极值求解三重智慧讲义-2026届高三数学一轮复习之解透一题系列

第14题 极值求解三重智慧（解透一题） 【成都2024-2025学年高三下二诊T8】若函数有极值，则的取值范围为（ ） A．    B． C．    D． 考的过程 一元函数极值存在的充要条件是导数为零且导数变号（或二阶导数非零），知函数，其定义域为．若求函数存在极值时a的取值范围，需先对该函数求导，再依据极值点处导数为0且在该点两侧导数异号这一性质进行求解． 【方法一】常规求导法 利用导数与极值的关系，对函数求导，再依据极值点处导数为0且在该点两侧导数异号列式求解．对函数求导后设，，分，结合导数分析求解即可． 对求导，依据乘积的求导法则，其中)． 因为，所以． 由于在上恒成立，所以\\(f(x)\\)存在极值等价于在上存在变号零点． 对求导可得． 当时，，在上不存在零点． 当时，令，即，解得． 当（即时，在上，单调递减；在上，单调递增． ．要使存在变号零点，则，即，因为，两边同时除以得，，解得． 当)时，，在上恒成立，在上单调递减． 当时，；当时，，所以在上存在变号零点． 综上，的取值范围是． 本题的关键在于将函数f(x)存在极值转化为存在变号零点，通过对求导并分析其单调性和最值来确定零点情况．在求导过程中要熟练运用求导公式和法则，对于含参函数的单调性讨论要做到不重不漏．作为选择题，小题大做不推荐． 【方法二】分离参数法 判断函数有无变号 零点，将方程进行变形，使参数 得以分离，转化为的形式，即．通过对函数的图像特征、单调性以及极值情况展开分析，进而确定参数的取值区间． 原方程可进行参数分离，得到 ， 设，则． 对 求导可得： 令，解得其临界点为． - 当时，由于，所以呈单调递减态势． - 当时，因为，所以呈单调递增态势． 函数在 处取得最小值， 且 因为的最小值为， 当 时，着原函数f(x)存在极值．所以，参数 a的取值范围是 ． 分离参数法将问题转化为函数图象交点问题，通过求导分析函数)h(x)的单调性和最值，进而得到 (x+1)ln(x+1)的性质．这种方法避免了对参数a的复杂分类讨论，但需要熟练掌握函数图象的绘制和分析技巧，对极限的理解和运用也有较高要求． 【方法三】特殊值排除法 题目给定函数，需求出该函数存在极值时a的取值范围．可运用特殊值排除法进行求解，即代入特定的a值，判断函数是否存在极值，从而排除不符合条件的选项． 由，其定义域为， 则， 1． 当时， )． 令，对求导可得． 在区间上，，呈单调递减态势；在区间上，，呈单调递增态势． - 所以，又因为，所以，在上单调递增，不存在极值． 由于时函数无极值，而选项D中包含1，故可排除D． 2． 当时，     - 令，则． 令，即，解得． 当时，)，单调递减；当时，单调递增． - 所以在处取得极小值，且． 则在两侧符号不改变，（易错点：误将导数为零等同于极值存在，忽略二阶条件或符号变化分析） f(x)不存在极值，所以选项B，C可排除 ，答案选A． 特殊值排除法在解决这类选择题时非常有效．通过选取合适的特殊值，能够快速地排除不符合条件的选项，缩小答案范围．在选取特殊值时，要结合函数的特点以及选项的差异进行选择．本题中，根据选项中a的取值边界和特殊值进行代入验证，先排除了包含使函数无极值的a值的选项，再通过验证确定了正确答案．同时，在求导过程中要熟练运用求导公式和法则，准确分析函数的单调性和极值情况，这是判断特殊值是否符合条件的关键． 解决函数有极值问题，解决的关键是要保证其导数有变号零点，处理方法较多． 直接处理函数零点的问题需要准确把握分类讨论的分界点，导函数为二次型的函数的分界点需要考虑二次项的系数以及二次方程的判别式．所以不仅要考虑二次方程根的大致范围，而且要注意函数值的变 化趋势． 分离参数法能够将问题转化为函数图像交点的问题，从而避免了复杂的分类讨论过程，尤其在处理含参方程根的存在性问题时具有显著优势． 作为选择题，本题可利用特值法排除不合题意的选项，从而快速得到正确 选 项，体 现 了“小题不大做”的解题智慧．值得关注． 1．若函数在有极值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．若函数在处取得极小值，则（    ） A．4 B．2 C．-2 D．-4 3．已知函数在上既有极大值，也有极小值，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 4．若函数既有极大值也有极小值，则错误的是（    ） A． B． C． D． 5．若函数恰好有两个极值，则实数a的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 6．已知函数在上无极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的最大值为1． (1)求实数的值； (2)若函数有极值，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14题 极值求解三重智慧（解透一题） 【成都2024-2025学年高三下二诊T8】若函数有极值，则的取值范围为（ ） A．    B． C．    D． 考的过程 一元函数极值存在的充要条件是导数为零且导数变号（或二阶导数非零），知函数，其定义域为．若求函数存在极值时a的取值范围，需先对该函数求导，再依据极值点处导数为0且在该点两侧导数异号这一性质进行求解． 【方法一】常规求导法 利用导数与极值的关系，对函数求导，再依据极值点处导数为0且在该点两侧导数异号列式求解．对函数求导后设，，分，结合导数分析求解即可． 对求导，依据乘积的求导法则，其中)． 因为，所以． 由于在上恒成立，所以\\(f(x)\\)存在极值等价于在上存在变号零点． 对求导可得． 当时，，在上不存在零点． 当时，令，即，解得． 当（即时，在上，单调递减；在上，单调递增． ．要使存在变号零点，则，即，因为，两边同时除以得，，解得． 当)时，，在上恒成立，在上单调递减． 当时，；当时，，所以在上存在变号零点． 综上，的取值范围是． 本题的关键在于将函数f(x)存在极值转化为存在变号零点，通过对求导并分析其单调性和最值来确定零点情况．