专题1.6 空间向量法求空间中的角度（6类必考点）-2025-2026学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.6 空间向量法求空间中的角度 【知识梳理】 1 【考点1：直线与直线所成角的向量求法】 2 【考点2：由异面直线的夹角求参】 4 【考点3：直线与平面所成角的向量求法】 6 【考点4：由直线与平面所成角求参】 9 【考点5：平面与平面所成角的向量求法】 14 【考点6：由平面与平面所成角求参】 20 【知识梳理】 1、直线与直线所成角的向量求法： 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角. 与的夹角为β l1与l2所成的角为θ 范围 求法 2、直线与平面所成角的向量求法： 设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线l与平面所成的角为，两向量与的夹角为，则有. 3、平面与平面所成角的向量求法： 如图①，AB，CD是二面角­l­两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小为＝〈，〉； 如图②③，，分别是二面角­l­的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足. 【考点1：直线与直线所成角的向量求法】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知直三棱柱的棱长均为2，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·湖北·阶段练习）在四面体中，，，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D．- 4．（2025·四川巴中·二模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线AB与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）在正四棱台中，，，且该正四棱台的体积为28，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·湖南·阶段练习）如图，在四面体ABCD中，与为等边三角形，且，E，F分别为棱AD，AB的中点，则异面直线BE，CF所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正方体的棱长为2，分别为的中点，求异面直线与所成角的余弦值. 8．（2025·江苏苏州·三模）如图，正四棱锥，，，为侧棱上的点，且． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【考点2：由异面直线的夹角求参】 1．（24-25高二上·广东·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若直线、所成的角等于，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·重庆·期末）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B．4 C．2 D．3 3．（24-25高二上·山西·期中）如图，已知多面体中，底面是边长为的正方形，，，平面，平面，，若异而直线与所成的角的余弦值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·重庆云阳·期中）在三棱锥中，，，平面，点，分别为，的中点，，为线段上的点（不包括端点，），若使异面直线与所成角的余弦值为，则（   ） A．或4 B． C． D． 5．（24-25高二上·广东广州·开学考试）在空间直角坐标系中，已知点，，为正半轴上的点，且直线与直线所成角的余弦值为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·河南商丘·开学考试）在底面边长为2的正三棱柱中，异面直线与所成角的余弦值为，则该正三棱柱的体积为 ． 7．（24-25高三下·山西晋城·开学考试）棱长为2的正方体中，是棱上的动点，是棱的中点，当直线与所成角最小时，的面积为 ． 8．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）如图1，在中，，分别为，的中点，，.将沿折起到的位置，使得，如图2. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【考点3：直线与平面所成角的向量求法】 1．（24-25高二下·江西·阶段练习）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高二上·广东·期中）直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，为线段的中点，为棱上靠近点的三等分点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河南焦作·开学考试）在棱长为2的正方体中，E，F分别是和的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D．   4．（24-25高三上·辽宁丹东·期末）已知正三棱锥中，D是棱PC上的点，，且，则直线BD与平面PAB所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·四川成都·模拟预测）如图，四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，且，侧面PAD是等边三角形，且二面角为. (1)求四棱锥的体积； (2)求直线PC与平面PAD所成角的正弦值. 6．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）在中国古代数学中，将底面为矩形并有一条棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图是一个底面为正方形的阳马，其中底面，且. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 7．（2025·湖北武汉·模拟预测）在三棱柱中，底面ABC是正三角形，，. (1)求证：； (2)若，且，求直线与平面所成角的余弦值. 8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在三棱台中，平面，且，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【考点4：由直线与平面所成角求参】 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知四棱锥平面，底面为矩形，为的中点，为上一点，若与平面所成角的正弦值为，则 ． 2．（24-25高二上·陕西榆林·期末）如图，在长方体中，，，点为线段的中点，点是棱上一点，若直线与平面所成角的正弦值为，则 ． 