专题1.7 空间向量法求空间中的距离（6类必考点）（人教A版2019选择性必修第一册）-2025-2026学年高二数学

专题1.7 空间向量法求空间中的距离 【知识梳理】 1 【考点1：求点到线的距离】 2 【考点2：与点到线距离有关的最值问题】 7 【考点3：求点到面的距离】 14 【考点4：由点到面的距离求参】 21 【考点5：求线到面的距离】 32 【考点6：求面到面的距离】 38 【知识梳理】 1、 点到线的距离 若为直线外的一点， 在直线上，为直线的方向向量，，则点到直线距离为. 2、点到面的距离 已知平面的法向量为，A是平面内的定点，P是平面外一点，过点P作平面的垂线l,交平面于点Q，则是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此 . 3、线到面的距离 线到面的距离问题一般情况下需要转化为点到面的距离问题进行求解. 【考点1：求点到线的距离】 1．（24-25高二下·福建莆田·期中）已知，，，则点C到直线的距离为 . 【答案】 【分析】先求出与同方向的单位向量，再求，代入点到直线的距离公式计算即得. 【详解】因为，，， 所以，， 则与同方向的单位向量为， 又，则，， 故点到直线的距离为：. 故答案为：. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知棱长为1的正方体，若点在正方体内部且满足，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到，求出在上的投影向量的长度，利用点到直线向量距离公式得到答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 则． 在上的投影向量的长度为， 点到的距离为 故答案为： 3．（24-25高三下·浙江湖州·阶段练习）已知直三棱柱中，，，侧棱，若点，分别是线段，的中点，则点到直线的距离是 ． 【答案】/ 【分析】构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点的坐标，应用向量法求点线距离. 【详解】由题设，构建如下图示的空间直角坐标系，则，    所以， 则点到直线的距离. 故答案为： 4．（2025高三下·重庆·竞赛）四面体满足，，，，设、、的中点分别为、、，则点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，由求解. 【详解】由题意，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 所以点到直线的距离为， 故答案为：. 5．（24-25高一下·吉林松原·期中）图，在长方体中，，，，分别为，的中点，记，，． (1)用向量，，表示，，； (2)求点C到直线EF的距离． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）由空间向量线性运算即可求解； （2）由（1）可计算以及，然后根据即可求解. 【详解】（1）， , ； （2）， ，即， =17，即， 所以， 所以， 所以点C到直线EF的距离. 6．（2025·广东·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面，M为的中点．    (1)求点P到直线的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点，连接，由题可得平面，在平面内过点作，则射线两两垂直，以点为坐标原点，射线分别为轴，建立空间直角坐标系，求出直线与所成角的正弦，利用向量法求出点到直线的距离； （2）求出平面和平面的法向量，利用向量法求解. 【详解】（1）取的中点，连接，如图，在正三角形中，则， 因为侧面底面，平面平面，平面， 所以平面， 在平面内过点作，则射线两两垂直， 以点为坐标原点，射线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设直线与所成角为，则 ，所以， 所以点到直线的距离为.    （2）设平面的法向量为， 则，令，可得， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【考点2：与点到线距离有关的最值问题】 1．（2025·江苏南通·二模）在四面体中，，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，点到直线的距离为1，则四面体体积的最大值为（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出的相关边长和面积，再利用面面垂直的性质确定三棱锥的高所在直线，通过点到直线的距离公式求出点到平面距离的最大值，最后根据三棱锥体积公式求出四面体体积的最大值. 【详解】已知在等腰直角三角形中，，. 设，则，即，解得. 根据三角形面积公式.   因为为的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，. 又因为平面平面，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质定理，所以平面.   以为原点，分别以所在直线为，轴，过作垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系. 则，，，. 设，则，. 因为，可得，化简得.   已知，. 根据点到直线的距离公式，可得到距离. 又因为点到直线的距离为，所以，即. 因为，所以当时，取得最大值，则的最大值为，即点到平面距离的最大值.   ，根据三棱锥体积公式，所以.   则四面体体积的最大值为. 故选：C. 2．（24-25高二上·北京·期中）在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，则点到直线的距离的最小值为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，借助空间向量求出点Р到直线距离的函数关系，再求其最小值作答 【详解】以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则，,， 所以，，， 因点P在线段上，则，， ， 所以向量在向量上投影长为， 而， 则点Р到直线的距离， 当且仅当时取等号， 所以点Р到直线的距离的最小值为. 