2025年中考数学跨学科之操作型专项练习试题（40道题）

中考数学新题型之跨学科专项练习40题 一．解答题（共40小题） 1．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等． （1）如图，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜反射，若被反射出的光线与光线平行，且，则　　，　　； （2）在（1）中，若，则　　，若，则　　； （3）由（1）、（2）请你猜想：当两平面镜、的夹角　　时，可以使任何射到平面镜上的光线，经过平面镜、的两次反射后，入射光线与反射光线平行，请说明理由． 2．行文明之举，向高空抛物说“不”．为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度（单位：和高度（单位：近似满足公式（不考虑风速的影响，，已知小亮家所住楼层的高度是． （1）假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）； （2）小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由． 3．实际应用 材料 太阳高度：太阳高度指太阳光线与地平面的夹角，记作，当地地方时12时的太阳高度称为正午太阳高度．一天中正午时太阳高度最大，日出和日落时太阳高度为． 的计算公式：纬差（纬差是指某地的地理纬度与当日太阳直射点所在纬度的差值，特别地，南纬北纬地区的纬差为其数值之和） 例如，如图所示，地的纬度为，求地夏至日（太阳直射北回归线的正午太阳高度？ 解：夏至日太阳直射的纬度为， 与地的纬度差， 那么． 应用 （1）深圳纬度约为，一年中会有两次太阳直射，一般在每年的6月18日和6月26日两天，则当天正午太阳高度　　（填角度）；冬至太阳直射南回归线，则当天正午深圳的太阳高度　　（填角度） （2）如图，小明家住在河南焦作，一年中正午太阳光线与地平面夹角最小在冬至，约为，即，夹角最大在夏至，约为，即，测得他家窗高约为，即．如图所示的直角遮阳篷，在冬至能最大限度地使阳光射入室内，在夏至又能最大限度地遮挡炎热的阳光，请求出此遮阳篷两直角边，的长度．（精确到，参考数据：，，，，， 4．最近火爆全网，说明人工智能已经逐渐融入我们的生活．小明家餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间的关系如表： 地面所受压强 接触面积 （1）求地面所受压强关于接触面积的函数表达式； （2）若送餐机器人要经过一段水平玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为，问这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为多少平方米？ 5．如图，这是一类物质结构组成的式子，第1个结构式中有1个和4个，分子式是；第2个结构式中有2个和6个，分子式是；第3个结构式中有3个和8个，分子式是按照此规律，回答下列问题． （1）第5个结构式的分子式是　　． （2）第个结构式的分子式是　　． （3）试通过计算说明分子式是的物质构成符合上述构成规律吗？ 6．【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为通过实验得出如下数据： 1 3 4 6 4 3 2.4 2 （1） 　　， 　　； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是 　　． （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为 　　． 7．一物体从高处自由落下，落到地面所用的时间（单位：秒）与开始落下时的高度（单位：米）有下面的关系式：． （1）已知米，求落下所用的时间；（结果精确到 （2）一人手持一物体从五楼让它自由落到地面，约需多少时间？（无地下室，每层楼高约3.5米，手拿物体高为1.5米）（结果精确到 （3）如果一物体落地的时间为3.6秒，求物体开始下落时的高度． 8．【阅读材料】 【数学思考】 根据光的反射定律，结合“等角的余角相等”，图中，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角对应相等．例如：在图1、图2中，设平面镜与平面镜的夹角，从点射出一条光线，分别在点，点发生反射，则有，． （1）如图1，光线经过2次反射又回到了点，入射光线与第2次反射光线的夹角为．若，则　　度； （2）如图2，光线经过2次反射，第2次反射光线为，请探索证明与的数量关系，并直接写出当为多少度时，； （3）如图3，有三块平面镜，，，，入射光线与平面镜的夹角．已知入射光线从平面镜开始反射，经过为正整数，次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，请直接写出 的度数（可用含有的代数式表示）． 9．综合与实践 【问题背景】以函数的角度来看待和解决问题． （1）通过观察以下一位数的积：，，，，．其中每个式子中的两数之和为10，推测在这些式子中，乘积最大的算式是 　　．（只需填符合的算式，不需要算出结果） （2）通过观察以下两位数的积：，，，，．其中每个式子中的两数之和为30，推测在这些式子中，乘积最大的算式是 　　．（只需填符合的算式，不需要算出结果） 【初步探讨】以问题（2）为例，设第一个数为，写出你对问题（2）的猜想（包括条件和结论）．尝试用二次函数的知识证明你对问题（2）的猜想． 【实践应用】（3）物理电路理论知识中有以下几个结论：串联电路的总电阻等于各串联电阻之和；并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和；电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系．在如图1所示的电路中，，，滑动变阻器的最大电阻，其等效电路图如图2所示，其中，在滑片从端滑到端的过程中，设，请你结合电路知识以及函数知识来说明，当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，并求出电流表示数的最小值． 10．在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料： 【光学模型】如图1，通过凸透镜光心的光线，其传播方向不变，平行于主光轴的光线经凸透镜折射后通过焦点，凸透镜的两侧各有一个焦点和，焦点到光心的距离称为焦距，记为． 【模型验证】如图2，平行于主光轴的光线经凸透镜折射后与光线的交点为点，过点作主光轴的垂线，垂足为，即可得出物体所成的像． 已知，，，，，当时，求证：． 证明：，， ， △， ， 即， 同理可得△， ，即①　　， ②　　，，，即． 请结合上述材料，解决以下问题： （1）在上述证明过程的虚框部分中，得到比例式所用到的几何知识是 　　； （2）请补充上述证明过程中①②所缺的内容（用含，的代数式表示）； （3）如图3，在中，，平分并交边于点，设，求的值（用含的代数式表示）． 11．【综合与实践】：有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”，某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务， 【知识背景】：如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：，其中秤盘质量克，重物质量克，秤砣质量克，秤纽与秤盘的水平距离为1厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米． 【方案设计】：目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务一：确定和的值． （1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程； （2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程； （3）根据（1）和（2）所列方程，求出和的值； 任务二：确定刻线的位置． （4）根据任务一，求关于的函数解析式； （5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 12．某校数学兴趣小组开展了利用光的折射率测量物体的高度的项目式学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 测量依据 光线从水中斜射入空气中会发生折射，当为入射角，为折射角时，把称为光线从水斜射入空气中的折射率，由此得到光线从水斜射入空气中的折射率． 测量工具 纸、笔、皮尺等． 测量方案 如图，长方体鱼缸底的点处有一块鹅卵石，当倒入水至处，鹅卵石发出的光在水面处发生折射进入小西的眼睛处，小西逆着折射光线看到鹅卵石在上（看到的是虚像，位置比实际位置高），此时测得，． 测量示意图 根据以上信息，解决下列问题： （1）求入射角的度数； （2）看到的鹅卵石比实际的鹅卵石位置高多少？（精确到，参考数据： 13．高空抛物严重威胁着人们的头顶安全，即便是常见小物件，一旦从高空落下，其威力也惊人，而且落地用时很短，行人常常来不及避让．据研究，从高度为（单位：的高空抛出的物体下落的时间（单位：和高度近似满足公式（不考虑风速的影响）． （1）当时，求下落的时间． （2）小明说从40米高空抛物到落地时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由． （3）伤害无防护的人体只需要的动能，高空抛物动能（单位：物体质量（单位：高度（单位：，某质量为的玩具在高空抛出后经过落地，请通过计算说明：这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？ 14．项目化学习 项目主题：进入光线和离开光线夹角与两块镜子夹角的关系 项目背景：自行车尾灯是由若干个两个互相垂直的平面镜构成，当光线经过镜子反射时，进入车尾灯的光线与离开车尾灯的光线互相平行（如图．某校综合与实践小组受自行车尾灯设计的启发，以探究“进入光线和离开光线夹角与两块镜子夹角的关系”为主题展开项目式学习． 驱动任务：探究进入光线和离开光线夹角度数与两块镜子夹角度数的关系 项目素材：平面镜反射光线规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等． 研究步骤：（1）将两块平面镜，竖直放置在桌面上，并使它们镜面间夹角的度数为； （2）在同一平面内，用一束激光射到平面镜上，分别经过平面镜，两次反射后，进入光线与离开光线形成的夹角度数为（如图； （3）多次调整两块平面镜的夹角，并进行测量，得到多组和的值； （4）数据分析，形成结论． 问题解决：请根据项目实施的相关材料完成下列任务． （1）根据表中信息可知，是的 　　 函数（选填“一次”“二次”“反比例” ，与的函数关系式为 　　； （2）请你在图2中用学过的物理原理和几何知识验证（1）中的函数关系式． 15．综合实践 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：．其中秤盘质量克，重物质量克，秤砣质量克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米． 【方案设计】目标：设计简易杆秤，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．设定秤盘质量，秤砣质量，则有． 任务一：确定和的值． （1）当秤盘不放重物即克，秤砣在零刻线即厘米时，杆秤平衡，请列出关于，的方程； （2）当秤盘放入质量为克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线即厘米时，杆秤平衡，请列出关于，的方程； （3）根据（1）（2）所列二元一次方程组成二元一次方程组，求出和的值． 