3．（24-25高二·全国·课后作业）如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是 ． 4．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，是上的点，直线与平面所成角的正弦值为，则的长为 . 5．（2025·浙江绍兴·三模）已知正三棱柱的所有棱长均为2，D为AB中点，E为棱上的动点． (1)求证：面面； (2)若直线CE与面所成角的余弦值为，试求AE的长． 6．（2025·河南·二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，，，，点M为棱PD上一点，，O为AC的中点. (1)证明：平面平面MAC. (2)已知，，点N在棱BC上，且，若直线PN与平面MAC所成角的正弦值为，求的值. 7．（2025·北京海淀·二模）如图1，五边形中，．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2． (1)求证：平面； (2)记直线与平面所成角为．若，求的长． 8．（2025高三下·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为棱的中点，且. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若与平面所成角的正弦值为，求. 【考点5：平面与平面所成角的向量求法】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知两平面的法向量分别为，则两平面所成的二面角为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高二下·浙江·阶段练习）如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且．当MN的长最小时，二面角的平面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·北京顺义·一模）六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为，在其分子结构中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看作正八面体，记为，各棱长均相等，则平面与平面夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，． (1)求证：平面平面． (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 5．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在四棱锥中，已知底面，平面平面. (1)求三棱锥体积的最大值； (2)若四边形为直角梯形，，，求二面角的正弦值. 6．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，点是棱的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 7．（2025·广西南宁·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，平面． (1)求证：； (2)当时，求二面角的余弦值． 8．（2025·云南红河·模拟预测）如图1，等腰梯形中，，，，分别为的中点，且，将梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，得到如图2的多面体. (1)证明：四点共面； (2)在上取一点，使得平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【考点6：由平面与平面所成角求参】 1．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 2．（2025高三·全国·专题练习）四面体中，，，，，，平面与平面的夹角为，则的值可能为（ ） A．5 B． C． D． 3．（24-25高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（    ）      A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）如图，在四棱锥中，已知：平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则线段AQ长度的最小值是（ ） A． B．2 C． D．4 5．（24-25高二下·安徽·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面、都与底面垂直． (1)求证：平面； (2)若二面角的余弦值为，求与底面所成角的大小． 6．（2025·陕西延安·模拟预测）如图，三棱锥中，底面，是的中点，是的中点，． (1)求证：平面平面； (2)若，，且二面角的正弦值为，求三棱锥外接球的表面积． 7．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，E为中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 8．（24-25高二下·上海·阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，，△PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中，，． (1)取线段PA中点M，连接BM，证明：； (2)线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC所成锐二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.6 空间向量法求空间中的角度 【知识梳理】 1 【考点1：直线与直线所成角的向量求法】 2 【考点2：由异面直线的夹角求参】 10 【考点3：直线与平面所成角的向量求法】 18 【考点4：由直线与平面所成角求参】 29 【考点5：平面与平面所成角的向量求法】 40 【考点6：由平面与平面所成角求参】 53 【知识梳理】 1、直线与直线所成角的向量求法： 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角. 与的夹角为β l1与l2所成的角为θ 范围 求法 2、直线与平面所成角的向量求法： 设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线l与平面所成的角为，两向量与的夹角为，则有. 3、平面与平面所成角的向量求法： 如图①，AB，CD是二面角­l­两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小为＝〈，〉； 如图②③，，分别是二面角­l­的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足. 