在求导过程中要熟练运用求导公式和法则，对于含参函数的单调性讨论要做到不重不漏．作为选择题，小题大做不推荐． 【方法二】分离参数法 判断函数有无变号 零点，将方程进行变形，使参数 得以分离，转化为的形式，即．通过对函数的图像特征、单调性以及极值情况展开分析，进而确定参数的取值区间． 原方程可进行参数分离，得到 ， 设，则． 对 求导可得： 令，解得其临界点为． - 当时，由于，所以呈单调递减态势． - 当时，因为，所以呈单调递增态势． 函数在 处取得最小值， 且 因为的最小值为， 当 时，着原函数f(x)存在极值．所以，参数 a的取值范围是 ． 分离参数法将问题转化为函数图象交点问题，通过求导分析函数)h(x)的单调性和最值，进而得到 (x+1)ln(x+1)的性质．这种方法避免了对参数a的复杂分类讨论，但需要熟练掌握函数图象的绘制和分析技巧，对极限的理解和运用也有较高要求． 【方法三】特殊值排除法 题目给定函数，需求出该函数存在极值时a的取值范围．可运用特殊值排除法进行求解，即代入特定的a值，判断函数是否存在极值，从而排除不符合条件的选项． 由，其定义域为， 则， 1． 当时， )． 令，对求导可得． 在区间上，，呈单调递减态势；在区间上，，呈单调递增态势． - 所以，又因为，所以，在上单调递增，不存在极值． 由于时函数无极值，而选项D中包含1，故可排除D． 2． 当时，     - 令，则． 令，即，解得． 当时，)，单调递减；当时，单调递增． - 所以在处取得极小值，且． 则在两侧符号不改变，（易错点：误将导数为零等同于极值存在，忽略二阶条件或符号变化分析） f(x)不存在极值，所以选项B，C可排除 ，答案选A． 特殊值排除法在解决这类选择题时非常有效．通过选取合适的特殊值，能够快速地排除不符合条件的选项，缩小答案范围．在选取特殊值时，要结合函数的特点以及选项的差异进行选择．本题中，根据选项中a的取值边界和特殊值进行代入验证，先排除了包含使函数无极值的a值的选项，再通过验证确定了正确答案．同时，在求导过程中要熟练运用求导公式和法则，准确分析函数的单调性和极值情况，这是判断特殊值是否符合条件的关键． 解决函数有极值问题，解决的关键是要保证其导数有变号零点，处理方法较多． 直接处理函数零点的问题需要准确把握分类讨论的分界点，导函数为二次型的函数的分界点需要考虑二次项的系数以及二次方程的判别式．所以不仅要考虑二次方程根的大致范围，而且要注意函数值的变 化趋势． 分离参数法能够将问题转化为函数图像交点的问题，从而避免了复杂的分类讨论过程，尤其在处理含参方程根的存在性问题时具有显著优势． 作为选择题，本题可利用特值法排除不合题意的选项，从而快速得到正确 选 项，体 现 了“小题不大做”的解题智慧．值得关注． 1．若函数在有极值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求导得到，再根据题意得到，解不等式即可. 【详解】，， 因为函数在有极值， 所以，解得或. 故选：C 2．若函数在处取得极小值，则（    ） A．4 B．2 C．-2 D．-4 【答案】A 【分析】先由，求得的值，再代入导函数，根据函数的单调性，进行验证. 【详解】由题意可得，则，解得. 当时，， 当或时，，则在，单调递增， 当时，，则在单调递减， 所以，函数在处取得极小值，此时. 故选：A 3．已知函数在上既有极大值，也有极小值，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【解析】先求导函数，根据函数在区间内既有极大值又有极小值，故导函数为0的方程有不等的实数根，可求实数a的取值范围. 【详解】, 又函数既有极大值又有极小值， 且， 且. 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数极值,关键是将问题转化为导函数为0的方程有不等的实数根，属于中档题. 4．若函数既有极大值也有极小值，则错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导数，由已知，可得函数在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答即可． 【详解】函数的定义域为， 由，得， 因为函数既有极大值也有极小值， 所以函数在上有两个变号零点，而， 所以方程有两个不等的正根， 所以，所以， 所以，即． 故BCD正确，A错误． 故选：A． 5．若函数恰好有两个极值，则实数a的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，利用函数恰好有两个极值，说明导函数有两个不同的零点，从而求出a的取值范围. 【详解】因为，所以， 由函数恰好有两个极值，得有两个不相等的零点， 故方程有两个不相等的实根， 则，且，解得或， 所以实数a的取值范围是. 故选：D. 6．已知函数在上无极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导数确定单调性，讨论x的取值范围可得结果. 【详解】由题意得，，故， 因为函数在上无极值， 所以在R上恒成立， 当时，， 设，则， 当时，得，当时，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 从而，故， 当时，，则. 综上，. 故选：D. 7．已知函数的最大值为1． (1)求实数的值； (2)若函数有极值，求实数的取值范围． 【答案】(1)1； (2). 【分析】（1）先求导函数及其零点，再分段讨论求单调区间及最值计算参数即可； （2）根据函数有极值得在上有零点，结合二次函数零点分布分类讨论计算即可. 【详解】（1）由题意得， 令，， 当时，，递增；当时，，递减. ，所以． （2）， 有极值，即在上有零点， 令，即在上有解 当时，，在上单调递增，无极值； 当时，在上有解， 所以，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$