精品解析：山西省朔州市怀仁市第一中学校2025届高三第五次模拟考试数学试题

山西省朔州市怀仁市第一中学校2025届高三第五次模拟考试数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区城内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分.共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则复数z在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. （ ） A. B. C. D. 5. 已知底面半径为的圆锥的侧面展开图是圆心角为平角的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知事件A，B满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，直线与函数的图象有两个交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为双曲线右支上一点，过点分别作的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 近些年食品安全问题日益突出，为了达到宣传食品安全防范意识的目的，某市组织全市中学生食品安全知识竞赛活动．某高中采用分层抽样的方式从该校的高一､二､三年级中抽取10名同学作为代表队参赛，已知该校高一､二､三年级的人数比例为，统计并记录抽取到的10名同学的成绩（满分100分）为：，则（ ） A. 中位数为90 B. 分位数为92 C. 方差为58 D. 代表队中高三的同学有4人 10. 外接圆面积为的满足，设外接圆圆心为O，BC的中点为，则（ ） A. 为等腰三角形 B. C. D. 的周长是 11. 已知函数（其中），则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数的最小正周期为1 B. 若，，且，则的最小值为 C. 若将函数的图象向左平移个单位，得到的函数为奇函数，则的最小值为 D. 若函数在区间上有3个零点，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 抛物线上一点，焦点为，已知，则__________． 13. 已知函数是定义在上周期为4的奇函数，若，则__________． 14. 已知正数满足，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有极大值，且极大值大于，求的取值范围. 16. 据不完全统计，我国小学生的近视率已经达到惊人的45.7%，也就是说有将近一半的小学生已经早早的开始与眼镜为伴了．给孩子选一台合格的护眼仪是很有必要的．护眼仪的功能就是对眼部周围的穴位进行按摩以达到刺激穴位的目的，缓解学生们眼睛的疲劳，减轻用眼时间过长造成的眼睛干涩、充血等症状，可以用来预防近视，而绝对不可能治疗近视．某医学机构为了研究某护眼仪预防近视的效果，随机调查了200名小学生，数据如下： 眼睛没有近视 眼睛近视 合计 配有某护眼仪 60 40 100 没配有某护眼仪 50 50 100 合计 110 90 200 （1）依据小概率值的独立性，分析预防眼睛近视是否与配有某护眼仪有关？ （2）在样本中，按分层抽样（按是否配有某护眼仪分层）的方法从眼睛近视的小学生中抽取9人，再从这9人中随机抽取3人，记这3人中没配有某护眼仪的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：参考公式，其中． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在直三棱柱中，为的中点． （1）证明：； （2）已知点P为空间内一点，且满足，求直线与平面所成的角的正弦值． 18. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）若正整数成等差数列，且，试判断能否构成等比数列，并说明理由． 19. 已知椭圆的右顶点A和上顶点为B关于直线对称． （1）求椭圆C的标准方程； （2）点P，Q为椭圆C上两个动点，直线，的斜率之积为，，D为垂足，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省朔州市怀仁市第一中学校2025届高三第五次模拟考试数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区城内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分.共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合，再求集合与的交集 【详解】或即或 所以． 故选：B 2. 已知复数，则复数z在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘方运算化简，再根据复数的几何意义判断可得； 【详解】解：∵，∴复数在复平面内对应的点为，该点位于第二象限． 故选：B． 3. 已知，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】由，因为，所以，解得． 故选：A 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式和两角和的余弦公式求解. 【详解】 . 故选：C 5. 已知底面半径为的圆锥的侧面展开图是圆心角为平角的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求得圆锥的高，利用圆锥的体积公式，即可求得答案. 【详解】设圆锥的母线长为，高为，底面半径为， 由，得，故， 所以圆锥的体积． 故选：C． 6. 