【考点1：直线与直线所成角的向量求法】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知直三棱柱的棱长均为2，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】思路一：利用几何法求异面直线所成角时，往往结合平行四边形的对边或三角形的中位线寻找平行线，将异面直线转化到同一个三角形中，进而利用正、余弦定理求解；思路二：两直线所成角为锐角或直角，若利用向量法求出余弦值为负，注意取相反数. 【详解】方法一：如图2，分别取，，的中点，连接， 则，， 从而或其补角为异面直线与所成的角，易知,， 则由余弦定理得， 从而直线与直线夹角的余弦值为，故选：D． 方法二：以为坐标原点，过且与平面垂直的直线为轴，，所在直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，如图3， 则，，，，，，， 故所求两直线夹角的余弦值为， 故选：D． 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解即可. 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接、、， 以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则、、、， 所以，，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 3．（24-25高二下·湖北·阶段练习）在四面体中，，，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D．- 【答案】B 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出，根据异面直线夹角公式即可得到答案. 【详解】取BD的中点O，连接AO，OC，由，，得， 且，在△AOC中，，故， 又，平面，所以平面， 以OB，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 设异面直线AB与CD所成角为，则， 即异面直线AB与CD所成角的余弦值为. 故选：B. 4．（2025·四川巴中·二模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线AB与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设向量及相关量并表示出，计算数量积与模长，最后求异面直线所成角余弦值. 【详解】设三棱柱棱长为， 所以，，， ， ，则， 设异面直线与所成角为，. 故选：D 5．（2025高三·全国·专题练习）在正四棱台中，，，且该正四棱台的体积为28，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：通过作辅助线构造异面直线所成角，再利用四棱台体积公式求出高，结合平面几何知识和余弦定理求解. 解法二：建立空间直角坐标系，求出相关向量，利用向量的夹角公式求解，再根据异面直线所成角的范围得到结果. 【详解】解法一：过点作，交于点，则为异面直线与所成的角或其补角. 设该正四棱台的高为，则，得. ，故. 过点作交于点，则， .连接，易得， 在中，利用余弦定理可得， 故异面直线与所成角的余弦值为. 解法二：设该正四棱台的高为，上底面与下底面的中心分别为，，连接，由题知，得.由正四棱台的性质知平面， 以为坐标原点，过点分别与平行的直线为轴，轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，， 所以，，， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 6．（24-25高二下·湖南·阶段练习）如图，在四面体ABCD中，与为等边三角形，且，E，F分别为棱AD，AB的中点，则异面直线BE，CF所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作平面于点，证点为斜边的中点，且，建立空间直角坐标系，设，求出相关点和向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】如图，作平面于点， 因，则为的外心， 又，故点为斜边的中点，且． 故可以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如图． 设，则，则， ， 则有， 因E，F分别为棱AD，AB的中点，故，， 则，， 设直线所成的角为， 则， 故选：A.． 7．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正方体的棱长为2，分别为的中点，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】 【分析】首先将异面直线的方向向量运用向量的线性运算表示出来，然后计算它们的数量积和向量的模，最后利用异面直线夹角的余弦公式求得答案. 【详解】根据题意可知，. 所以. 因为，，，， 所以，. 所以. 根据勾股定理可得，， 所以异面直线所成角的余弦值为： . 8．（2025·江苏苏州·三模）如图，正四棱锥，，，为侧棱上的点，且． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连结交于点，连结，证明四边形是正方形，证明平面，证明； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解. 【详解】（1）连结交于点，连结， 因为正四棱锥，所以平面， 又平面， 所以，因为正四棱锥， 所以四边形是正方形， 所以，因为，，，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以； （2） 因为，，， 所以以为原点建立空间直角坐标系， ，，，， 所以， ， 所以， 因此异面直线与所成角的余弦值为. 【考点2：由异面直线的夹角求参】 1．（24-25高二上·广东·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若直线、所成的角等于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量法可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由题意可得，解得. 故选：B. 2．（24-25高一上·重庆·期末）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B．4 C．2 D．3 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图， 设，因为， 所以， ， 设异面直线与所成角为， 则， 解得，即. 故选：B. 3．（24-25高二上·山西·期中）如图，已知多面体中，底面是边长为的正方形，，，平面，平面，，若异而直线与所成的角的余弦值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，结合条件运算得解. 