故答案为： 3．（2025·河南·模拟预测）在直四棱柱中，底面为正方形，．点P在侧面内，若平面，则点P到的距离的最小值为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设出点坐标，利用平面列方程，求得到的距离的表达式，进而求得所求的最小值. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， ，，设，. 由于平面， 所以，所以. 由于，即， 到的距离为， 所以当时，. 即到的距离的最小值为. 故答案为： 4．（24-25高二上·山东枣庄·阶段练习）如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为 . 【答案】/ 【分析】首先以点A为原点，建立空间直角坐标系，然后利用点到直线距离的坐标公式列式，化简后求函数的最小值即可. 【详解】在正三棱柱中，在平面内过A作，显然射线两两垂直，以点A为原点，射线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 因正三棱柱的所有棱长均为1， 则， 所以， 因动点P在线段上，则令， 即有点，所以，则， 从而， 因此点P到直线的距离 ，当且仅当时取等号， 所以线段上的动点P到直线的距离的最小值为. 故答案为： 5．（24-25高二上·上海·期末）如图，长方体中，，，，为底面的中心，点为上的动点（包括端点），则当的面积最小时，线段的长为 ． 【答案】 【分析】如图以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，根据题意设，然后利用空间向量求出点到的最小距离，从而可求出点的坐标，进而可求出的长 【详解】如图以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 ，， 则， 设，则， 因为‖，所以，得， 所以（），则， 设点到的距离为，则 ， 所以当时，取得最小值，此时的面积取得最小值， 所以， 所以 故答案为： 6．（24-25高二上·全国·课后作业）如图①，在中，，，，D，E分别是AC，AB上的点，且，，将沿DE折起到的位置，使平面BCDE，如图②.若点F是线段BE的靠近点E的三等分点，点P是线段上的点，直线l过点B且垂直于平面BCDE，则点P到直线l的距离的最小值为 .    【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，设点，，设，，将点的坐标用表示，可得出点在直线上的射影为的坐标，求出，利用二次函数的基本性质可求出的最小值. 【详解】翻折前，在图①中，，，则， 翻折后，在图②中，因为平面，， 且平面，则，则， 以点为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、， 设点，则，， 因为点是线段的靠近点的三等分点，则， 所以，解得，即点， 设，则，则， 设，，即， 所以，，，， 即， 设点在直线上的射影为，则， 点到直线的距离的平方， 因为，故当时，点到直线的距离最小，最小值为. 故答案为：. 【考点3：求点到面的距离】 1．（上海市宝山区2024-2025学年高二下学期期末教学质量监测数学试卷）已知三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且，，.顶点到平面的距离是 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面BCD的法向量，利用点到平面的距离公式求解. 【详解】因为AB、AC、AD两两垂直，以点A为坐标原点，AC，AB，AD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， 设平面BCD的一个法向量为， ， 令，则， 则顶点A到平面BCD的距离， 即顶点A到平面BCD的距离为． 故答案为： 2．（24-25高二下·福建泉州·期末）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3.    (1)证明：平面PCD⊥平面PAD； (2)求点B到平面PAD的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由PC⊥底面ABCD，得到PC⊥AD，再由CD⊥AD ，得到AD⊥面PCD，然后利用面面垂直的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，求得平面PAD的一个法向量，由点到平面距离向量公式计算求解. 【详解】（1）∵PC⊥底面ABCD，平面， ∴PC⊥AD， 又∵CD⊥AD ，且PC∩CD=C，平面， ∴AD⊥平面PCD， ∵平面PAD， ∴平面PCD⊥平面PAD； （2）如图建立空间直角坐标系，    则 ， 所以， 设平面PAD的一个法向量为， 则，即， 解得，令，得，则， 所以点B到平面PAD的距离为：. 3．（24-25高二下·上海闵行·期末）设正方体的棱长为2，，的中点分别为，. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求点到面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，根据异面直线夹角的向量求法即可求解； （2）求出平面的一个法向量，利用点到面的距离向量求法即可求解. 【详解】（1） 在正方体中，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示， 则由题可得：，，，， ∴，， ∴， ∴异面直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）知.设平面的一个法向量为， 则，即. 令，则，∴平面的一个法向量为. ∵，∴点到面的距离为. 4．（24-25高二下·上海·阶段练习）如图，正四棱柱中，，，点M，N分别是棱，的中点． (1)求证：直线平面； (2)求点B到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据向量法证明线面平行，求出直线方向向量和平面的一个法向量，证明向量垂直即可. （2）根据向量方法求空间中点到平面距离，根据公式求出距离即可. 【详解】（1）如图所示，以D为坐标原点，，，为x，y，z轴正方形建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则，即， 设，解得，，则平面的一个法向量为， 则，得， 又直线不在平面内，则直线平面． （2）点B到平面的距离． 5．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是棱，，的中点. (1)证明：； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建系，利用空间向量证明线线垂直. （2）求平面的一个法向量，利用空间向量求点到面的距离. 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则，，，，， ， 故，因此，故 （2）因，，设平面的一个法向量， 则，则满足条件的一个， 因为，故点到平面的距离. 6．（24-25高二·全国·假期作业）如图，在正三棱柱中，，分别为的中点． 线段上是否存在点，使得？若存在，求出点到平面的距离；若不存在，说明理由． 【答案】存在，距离为 【分析】分别取中点O，，连接，进而以O为原点，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，假设存在点G，设，进而根据得，再计算点到面的距离即可． 【详解】分别取中点O，，连接． 因为是正三棱柱， 所以平面，． 所以平面，平面，所以． 以O为原点，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 则． 所以． 设平面的法向量为， 所以，即 令，解得，所以． 假设存在点G，设． 所以，所以． 由知，若， 则． 解得．即G与C为同一个点． 因为，平面的法向量为， 所以点G到平面的距离． 【考点4：由点到面的距离求参】 1．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）设正方体的棱长为 2，为正方体表面上一点，且点到直线的距离与它到平面的距离相等，记动点的轨迹为曲线，则曲线的周长是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出点的轨迹方程，再分类探讨轨迹并求出长度. 【详解】在棱长为 2的正方体 中，建立如图所示的空间直角坐标系， 设点，，在上任取点， ，，依题意，，即， 当时，，点的轨迹是一个点，轨迹长度为0； 当时，，点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆弧，轨迹长度为； 当时，，则，点的轨迹是一个点，轨迹长度为0； 当时，，，点的轨迹是线段，轨迹长度为； 当时，，点的轨迹是线段，轨迹长度为； 当时，，则，点的轨迹是一个点，轨迹长度为0， 所以曲线的周长是. 故答案为： 2．（24-25高二·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，M为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)若，在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【分析】（1）取的中点，证明，结合线面平行判定定理证明结论； （2）根据面面垂直性质定理证明平面，建立空间直角坐标系，设，结合点到直线距离公式列方程求． 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接．     为棱的中点，． ， 四边形是平行四边形，． 又平面平面平面． （2）． 平面平面，平面平面平面， 平面． 又平面． 又两两垂直． 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，    则． 为棱的中点，． ①，设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以为平面的一个法向量， 假设在棱上存在点，使得点到平面的距离是． 设，则． 由①知平面的一个法向量为， ， 点到平面的距离是，解得． 在中，． 3．（24-25高二下·江苏·阶段练习）如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且 【分析】（1）在平面图形中证得，，取的中点，连接，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. （3）由（2）中信息，利用点到平面的距离的向量公式计算得解. 【详解】（1）在图1中，由，，得，则， 所以，由，得，即， 在图2中，，取的中点，连接，由为的中点， 得，则，由，得，而， 平面，则平面，又平面，所以. （2）由已知及（1）得平面平面，平面平面，， 于是平面，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为， 则， 由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. （3）假设线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为， 在中，，所以， 因为三棱锥的体积为，设点到平面的距离为， 所以，所以，所以点到平面的距离为， 令，由（2）得，， 又平面的法向量为， 则点到平面的距离为，解得， 线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点在棱上运动，当点到平面的距离为时，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，运用线面角向量法求解即可； （3）设，得，运用点到平面距离向量法求解即可. 【详解】（1）证明：连接交于点，连接，如图1所示， 因为底面是矩形，所以是的中点， 因为是的中点，所以在中， 是中位线，所以， 因为平面平面， 所以平面； （2）如图2，因为底面，所以，， 又在矩形中，，所以两两垂直．以点为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为是的中点，所以 所以， 设平面的法向量为，则 ，即， 令，则，所以， ， 设直线与平面所成的角为， 则， ， ， 所以 即直线与平面所成角的正弦值为； （3）由（2）知平面的一个法向量为， 设，， 则，又， 则，所以， ， 设点到平面的距离为， 则，得， 解得或（舍去）， 又，故， 所以的长度为． 5．（2025·福建泉州·模拟预测）在四棱锥中，底面为矩形，点在平面内的投影落在棱上，． (1)求证：平面平面； (2)若，，当四棱锥的体积最大时，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作于点，即可得到平面，从而得到，再由，得到平面，即可得证； （2）过点作于，连接，即可得到平面，则，即可求出、、，根据锥体体积公式及基本不等式求出体积最大值时，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）作于点，因为点在平面内的投影落在棱上， 所以平面，平面，所以， 又为矩形，所以，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）过点作于，连接， 因为，，，所以，所以， 又因为平面，平面，所以，且， ，平面， 所以平面，平面，所以， 所以，且，， 所以的体积， 在中，，所以， 当且仅当时，此时四棱锥的体积最大， 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，所以， 设平面的法向量为，则，所以， 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 6．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，．点在棱上且与不重合，平面交棱于点． (1)求证：； (2)若为棱的中点，求二面角的正弦值； (3)记点到平面的距离分别为，求取最大值时的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）易证得平面，由线面平行性质可证得结论； （2）取中点，易证得两两互相垂直，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据二面角的向量求法可求得结果； （3）设，根据点到平面距离的向量求法可得到，结合基本不等式取等条件可求得的取值，根据平行关系可求得结果. 【详解】（1），平面，平面，平面， 平面，平面平面，. （2）取中点，连接， ，，四边形为平行四边形，， 平面，平面， 又平面，，，又， 则以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； ，， 即二面角的正弦值为. （3），，， 设，则， ， 设平面的法向量， 则，令，则，，； ，， ，， （当且仅当，即时取等号）， 取得最大值时，， 又，，. 【考点5：求线到面的距离】 1．（24-25高二上·安徽六安·期中）正三棱柱的所有棱长都为2，则到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，将线面距离转化为点面距离，利用空间距离的向量求法，即得答案. 【详解】设分别是的中点，连接， 根据正三棱柱的几何性质可知，两两相互垂直， 建立如图所示空间直角坐标系，    则， . 设平面的法向量为，则， 令，则，故可得. 由于平面平面，所以平面. 所以到平面的距离即到平面的距离，即. 故选：C. 2．（24-25高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，， 所以, 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为 . 故选：D.      3．（24-25高二上·重庆·阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是线段的中点，则直线到平面的距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，结合线面平行以及点面距公式求得直线到平面的距离. 【详解】由题意，构建如图示的空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得，则点到平面的距离， 又，平面，平面，则平面， 所以点到平面的距离，即直线到平面的距离，为.    故选：D 4．（24-25高二上·山东淄博·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，进而根据向量夹角公式计算即可； （2）利用向量法求线面距离作答即可. 【详解】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）知，，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线FC到平面的距离是. 5．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）如图，正方体的棱长为2，点为的中点． (1)求点到平面的距离为； (2)求到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离为即可； （2）利用法向量的来证明线面平行，将到平面的距离进行转化为点到面的距离即可. 【详解】（1）以为原点，所在的直线分别为轴如图建立空间直角坐标系， 则， 所以，                     设平面的一个法向量为， 则， 令， 所以平面所的法向量为，又 所以点到平面的距离. （2）由（1）可得平面的法向量为， ∵，∴， ， ， ∴平面，                  所以到平面的距离可以转化为点到平面的距离， 由， 所以到平面的距离为. 【考点6：求面到面的距离】 1．（24-25高一·全国·课后作业）在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量，则，令得，故， 显然平面平面， 所以平面与平面之间的距离． 故选：A 2．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）空间直角坐标系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知得，，，设向量与向量、都垂直，由向量垂直的坐标运算可求得，再由平面平行和距离公式计算可得选项. 【详解】解：由已知得，，，设向量与向量、都垂直，则 ，即，取，， 又平面平面，则平面与平面间的距离为， 故选：A. 3．（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B 4．（24-25高二·湖南·课后作业）已知正方体的棱长为4，设M、N、E、F分别是，的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离． 【答案】 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出平面EFBD的法向量，并证明平面平面EFBD.于是两平面的距离转化为点到平面的距离．利用向量距离公式求出即可. 【详解】以D为坐标原点，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴． 则， . 设是平面EFBD的一个法向量， 则，即，解得，所以 ． 又因为， 所以，从而，所以平面， 所以平面平面EFBD，所以两平面的距离即是点A到平面BDEF的距离． 从而两平面间距离为． 5．（24-25高二·全国·课堂例题）如图，正方体的顶点坐标为，，，，求平面与平面之间的距离．    【答案】 【分析】根据已知求出面的法向量，应用线面、面面平行的判定定理证平面平面，进而可知在上的投影长，即为平面与平面之间的距离d，利用向量法求面面距离. 【详解】由题意得，，． 设为平面的法向量，则， 取，得，，则是平面的一个法向量． 由，面，面，则面， 由，面，面，则面， 又，面，故平面平面． 由于点A，D分别在平面与平面上， 因而在上的投影长，即为平面与平面之间的距离d． 因此，所求距离． 6．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面到平面的距离.    【答案】 【分析】由题以为原点建立空间直角坐标系，求出，进而得出，再由线面平行和面面平行的判定定理得平面平面，从而用向量法求出点到平面的距离即为解. 【详解】由题可以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，            则，，， 所以， 故，所以， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又，所以平面平面， 所以平面到平面的距离等价于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则，所以， 令，则，所以， 故点到平面的距离为，即平面到平面的距离为. 7．（2025高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直线到平面的距离等于点到平面的距离，利用向量求解可得； （2）平面与平面间的距离等于点到平面的距离，利用向量法求解即可． 【详解】（1）以D为原点，为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则 所以，所以，即， 又平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离． 设平面的一个法向量为， 则，令，则，又， 所以点到平面的距离.      （2）由（1）知平面，同理，平面， 又，平面， 所以平面平面， 即平面与平面间的距离等于点到平面的距离． 由（1）知，点到平面的距离. 所以平面与平面间的距离为. 8．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点． (1)求证：平面ABD； (2)求证：平面EGF平面ABD； (3)求平面EGF与平面ABD的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）建立合适空间直角坐标系，应用向量法可得，，再由线面垂直的判定定理即可证得结论； （2）同（1）可证平面EFG，结合（1）结论及线面垂直的性质即可证； （3）向量法求点F到平面ABD的距离，结合（2）结论即可得结果. 【详解】（1）由题设，两两互相垂直， 以B为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，设，则. 所以，易得，， 所以，，所以，， 又，且都在平面内，故平面ABD. （2）由题意知，则， 所以，，则，， 所以，， 又且都在平面内，所以平面EFG， 结合（1）知，平面EGF平面ABD. （3）由（1）（2）知，，是平面ABD的法向量， 所以点F到平面ABD的距离为， 由（2）知，平面EGF与平面ABD的距离等于点F到平面ABD的距离， 所以两平面间的距离为. 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.7 空间向量法求空间中的距离 【知识梳理】 1 【考点1：求点到线的距离】 2 【考点2：与点到线距离有关的最值问题】 3 【考点3：求点到面的距离】 5 【考点4：由点到面的距离求参】 8 【考点5：求线到面的距离】 13 【考点6：求面到面的距离】 15 【知识梳理】 1、 点到线的距离 若为直线外的一点， 在直线上，为直线的方向向量，，则点到直线距离为. 2、点到面的距离 已知平面的法向量为，A是平面内的定点，P是平面外一点，过点P作平面的垂线l,交平面于点Q，则是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此 . 3、线到面的距离 线到面的距离问题一般情况下需要转化为点到面的距离问题进行求解. 【考点1：求点到线的距离】 1．（24-25高二下·福建莆田·期中）已知，，，则点C到直线的距离为 . 2．（2025高三·全国·专题练习）已知棱长为1的正方体，若点在正方体内部且满足，则点到的距离为 ． 3．（24-25高三下·浙江湖州·阶段练习）已知直三棱柱中，，，侧棱，若点，分别是线段，的中点，则点到直线的距离是 ． 4．（2025高三下·重庆·竞赛）四面体满足，，，，设、、的中点分别为、、，则点到直线的距离为 . 5．（24-25高一下·吉林松原·期中）图，在长方体中，，，，分别为，的中点，记，，． (1)用向量，，表示，，； (2)求点C到直线EF的距离． 6．（2025·广东·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面，M为的中点．    (1)求点P到直线的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【考点2：与点到线距离有关的最值问题】 1．（2025·江苏南通·二模）在四面体中，，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，点到直线的距离为1，则四面体体积的最大值为（   ） A． B．1 C． D．3 2．（24-25高二上·北京·期中）在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，则点到直线的距离的最小值为 . 3．（2025·河南·模拟预测）在直四棱柱中，底面为正方形，．点P在侧面内，若平面，则点P到的距离的最小值为 ． 4．（24-25高二上·山东枣庄·阶段练习）如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为 . 5．（24-25高二上·上海·期末）如图，长方体中，，，，为底面的中心，点为上的动点（包括端点），则当的面积最小时，线段的长为 ． 6．（24-25高二上·全国·课后作业）如图①，在中，，，，D，E分别是AC，AB上的点，且，，将沿DE折起到的位置，使平面BCDE，如图②.若点F是线段BE的靠近点E的三等分点，点P是线段上的点，直线l过点B且垂直于平面BCDE，则点P到直线l的距离的最小值为 .    【考点3：求点到面的距离】 1．（上海市宝山区2024-2025学年高二下学期期末教学质量监测数学试卷）已知三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且，，.顶点到平面的距离是 . 2．（24-25高二下·福建泉州·期末）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3.    (1)证明：平面PCD⊥平面PAD； (2)求点B到平面PAD的距离. 3．（24-25高二下·上海闵行·期末）设正方体的棱长为2，，的中点分别为，. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求点到面的距离. 4．（24-25高二下·上海·阶段练习）如图，正四棱柱中，，，点M，N分别是棱，的中点． (1)求证：直线平面； (2)求点B到平面的距离． 5．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是棱，，的中点. (1)证明：； (2)求点到平面的距离. 6．（24-25高二·全国·假期作业）如图，在正三棱柱中，，分别为的中点． 线段上是否存在点，使得？若存在，求出点到平面的距离；若不存在，说明理由． 【考点4：由点到面的距离求参】 1．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）设正方体的棱长为 2，为正方体表面上一点，且点到直线的距离与它到平面的距离相等，记动点的轨迹为曲线，则曲线的周长是 . 2．（24-25高二·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，M为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)若，在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 3．（24-25高二下·江苏·阶段练习）如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点在棱上运动，当点到平面的距离为时，求的长度． 5．（2025·福建泉州·模拟预测）在四棱锥中，底面为矩形，点在平面内的投影落在棱上，． (1)求证：平面平面； (2)若，，当四棱锥的体积最大时，求平面与平面的夹角的余弦值． 6．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，．点在棱上且与不重合，平面交棱于点． (1)求证：； (2)若为棱的中点，求二面角的正弦值； (3)记点到平面的距离分别为，求取最大值时的值． 【考点5：求线到面的距离】 1．（24-25高二上·安徽六安·期中）正三棱柱的所有棱长都为2，则到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·重庆·阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是线段的中点，则直线到平面的距离是（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山东淄博·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 5．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）如图，正方体的棱长为2，点为的中点． (1)求点到平面的距离为； (2)求到平面的距离． 【考点6：求面到面的距离】 1．（24-25高一·全国·课后作业）在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 2．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）空间直角坐标系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二·湖南·课后作业）已知正方体的棱长为4，设M、N、E、F分别是，的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离． 5．（24-25高二·全国·课堂例题）如图，正方体的顶点坐标为，，，，求平面与平面之间的距离．    6．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面到平面的距离.    7．（2025高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 8．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点． (1)求证：平面ABD； (2)求证：平面EGF平面ABD； (3)求平面EGF与平面ABD的距离． 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$