任务二：确定刻线的位置． （4）根据任务一求出的和的值，求关于的函数解析式； （5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请直接写出相邻刻线间的距离． 16．在物理学中，我们学过，光线从空气中进入液体，会发生折射现象， 如图（一，若入射角为，折射角为，法线垂直于液面，由此我们可以得到物理公式：折射率． 某课外活动小组为观察光的折射现象，设计如图（二的实验，通过点发射一束光线，经由点光线折射到点三点不在一条直线上），图（三为实验示意图，法线垂直于液面于点，交液面底部于点，四边形为矩形，经测量，，，光线由空气进入液体的折射率． （1）在延长线上量取，光线由点射出经由点，恰好折射到点，求出入射角的正弦值和折射角的度数； （2）光线再次由点射出，经由点折射到点且入射角，求的长． 17．阅读以下素材，探索完成任务． 极地探索，冰面行走是否安全？ 素材1 如图所示是我国自主研发的四轮长航程极地机器人，机器人质量为． 备注：极地机器人在冰面上的压力与重力相等． 素材2 重力质量重力系数； 压强； 重力系数 素材3 南极某处冰面能承受的最大压强为 解决问题 任务1 直接写出极地机器人对冰面的压强关于受力面积的函数表达式； 任务2 为适应极地的不同应用环境，现将极地机器人改装成可更换、、三种型号的履带（更换不同型号履带时，极地机器人整体质量保持不变），、、三种型号对应的每条履带的接触面积分别为、、．利用函数的性质判断，极地机器人应更换哪种型号的履带方可安全通过该冰面； 任务3 综合学科知识，当科考人员在行走过程中遇到冰面破裂等危险时，请你写出一条建议帮助科考队员安全离开危险区． 18．综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？ 素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码． 素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长时，天平平衡． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码重量右盘物体重量．（不计托盘与横梁重量） 任务1：设右侧托盘放置物体，长，求关于的函数表达式，并求出的取值范围． 任务2：求这个空矿泉水瓶的重量． 19．我们在科学课中学过，光从空气射入水中会发生折射现象（如图，记入射角为，折射角为，我们把称为水的折射率．为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图2，为一圆柱形敞口容器的纵切面，，容器未盛水时激光笔从处发射光线，点，，恰好共线，此时．往容器内注水，当水面到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点处，测得．（参考数据：，， （1）求容器的高度． （2）求水的折射率． （3）若继续往容器内注水，光斑会往左侧移动，如图3，当光斑移动到的三等分点处，求水面上升的高度（结果精确到 20．根据背景素材，探索解决问题． 自制杆秤 背景素材 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤． 如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：．其中秤盘质量克，重物质量克，秤砣质量克，秤纽与秤盘的水平距离为1厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米． 设计简易杆秤要求：设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 问题解决 任务一 确定和的值 （1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程． （2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程． （3）根据（1）和（2）所列方程，求出和的值． 任务二 确定刻线的位置 （4）根据任务一，求关于的函数解析式． （5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 21．【发现问题】小星同学学习了并联电路的相关知识后，掌握了并联电路中总电阻与各支路电阻的关系：为正整数）．在探究由两个电阻组成的并联电路时（电路图如图，小星同学发现了一个有趣的问题：当电阻与电阻的和为定值时，并联电路的总电阻与其中任意一个电阻或存在函数关系． 【实验探究】小星同学找来了若干个电阻进行实验，且每次连接到电路中的两个电阻的和恒为，即，实验数据记录如下： 1 2 3 4 5 9 8 7 6 5 0.9 1.6 2.1 2.4 2.5 （1）请在图2中描出上表中与各对数值所对应的点，并用光滑的曲线连接； 【提出猜想】观察（1）中的图象，小星同学提出了大胆的猜想：在由两个电阻组成的并联电路中，当电阻 与电阻的和为定值时，并联电路的总电阻与其中任意一个电阻或满足二次函数关系． 【验证猜想】为了验证上述猜想，小星同学进行了下列推导： 当并联电路中有两个电阻时，根据公式： ，得，通分整理，得求倒数，得（②）． 设，则（③）． 代入，得（④），整理得（⑤）． （2）请帮小星同学补全推导过程： ①　　；②　　；③　　；④　　；⑤　　； 【实际应用】 （3）小星同学获知，某电取暖器的电路中有两个并联的、阻值可连续调节的电阻，，且无论如何调节，这两个电阻的和恒为，．已知电路中总电阻越大，电取暖器的电功率越低，当工作中的电取暖器达到最低电功率时，分别求各支路电阻与总电阻的值． 22．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定、在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度与所挂物体质量的一组对应值． 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 18 20 22 24 26 28 （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）当所挂物体重量为3千克时，弹簧多长？不挂重物时呢？ （3）若所挂重物为7千克时（在允许范围内），你能说出此时的弹簧长度吗？ 23．爱动脑筋的小明在学了相似三角形后，他回顾了八年级物理课中学过的凸透镜成像规律，想弄明白其中原理，如：物距、像距和焦距之间是否存在一定的联系？为什么所成的像有时候会出现放大或缩小、正立或倒立、实像或虚像？能不能求出具体放大（或缩小）了几倍？于是乎他作了多次研究推理． （1）小明先取物距，然后画出光路图（如图，其中为物体，为凸透镜的光心，入射光线光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．请根据光路图1，解答下列问题： ①当时，物体经凸透镜折射后成 　　（填“倒立”或“正立” ，　　（填“放大”或“缩小” 的 　　（填“实像”或“虚像” ；利用相似的知识． ②利用相似的知识，直接写出当时物体成像时放大了 　　倍； （2）小明在研究的过程中发现了物距、像距和焦距之间在成实像时存在着关系：，请以物距时为例，请仿照（1）②的方法，在图2中画光 路图证明这个关系式． 24．如图，某人对地面的压强（单位：与这个人和地面接触面积（单位：满足反比例函数关系． （1）图象上点坐标为，求函数解析式和这个人的体重． （2）如果此人所穿的每只鞋与地面的接触面积大约为，那么此人双脚站立时对地面的压强有多大？ （3）如果某一沼泽地面能承受的最大压强为，那么此人应站立在面积至少多大的木板上才不至于下陷（木板的质量忽略不计）？ 25．如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． （1）写出滚动的距离（单位：关于滚动的时间（单位：的函数关系式．（提示：本题中，距离平均速度时间，，其中是开始时的速度． （2）如果斜面的长度是，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间？ 26．杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图．制作方法如下： 第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度，确定支点，并用细麻绳固定，在支点左侧的处固定一个金属吊钩，作为秤钩； 第二步：取一个质量为的金属物体作为秤砣． （1）图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点右侧的处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长为．写出关于的函数解析式；若，求的取值范围． （2）调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点右侧的处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为，的长为，写出关于的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象． 0.25 0.5 1 2 4 　　 　　 　　 　　 　　 27．根据以下素材，探索完成任务 如何制作简易的人体测温仪？ 素材1 一般情况，人体的正常体温为，在生病时，体温最低可达，最高可达．图1是一个红外温度传感器可变电阻，它的电阻与温度之间的函数关系如图2所示． 素材2 图3是一个人体测温仪，图4是人体测温仪的工作电路图，电路连入了一个红外温度传感器可变电阻，其中电源电压恒为，电流表的量程为，电流表的读数可以换算成人的体温．在测量人体体温时，为保护电流表，电路中串联了一个定值电阻． 备注：①导体两端的电压，电阻，通过的电流满足关系式： ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压 任务解决 任务1 探究可变电阻的阻值 求关于的表达式及测量人体体温时的取值范围． 任务2 探究定值电阻的选择 求定值电阻的最小值． 任务3 拟定制作方案 实验室现有定值电阻的阻值分别为、、、．请你选择一个合适的定值电阻来制作符合要求的测温仪，并求出你制作的测温仪能测量的人体体温范围． 28．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）这个反比例函数的关系式是 　　；蓄电池的电压是 　　； （2）把下表补充完整： 3 4 5 6 7 8 9 10 12 　　 　　 　　 　　 4 3.6 （3）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？ 29．（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线，根据光学知识有，，请判断光线与光线是否平行，并说明理由． （2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，问如何放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底？（即求与水平线的夹角） （3）如图3，直线上有两点、，分别引两条射线、．，，射线、分别绕点，点以1度秒和3度秒的速度同时顺时针转动，设时间为，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，求出所有满足条件的时间． 30．