【详解】以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，， ， 可得， 所以， 所以，可得． 故选：C. 4．（24-25高二上·重庆云阳·期中）在三棱锥中，，，平面，点，分别为，的中点，，为线段上的点（不包括端点，），若使异面直线与所成角的余弦值为，则（   ） A．或4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意与勾股定理建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，利用线线角向量公式，可得答案. 【详解】如图，在三棱锥中，，，所以． 因为平面，以为原点，，，为、、轴正方向建立空间直角坐标系． 可知，，． 因为，，所以， 所以，则．设，且， 则，可知，， 所以， ，． 因为异面直线与所成的角的余弦值为， 所以， 解得或（舍去）．所以． 故选：D. 5．（24-25高二上·广东广州·开学考试）在空间直角坐标系中，已知点，，为正半轴上的点，且直线与直线所成角的余弦值为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由向量数量积的坐标运算，以及向量的夹角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设，又，， 所以，， 根据向量点积公式，， ，， 已知直线与直线所成角的余弦值为， 则， 两边平方可得， 所以， 所以， 所以， 所以或（舍去）， 所以点的坐标为. 故选：D 6．（24-25高二下·河南商丘·开学考试）在底面边长为2的正三棱柱中，异面直线与所成角的余弦值为，则该正三棱柱的体积为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法求出三棱柱的高，再利用体积公式即可求得答案。 【详解】设正三棱柱的高为h，以A为坐标原点，在底面内过点A作的垂线为x轴， 以所在直线为轴，建立空间直角标系， 则， 则， 因为异面直线与所成角的余弦值为， 故， 由于，即，解得， 故该正三棱柱的体积为， 故答案为： 7．（24-25高三下·山西晋城·开学考试）棱长为2的正方体中，是棱上的动点，是棱的中点，当直线与所成角最小时，的面积为 ． 【答案】 【分析】根据给定的几何体，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法求得点位置即可得解. 【详解】建立如图所示的空间直角生标系， 则，设， ，，设直线与所成的角为， 则 ，当时，， 当时，，函数在上单调递减， 则当时，，此时为最大，即角最小， 点与点重合，是以为直角的直角三角形，， 所以的面积为. 故答案为： 8．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）如图1，在中，，分别为，的中点，，.将沿折起到的位置，使得，如图2. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）利用计算证明，结合面面垂直的判定定理来证得平面平面. （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，由线线角的向量求法可构造方程求得的值，进而得到结果. 【详解】（1）设是的中点，是的中点，如下图，连接，则， 则，， 由于，所以， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以平面平面； （2）由（1）以及已知条件可知两两相互垂直， 则以为坐标原点，正方向为轴正方向， 可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 假设在线段上存在点，使得直线和所成角的余弦值为， 设，则， ， ， 整理可得：，解得：， 存在满足题意的点，此时. 【考点3：直线与平面所成角的向量求法】 1．（24-25高二下·江西·阶段练习）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】求出方向向量和法向量夹角余弦值绝对值后，可得直线与平面所成的角的正弦，进而可得解. 【详解】设直线与平面所成的角为，则． 因为，所以． 故选：A. 2．（24-25高二上·广东·期中）直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，为线段的中点，为棱上靠近点的三等分点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角． 【详解】如图，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则，，故， 因为轴平面，则可取平面的一个法向量为， 则，即直线与平面所成角的正弦值为. 故选：C. 3．（24-25高二上·河南焦作·开学考试）在棱长为2的正方体中，E，F分别是和的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，根据题意，求得向量和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由空间直角坐标系中有棱长为2的正方体， 点分别是和的中点， 可得， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成角，则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B.    4．（24-25高三上·辽宁丹东·期末）已知正三棱锥中，D是棱PC上的点，，且，则直线BD与平面PAB所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建系，设点，根据列方程得到，然后利用空间向量的方法求线面角. 【详解】 取中点，连接， 因为为中点，所以，， 因为，平面，所以平面， 以为原点，所在直线分别为轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， 设，，，，，， 因为，所以，解得， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，则，， 所以，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A. 5．（2025·四川成都·模拟预测）如图，四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，且，侧面PAD是等边三角形，且二面角为. (1)求四棱锥的体积； (2)求直线PC与平面PAD所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取AD的中点，求证平面，进而得出平面平面，再过点作，即可求出四棱锥的高，进而利用体积公式计算； （2）法一，利用得出点到平面PAD的距离，即可利用计算正弦值；法二，为原点建立空间直角坐标系，计算平面PAD的法向量，利用夹角公式计算即可. 【详解】（1）如图，取AD的中点，连接PM，BM， 因，且为边长为的菱形，则为等边三角形， 又为等边三角形，则， 又，平面，则平面， 因平面，所以平面平面， 过点作于点， 因平面，平面平面，则平面， 因二面角为，所以，， 因为菱形ABCD的面积为，， 所以四棱锥的体积为. （2）法一：由（1）可知，，则， 又平面，，则平面， 因平面，则， 则， 设点到平面PAD的距离为， 因为，， ， 所以点到平面PAD的距离， 所以直线PC与平面PAD所成的角的正弦值为. 法二：如图，以为原点，MB，MD所在直线分别为轴和轴，过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 则， 设平面PAD的一个法向量为，则， 令，得， 所以， 所以PC与平面PAD所成角的正弦值为. 6．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）在中国古代数学中，将底面为矩形并有一条棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图是一个底面为正方形的阳马，其中底面，且. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明线线垂直建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，再根据得出面面垂直； （2）应用线面角正弦公式计算求解. 【详解】（1）因为底面，底面， 所以. 又底面为正方形，所以. 故两两垂直. 以点为坐标原点，所在直线依次为轴、轴、轴建立空间直角坐标系. 由条件可得下面各点的坐标：， ， 进一步得. 设平面的法向量为， 由得即 令，得，所以. 设平面的法向量为， 由得即 令，得，所以. 因为， 所以，平面平面. （2）由（1）得，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为，则 . 7．（2025·湖北武汉·模拟预测）在三棱柱中，底面ABC是正三角形，，. (1)求证：； (2)若，且，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证得点在平面ABC内的射影是的中心，进而证得； （2）法一先作出直线与平面所成角，再解三角形即可求得该角的余弦值；法二建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得直线与平面所成角的余弦值. 【详解】（1）过点作平面ABC于点平面ABC，所以， 又平面， 平面平面， 同理可证，又是正三角形，则是的中心， 连接AO，CO并延长交BC，AB于E，F，则E，F分别为BC，AB的中点， 又平面平面，故， 同理可证， 综上，. （2）法一：由（1）知，三棱锥是正三棱锥， 且在底面ABC内的投影为等边的中心， 又，故三棱锥的三个侧面 均为直角三角形， 且，则，又， 可知，则， 解得,在平面中过作， 交延长线于点，则平面， 则即为直线与平面所成角，其中 ， 故 即直线与平面所成角的余弦值. 法二：以BC的中点为坐标原点，以EA，EB为x，y的正方向， 过且与平行的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因为， 则，取，则， 又， 设直线与平面所成角为，， 所以，故， 即直线与平面所成角的余弦值. 8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在三棱台中，平面，且，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）由题可得，据此可得，由是的中点，可得，据此可完成证明； （2）由平面，可如图建立空间直角坐标系，据此可得平面的法向量，据此可得答案. 【详解】（1）证明：连接，则四边形为矩形. 因为， 所以， 又，所以， 所以，故. 因为是的中点，所以. 因为平面平面，所以. 又平面，所以平面. 因为平面，所以. 因为平面，所以平面. （2）因为平面平面， 所以， 因为，所以， 又平面，所以平面. 由（1）知，故以为坐标原点， 以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 因为，所以由棱台的性质得， 所以， 所以. 设平面的法向量为， 则，取， 则，所以. 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 【考点4：由直线与平面所成角求参】 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知四棱锥平面，底面为矩形，为的中点，为上一点，若与平面所成角的正弦值为，则 ． 【答案】1 【分析】运用线面垂直性质，结合题意建立空间直角坐标系，然后用向量法表示出线面角的正弦值，进而反求出. 【详解】因为平面，底面为矩形，建立如图所示的空间直角坐标系， 易得，设，则， 设平面BEF的法向量为，则即 令，则，所以， 解得，即． 故答案为：1. 2．（24-25高二上·陕西榆林·期末）如图，在长方体中，，，点为线段的中点，点是棱上一点，若直线与平面所成角的正弦值为，则 ． 【答案】 【分析】以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，根据直线与平面所成角的向量求法可得答案. 【详解】以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设， ， 设为平面的一个法向量， 可得，即，令，则， 所以， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 解得，或舍去， 所以，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量求解. 3．（24-25高二·全国·课后作业）如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设正方体边长为，建立如图所示空间直角坐标系，设，然后利用空间向量表示出，再利用的取值范围可求得结果 【详解】设正方体边长为，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设，则， 由于使，， 所以是平面的法向量， 所以， 由于，所以，， ，所以，， 由于，所以 故答案为： 【点睛】此题考查线面角有关问题，考查空间向量的应用，考查同角三角函数的关系，属于中档题 4．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，是上的点，直线与平面所成角的正弦值为，则的长为 . 【答案】2 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面的法向量，利用空间角的向量求法，结合直线与平面所成的正弦值为，即可求得答案. 【详解】由题意知在四棱锥中，平面，底面是矩形， 以A为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，设， 则， 设平面的一个法向量为，则， 令，得，设直线与平面所成的角为， 因为直线与平面所成角的正弦值为，即， 所以， 即，解得或（舍去），所以， 故的长为2. 故答案为：2 5．（2025·浙江绍兴·三模）已知正三棱柱的所有棱长均为2，D为AB中点，E为棱上的动点． (1)求证：面面； (2)若直线CE与面所成角的余弦值为，试求AE的长． 【答案】(1)见解析 (2)AE的长为. 【分析】（1）先证得，，由线面垂直的判定定理可得面，，再由面面垂直的判定定理可得平面面. （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设设，分别求出直线CE的方向向量与面的法向量，再由线面角的向量公式即可得出答案. 【详解】（1）因为三棱柱为正三棱柱， 所以，因为D为AB中点，所以， 又因为平面，平面，所以， ，平面面， 所以面，面， 所以平面面. （2）过点作，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，， ，设面的法向量为， ， 则，所以，令，则， 所以，因为直线CE与面所成角的余弦值为， 所以直线CE与面所成角的正弦值为，设为， 即，即， 解得：或（舍去）， 所以，AE的长为. 6．（2025·河南·二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，，，，点M为棱PD上一点，，O为AC的中点. (1)证明：平面平面MAC. (2)已知，，点N在棱BC上，且，若直线PN与平面MAC所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)由面面垂直的判定定理，先证明平面PBD即可； (2)先证明 BD，AC，PO两两相互垂直，以O为原点，OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用向量法求解线面角列出方程，解方程即可. 【详解】（1）证明：连接BO，DO， 因为，，所以，， 所以B，O，D三点共线，即， 因为，所以，因为PO，平面PBD， 且，所以平面PBD， 因为平面MAC，所以平面平面MAC. （2）由题意得，所以，因为，所以， 又因为，，所以，即， 由（1）知，，所以BD，AC，PO两两相互垂直， 以O为原点，OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，则， 因为，所以，则， 设，所以，则， 设为平面MAC的一个法向量，则 即 取，得，，则， 设直线PN与平面MAC所成角为，则， 整理得，解得或（舍去）， 所以. 7．（2025·北京海淀·二模）如图1，五边形中，．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2． (1)求证：平面； (2)记直线与平面所成角为．若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，结合线面垂直的性质与判定定理即可证明； （2）如图，建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法求出平面的法向量，求出线面角，建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】（1）因为平面平面，平面，平面平面，， 所以平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面. （2）如图，过点作于点，则， 在中，，所以，得. 过点作轴平面，建立如图空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 所以， 解得，即. 8．（2025高三下·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为棱的中点，且. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若与平面所成角的正弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或. 【分析】（1）连接与相交于点，连接，易得为的中点，结合为棱的中点即可得到，进而求证即可； （2）证法1：先证明，，进而求证即可； 证法2： 建立空间直角坐标系，利用空间向量可证，再结合题设可证，进而求证即可； （3）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：如图1所示，连接与相交于点，连接. 因为底面为矩形，所以为的中点. 又为棱的中点，所以为的中位线，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）证法1：因为，且为棱的中点，所以， 因为平面，平面， 所以. 又因为底面为矩形，所以. 又，平面 所以平面， 又平面，所以， 又，平面， 所以平面. 证法2：以为原点，因为底面，底面为矩形， 所以分别以，，所在的方向为轴、轴和轴， 建立如图2所示的空间直角坐标系. 设，则，，，. 故，从而，， 所以，即. 又因为，为中点，所以， 又，平面， 所以平面. （3）以为原点，分别以，，所在的方向为轴、轴和轴， 建立如图2所示的空间直角坐标系. 设，则，，，，， 则，，. 设平面的一个法向量为， 则，可取. 设直线与平面所成的角为， 则. 化简得，即， 解得或. 故或. 【考点5：平面与平面所成角的向量求法】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知两平面的法向量分别为，则两平面所成的二面角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意，利用空间向量的夹角公式，求得，结合法向量所成的角与二面角的关系，即可求解. 【详解】由两个平面的法向量分别为， 可得，且， 设两平面所成的二面角为，则， 所以两平面所成的二面角或. 故选：C. 2．（24-25高二下·浙江·阶段练习）如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且．当MN的长最小时，二面角的平面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得的长及最小值，求出平面与平面的法向量，然后利用向量法求解二面角的平面角的余弦值即可. 【详解】由题意两个边长均为1的正方形与正方形所在的平面互相垂直. 可得， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 在平面上，直线方程为，可设， 在平面上直线方程为，设，因此得， 由得， 则，所以， 当且仅当时，取得最小值，此时分别是的中点， ，，，，， 设平面的一个法向量， 则，取得， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 所以，由图可知，二面角的平面角为钝角. 所以二面角的平面角的余弦值为. 故选：A 3．