已知事件A，B满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据已知条件的两个等式进行化简，然后利用可求出. 【详解】因为，所以. ，. 因为， 所以，化简得：. 解得. 故选：B. 7. 已知函数，直线与函数的图象有两个交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先考查临界情况，利用导数求得切线的斜率，据此可求得实数的取值范围 【详解】 当过原点的直线与函数的图象相切时，设切点为， 由，可得过点的切线方程为， 代入点可得，解得，此时切线的斜率为， 由函数的图象可知，若直线与函数的图象有两个交点，直线的斜率的取值范围为． 故答案选：D 8. 已知为双曲线右支上一点，过点分别作的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据设出，与双曲线渐近线方程联立分别求出，，易得四边形是平行四边形，则得，再结合，从而可求解. 【详解】设坐标原点为，易知的渐近线的方程为， 联立解得， 不妨取，同理可得， 则， 因为四边形是平行四边形， 于是， 由于点在上，所以，因此，故C正确. 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 近些年食品安全问题日益突出，为了达到宣传食品安全防范意识的目的，某市组织全市中学生食品安全知识竞赛活动．某高中采用分层抽样的方式从该校的高一､二､三年级中抽取10名同学作为代表队参赛，已知该校高一､二､三年级的人数比例为，统计并记录抽取到的10名同学的成绩（满分100分）为：，则（ ） A. 中位数为90 B. 分位数为92 C. 方差为58 D. 代表队中高三的同学有4人 【答案】AC 【解析】 【分析】根据中位数、百分位数、方差的定义分析数据判断ABC；利用分层抽样的抽样比求解判断D. 【详解】将10名同学的成绩从小到大排列为：70，85，86，88，90，90，92，94，95，100， 对于A，中位数为，A正确； 对于B，由，得分位数为，B错误； 对于C，平均数为， 方差 ，C正确； 对于D，由分层抽样，得高三年级的同学有人，D错误. 故选：AC 10. 外接圆面积为的满足，设外接圆圆心为O，BC的中点为，则（ ） A. 为等腰三角形 B. C. D. 的周长是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用诱导公式及辅助角公式变形给定等式，再利用正余弦函数取最大值的条件推理判断AB；求出外接圆半径，利用正弦定理，结合二倍角的余弦公式求解判断CD. 【详解】在中，由， 得，则， 其中锐角由确定，而， 当且仅当时取等号，此时， 因此为等腰三角形，且，AB正确； 由外接圆面积为，得圆半径为，由正弦定理得， ， ， 则，的周长是，C错误，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数（其中），则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数的最小正周期为1 B. 若，，且，则的最小值为 C. 若将函数的图象向左平移个单位，得到的函数为奇函数，则的最小值为 D. 若函数在区间上有3个零点，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由周期公式求解判断；对B，由，可得，所以的最小值为一个周期，求解判断；对C，由，可得，结合得解；对D，由当时，，有3个零点，可得，得解. 【详解】对于A，当时，函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，由的最大值为1，又由，有. 又由，可得函数的最小正周期为，可得的最小值为，故B错误； 对于C，将函数的图象向左平移个单位，得到的函数为， 又由所得函数为奇函数，有，可得， 又由，取，可得的最小值为，故C正确； 对于D，当时，， 由函数在区间上有3个零点，有，可得，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 抛物线上一点，焦点为，已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的定义进行求解. 【详解】由抛物线的定义可得准线方程为：， 由在抛物线上，且, 则，解得. 故答案为： 13. 已知函数是定义在上周期为4的奇函数，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数的奇偶性和周期性求出函数值. 【详解】函数是定义在上周期为4的奇函数，故且， 故，解得，， 又，所以. 故答案为： 14. 已知正数满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】原式化简并利用基本不等式得，再进一步利用乘“1”的方法求最值. 【详解】根据题意，由于 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有极大值，且极大值大于，求的取值范围. 【答案】（1） 当时，在上单调递增，无递减区间， 当时，在上单调递增，在上单调递减 （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导并分类讨论参数，即可得出的单调性； （2）根据（1）中的结论得出极大值的表达式，解不等式即可得的取值范围． 【小问1详解】 ， ①当时，在上单调递增，无递减区间， ②当时，，可得，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增，无递减区间， 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 因为有极大值，且极大值大于， 故，且在处取极大值， ，即， 令， 恒成立，在上单调递增， 又，当且仅当时成立， 故，当且仅当时成立， 因此的取值范围是． 16. 据不完全统计，我国小学生的近视率已经达到惊人的45.7%，也就是说有将近一半的小学生已经早早的开始与眼镜为伴了．给孩子选一台合格的护眼仪是很有必要的．护眼仪的功能就是对眼部周围的穴位进行按摩以达到刺激穴位的目的，缓解学生们眼睛的疲劳，减轻用眼时间过长造成的眼睛干涩、充血等症状，可以用来预防近视，而绝对不可能治疗近视．某医学机构为了研究某护眼仪预防近视的效果，随机调查了200名小学生，数据如下： 眼睛没有近视 眼睛近视 合计 配有某护眼仪 60 40 100 没配有某护眼仪 50 50 100 合计 110 90 200 （1）依据小概率值的独立性，分析预防眼睛近视是否与配有某护眼仪有关？ （2）在样本中，按分层抽样（按是否配有某护眼仪分层）的方法从眼睛近视的小学生中抽取9人，再从这9人中随机抽取3人，记这3人中没配有某护眼仪的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：参考公式，其中． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）零假设为：分类变量X与Y相互独立，即认为预防眼睛近视与是否配有某护眼仪无关， 由列联表中数据得：， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为预防眼睛近视与是否配有某护眼仪无关； （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）提出零假设并计算，查表比较即可得出结论； （2）求出X的所有取值并求得对应概率，即可得出分布列，继而求出期望值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由数据表中可得，这9人中，配有某护眼仪的有4人，没配有某护眼仪的有5人， X的取值分别为0，1，2，3， 可得，， ，， X的分布列为： X 0 1 2 3 P X的数学期望为． 17. 如图，在直三棱柱中，为的中点． （1）证明：； （2）已知点P为空间内一点，且满足，求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1） 连接， 因为，则， 又因为平面平面，平面平面，平面 所以平面， 且平面，可得， 由题意可知：， 则，可得， 且平面，，可得平面， 又因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，可证平面，进而可得，，结合线面垂直分析证明； （2）建系标点，利用垂直关系可得，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，平面， 以D为坐标原点，向量分别为x，y轴，过点D且与向量同向的向量为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 又因为， 则， 可得， 则，，， 又因为，可设， 则， 且，有， 解得，即，可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得平面的一个法向量为， 则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 18. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）若正整数成等差数列，且，试判断能否构成等比数列，并说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3） 由题意，正整数成等差数列，则， 若构成等比数列，则满足， 因为，可得， 整理得，即， 又因为，可得，所以，即 两边同除，可得， 因为，且，所以， 所以与均为偶数，则为奇数，为偶数， 所以等式不成立，所以不能构成等比数列. 【解析】 【分析】（1）当时，求得；当时，利用，得到，结合等比数列的定义和通项公式，即可求解； （2）由（1）知，得到，结合等差数列的求和公式，以及乘公比错位相减法求和，即可得到答案. （3）假设成等差数列，则，由构成等比数列，得到，化简得到，再由，得到，两边同除，求得，结合为奇数，为偶数，得出等式不成立，即可得到结论. 【小问1详解】 由数列的前项和为，且， 当时，可得，解得； 当时，可得， 整理得，即，所以， 所以数列是首项，公比为的等比数列，则， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，可得， 设， 则 两式相减，可得 ， 所以， 又由，所以. 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆的右顶点A和上顶点为B关于直线对称． （1）求椭圆C的标准方程； （2）点P，Q为椭圆C上两个动点，直线，的斜率之积为，，D为垂足，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，，求解可得椭圆的标准方程； （2）设，，由题意得直线斜率不为零，设，与椭圆联立方程组，结合已知可得，可求得直线过点，D在以为直径的圆上，从而可求的最小值. 【小问1详解】 由点和关于直线对称， 由直线的斜率为，可得直线的斜率为，有①， 又由线段的中点在直线上，有②， 联立方程①②解得，， 故椭圆C的标准方程为； 【小问2详解】 设，，由题意得直线斜率不为零，设， 由，得，即， 所以，且, 故, 由，得，即， 所以， 所以， 所以，化简得， 所以或， 若，则直线过椭圆的右顶点，不符合题意，所以， 所以过定点，因为，D为垂足， 所以D在以为直径的圆上，，的中点为，又， 所以． 所以的最小值为， 即的最小值为． 【点睛】关键点点睛：本题是圆锥曲线过定点问题，属于难题，解决问题的关键点有两个，一是过定点问题不是显性的，比较隐晦，识别出来有困难，第二在由斜率的乘积是常数进行化简整理的过程中，计算直线过定点难度比较大，容易形成畏难心理导致计算失败. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $