第一章 再练一课(范围：§1.4)（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

再练一课(范围：§1.4) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1．若直线l∥α，且l的一个方向向量为(2，m,1)，平面α的一个法向量为，则m等于(　　) A．－4 B．－6 C．－8 D．8 答案　C 解析　由题意知(2，m,1)·＝0， 即2＋m＋2＝0，所以m＝－8. 2．已知两平面的法向量分别为m＝(1，－1,0)，n＝(0,1，－1)，则两平面的夹角为(　　) A．60° B．120° C．60°或120° D．90° 答案　A 解析　|cos〈m，n〉|＝＝＝， 所以两平面的夹角为60°. 3.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M为棱CC1的中点，则直线B1M与平面A1D1M所成角的正弦值是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(1,0,1)，D1(0,0,1)， M，B1(1,1,1)， ＝(－1,0,0)，＝，＝， 设平面A1D1M的法向量为m＝(x，y，z)， 则⇒ 令y＝1，可得z＝2，所以m＝(0,1,2)， 设直线B1M与平面A1D1M所成的角为θ， sin θ＝＝＝. 4．在正四棱锥P－ABCD中，M，N分别为PA，PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值为，则异面直线DM与AN所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　如图所示，不妨设正四棱锥底面边长为2，则由该正四棱锥侧面与底面所成二面角的正切值为，易得其高为，取底面正方形的中心为原点O，以过点O且与AD平行的直线为x轴，以过点O且与AB平行的直线为y轴，以OP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则A(1，－1,0)，B(1,1,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0，)， 则M，N， 所以＝，＝， 设DM与AN所成的角为θ，则cos θ＝|cos〈，〉|＝＝. 5．在三棱锥P－ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠PBC＝45°，则点C到平面PAB的距离是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　方法一　建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(0，4,0)，P(0,4,4)， ∴＝(0,4,4)，＝(4,0,0)，＝(0,0，－4)． 设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)， 则即 令y＝，则z＝－1， ∴m＝(0，，－1)，∴点C到平面PAB的距离为＝. 方法二　∵PC⊥底面ABC， ∴PC⊥AB，又AB⊥AC，且PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC， ∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PA， ∵AC＝AB＝4，∴BC＝4， ∴PC＝4，PB＝8， 在Rt△PAB中，PA＝＝4， 令点C到平面PAB的距离为d， ∵VP－ABC＝VC－PAB， ∴××4×4×4＝××4×4×d， ∴d＝. 6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1， 则A1(0,0,1)，E， D(0,1,0)， ∴＝(0,1，－1)，＝. 设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)， ∴即解得 ∴n1＝(1,2,2)． ∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)， ∴|cos〈n1，n2〉|＝＝， 即平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7．下列结论中，正确的是(　　) A．若两条不重合的直线l1，l2的一个方向向量分别是a＝(2,3，－1)，b＝(－2，－3,1)，则l1∥l2 B．若直线l的一个方向向量是a＝(1，－1,2)，平面α的一个法向量是u＝(6,4，－1)，则l⊥α C．若两个不同的平面α，β的一个法向量分别是u＝(2,2，－1)，v＝(－3,4,2)，则α⊥β D．若直线l的一个方向向量是a＝(0,3,0)，平面α的一个法向量是u＝(0，－5,0)，则l∥α 答案　AC 解析　对于A，由题意知，b＝－a，所以a∥b，即l1∥l2，故A正确；对于B，若直线l的一个方向向量是a＝(1，－1,2)，平面α的一个法向量是u＝(6,4，－1)，则a·u＝1×6－1×4＋2×(－1)＝0，所以a⊥u，即l∥α或l⊂α，故B错误；对于C，因为u·v＝0，所以α⊥β，故C正确；对于D，因为u＝－a，所以u∥a，即l⊥α，故D错误． 8．将正方形ABCD沿对角线BD翻折，使平面ABD与平面BCD的夹角为90°，下列结论正确的是(　　) A．AC⊥BD B．△ACD是等边三角形 C．直线AB与平面BCD所成的角为 D．AB与CD所成的角为 答案　ABD 解析　如图所示，以BD的中点O为坐标原点，分别以OD，OA，OC所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 设正方形ABCD的边长为， 则D(1,0,0)，B(－1,0,0)，C(0,0,1)，A(0,1,0)， 所以＝(0，－1,1)，＝(2,0,0)，·＝0， 故AC⊥BD，A正确； 又||＝，||＝，||＝， 所以△ACD为等边三角形，B正确； ＝(－1，－1,0)，＝(0,1,0)，易知为平面BCD的一个法向量， 设直线AB与平面BCD所成的角为θ， 则sin θ＝|cos〈，〉|＝ ＝＝， 所以直线AB与平面BCD所成的角为，C错误； 又＝(1,0，－1)， 所以|cos〈，〉|＝ ＝＝， 所以AB与CD所成的角为，D正确． 9.在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在棱DC上运动(不与顶点重合)，则点B到平面AD1P的距离可以是(　　) A．1 B. C．2 D．3 答案　BC 解析　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则D(0,0,0)，A(3,0,0)，B(3,3,0)，D1(0,0,3)， 设P(0，t,0)(0<t<3)， 所以＝(－3，t,0)，＝(－3,0,3)，＝(0,3,0)， 设n＝(x，y，z)为平面AD1P的法向量， 则 令y＝3，可得n＝(t,3，t)， 则点B到平面AD1P的距离d＝＝， 因为0<t<3，所以2t2＋9∈(9,27)，所以d∈(，3)． 三、填空题(每小题5分，共15分) 10．设A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，则点D到平面ABC的距离为________． 答案　 解析　设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)． ∴n·＝0，n·＝0， ∴ 即∴ 令z＝－2，则n＝(3,2，－2)． 又∵＝(－7，－7,7)， ∴点D到平面ABC的距离为d＝ ＝＝＝. 11.如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PD＝，平面ABCD⊥平面PAD，M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是__________． 答案　 解析　以O为原点，OA所在直线为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，B(1,2,0)，P(0,0,2)，C(－1,2,0)，M， ＝(0,0,2)，＝(－1,2,0)，＝， 设平面PCO的法向量为m＝(x，y，z)， 则令y＝1，可得x＝2，所以m＝(2,1,0)， 设直线BM与平面PCO所成的角为θ， 则sin θ＝|cos〈m，〉|＝＝＝. 12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是线段AB上一点，当平面PEC与平面DEC夹角的大小为时，AE＝________. 答案　2－ 解析　设AE＝a(0≤a≤2)，以D为坐标原点， 以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则D(0,0,0)，E(1，a,0)，C(0,2,0)，P(0,0,1)， 可得＝(1，a，－1)，＝(0,2，－1)， 设平面PEC的法向量为m＝(x，y，z)， 则 令y＝1，得x＝2－a，z＝2， 所以m＝(2－a,1,2)， 又平面DEC的一个法向量为＝(0,0,1)， 则|cos〈m，〉|＝＝＝， 解得a＝2－或a＝2＋(舍去)， 所以AE＝2－. 四、解答题(共37分) 13．(12分)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点． (1)求证：CF∥平面A1DE；(6分) (2)求平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值．(6分) (1)证明　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(2,0,2)，E(1,2,0)，D(0,0,0)，C(0,2,0)，F(0,0,1)， 则＝(2,0,2)，＝(1,2,0)，＝(0，－2,1)， 设平面A1DE的法向量为n＝(a，b，c)， 则 取n＝(－2,1,2)， ∴·n＝(0，－2,1)·(－2,1,2)＝0， 又CF⊄平面A1DE， ∴CF∥平面A1DE. (2)解　＝(0,2,0)是平面A1DA的法向量， ∴|cos〈n，〉|＝＝， 即平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值为. 14．(12分)如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD＝AE＝2，O，M分别为CE，AB的中点． (1)求异面直线AB与CE所成角的大小；(6分) (2)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值．(6分) 解　(1)∵DB⊥BA，平面ABDE⊥平面ABC， 平面ABDE∩平面ABC＝AB，DB⊂平面ABDE， ∴DB⊥平面ABC. ∵BD∥AE， ∴EA⊥平面ABC. 如图所示，以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴，以过点C且与EA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系． ∵AC＝BC＝4，∴C(0,0,0)，A(4，0,0)，B(0,4,0)，E(4,0,4)， ∴＝(－4,4,0)，＝(4,0,4)． ∴|cos〈，〉|＝＝， ∴异面直线AB与CE所成角的大小为. (2)由(1)知O(2,0,2)，D(0,4,2)，M(2,2,0)， ∴＝(0,4,2)，＝(－2,4,0)， ＝(－2,2,2)． 设平面ODM的法向量为n＝(x，y，z)， 则由可得 令x＝2，则y＝1，z＝1， ∴n＝(2,1,1)． 设直线CD与平面ODM所成的角为θ， 则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝， ∴直线CD与平面ODM所成角的正弦值为. 15．(13分)如图，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动． (1)求证：D1E⊥A1D；(5分) (2)在棱AB上是否存在点E使得AD1与平面D1EC所成的角为？若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．(8分) (1)证明　∵AE⊥平面AA1D1D，A1D⊂平面AA1D1D，∴AE⊥A1D. ∵在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1， ∴A1D⊥AD1. ∵AE∩AD1＝A，AE，AD1⊂平面AED1， ∴A1D⊥平面AED1. ∵D1E⊂平面AED1， ∴D1E⊥A1D. (2)解　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 假设在棱AB上存在点E(1，t,0)(0≤t≤2)， 使得AD1与平面D1EC所成的角为， A(1,0,0)，D1(0,0,1)，C(0,2,0)， ＝(－1,0,1)，＝(0，－2,1)， ＝(1，t－2,0)， 设平面D1EC的法向量为n＝(x，y，z)， 则 取y＝1，得n＝(2－t,1,2)， ∴sin ＝＝， 整理得t2＋4t－9＝0， 解得t＝－2或t＝－2－(舍去)， ∴在棱AB上存在点E使得AD1与平面D1EC所成的角为，此时AE＝－2. 学科网（北京）股份有限公司 $