（2025·北京顺义·一模）六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为，在其分子结构中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看作正八面体，记为，各棱长均相等，则平面与平面夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法求平面与平面的夹角即可. 【详解】 设正八面体的棱长为，连接、相较于点，连接， 根据正八面体的性质可知为正方形，，平面， 建立如图所示，以为坐标原点， 分别以、、为、、轴的空间直角坐标系， ，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 所以，，令， 则有：，所以， ，， 设平面的法向量为， 所以，，令， 则有：，所以， 设平面与平面夹角为，则， 平面与平面夹角的余弦值为. 故选：D 4．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，． (1)求证：平面平面． (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线垂直证线面垂直，再由面面垂直的判定证面面垂直； （2）根据垂直关系以的中点为原点建系，利用向量法求面面夹角的余弦值. 【详解】（1），，． ，且，平面，， 平面． 平面， 平面平面． （2）设平面与平面的夹角为，的中点为，的中点为． 由，，知平面， 又，，故以为原点， ，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，． 易知平面的一个法向量为， ，， 设平面的法向量为，因此，取， 故． 5．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在四棱锥中，已知底面，平面平面. (1)求三棱锥体积的最大值； (2)若四边形为直角梯形，，，求二面角的正弦值. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）利用面面垂直的性质可得平面，进而证得平面，可得出在以为直径的圆上，可求得，进而得出结果； （2）通过建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，依据向量夹角公式求两法向量夹角余弦值，再利用同角三角函数的平方关系即可求得结果. 【详解】（1）如图，作于于， 因为平面平面， 平面平面平面， 所以平面. 又因为平面，所以. 因为底面平面，所以， 又因为平面，所以平面. 又因为平面，所以，所以在以为直径的圆上， 所以，即三棱锥体积的最大值为. （2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 由，得， 所以， . 设是平面的法向量，是平面的法向量， 由得 取； 由得 取， 所以. 记二面角为，所以， 所以二面角的正弦值为. 6．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，点是棱的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直判定定理先证明平面，得出线线垂直，再由判定定理证明平面SCD； （1）法一，证明，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，由两个向量的夹角公式得解；法二，过B在平面ABCD内作BE⊥BC交AD于E，建立空间直角坐标系，求平面的法向量为，平面的一个法向量为，由夹角公式求解. 【详解】（1）因为侧棱底面ABCD，底面ABCD， 所以， 又因为，，平面SBC， 所以平面， 又平面SBC， 所以， 又因为，点M是棱SC的中点， 所以， 又，平面SCD， 所以平面SCD. （2）连接，由题意可得，则， 取AD的中点E，连接BE， 则，则，， 所以， 所以，所以， 以B为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，可取. 由（1）可得平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 另解：（2）过B在平面ABCD内作BE⊥BC交AD于E， 以B为原点，以BE所在直线为轴，BC所在直线为轴，所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，取，则. 由（1）可得平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 7．（2025·广西南宁·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，平面． (1)求证：； (2)当时，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判断定理，即可证明； （2）利用垂直关系，以点的中点为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）平面，平面， ． ，且，,平面， 平面， 平面， ； （2）取的中点，连结， ，， 平面，平面， ，，平面， 平面， 取中点，又，． 分别以OA，OM，OP为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 在等腰中，，． ，，，，， 设平面的一个法向量为， ，， ，，令，得，， 设平面的一个法向量为， ，， ，则，令，得，，． ． 注意到二面角的平面角为钝角， 二面角的余弦值为． 8．（2025·云南红河·模拟预测）如图1，等腰梯形中，，，，分别为的中点，且，将梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，得到如图2的多面体. (1)证明：四点共面； (2)在上取一点，使得平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得平面，以为原点，建立空间直角坐标系，由平行向量的坐标关系证得，即可证得四点共面； （2）由题意设，求出，分别求出平面与平面的法向量，由垂直向量的坐标表示求出，再求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式即可得出答案. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 且，平面， 所以平面，又， 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 易得， 则， 则，则， 即，所以四点共面. （2）由（1）知，，，，， 设，则，则， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 由平面平面，则，解得， 则，则，又， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 易得平面的一个法向量为， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为. 【考点6：由平面与平面所成角求参】 1．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 【答案】B 【分析】利用向量的夹角公式列方程求解即可 【详解】因为 所以， 因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，化简得，解得或1． 故选：B 2．（2025高三·全国·专题练习）四面体中，，，，，，平面与平面的夹角为，则的值可能为（ ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积运算律求解判断作答. 【详解】在四面体中，，，则是二面角的平面角，如图， ， 而，，， ， 因为平面与平面的夹角为，则当时，， 当时，， 所以的值可能为和. 故选：D. 3．（24-25高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设出，，求出两平面的法向量，从而根据两平面的所成角得到方程，求出，求出BE的长的最大值. 【详解】依题意，，，两两互相垂直， 以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.      设，（，，且m，n不同时为0）， 则，，，所以，. 设平面AEF的一个法向量为， 则， 令，得，则， 显然为平面ABC的一个法向量. 因为平面与平面所成角的大小为， 所以， 即， 得， 所以，所以当时，m取得最大值，最大值为. 故选：B 4．（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）如图，在四棱锥中，已知：平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则线段AQ长度的最小值是（ ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】先根据两两垂直建立空间直角坐标系，然后得到各点的坐标，再应用二面角的空间向量解法得到参数的关系式，最后求出的表达式即可得解. 【详解】以为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 因为已知是四边形内部一点，所以设， 其中且（即点在平面内部）， 则， 因为轴平面，所以平面的法向量可取， 又因为， 设平面的法向量为， 则，即， 由题易得，令，则， 所以， 因为二面角的平面角大小为， 所以， 即，解得， 所以， 当时，， 所以线段AQ长度的最小值是. 故选：A. 5．（24-25高二下·安徽·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面、都与底面垂直． (1)求证：平面； (2)若二面角的余弦值为，求与底面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直可得平面，从而得； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法结合线面角求出，再利用向量可求可求另一个线面角. 【详解】（1）证明：平面平面，平面平面， ，平面，平面，而平面， 故，同理，又，，平面， 平面. （2） 以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 设，，得，，，， ，， 设平面，平面的法向量分别为，， 则，，取， ，解得， 因为平面，所以与底面所成角为， ，得 即与底面所成角为． 6．（2025·陕西延安·模拟预测）如图，三棱锥中，底面，是的中点，是的中点，． (1)求证：平面平面； (2)若，，且二面角的正弦值为，求三棱锥外接球的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由底面得，结合中位线得，故可证平面，从而得到面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，根据面面角求得的长度可求外接球半径，从而可求表面积. 【详解】（1） 因为底面，平面，故， 而，故，故， 而平面，故平面， 而平面，故平面平面. （2）由（1）平面，而，故平面， 因为，故，故， 故可以为原点，以所在的直线建立如图所示的空间直角坐标系， 故，设， 则， 设平面的法向量为，则， 所以，取. 设平面的法向量为，则， 所以，取. 因为二面角的正弦值为， 故，故， 因为平面，而平面，故， 同理，故的中点到的距离相等， 故的中点为三棱锥外接球的球心，而， 故三棱锥外接球的表面积为. 7．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，E为中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在点为的中点 【分析】（1）取中点记为，连接EF，CF，通过证明四边形为平行四边形，然后可证平面； （2）中点为，连接，，由勾股定理可得，结合可得 平面，即，又由即可证明平面； （3）以为坐标原点建立空间直接坐标系，设，然后利用待定系数法求出平面与平面的法向量，再利用向量的夹角公式求解方程即可. 【详解】（1）证明：取中点记为，连接EF，CF， 则，且； ，且； 所以平行且等于CD， 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为平面，平面， 所以平面. （2）记中点为，连接，， 则四边形为正方形， 且根据勾股定理得， 所以， 则，所以. 又因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以. 又因为， 所以，且，平面， 所以平面. （3）由（2）知，平面，且. 以为坐标原点，以，BA，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ，，，，， 设，，则， 则，，， 设平面与平面的法向量分别为和 则 令，得. 令，得. 设平面与平面的夹角为，， 则，解得. 因此存在点为的中点，使得平面与平面夹角的余弦值为. 8．（24-25高二下·上海·阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，，△PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中，，． (1)取线段PA中点M，连接BM，证明：； (2)线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC所成锐二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解． 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接， 由为的中点，且，，得，， 则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面． （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得，平面的法向量为， 于是， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $$