向向下平移，平移后所得新抛物线与y轴交于点 D，过点D作轴交新抛物线于点M，射线交新抛物线于点 N，如果请写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 25．在等腰直角中，点，点分别为线段，上的动点，连接． (1)如图1，当点为中点时，若，，求的长； (2)如图2，将绕着点逆时针旋转得到．分别连接，．延长至点，交于点．若，时，求证； (3)如图3，，，点为线段上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．当的值最小时，请直接写出的面积． 参考答案 1．【答案】C 【分析】根据题意，收入记为+，则支出记为． 【详解】解：收入2元记为 支出3元记为． 故此题答案为C． 2．【答案】A 【分析】 根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，再从看到的小正方形的个数与排列方式两个方面逐一分析可得答案． 【详解】 解：若去掉1号小正方体， 主视图一定变化，主视图中最右边的一列由两个小正方形变为一个， 从上面看过去，看到的小正方形的个数与排列方式不变，所以俯视图不变， 从左边看过去，看到的小正方形的个数与排列方式不变； 所以左视图不变， 所以A符合题意，B，C，D不符合题意； 故选：A． 【点睛】 本题考查的是由小正方体堆砌而成的图形的三视图，掌握“三视图的含义”是解本题的关键. 3．【答案】D 【分析】根据科学记数法的定义计算求值即可； 【详解】解：13.4亿=1340000000=1.34×109， 故此题答案为 D． 4．【答案】C 5．【答案】B 【详解】解：A、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意, 故此题答案为B． 6．【答案】A 【详解】 试题解析：根据图表数据，同一年龄人数最多的是15岁，共8人，所以众数是15； 22名队员中，按照年龄从小到大排列，第11名队员与第12名队员的年龄都是15岁，所以，中位数是（15+15）÷2=15． 故选A． 考点：1.众数；2.中位数． 7．【答案】A 【分析】根据五只雀、六只燕的质量共一斤；雀重燕轻，互换其中一只，恰好质量相等．列出方程组即可． 【详解】解：由题意，可列方程组为：； 故选A． 8．【答案】C 【详解】作点A关于MN的对称点A′,连接A′B，交MN于点P，则PA+PB最小， 连接OA′,AA′. ∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴∠A′ON=∠AON=60°,PA=PA′， ∵点B是弧AN∧的中点， ∴∠BON=30 °， ∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°， 又∵OA=OA′=1， ∴A′B= ∴PA+PB=PA′+PB=A′B= 故选：C. 9．【答案】B 【分析】由线段的垂直平分线的性质得到，，结合三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∵的周长是20 ∴ ∴， ∴， 故此题答案为B． 10．【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向，与轴的交点位置分别得到，，再利用对称轴得到，即可判断①；根据抛物线与轴有两个交点，即可判断②；当时，，得到，再结合和，即可判断③；当时，有最小值即可判断④；当图象经过点时，利用二次函数的对称性可得图象也经过点，进而得到，，即可判断⑤． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ，， 抛物线对称轴为直线， ，即， ，故①错误； 由图象可知，抛物线与轴有两个交点， ，故②正确； 由图象可知，当时，， ， 又， ， ， ，故③正确； 由图象可知，当时，有最小值， （t为任意实数）， ，故④正确； 抛物线对称轴为直线，当图象经过点时， 由二次函数对称性得图象也经过点， 的图象与直线的交点为和， 即方程的两根为和， 又方程的两根为， ，， ，故⑤错误； 综上所述，正确的结论②③④． 故此题答案为C． 【知识归纳】一元二次方程都可化为，它的解是 ，根与系数的关系为，.一元二次方程的根与判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 二次函数：b，c是常数且，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小．当a>0时，二次函数图象向上开口；当a<0时，抛物线向下开口．|a|越大，则二次函数图像的开口越小． 二次函数图像是轴对称图形，对称轴为直线. 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a>0，与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0，所以 b/2a要大于0，所以a，b要同号．当a>0，与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右．因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0， 所以b/2a要小于0，所以a，b要异号．可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0 ），对称轴在y轴右． 11．【答案】n（m+4） 【分析】 根据题意直接提取公因式n分解因式即可求解． 【详解】 解：mn+4n＝n（m+4）． 故答案为：n（m+4）． 【点睛】 本题考查因式分解-提公因式法，熟练掌握并找准公因式进行提取，提负要变号，变形看奇偶． 12．【答案】 【分析】根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程得到，再根据，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴ 13．【答案】3 【分析】设扇形的半径为，由题意可得：，求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为，由题意可得： 解得 14．【答案】 【分析】先把异分母分式通分成同分母分式，再利用同分母分式加减法进行计算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查异分母分式的加减，利用因式分解进行通分，化成同分母分式是本题解题关键． 15．【答案】10 【分析】 先确定A′，然后再确定a，b，最后求和即可. 【详解】 解：∵A和A′关于原点对称 ∴A′的坐标为（2，-3） ∴将点A（﹣2，3）向右平移a个单位长度，再向下平移b个单位长度 即：a=4，b=6 ∴a+b=10 故答案为10. 【点睛】 本题主要考查了平移，通过平移规律确定a、b的值是解题关键. 16．【答案】（1），见详解；（2） 【分析】（1）根据一元一次不等式的解法去分母，去括号，移项、合并同类项、系数化1即可得解，然后将得到的解集在数轴上表示即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项及合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 将这个不等式的解集在数轴上表示如下， ． （2）解： ． 17．【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4）. 【分析】（1）根据扇形统计图得出机器人所占的比，再用即可求解； （2）用调查总人数-机器人社团人数-围棋社团人数-电影配音社团人数即可求解； （3）用1000乘以羽毛球人数所占的百分比即可求解； （4）根据题意列出树状图即可求解. 【详解】解：类有人，所占扇形的圆心角为， 这次被调查的学生共有：（人）； 故此题答案为； 项目对应人数为：（人）； 补充如图． （人） 答：这名学生中有人参加了羽毛球社团； 画树状图得： 共有种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有种， （选中甲、乙）． 【关键点拨】本题考查的是概率，熟练掌握统计图和树状图是解题的关键. 18．【答案】(1)见解析; (2)度数为或． 【分析】（1）作的垂直平分线，以点C为圆心，以长为半径画弧交的垂直平分线于点P，P即为所求作； （2）①当“双合点”恰好在边上时，根据已知得，，，根据，，得，即得； ②当“双合点”在边的延长线上时，根据已知得，，，根据，得，得，即得． 【详解】（1）解：如图，点P即为所作； ； （2）解：①当“双合点”恰好在边上时， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴; ②当“双合点”在边的延长线上时，且， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，度数为或． 19．【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）将点代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式，再将点代入已求出的反比例函数解析式求出的值，进而得点的坐标，然后将点，的坐标代入一次函数的解析式即可求出一次函数的解析式； （2）观察函数的图象，找出一次函数的图象在反比例函数的上方所对应的的取值范围即可； （3）过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，根据点，的坐标可求出四边形，根据题意，分三种情况：①点在线段上，即；②当在延长线上时，即；③当在延长线上时，即；由面积关系列方程求解即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入之中得， 反比例函数的解析式为, 将代入反比例函数之中得， 点的坐标为， 将点，代入之中得，解得， 一次函数的解析式为； （2）解：由（1）知一次函数的图象与反比例函数 的图象交于两点， 过作轴的垂线，如图所示, 观察函数的图象可知当或时，一次函数的图象均在反比例函数的上方， 的解集为或； （3）解：过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，如图所示, ， ，，，， ， 轴，轴， 四边形为直角梯形， ， 设点的坐标为， 的面积为1， ①点在线段上，即，如图所示, ， ，， ，， ，解得， 此时点的坐标为； ②当在延长线上时，即，如图所示, ，，则，， ，则，解得， 此时点的坐标为； ③当在延长线上时，即，如图所示, ，，则，， ，则，解得， 由于，与当在延长线上时，即矛盾，此种情况不存在. 综上所述,点的坐标为或． 20．【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，利用求解即可； （2）过点作延长线于点，过点作于点，延长交于点，确定四边形和四边形是矩形，利用求出，在中利用三角函数求出，则可求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， ∵，的长为， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作延长线于点，过点作于点，延长交于点， ∵是水平线，立柱垂直地面， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵平行地面，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵手掌距地面最大高度为， ∴ ∴墩墩至少跳才能摸到篮筐． 21．【答案】（1） （2）见详解 （3） 【分析】（1）首先确定，由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，进而额的，然后结合三角形外角的定义和性质即可获得答案； （2）延长至点，使得，连接，在上取点，使得，结合三角形中位线的性质可得，，再证明，由全等三角形的性质可得，，进而可知，即可证明结论； （3）取中点，连接，结合三角形中位线的性质证明，可知点的运动轨迹在以为直径的圆上，设中点为，当三点共线时，取最小值，此时连接，过点作于点，过点作于点，证明，结合相似三角形的性质解得的值，进而可求得的值，由折叠的性质可得，然后由四边形的面积求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴； （2）如下图，延长至点，使得，连接，在上取点，使得， ∵，点为中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如下图，取中点，连接， ∵点为中点，点为中点，， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹在以为直径的圆上， 设中点为，当三点共线时，取最小值， 此时，连接，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵把沿着翻折到的同一平面得到， ∴， ∵， ∴四边形的面积． 22．【答案】(1) (2)每顶头盔售价75元时，每月的销售利润最大，最大利润是6250元 【分析】（1）根据题意直接写出与的函数解析式即可； （2）根据总利润单件利润销售量写出函数解析式，利用函数的性质求最值． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由题意得： ， 当时，， 答：每顶头盔售价75元时，每月的销售利润最大，最大利润是元． 【关键点拨】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 23．【答案】(1)B (2) (3)的最小值为10 【分析】（1）由点A关于⊙O的“反演点”是本身得，得OA=r，得结果； （2）先求出半径r，由新定义可得：，求出，再由勾股定理求出PQ的长； （3）连接AQ，AB，由题意可得，再证明，得出，得出，当相等时最小，再求出，OA＝2，最后用勾股定理求出AB的长． 【详解】（1）∵点A关于⊙O的“反演点”是本身， ∴， ∴OA=r， ∴点A在⊙O上， 故选：B； （2）如图：过P做PQ与⊙O相切于Q，连接OQ， ∵PQ与⊙O相切于Q， ∴，， 由新定义可得：， ∴， ∴， 在中，； （3）连接AQ，AB，由题意可得：， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，OA＝2， ∴，， 在Rt△中，， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了新定义：反演点，圆的切线的判定，三角形相似的性质和判定等知识，正确理解新定义是本题的关键． 24．【答案】(1) (2)最大值，此时 (3)或 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）延长交x轴于点Q，证明，进而可得，求出直线的解析式为，设，则，则，然后代入，得出关于m的解析式求解即可； （3）分点M在x轴的上方和点M在x轴的下方两种情况求解即可． 【详解】（1）∵抛物线 交x轴于，， ∴， ∴， ∴； （2）延长交x轴于点Q， ∵轴， ∴轴． ∵当时，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴． 设，则， ∴ ， ∴ ， ∵，， ∴当时，取得最大值，此时； （3）当点M在x轴的上方时，如图， 过点C作x轴的平行线交抛物线与点G， ∵， ∴对称轴为直线， ∴． 设，则， ∴平移后的解析式为， ∵， ∴， 把代入，得 ， ∴， ∴； 当点M在x轴的下方时，如图，同理可求． 综上可知，点N的坐标为或． 【关键点拨】此题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，锐角三角函数的知识，二次函数与几何综合，二次函数的平移，勾股定理，熟练掌握各知识点是解答此题的关键． 25．【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）过点作于点，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理，求出，；根据为的中点，则；再根据勾股定理，求出，根据，求出，根据，即可； （2）过点作交于点，根据旋转的性质，则，，根据平行线的性质，则，求出，根据等角对等边，勾股定理，则；同理，，根据，等量代换，则，，再根据全等三角形的判定和性质，，则；最后根据，，即可； （3）过点作交于点，在上截取，连接，证明得出，进而得出，作关于的对称点，连接，，则，当三点共线时，此时取的最小值，最小值为的长，当经过点时，则，则，证明，证明得出，，则，勾股定理求得，进而得出，过点作，得出是的中点，最后根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）过点作于点， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）过点作交于点， ∵绕点旋转得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴在三角形和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）如图所示，过点作交于点，在上截取，连接， ∵， ∴，即， 在中， ∴， ∴， 设，则， ∴，即， 如图所示，作关于的对称点，连接，，则，作A关于的对称点，则，则，则，四边形是矩形，此时， ∴， 当三点共线时，此时取的最小值，最小值为的长，此时，经过点，如图所示，则，则 ∵是的中点， ∴， 又∵，， ∴ ∴， ∴ 设，则 ∴ ∴中， ∴ ∴， ∵ ∴， ∵，则 ∴ 过点作，如图所示 ∴， ∴． 【关键点拨】此题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，轴对称的性质求最值问题，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$