电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，，其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为，该读数可以换算为人的质量， 温馨提示：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式； ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压 （1）求，的值； （2）求关于的函数解析式； （3）用含的代数式表示； （4）若电压表量程为伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量． 31．物体在空中只受重力作用下由静止开始下落的运动，称为自由落体运动，自由落体运动有如下公式：自由落体下落的高度公式（其中为物体自由下落的高度，为重力加速度，，为物体下落的时间），如图，从离地的塔顶处由静止开始自由下落一个钢球． （1）如图1，求钢球经过多长时间落到地面？ （2）如图2，求钢球开始下落到一半的高度时，所用的时间？ （3）如图3，求钢球从下落到离地面的时间还有时，此时钢球离地面的高度为多少？ 32．在物理课探究《凸透镜成像规律》的过程中，小睿和小天记录下了如下的数据： 通过观察数据他们发现在前三种情况中物距、像距和焦距都呈现了以下的规律：．但他们不会证明，就找到数学老师询问，数学老师就第一种情况给他们画出了模型图，并启发他们可以用相似三角形的相关知识进行证明： 凸透镜成像情况 物距 像距 焦距 30 15 10 20 20 10 14 34 10 10 无穷大 10 6 15 10 （1）请补全以下证明： 证：根据物理知识可知：，，易证△，△①　　， 所以；；再根据比例性质可得②　　， 即；所以，两边同除，即得证命题：． （2）根据数据判断，最后一种情况成正立放大虚像时，物距、像距和焦距也符合（1）中的规律吗？如果符合，请利用图进行证明；如果不符合，请写出恰当的物距、像距和焦距之间的数量关系． （3）如果透镜所成像时像距是物距的5倍，且已知物体与透镜相距，请利用（1）（2）中发现的结论计算该透镜的焦距． 33．如果把月亮绕地球旋转的轨迹看成一个圆，地心在圆心上．我们知道地球每24小时逆时针方向自转一圈（从俯视角度看），月亮每月逆时针绕地球旋转一圈． （1）求地球每小时旋转的角度； （2）求月亮绕地球每小时旋转的角度（每月以30天记）； （3）某月15日时，月亮恰好在甲地正上方（如图），到第二天大约几时几分月亮再次出现在甲地正上方？ 34．家用电灭蚊器的发热部分使用了发热材料，它的电阻随温度（在一定范围内）变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温上升到的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加． （1）求当时，和之间的关系式； （2）求温度在时电阻的值；并求出时，和之间的关系式； （3）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过？ 35．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线、反射光线与平面镜所夹的锐角． （1）利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（请把证明过程补充完整） 理由： （已知）， 　 　　 ，（已知）， （等量代换）， （等量减等量，差相等）， 即：　 　（等量代换）， 　 　．　 　 （2）显然，改变两面平面镜、之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置关系会随之改变，请你猜想：图3中，当两平面镜、的夹角　 　时，仍可以使入射光线与反射光线平行但方向相反．（直接写出结果） 36．（1）如图1，车尾灯内两面镜子、互相垂直，当光线经过镜子反射时，，．说明为什么进入车尾灯的光线与离开车尾灯的光线互相平行； （2）小明受车尾灯设计启发，进行实验尝试． ①如图2，两面镜子的夹角为时，进入光线与离开光线的夹角为．试探索与的数量关系． ②两面镜子的夹角为时，进入光线与离开光线所在直线的夹角为．请直接写出与的数量关系． 　　 37．实验证明：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等． （1）如图，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射．若被反射出的光线与光线平行，且，则　 　，　 　． （2）在（1）中，若，则　 　；若，则　 　． （3）由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜、的夹角　 　时，可以使任何射到平面镜上的光线，过平面镜、的两次反射后，入射光线与反射光线平行．请你写出推理过程． 38．如图1在平面直角坐标系中，，，交轴于点，连接． （1）求点坐标； （2）如图2，将线段平移至第四象限得到，点对应点，延长交轴于，用表示点坐标； （3）如图3，在轴正半轴上有一点，轴负半轴上有一点动点，连接、，在、处放置两面相交的平面镜、，平面镜的位置随着点位置的改变而改变．是否存在点使得任何射到平面镜、上的光线经过平面镜、的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（说明：平面镜反射光线的规律是：入射光线和反射光线与平面镜所夹的角相等） 39．如图1，光线经过镜面反射得到光线，过点作，已知． （1）求证：； （2）如图2，若光线经取镜面和两次反射后得到光线，已知，． ①若两镜面形成的夹角，求证：； ②如图3，若两镜面形成的夹角，过点作，且，求和的值． 40．如图，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘中放置一个重物，在右边的活动托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡，改变活动托盘与点的距离，观察活动托盘中砝码的质量的变化情况．实验数据记录如下表： 10 15 20 25 30 30 20 15 12 10 （1）把上表中的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点； （2）观察所画的图象，猜测与之间的函数关系，求出函数关系式并加以验证； （3）当砝码的质量为时，活动托盘与点的距离是多少？ （4）当活动托盘往左移动时，应往活动托盘中添加还是减少砝码？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 中考数学新题型之跨学科专项练习40题 一．解答题（共40小题） 1．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等． （1）如图，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜反射，若被反射出的光线与光线平行，且，则　100　，　　； （2）在（1）中，若，则　　，若，则　　； （3）由（1）、（2）请你猜想：当两平面镜、的夹角　　时，可以使任何射到平面镜上的光线，经过平面镜、的两次反射后，入射光线与反射光线平行，请说明理由． 【考点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理 【分析】根据入射角与反射角相等，可得，． （1）根据邻补角的定义可得，根据，所以，，根据三角形内角和为，即可求出答案； （2）结合题（1）可得的度数都是； （3）证明，由，证得与互补即可． 【解答】解：（1），． 入射角与反射角相等，即，， 根据邻补角的定义可得， 根据，所以， 所以， 根据三角形内角和为，所以； （2），． 由（1）可得的度数都是； （3）（2分） 理由：因为， 所以， 又由题意知，， 所以， ， ， ． 由同旁内角互补，两直线平行，可知：． 【点评】本题是数学知识与物理知识的有机结合，充分体现了各学科之间的渗透性． 2．行文明之举，向高空抛物说“不”．为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度（单位：和高度（单位：近似满足公式（不考虑风速的影响，，已知小亮家所住楼层的高度是． （1）假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）； （2）小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由． 【考点】二次根式的应用 【分析】（1）根据小亮家楼层高度代入高空抛物下落速度公式，通过二次根式运算得出结果； （2）先根据小明家高度是小亮家2倍，算出小明家高度，再代入速度公式，然后与小亮家物品落地速度相比，即可得出结论． 【解答】解：（1）把，，代入得： ， 该楼层落地时的速度为； （2）不正确，理由如下： 小明住的高度是小亮家的2倍， ， 将的值代入公式中得： ， ， 即小明家坠落的物品落地时的速度是小亮家坠落的物品速度的倍，而不是2倍， 因此，小明的说法不正确． 【点评】本题考查了二次根式的运算及自由落体运动中速度与高度关系公式的应用以及，解题关键是准确代入公式中各物理量的值，并熟练运用二次根式运算法则进行计算与化简． 3．实际应用 材料 太阳高度：太阳高度指太阳光线与地平面的夹角，记作，当地地方时12时的太阳高度称为正午太阳高度．一天中正午时太阳高度最大，日出和日落时太阳高度为． 的计算公式：纬差（纬差是指某地的地理纬度与当日太阳直射点所在纬度的差值，特别地，南纬北纬地区的纬差为其数值之和） 例如，如图所示，地的纬度为，求地夏至日（太阳直射北回归线的正午太阳高度？ 解：夏至日太阳直射的纬度为，与地的纬度差， 那么． 应用 （1）深圳纬度约为，一年中会有两次太阳直射，一般在每年的6月18日和6月26日两天，则当天正午太阳高度　　（填角度）；冬至太阳直射南回归线，则当天正午深圳的太阳高度　　（填角度） （2）如图，小明家住在河南焦作，一年中正午太阳光线与地平面夹角最小在冬至，约为，即，夹角最大在夏至，约为，即，测得他家窗高约为，即．如图所示的直角遮阳篷，在冬至能最大限度地使阳光射入室内，在夏至又能最大限度地遮挡炎热的阳光，请求出此遮阳篷两直角边，的长度．（精确到，参考数据：，，，，， 【考点】解直角三角形的应用 【分析】（1）太阳直射时与地面垂直，照射点的纬度和深圳的纬度相同，差为0，可得的值；冬至太阳直射南回归线，深圳纬度约为，可得纬度差为，根据纬差可得的值； （2）由题意得：，，，可得和的度数，设长 ，根据的正切值可得用表示的的长，进而根据的正切值列出等式求解即可得到的值，即可求得的长，的长． 【解答】解：（1）正午太阳光线垂直照射到地面， 太阳照射点的纬度和深圳的纬度相同，都是． 纬度差为． ； 冬至太阳直射南回归线，深圳纬度约为， 纬度差为：． ． 故答案为：，； （2） 由题意得：，，． ，． ． 即． 设长 ． ． ， ． ， ． 解得：． ． ． 答：约为0.3 ，约为0.5 ． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．理解并使用的计算公式进行计算是解决本题的易错点；难点是理解冬至能最大限度地使阳光射入室内的条件是太阳光线与平行． 4．最近火爆全网，说明人工智能已经逐渐融入我们的生活．小明家餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间的关系如表： 地面所受压强 接触面积 （1）求地面所受压强关于接触面积的函数表达式； （2）若送餐机器人要经过一段水平玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为，问这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为多少平方米？ 【考点】反比例函数的应用 【分析】（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系，设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为，将一对数据代入即可求出的值． （2）将代入（1）中所求函数表达式中，即可求出这种机器人与玻璃通道的最小接触面积． 【解答】解：（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系． 设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． 将，代入，得， 地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． （2）将代入，时，， 当这段玻璃通道能承受的最大压强为时，这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为平方米． 【点评】本题主要考查了以物理知识为情境的反比例函数的应用相关知识，知道物理学中压力、压强与接触面积三者之间的关系是解题的关键．计算时需要仔细． 5．如图，这是一类物质结构组成的式子，第1个结构式中有1个和4个，分子式是；第2个结构式中有2个和6个，分子式是；第3个结构式中有3个和8个，分子式是按照此规律，回答下列问题． （1）第5个结构式的分子式是　　． （2）第个结构式的分子式是　　． （3）试通过计算说明分子式是的物质构成符合上述构成规律吗？ 【考点】规律型：图形的变化类 【分析】（1）根据规律可知第4个结构式中有4个和8个，分子式是，第5个结构式中有5个和12个，分子式是． （2）根据规律可知第个结构式的分子式有个和个． （3）根据（2）中的规律第2025个结构式的分子式有2025个和4052个． 【解答】解：（1）根据规律可知第4个结构式中有4个和8个，分子式是，第5个结构式中有5个和12个，分子式是． 故答案为：． （2）根据规律可知第个结构式的分子式有个和个，分子式为． 故答案为：． （3）不符合． 因为第个结构式的分子式，令，则， 所以分子式的物质构成不符合上述构成规律． 【点评】本题主要考查了跨学科情境下的列代数式相关知识，根据题意得到正确的规律是解题是关键． 6．【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为通过实验得出如下数据： 1 3 4 6 4 3 2.4 2 （1） 　2　， 　　； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是 　　． （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为 　　． 【考点】反比例函数综合题 【分析】（1）由已知列出方程，即可解得，的值； （2）①描点画出图象即可；②观察图象可得答案； （3）同一坐标系内画出图象，观察即可得到答案． 【解答】解：（1）根据题意，， ，； 故答案为：2，1.5； （2）①根据表格数据描点：，，，，，在平面直角坐标系中画出对应函数的图象如下： ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是不断减小， 故答案为：不断减小； （3）如图： 由函数图象知，当或时，， 即当时，的解集为或， 故答案为：或． 【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，画出函数图象，利用数形结合的思想解决问题． 7．一物体从高处自由落下，落到地面所用的时间（单位：秒）与开始落下时的高度（单位：米）有下面的关系式：． （1）已知米，求落下所用的时间；（结果精确到 （2）一人手持一物体从五楼让它自由落到地面，约需多少时间？（无地下室，每层楼高约3.5米，手拿物体高为1.5米）（结果精确到 （3）如果一物体落地的时间为3.6秒，求物体开始下落时的高度． 【考点】22：算术平方根 【分析】（1）把代入公式计算即可求出的值； （2）计算出物体离地面的高度，代入公式计算得到即可； （3）把代入公式计算即可求出的值． 【解答】解：（1）把代入得：（秒； （2）根据题意得：（米， 则（秒； （3）把代入得：， 解得：， 则物体开始下落的高度为64.8米． 【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8．【阅读材料】 【数学思考】 根据光的反射定律，结合“等角的余角相等”，图中，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角对应相等．例如：在图1、图2中，设平面镜与平面镜的夹角，从点射出一条光线，分别在点，点发生反射，则有，． （1）如图1，光线经过2次反射又回到了点，入射光线与第2次反射光线的夹角为．若，则　40　度； （2）如图2，光线经过2次反射，第2次反射光线为，请探索证明与的数量关系，并直接写出当为多少度时，； （3）如图3，有三块平面镜，，，，入射光线与平面镜的夹角．已知入射光线从平面镜开始反射，经过为正整数，次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，请直接写出 的度数（可用含有的代数式表示）． 【考点】列代数式；余角和补角；平行线的判定与性质 【分析】（1）根据光的反射定律，利用三角形内角和定理，先得出，再求出，根据平角的定义，求出，最后利用三角形内角和定理得出； （2）由得出，利用平角定义得出，根据光的反射定律的结论得出，最后可得出； （3）根据为正整数，，分两种情况讨论：①时，若在边上反射后于平行，由（2）知，，与已知不符，则只能在边上反射后与平行， 根据三角形外角定理，可得，由，且由（2）的结论可得，，而是的补角，从而可求出，②时，多次运用入射光线、反射光线与镜面所夹的角的对应相等以及平行线的性质，再根据的内角和，即可得出：． 【解答】解：（1），， ， ，， ， ， ， ， ； （2）当为90度时，； 由得， ， ， ，， ， ； （3） 的度数为或； ①当时，若在边上反射后于平行，由（2）知，，与已知不符， 则只能在边上反射后与平行， 如图所示： 延长、交于点，由，且由（2）的结论可得， ， 又， ， ， ②当时，如图： ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上： 的度数为或． 【点评】本题主要考查了平行线的性质、列代数式，三角形内角和定理，平角及补角的定义等内容，解决本题的关键是灵活运用平行线的性质，并会利用分类讨论的数学思想． 9．综合与实践 【问题背景】以函数的角度来看待和解决问题． （1）通过观察以下一位数的积：，，，，．其中每个式子中的两数之和为10，推测在这些式子中，乘积最大的算式是 　　．（只需填符合的算式，不需要算出结果） （2）通过观察以下两位数的积：，，，，．其中每个式子中的两数之和为30，推测在这些式子中，乘积最大的算式是 　　．（只需填符合的算式，不需要算出结果） 【初步探讨】以问题（2）为例，设第一个数为，写出你对问题（2）的猜想（包括条件和结论）．尝试用二次函数的知识证明你对问题（2）的猜想． 【实践应用】（3）物理电路理论知识中有以下几个结论：串联电路的总电阻等于各串联电阻之和；并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和；电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系．在如图1所示的电路中，，，滑动变阻器的最大电阻，其等效电路图如图2所示，其中，在滑片从端滑到端的过程中，设，请你结合电路知识以及函数知识来说明，当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，并求出电流表示数的最小值． 【考点】二次函数综合题 【分析】【问题背景】（1）、（2）由题意计算最大值，即可求解； 【初步探讨】设第一个数为，则另一个数为，它们的积为，则有，即可求解； 【实践应用】（3）设，则，，设总电流为，由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小，进而求解． 【解答】解：【问题背景】（1）为最大， 故答案为：； （2）为最大， 故答案为：； 【初步探讨】猜想：若两数和为30，当这两数相等时，它们的乘积最大． 证明：设第一个数为，则另一个数为，它们的积为， 则有， ，则抛物线开口向下， 当时，取最大值，为225， 此时这两数分别为15及，两数相等， 当这两数相等时，它们的乘积最大； 【实践应用】（3）设，则，，设总电流为，则 ， 由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小． 设． ，则抛物线开口向下，且， 当时，取最大值为25，此时取最小值为（A），两支路电阻分别为和，两支路电阻相等， 当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，最小值为． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到物理学中电路的相关知识，熟悉二次函数图象和性质是解题的关键． 10．在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料： 【光学模型】如图1，通过凸透镜光心的光线，其传播方向不变，平行于主光轴的光线经凸透镜折射后通过焦点，凸透镜的两侧各有一个焦点和，焦点到光心的距离称为焦距，记为． 【模型验证】如图2，平行于主光轴的光线经凸透镜折射后与光线的交点为点，过点作主光轴的垂线，垂足为，即可得出物体所成的像． 已知，，，，，当时，求证：． 证明：，， ， △， ， 即， 同理可得△， ，即①　　， ②　　，，，即． 请结合上述材料，解决以下问题： （1）在上述证明过程的虚框部分中，得到比例式所用到的几何知识是 　　； （2）请补充上述证明过程中①②所缺的内容（用含，的代数式表示）； （3）如图3，在中，，平分并交边于点，设，求的值（用含的代数式表示）． 【考点】相似形综合题 【分析】（1）证明过程的虚框部分中，得到比例式所用到的几何知识是相似三角形对应边成比例； （2）由题意得：，，即可得出答案； （3）过点作交于，过点作于，由角平分线定义得，由平行线性质得，推出，运用等腰三角形性质可得，根据解直角三角形可得，由，得，即，变形得． 【解答】解：（1）在上述证明过程的虚框部分中，得到比例式所用到的几何知识是相似三角形对应边成比例， 故答案为：相似三角形对应边成比例； （2），， ， ， 即， 同理可得△， ，即， ， ， ，即． 故答案为：①，②； （3）如图3，过点作交于，过点作于， ，平分， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 故． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解决本题的关键是读懂题意，熟练运用相似三角形的判定和性质． 11．【综合与实践】：有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”，某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务， 【知识背景】：如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：，其中秤盘质量克，重物质量克，秤砣质量克，秤纽与秤盘的水平距离为1厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米． 【方案设计】：目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务一：确定和的值． （1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程； （2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程； （3）根据（1）和（2）所列方程，求出和的值； 任务二：确定刻线的位置． （4）根据任务一，求关于的函数解析式； （5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 【考点】解二元一次方程组；一次函数的应用 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可直接代值求解； （3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解； （4）根据（3）可进行求解； （5）分别把，，，，，，，，，， 代入求解，以此即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：，， ，， ， ； （2）由题意得：，， ， ； （3）由（1）（2）可得：， 解得：； （4）由（3）可知：，， ， ； （5）由（4）可知：， 当时，则有； 相邻刻线间的距离为5厘米． 【点评】本题主要考查一次函数的应用、解二元一次方程组，读懂题意，根据题干的描述正确列出等式是解题关键． 12．某校数学兴趣小组开展了利用光的折射率测量物体的高度的项目式学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 测量依据 光线从水中斜射入空气中会发生折射，当为入射角，为折射角时，把称为光线从水斜射入空气中的折射率，由此得到光线从水斜射入空气中的折射率． 测量工具 纸、笔、皮尺等． 测量方案 如图，长方体鱼缸底的点处有一块鹅卵石，当倒入水至处，鹅卵石发出的光在水面处发生折射进入小西的眼睛处，小西逆着折射光线看到鹅卵石在上（看到的是虚像，位置比实际位置高），此时测得，． 测量示意图 根据以上信息，解决下列问题： （1）求入射角的度数； （2）看到的鹅卵石比实际的鹅卵石位置高多少？（精确到，参考数据： 【考点】解直角三角形的应用 【分析】（1）过点作于点，交于点，根据的正切值可得的度数，进而可得反射角的度数，根据折射率可得入射角的正弦值，即可求得入射角的度数； （2）作于点交于点，则的长度即为所求的高度，根据的长和入射角的正切值可得的长，进而可得的长，则根据的正切值可得的长． 【解答】解：（1）过点作于点，交于点，则为反射角，， 由题意得：， ， ，， ， ， ， 即， ，， ， ； （2）作于点交于点，则的长度即为所求的高度，． 由题意得：四边形为矩形， ，，，， ， 由（1）得， ， ， ． 答：看到的鹅卵石比实际的鹅卵石位置高． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．理解入射角和反射角的定义并应用到解直角三角形中是解决本题的关键． 13．高空抛物严重威胁着人们的头顶安全，即便是常见小物件，一旦从高空落下，其威力也惊人，而且落地用时很短，行人常常来不及避让．据研究，从高度为（单位：的高空抛出的物体下落的时间（单位：和高度近似满足公式（不考虑风速的影响）． （1）当时，求下落的时间． （2）小明说从40米高空抛物到落地时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由． （3）伤害无防护的人体只需要的动能，高空抛物动能（单位：物体质量（单位：高度（单位：，某质量为的玩具在高空抛出后经过落地，请通过计算说明：这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？ 【考点】二次根式的应用 【分析】（1）将代入公式中，即可求出的值． （2）将代入公式中，即可求出的值，再判断是否是（1）中所求时间的2倍． （3）将公式变形可得到，再将代入可求出的值，再代入动能公式求出玩具产生动能，若大于，则会伤害到楼下的行人． 【解答】解：（1）当时，， 下落的时间为． （2）不正确． 理由如下：当时，． ， 从40米高空抛物到落地时间不是从20米高空抛物到落地时间的2倍． （3）， ． 当时，， 这个玩具产生的动能为． ， 这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 【点评】本题考查了二次根式的应用相关知识，正确代入数值并化简是解题的关键． 14．项目化学习 项目主题：进入光线和离开光线夹角与两块镜子夹角的关系 项目背景：自行车尾灯是由若干个两个互相垂直的平面镜构成，当光线经过镜子反射时，进入车尾灯的光线与离开车尾灯的光线互相平行（如图．某校综合与实践小组受自行车尾灯设计的启发，以探究“进入光线和离开光线夹角与两块镜子夹角的关系”为主题展开项目式学习． 驱动任务：探究进入光线和离开光线夹角度数与两块镜子夹角度数的关系 项目素材：平面镜反射光线规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等． 研究步骤：（1）将两块平面镜，竖直放置在桌面上，并使它们镜面间夹角的度数为； （2）在同一平面内，用一束激光射到平面镜上，分别经过平面镜，两次反射后，进入光线与离开光线形成的夹角度数为（如图； （3）多次调整两块平面镜的夹角，并进行测量，得到多组和的值； （4）数据分析，形成结论． 问题解决：请根据项目实施的相关材料完成下列任务． （1）根据表中信息可知，是的 　一次　 函数（选填“一次”“二次”“反比例” ，与的函数关系式为 　　； （2）请你在图2中用学过的物理原理和几何知识验证（1）中的函数关系式． 【考点】一次函数的应用；平行线的判定 【分析】（1）由表格中的数据可得：随着度数的增加，的度数逐渐减小，那么是的一次函数，设出一次函数解析式，把表格中的任意两对数值代入可得和的值，即可求得和的函数解析式； （2）由物理知识可得，，进而根据三角形的内角和是及平角的知识判断出和之间的关系即可． 【解答】解：（1）由表格中的数据可得：随着度数的增加，的度数逐渐减小，那么是的一次函数． 设． ． 解得：． ． 故答案为：一次，（或； （2） ， ， ． 同理：． ，， ． 即． ． 【点评】本题考查一次函数的应用．根据表格中的数据判断出和属于哪类函数关系式是解决本题的关键． 15．综合实践 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：．其中秤盘质量克，重物质量克，秤砣质量克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米． 【方案设计】目标：设计简易杆秤，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．设定秤盘质量，秤砣质量，则有． 任务一：确定和的值． （1）当秤盘不放重物即克，秤砣在零刻线即厘米时，杆秤平衡，请列出关于，的方程； （2）当秤盘放入质量为克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线即厘米时，杆秤平衡，请列出关于，的方程； （3）根据（1）（2）所列二元一次方程组成二元一次方程组，求出和的值． 任务二：确定刻线的位置． （4）根据任务一求出的和的值，求关于的函数解析式； （5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请直接写出相邻刻线间的距离． 【考点】单项式乘多项式；二元一次方程组的定义；二元一次方程组的应用；反比例函数的应用 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可直接代值求解； （3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解； （4）根据（3）可进行求解； （5）分别把，，，，，，，，，， 代入求解，以此即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：，， ，， ， ； （2）由题意得：，， ， ； （3）由（1）（2）可得：， 解得：； （4）由（3）可知：，， ， ； （5）由（4）可知：， 当时，则有； 相邻刻线间的距离为5厘米． 【点评】本题主要考查一次函数的应用、解二元一次方程组，读懂题意，根据题干的描述正确列出等式是解题关键． 16．在物理学中，我们学过，光线从空气中进入液体，会发生折射现象，如图（一，若入射角为，折射角为，法线垂直于液面，由此我们可以得到物理公式：折射率． 某课外活动小组为观察光的折射现象，设计如图（二的实验，通过点发射一束光线，经由点光线折射到点三点不在一条直线上），图（三为实验示意图，法线垂直于液面于点，交液面底部于点，四边形为矩形，经测量，，，光线由空气进入液体的折射率． （1）在延长线上量取，光线由点射出经由点，恰好折射到点，求出入射角的正弦值和折射角的度数； （2）光线再次由点射出，经由点折射到点且入射角，求的长． 【考点】解直角三角形的应用 【分析】（1）根据勾股定理易得的长，即可求得的正弦值，也就是的正弦值，根据的求法可得的正弦值，即可求得折射角的度数； （2）易得，根据△是等腰直角三角形可得的长，根据折射率的值可得的正弦值，根据勾股定理可得的长，的长减去的长即为的长． 【解答】解：（1）四边形为矩形， ． ． 在△中，，， ． ． ， ． ． ，， ． ． （2）由题意得：四边形为矩形， ． ，， ． ． ，， ． 由题意得：． 设 ，则． 根据勾股定理得：． ． ，（舍去）． ． ． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．理解折射率的意义是解决本题的关键．用到的知识点为：；，． 17．阅读以下素材，探索完成任务． 极地探索，冰面行走是否安全？ 素材1 如图所示是我国自主研发的四轮长航程极地机器人，机器人质量为． 备注：极地机器人在冰面上的压力与重力相等． 素材2 重力质量重力系数； 压强； 重力系数 素材3 南极某处冰面能承受的最大压强为 解决问题 任务1 直接写出极地机器人对冰面的压强关于受力面积的函数表达式； 任务2 为适应极地的不同应用环境，现将极地机器人改装成可更换、、三种型号的履带（更换不同型号履带时，极地机器人整体质量保持不变），、、三种型号对应的每条履带的接触面积分别为、、．利用函数的性质判断，极地机器人应更换哪种型号的履带方可安全通过该冰面； 任务3 综合学科知识，当科考人员在行走过程中遇到冰面破裂等危险时，请你写出一条建议帮助科考队员安全离开危险区． 【考点】反比例函数的应用 【分析】任务1、根据公式算出重力，即为压力，根据压强公式可得与之间的关系式； 任务2、取为，代入任务1中得到的函数关系式，求得的值，除以4，算出每条履带与地面的接触的最小面积，即可选出合适的型号． 任务3、可减轻负重，减小压力，或匍匐前进，增大受力面积． 【解答】解：任务1、． 压强，极地机器人在冰面上的压力与重力相等． ； 任务2、当时， ． 是四轮长航程极地机器人， 每条履带的接触面积为：． 极地机器人应更换型号的履带方可安全通过该冰面； 任务3、丢弃不重要的装备．（答案不唯一）． 【点评】本题考查反比例函数的应用．理解并应用物理中重力和压强的公式，是解决本题的关键．难点是根据压强公式得到每条履带与地面的接触的最小面积． 18．综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？ 素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码． 素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长时，天平平衡． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码重量右盘物体重量．（不计托盘与横梁重量） 任务1：设右侧托盘放置物体，长，求关于的函数表达式，并求出的取值范围． 任务2：求这个空矿泉水瓶的重量． 【考点】反比例函数的应用 【分析】任务1：根据左盘砝码重量右盘物体重量，把相关数值代入后整理可得与的关系式，根据也就是的取值范围可得的取值范围； 任务2：设空瓶的质量为 ，两次加水的质量均为 ，根据左盘砝码重量右盘物体重量列出二元一次方程组求解即可得到空瓶的质量． 【解答】解：任务左盘砝码重量右盘物体重量，右侧托盘放置物体，长，砝码的质量是，， ． ． ，， ． 点可以在横梁段滑动， ． 即． ． 答：关于的函数表达式为：； 任务2：设空瓶的重量为 ，两次加水的重量均为 ，根据题意，得： ． 解得：． 答：这个空矿泉水瓶的重量为10 ． 【点评】本题考查反比例函数的应用．根据杠杆平衡的条件找到相等关系并合理使用是解决本题的关键． 19．我们在科学课中学过，光从空气射入水中会发生折射现象（如图，记入射角为，折射角为，我们把称为水的折射率．为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图2，为一圆柱形敞口容器的纵切面，，容器未盛水时激光笔从处发射光线，点，，恰好共线，此时．往容器内注水，当水面到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点处，测得．（参考数据：，， （1）求容器的高度． （2）求水的折射率． （3）若继续往容器内注水，光斑会往左侧移动，如图3，当光斑移动到的三等分点处，求水面上升的高度（结果精确到 【考点】解直角三角形的应用 【分析】（1）根据的正切值可得的长； （2）作于点．根据水面在容器高度一半，可得，的长度，进而可得的长度，利用勾股定理可得的长度，即可求得折射角的正弦值，易得入射角，那么可得入射角的正弦值，即可求得的值； （3）在水中的折射光线是平行的，那么可得和的比值；根据水平面也是平行的，可得和的比值．即可求得的值． 【解答】解：（1），，， ． （2）作于点． ． 由题意得： ， ，． ， ． ． ． ． ． （3）， ． ． 由题意得：， ． 由题意得：，． ． 即：． 解得：． 【点评】本题综合考查了解直角三角形及平行线分线段成比例定理的应用．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 20．根据背景素材，探索解决问题． 自制杆秤 背景素材 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤． 如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：．其中秤盘质量克，重物质量克，秤砣质量克，秤纽与秤盘的水平距离为1厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米． 设计简易杆秤要求：设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 问题解决 任务一 确定和的值 （1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程． （2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程． （3）根据（1）和（2）所列方程，求出和的值． 任务二 确定刻线的位置 （4）根据任务一，求关于的函数解析式． （5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 【考点】一次函数综合题 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可直接代值求解； （3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解； （4）根据（3）可进行求解； （5）分别把，，，，，，，，，， 代入求解，以此即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：，， ，， ， ； （2）由题意得：，， ， ； （3）由（1）（2）可得： ，解得：； （4）由（3）可知：，， ， 则； （5）由（4）可知：， 当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有； 相邻刻线间的距离为5厘米． 【点评】本题主要考查一次函数的综合应用，涉及到解二元一次方程组，读懂题意，根据题干的描述正确列出等式是解题关键． 21．【发现问题】小星同学学习了并联电路的相关知识后，掌握了并联电路中总电阻与各支路电阻的关系：为正整数）．在探究由两个电阻组成的并联电路时（电路图如图，小星同学发现了一个有趣的问题：当电阻与电阻的和为定值时，并联电路的总电阻与其中任意一个电阻或存在函数关系． 【实验探究】小星同学找来了若干个电阻进行实验，且每次连接到电路中的两个电阻的和恒为，即，实验数据记录如下： 1 2 3 4 5 9 8 7 6 5 0.9 1.6 2.1 2.4 2.5 （1）请在图2中描出上表中与各对数值所对应的点，并用光滑的曲线连接； 【提出猜想】观察（1）中的图象，小星同学提出了大胆的猜想：在由两个电阻组成的并联电路中，当电阻 与电阻的和为定值时，并联电路的总电阻与其中任意一个电阻或满足二次函数关系． 【验证猜想】为了验证上述猜想，小星同学进行了下列推导： 当并联电路中有两个电阻时，根据公式： ，得，通分整理，得求倒数，得（②）． 设，则（③）． 代入，得（④），整理得（⑤）． （2）请帮小星同学补全推导过程： ①　　；②　　；③　　；④　　；⑤　　； 【实际应用】 （3）小星同学获知，某电取暖器的电路中有两个并联的、阻值可连续调节的电阻，，且无论如何调节，这两个电阻的和恒为，．已知电路中总电阻越大，电取暖器的电功率越低，当工作中的电取暖器达到最低电功率时，分别求各支路电阻与总电阻的值． 【考点】二次函数综合题 【分析】（1）按照学生的思路解答即可； （2）由（1）可得结果； （3）求出，根据二次函数的图象和性质，即可求解． 【解答】解：（1）当并联电路中有两个电阻时，根据公式： ，得，通分整理，得，其中，①为， 求倒数，得． 设，则． 代入，得，整理得． （2）由（1）得： ①为；②；③；④；⑤； （3）当工作中的电取暖器达到最低电功率时，总电阻越大， 即求总电阻最大， ，而， 即， ， 故有最大值，当时， 最大值为，此时，则． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到物理中的功率和总电阻的关系问题，此类题目解答的规律是按照题设的顺序解答，通常容易求解． 22．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定、在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度与所挂物体质量的一组对应值． 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 18 20 22 24 26 28 （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）当所挂物体重量为3千克时，弹簧多长？不挂重物时呢？ （3）若所挂重物为7千克时（在允许范围内），你能说出此时的弹簧长度吗？ 【考点】函数的表示方法 【分析】（1）因为表中的数据主要涉及到弹簧的长度和所挂物体的质量，所以反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量；弹簧的长度是因变量； （2）由表可知，当物体的质量为时，弹簧的长度是；不挂重物时，弹簧的长度是； （3）由表中的数据可知，时，，并且每增加1千克的质量，长度增加，依此可求所挂重物为7千克时（在允许范围内）时的弹簧长度． 【解答】解：（1）上表反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系；其中所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量； （2）当所挂物体重量为3千克时，弹簧长24厘米；当不挂重物时，弹簧长18厘米； （3）根据上表可知所挂重物为7千克时（在允许范围内）时的弹簧长度厘米． 【点评】考查了函数的表示方法，本题需仔细分析表中的数据，进而解决问题．明确变量及变量之间的关系是解好本题的关键． 23．爱动脑筋的小明在学了相似三角形后，他回顾了八年级物理课中学过的凸透镜成像规律，想弄明白其中原理，如：物距、像距和焦距之间是否存在一定的联系？为什么所成的像有时候会出现放大或缩小、正立或倒立、实像或虚像？能不能求出具体放大（或缩小）了几倍？于是乎他作了多次研究推理． （1）小明先取物距，然后画出光路图（如图，其中为物体，为凸透镜的光心，入射光线光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．请根据光路图1，解答下列问题： ①当时，物体经凸透镜折射后成 　倒立　（填“倒立”或“正立” ，　　（填“放大”或“缩小” 的 　　（填“实像”或“虚像” ；利用相似的知识． ②利用相似的知识，直接写出当时物体成像时放大了 　　倍； （2）小明在研究的过程中发现了物距、像距和焦距之间在成实像时存在着关系：，请以物距时为例，请仿照（1）②的方法，在图2中画光路图证明这个关系式． 【考点】相似形综合题 【分析】（1）①根据图象直接回答；②根据图象得到，，可得△，△，得到比例式，代入求出即可． （2）由光路图得到，，，，，同（1）②可得比例式，代入数据得到，变形整理可得结果． 【解答】（1）解：①当 时，物体经凸透镜折射后成倒立，放大的实像． 故答案为：倒立，放大，实像． ②由图可知：，， △，△， ， 即， ， ，即， ， ， ，即物体成像时放大了2倍； 故答案为：2． （2）证明：由光路图可得：，，，，， △，△， ， ， ，即， ， ， ． 【点评】本题考查了相似三角形的跨学科应用，解题的关键是：找出相似三角三角形． 24．如图，某人对地面的压强（单位：与这个人和地面接触面积（单位：满足反比例函数关系． （1）图象上点坐标为，求函数解析式和这个人的体重． （2）如果此人所穿的每只鞋与地面的接触面积大约为，那么此人双脚站立时对地面的压强有多大？ （3）如果某一沼泽地面能承受的最大压强为，那么此人应站立在面积至少多大的木板上才不至于下陷（木板的质量忽略不计）？ 【考点】反比例函数的应用 【分析】（1）依题意可得关于的函数解析式为，然后将点代入函数光系数求出的值即可得函数解析式和个人的体重； （2）先求出双脚站立时对地面的接触面积，然后将其代入到函数的解析式求出即可； （3）将代入函数的解析式求出即可． 【解答】解：（1）由图示图象可知：关于的函数解析式为：， 点在函数上， ， 关于的函数解析式为：， 这个人的体重． 答：函数解析式为，这个人的体重． （2）， 对于，当时，， 答：人双脚站立时对地面的压强为， （3）对于，当，． 答：木板面积至少为． 【点评】此题主要考查了反比例函数应用，熟练掌握待定系数法求反比例解析式的方法，理解压强与受力面积成反比例是解答此题的关键． 25．如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． （1）写出滚动的距离（单位：关于滚动的时间（单位：的函数关系式．（提示：本题中，距离平均速度时间，，其中是开始时的速度． （2）如果斜面的长度是，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间？ 【考点】一元二次方程的应用；根据实际问题列二次函数关系式 【分析】（1）根据题意求得钢球到达斜面底端的速度是．然后由“距离平均速度时间”列出关系式； （2）把代入（1）中的函数关系式即可求得相应的的值． 【解答】解：（1）依题意得 ． 即． （2）由（1）知，． 把代入，得 ． 解得（舍去负值）． 答：如果斜面的长度是，钢球从斜面顶端滚到底端用的时间是2 ． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据实际问题列出二次函数关系式．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 26．杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图．制作方法如下： 第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度，确定支点，并用细麻绳固定，在支点左侧的处固定一个金属吊钩，作为秤钩； 第二步：取一个质量为的金属物体作为秤砣． （1）图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点右侧的处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长为．写出关于的函数解析式；若，求的取值范围． （2）调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点右侧的处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为，的长为，写出关于的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象． 0.25 0.5 1 2 4 　4　 　　 　　 　　 　　 【考点】反比例函数的应用 【分析】（1）根据阻力阻力臂动力动力臂解答即可； （2）根据阻力阻力臂动力动力臂求出解析式，然后根据列表、描点、连线的步骤解答． 【解答】解：（1）阻力阻力臂动力动力臂， 重物重力秤砣重力， ，重物的质量为，的长为，秤砣为， ， ， ， 随的增大而增大， 当时，； 当时，， ； （2）阻力阻力臂动力动力臂， 秤砣重物， ，重物的质量为，的长为，秤砣为， ， ， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：4；2；1；；； 作函数图象如图： 【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，以及列表、描点、连线画函数图象的方法，求出函数解析式是解答本题的关键． 27．根据以下素材，探索完成任务 如何制作简易的人体测温仪？ 素材1 一般情况，人体的正常体温为，在生病时，体温最低可达，最高可达．图1是一个红外温度传感器可变电阻，它的电阻与温度之间的函数关系如图2所示． 素材2 图3是一个人体测温仪，图4是人体测温仪的工作电路图，电路连入了一个红外温度传感器可变电阻，其中电源电压恒为，电流表的量程为，电流表的读数可以换算成人的体温．在测量人体体温时，为保护电流表，电路中串联了一个定值电阻． 备注：①导体两端的电压，电阻，通过的电流满足关系式： ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压 任务解决 任务1 探究可变电阻的阻值 求关于的表达式及测量人体体温时的取值范围． 任务2 探究定值电阻的选择 求定值电阻的最小值． 任务3 拟定制作方案 实验室现有定值电阻的阻值分别为、、、．请你选择一个合适的定值电阻来制作符合要求的测温仪，并求出你制作的测温仪能测量的人体体温范围． 【考点】一次函数的应用 【分析】（任务利用待定系数法求出关于的表达式，再根据的变动范围可以得到测量人体体温时的取值范围； （任务根据，求出总电阻的最小值，再根据的最小值求出的最小值即可； （任务以选择为例求出温仪能测量的人体体温范围即可． 【解答】解：（任务设关于的表达式为， 将和分别代入， 得， 解得， 关于的表达式为； 随的增大而减小． 根据题意，得． 当时，， 当时，， 测量人体体温时的取值范围为； （任务根据，人体测温仪的工作电路中电流， 根据题意，， 当取最大值0.6，最小， 即， ， 由任务1知，的最小值为10， 的最小值为； （任务选择的阻值为时制作测温仪， 电源电压恒为，电流表的量程为， ， 即， 解得， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 测温仪能测量的人体体温范围为． 【点评】本题考查一次函数的解析式以及值的范围，理解最值问题是解决问题的关键． 28．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）这个反比例函数的关系式是 　　；蓄电池的电压是 　　； （2）把下表补充完整： 3 4 5 6 7 8 9 10 12 　　 　　 　　 　　 4 3.6 （3）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？ 【考点】反比例函数的应用 【分析】（1）先由电流是电阻的反比例函数，可设，将点，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式； （2）根据电压电流电阻即可求解； （3）将的值分别代入（1）中所求的函数解析式，即可求出对应的值，从而完成图表； （4）将代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围． 【解答】解：（1）电流是电阻的反比例函数，设， 图象经过， ， 解得， ； 故答案为：； （2）蓄电池的电压是； 故答案为：； （3）填表如下： 3 4 5 6 7 8 9 10 12 9 7.2 6 4.5 4 3.6 故答案为：9，7.2，6，4.5； （4），， ， ， 即用电器可变电阻应控制在3.6欧以上的范围内． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题． 29．（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线，根据光学知识有，，请判断光线与光线是否平行，并说明理由． （2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，问如何放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底？（即求与水平线的夹角） （3）如图3，直线上有两点、，分别引两条射线、．，，射线、分别绕点，点以1度秒和3度秒的速度同时顺时针转动，设时间为，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，求出所有满足条件的时间． 【考点】平行线的判定与性质 【分析】（1）根据等角的补角相等求出与的补角相等，再根据内错角相等，两直线平行即可判定； （2）根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等可得，然后根据平角等于求出的度数，再加上即可得解； （3）分①与在的两侧，分别表示出与，然后根据两直线平行，内错角相等列式计算即可得解； ②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解； ③旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解． 【解答】解：（1）平行．理由如下： 如图，， ， ， ， ； （2）入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等， ， 入射光线与水平线的夹角为，垂直照射到井底， ， ， 与水平线的夹角为：； （3）存在． 如图①，与在的两侧时，，， ， ， 要使， 则， 即， 解得； 此时， ， ②旋转到与都在的右侧时，，， ， ， 要使， 则， 即， 解得， 此时， ， ③旋转到与都在的左侧时，，， ， ， 要使， 则， 即， 解得， 此时， ， 此情况不存在． 综上所述，为5秒或95秒时，与平行． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，光学原理，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法与性质是解题的关键，（3）要注意分情况讨论． 30．电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，，其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为，该读数可以换算为人的质量， 温馨提示：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式； ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压 （1）求，的值； （2）求关于的函数解析式； （3）用含的代数式表示； （4）若电压表量程为伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量． 【考点】反比例函数的应用 【分析】（1）待定系数法求出，； （2）通过串联电路中电流处处相等和可以列出等量关系，然后再化简为关于的函数解析式； （3）把第（1）问求出的与的函数解析式代入第（2）中的与的关系式中消去，然后变形； （4）利用第（3）问中与的关系式，结合和关于的增减性，得出电子体重秤可称的最大质量． 【解答】解：（1）将，代入， 得：， 解得：． ． （2）由题意得：可变电阻两端的电压电源电压电表电压， 即：可变电阻电压， ，可变电阻和定值电阻的电流大小相等， ． 化简得：， ， ． （3）将代入， 得：， 化简得：． （4）中，且， 随的增大而增大， 取最大值6的时候，（千克）． 【点评】本题以物理中的电路问题为背景，考查了学生对于求解一次函数和反比例函数关系式的掌握情况，解题的关键是先要求找出两个要求量之间的等量关系，然后化简为要求的表达式，转化过程中需要注意无关量的消去，一般情况下都是用代入法消元来解决这一问题的．第（4）问除应用反比例函数的增减性解题外，也可以将与的关系式转化为关于的不等式，再代入中，求出电子体重秤可称的最大质量． 31．物体在空中只受重力作用下由静止开始下落的运动，称为自由落体运动，自由落体运动有如下公式：自由落体下落的高度公式（其中为物体自由下落的高度，为重力加速度，，为物体下落的时间），如图，从离地的塔顶处由静止开始自由下落一个钢球． （1）如图1，求钢球经过多长时间落到地面？ （2）如图2，求钢球开始下落到一半的高度时，所用的时间？ （3）如图3，求钢球从下落到离地面的时间还有时，此时钢球离地面的高度为多少？ 【考点】一元二次方程的应用 【分析】（1）在中，令即可解得钢球落到地面的时间； （2）方法同（1）； （3）在中，求出时下落的高度，再用160减去即得答案． 【解答】解：（1）在中，令得： ， 解得（负值已舍去）， 答：钢球经过秒落到地面； （2）在中，令得： ， 解得（负值已舍去）， 答：钢球经过4秒落到一半的高度； （3）由（1）知钢球经过秒落到地面， 在中，令得： ， 离地面的高度为：， 答：钢球从下落到离地面的时间还有时，离地面的高度为． 【点评】本题考查二次方程的应用，解题的关键是理解题意，列出一元二次方程解决问题． 32．在物理课探究《凸透镜成像规律》的过程中，小睿和小天记录下了如下的数据： 通过观察数据他们发现在前三种情况中物距、像距和焦距都呈现了以下的规律：．但他们不会证明，就找到数学老师询问，数学老师就第一种情况给他们画出了模型图，并启发他们可以用相似三角形的相关知识进行证明： 凸透镜成像情况 物距 像距 焦距 30 15 10 20 20 10 14 34 10 10 无穷大 10 6 15 10 （1）请补全以下证明： 证：根据物理知识可知：，，易证△，△①　△　， 所以；；再根据比例性质可得②　　， 即；所以，两边同除，即得证命题：． （2）根据数据判断，最后一种情况成正立放大虚像时，物距、像距和焦距也符合（1）中的规律吗？如果符合，请利用图进行证明；如果不符合，请写出恰当的物距、像距和焦距之间的数量关系． （3）如果透镜所成像时像距是物距的5倍，且已知物体与透镜相距，请利用（1）（2）中发现的结论计算该透镜的焦距． 【考点】相似形综合题 【分析】（1）根据相似三角形的性质，结合图形填空即可； （2）仿照（1）的证明，画出图形证明即可； （3）分两种情况讨论：若倒立放大虚像时，用求解；若正立放大虚像时，用求解． 【解答】（1）证明：根据物理知识可知：，， △，△△， ；； 再根据比例性质可得即； 所以，两边同除， 即得证命题：； 故答案为：△，； （2）解：符合（1）中的规律，理由如下： ， △， ， 设与镜的交点为， ， △△， ， ， ， ， 两边同时除以，得； （3）解：像距是物距的5倍，物体与透镜相距， ，， 若倒立放大虚像时，， ， ； 若正立放大虚像时，， ， ； 综上所述：该透镜的焦距为或． 【点评】本题考查三角形相似的应用，此题属于跨学科应用，理解题意，将所求的问题转化为三角形相似的判定及性质是解题的关键． 33．如果把月亮绕地球旋转的轨迹看成一个圆，地心在圆心上．我们知道地球每24小时逆时针方向自转一圈（从俯视角度看），月亮每月逆时针绕地球旋转一圈． （1）求地球每小时旋转的角度； （2）求月亮绕地球每小时旋转的角度（每月以30天记）； （3）某月15日时，月亮恰好在甲地正上方（如图），到第二天大约几时几分月亮再次出现在甲地正上方？ 【考点】：一元一次方程的应用；：点、线、面、体；：生活中的旋转现象 【分析】（1）地球一周为，自转周期是24小时，据此解答． （2）月亮绕地球每小时旋转的角度小时． （3）设再过小时月亮再次出现在甲地正上方，根据他们之间的旋转角度差为360度列出方程并解答． 【解答】解：（1）地球自转的转速为小时； （2）月亮绕地球每小时旋转的角度小时小时． （3）设再过小时月亮再次出现在甲地正上方，依题意得方程： 解得 （分钟） 即大约在时月亮再次出现在甲地正上方． 【点评】考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系是解题的关键，难度较大． 34．家用电灭蚊器的发热部分使用了发热材料，它的电阻随温度（在一定范围内）变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温上升到的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加． （1）求当时，和之间的关系式； （2）求温度在时电阻的值；并求出时，和之间的关系式； （3）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过？ 【考点】反比例函数的应用 【分析】（1）设关系为，将代入求； （2）将代入关系式中求’，由题意得’ ； （3）将代入’ 求出． 【解答】解：（1）温度在由室温上升到的过程中，电阻与温度成反比例关系， 可设和之间的关系式为， 将代入上式中得：， ． 故当时，； （2）将代入上式中得：，． 温度在时，电阻． 在温度达到时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加， 当时， ； （3）把，代入得，， 所以，温度在时，电阻不超过． 【点评】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 35．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线、反射光线与平面镜所夹的锐角． （1）利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（请把证明过程补充完整） 理由： （已知）， 　两直线平行，内错角相等　　 ，（已知）， （等量代换）， （等量减等量，差相等）， 即：　 　（等量代换）， 　 　．　 　 （2）显然，改变两面平面镜、之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置关系会随之改变，请你猜想：图3中，当两平面镜、的夹角　 　时，仍可以使入射光线与反射光线平行但方向相反．（直接写出结果） 【考点】：平行线的判定与性质 【分析】（1）求出，根据平行线的判定得出即可； （2）根据三角形内角和定理求出，求出，根据平行线的判定得出即可． 【解答】（1）证明：如图2，（已知）， （两直线平行，内错角相等）， ，（已知）， （等量代换）， （等量减等量，差相等）， 即：（等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，内错角相等，，，内错角相等，两直线平行； （2）， 理由是：如图3，， ， ，（已知）， ， ， ． 故答案为：90． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 36．（1）如图1，车尾灯内两面镜子、互相垂直，当光线经过镜子反射时，，．说明为什么进入车尾灯的光线与离开车尾灯的光线互相平行； （2）小明受车尾灯设计启发，进行实验尝试． ①如图2，两面镜子的夹角为时，进入光线与离开光线的夹角为．试探索与的数量关系． ②两面镜子的夹角为时，进入光线与离开光线所在直线的夹角为．请直接写出与的数量关系． 　　 【考点】平行线的性质；三角形内角和定理 【分析】（1）根据平行线的性质结合条件可得，可证得，可证明两直线平行； （2）根据平行线的性质结合条件可得，，进而解答即可． 【解答】解：（1）， 又， ， 同理， ， ， 进入车尾灯的光线与离开车尾灯的光线互相平行； （2）①如图由（1）所证，有，， ， ， 与的数量关系为：， ②． 故答案为：． 【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补，④，． 37．实验证明：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等． （1）如图，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射．若被反射出的光线与光线平行，且，则　140　，　 　． （2）在（1）中，若，则　 　；若，则　 　． （3）由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜、的夹角　 　时，可以使任何射到平面镜上的光线，过平面镜、的两次反射后，入射光线与反射光线平行．请你写出推理过程． 【考点】：平行线的判定与性质 【分析】（1）根据平面镜反射光线的规律得，再利用平角的定义得，然后利用平行线的性质计算出，则，再利用三角形内角和定理计算； （2）同样的方法当，；当，； （3）当时，根据三角形内角和定理得，则，利用平角的定义得到，然后根据平行线的判定得到 【解答】解：（1）， ， ， ， ， ， ； （2）同样的方法当，；当，； （3）当时，．理由如下： ， ， ， ， ． 故答案为：（1）140，90；（2）90，90；（3）90． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．另外本题是数学知识与物理知识的有机结合，充分体现了各学科之间的渗透性． 38．如图1在平面直角坐标系中，，，交轴于点，连接． （1）求点坐标； （2）如图2，将线段平移至第四象限得到，点对应点，延长交轴于，用表示点坐标； （3）如图3，在轴正半轴上有一点，轴负半轴上有一点动点，连接、，在、处放置两面相交的平面镜、，平面镜的位置随着点位置的改变而改变．是否存在点使得任何射到平面镜、上的光线经过平面镜、的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（说明：平面镜反射光线的规律是：入射光线和反射光线与平面镜所夹的角相等） 【考点】平行线的判定与性质；坐标与图形变化平移 【分析】（1）利用三角形面积公式求得，即可求出的坐标； （2）由平移的性质得到直线与直线斜率相等，表示出方程，令表示出的值，即可表示出坐标； （3）根据已知条件得出，利用等腰直角三角形的性质，证明，从而求得的坐标． 【解答】解：（1）如图1，，， ，点到的距离为6， ， ， ， ， 点的坐标为； （2）如图2，将线段平移至第四象限得到， 设直线的解析式为， 点， ， ， 直线的解析式为与轴的交点坐标为， 点坐标为． （3）如图3，入射光线与反射光线总是平行， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，两条直线垂直的性质，待定系数法求一次函数的解析式，直线与坐标轴的交点等，熟练掌握平行线的性质和直线垂直的性质是解题的关键． 39．如图1，光线经过镜面反射得到光线，过点作，已知． （1）求证：； （2）如图2，若光线经取镜面和两次反射后得到光线，已知，． ①若两镜面形成的夹角，求证：； ②如图3，若两镜面形成的夹角，过点作，且，求和的值． 【考点】平行线的判定与性质 【分析】（1）先根据得出，再由即可得出结论； （2）①过点作，过点作，根据反射定律可知，，再由可知，再由，即，故，再由可得出，故．同理，，故，由此可得出结论； ②延长交的延长线于点，根据补角的定义得出的度数，由直角三角形的性质求出的度数，根据对顶角相等得出的值，由三角形内角和定理可得出的值． 【解答】（1）证明：， ． ， ； （2）证明：①如图2，过点作，过点作，根据反射定律可知，， ， ，即． ，即， ． ，， ． 同理，， ， ； ②解：如图3，延长交的延长线于点， ， ， ． 在中，． 【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知入射角等于反射角是解答此题的关键． 40．如图，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘中放置一个重物，在右边的活动托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡，改变活动托盘与点的距离，观察活动托盘中砝码的质量的变化情况．实验数据记录如下表： 10 15 20 25 30 30 20 15 12 10 （1）把上表中的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点； （2）观察所画的图象，猜测与之间的函数关系，求出函数关系式并加以验证； （3）当砝码的质量为时，活动托盘与点的距离是多少？ （4）当活动托盘往左移动时，应往活动托盘中添加还是减少砝码？ 【考点】：反比例函数的应用 【分析】（1）根据各点在坐标系中分别描出即可得出平滑曲线； （2）观察可得：，的乘积为定值300，故与之间的函数关系为反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式； （3）把代入解析式求解，可得答案； （4）利用函数增减性即可得出，随着活动托盘与点的距离不断减小，砝码的示数应该不断增大． 【解答】解：（1）如图所示： （2）由图象猜测与之间的函数关系为反比例函数， 设， 把，代入得：， ， 将其余各点代入验证均适合， 与的函数关系式为：． （3）把代入得：， 当砝码的质量为时，活动托盘与点的距离是． （4）根据反比例函数的增减性，即可得出，随着活动托盘与点的距离不断减小，砝码的示数会不断增大； 应添加砝码． 【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，此题是跨学科的综合性问题，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$