2025届高三数学经典题之解透一题系列讲义：概率迷宫突围

第19题 概率迷宫突围（解透一题） 【江苏省苏锡常镇2024-2025调研一T14】在一个不透明的袋子中装有4个形状大小相同，颜色互不相同的小球．某人先后两次任意摸取小球（每次至少摸取1个小球），第一次摸取后记下摸到的小球颜色，再将摸到的小球放回袋中；第二次摸取后，也记下摸到的小球颜色．则“两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下”的概率为 ． 本题聚焦于古典概型的概率计算，融合了组合、排列知识以及分步计数原理.旨在考查对排列组合知识的运用能力，以及分析与解决问题的逻辑思维和计算能力，彰显了数学运算、逻辑推理等数学核心素养. 注意涉及排列组合和古典概型.这里面有两个典型易错点，计算总情况数易遗漏或重复，分析满足条件情况时逻辑易混乱. 1、计算摸球总情况数易错：每次摸球时，每个球都有“被摸出”和“不被摸出”两种状态（因为球摸完放回，需要考虑每个球的状态），对于4个球，第一次摸球的情况数应该是（提醒：错误原因没有减去一个球都不摸的情况），因为题目是先后两次摸球，所以总的摸球情况数1种，. 2、计算满足条件的情况数时易错，在分类讨论第一次和第二次摸球的组合情况时，存在逻辑混乱： （1）先从4种颜色中选1种作为重复的颜色，有​种选法.然后将剩下3种颜色分配到两次摸球中，使得两次摸球能凑齐这3种颜色.利用排列组合知识，将两次摸球看作一个整体的分配问题，先不考虑顺序，把3种颜色分成两组（一组在第一次摸球，一组在第二次摸球），然后排列（提醒：这里再次排列将导致重复）.满足条件的情况数种. （2）计算满足条件“两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下”的情况数 先从4种颜色中选1种作为两次都摸到的颜色，有种选法. 把剩下3种颜色分配到两次摸球中，使得两次能凑齐这3种颜色.若将3种颜色分成1种和2种两组，有​种分法，再将这两组分配到两次摸球中，有2种顺序；所以满足条件的情况数种（提醒：三种颜色分配时先可以为空） 突破要点提醒：注意非独立事件的影响，摸球问题中第一次结果会影响第二次的可能性，需确保两次摸球的组合逻辑严格符合条件. 首先计算总的基本事件数，第一次摸球有15 种情况，第二次摸球情况相同. 然后计算满足条件的事件数，最后根据古典概型概率公式计算概率. 某人先后两次任意摸取小球，每次至少摸取1个小球，则每次摸球的情况有种； 所以先后两次任意摸取小球共有种情况； 两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下的情况有： 第一次摸取1个球，第二次摸取4个球，情况共有种； 第一次摸取2个球，第二次摸取3个球，（第一次摸2个球（假设颜色为A、B），剩余颜色为C、D，第二次摸球需包含剩余两种颜色（C、D）和一种重复颜色（A或B），共3种颜色.）情况共有种； 第一次摸取3个球，第二次摸取2个球，情况共有种； 第一次摸取4个球，第二次摸取1个球，情况共有种； 所以两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下的概率为. 故答案为：. 【题后反思】精确计算所有可能的摸球情况数和满足条件的情况数.计算所有可能情况数时，需分情况讨论每次摸球的个数；计算满足条件的情况数时，采用分步策略，先确定重复颜色，再分配其余颜色.运用分步计数原理时，要明晰每一步的操作及对应的可能性数量.特别需要注意两次摸球的正确逻辑应为：第二次摸球，强制包含重复颜色和剩余颜色. 关于计算满足条件的基本事件数优化：先确定两次都被记下的那种颜色，有种选法.然后要凑齐4种颜色，那么第一次和第二次除了重复的那种颜色外，另外3种颜色要在两次摸球中各出现一次.不妨设第一次摸球除了重复颜色外摸了i个球(0≤i≤3)，第二次摸球除了重复颜色外摸了3-i个球.当第一次摸i个非重复颜色球有种选法，第二次摸3-i个非重复颜色球有1种选法，所以满足”两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下”的情况数. 优化思维二：计算满足条件“两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下”的情况数 先从4种颜色中选1种作为两次都摸到的颜色，有种选法. 把剩下3种颜色分配到两次摸球中，使得两次能凑齐这3种颜色.而3种颜色分配到两次摸球中，每种颜色分配都有2种选择，故共有种选择.所以满足”两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下”的情况数. 【方法总结】古典概型要求计算基本事件总数和事件包含数，列举法通过直接计数代替公式推导，减少了因分步计数或重复遗漏导致的错误. 列举法可根据题目需求选择不同的列举形式：简单枚举：适用于基本事件较少的情况（如抛硬币、抽2个球）.树状图/表格法：处理多步骤试验（如连续抽取不放回的物品），通过分层列举避免混乱.坐标法：适用于二维问题（如抛掷两枚骰子），通过坐标系定位事件组合. 列举法在古典概型中的应用，既体现了数学的严谨性（通过穷举确保无遗漏），又兼顾了实用性（降低认知负荷）.尽管其效率在事件数较大时受限，但在小规模问题中，其优势无可替代. 【类题训练】 1．在一个不透明的盒子中装有5个形状大小相同、颜色互不相同的小球.某人先后两次任意摸取小球（每次至少摸取1个小球），第一次摸取后记录下摸到的小球颜色，再将摸到的小球放回盒中；第二次摸取后，同样记录下摸到的小球颜色.那么“两次记录的小球颜色能够凑齐5种颜色，且恰有一种颜色两次都被记录”的概率是 . 【摸球问题，正难则反】 2．一个袋中装有6个大小形状完全相同的小球，其中有4个白球，2个黑球，现随机从袋中摸出一球，记下颜色，放回袋中后，再从袋中随机摸出一球，记下颜色，则两次摸出的球中至少有一个黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 【摸球问题，球色增多，背景拓宽】 3．在一个袋子中装有个除颜色外其他均相同的小球，其中有红球个、白球个、黄球个，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸次，则记下的颜色中有红有黄但没有白的概率为（　　） A． B． C． D． 4．一个不透明的袋子中装有6个小球，其中有4个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同，则下列结论中正确的有（    ） A．若一次摸出3个球，则摸出的球均为红球的概率是 B．若一次摸出3个球，则摸出的球为2个红球，1个白球的概率是 C．若第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球，则两次摸出的球为不同颜色的球的概率是 D．若第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球，则两次摸出的球为不同颜色的球的概率是 5．一个不透明的箱子中装有5个小球，其中白球3个，红球2个，小球除颜色不同外，材质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球；重复该试验，直至小球全部取出，假设试验开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的有（    ） A．经过两次试验后，试验者手中恰有2个白球的概率为 B．若第一次试验抽到一个白球，则第二次试验后，试验者手有白红球各1个的概率为 C．经过6次试验后试验停止的概率为 D．经过8次或9次试验后小球全部取出的概率最大 6．一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19题 概率迷宫突围（解透一题） 【江苏省苏锡常镇2024-2025调研一T14】在一个不透明的袋子中装有4个形状大小相同，颜色互不相同的小球．某人先后两次任意摸取小球（每次至少摸取1个小球），第一次摸取后记下摸到的小球颜色，再将摸到的小球放回袋中；第二次摸取后，也记下摸到的小球颜色．则“两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下”的概率为 ． 本题聚焦于古典概型的概率计算，融合了组合、排列知识以及分步计数原理.旨在考查对排列组合知识的运用能力，以及分析与解决问题的逻辑思维和计算能力，彰显了数学运算、逻辑推理等数学核心素养. 注意涉及排列组合和古典概型.这里面有两个典型易错点，计算总情况数易遗漏或重复，分析满足条件情况时逻辑易混乱. 1、计算摸球总情况数易错：每次摸球时，每个球都有“被摸出”和“不被摸出”两种状态（因为球摸完放回，需要考虑每个球的状态），对于4个球，第一次摸球的情况数应该是（提醒：错误原因没有减去一个球都不摸的情况），因为题目是先后两次摸球，所以总的摸球情况数1种，. 2、计算满足条件的情况数时易错，在分类讨论第一次和第二次摸球的组合情况时，存在逻辑混乱： （1）先从4种颜色中选1种作为重复的颜色，有​种选法.然后将剩下3种颜色分配到两次摸球中，使得两次摸球能凑齐这3种颜色.利用排列组合知识，将两次摸球看作一个整体的分配问题，先不考虑顺序，把3种颜色分成两组（一组在第一次摸球，一组在第二次摸球），然后排列（提醒：这里再次排列将导致重复）.满足条件的情况数种. （2）计算满足条件“两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下”的情况数 先从4种颜色中选1种作为两次都摸到的颜色，有种选法. 把剩下3种颜色分配到两次摸球中，使得两次能凑齐这3种颜色.若将3种颜色分成1种和2种两组，有​种分法，再将这两组分配到两次摸球中，有2种顺序；所以满足条件的情况数种（提醒：三种颜色分配时先可以为空） 突破要点提醒：注意非独立事件的影响，摸球问题中第一次结果会影响第二次的可能性，需确保两次摸球的组合逻辑严格符合条件. 首先计算总的基本事件数，第一次摸球有15 种情况，第二次摸球情况相同. 然后计算满足条件的事件数，最后根据古典概型概率公式计算概率. 某人先后两次任意摸取小球，每次至少摸取1个小球，则每次摸球的情况有种； 所以先后两次任意摸取小球共有种情况； 两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下的情况有： 第一次摸取1个球，第二次摸取4个球，情况共有种； 第一次摸取2个球，第二次摸取3个球，（第一次摸2个球（假设颜色为A、B），剩余颜色为C、D，第二次摸球需包含剩余两种颜色（C、D）和一种重复颜色（A或B），共3种颜色.）情况共有种； 第一次摸取3个球，第二次摸取2个球，情况共有种； 第一次摸取4个球，第二次摸取1个球，情况共有种； 所以两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下的概率为. 故答案为：. 【题后反思】精确计算所有可能的摸球情况数和满足条件的情况数.计算所有可能情况数时，需分情况讨论每次摸球的个数；计算满足条件的情况数时，采用分步策略，先确定重复颜色，再分配其余颜色.运用分步计数原理时，要明晰每一步的操作及对应的可能性数量.特别需要注意两次摸球的正确逻辑应为：第二次摸球，强制包含重复颜色和剩余颜色. 关于计算满足条件的基本事件数优化：先确定两次都被记下的那种颜色，有种选法.然后要凑齐4种颜色，那么第一次和第二次除了重复的那种颜色外，另外3种颜色要在两次摸球中各出现一次.不妨设第一次摸球除了重复颜色外摸了i个球(0≤i≤3)，第二次摸球除了重复颜色外摸了3-i个球.当第一次摸i个非重复颜色球有种选法，第二次摸3-i个非重复颜色球有1种选法，所以满足”两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下”的情况数. 优化思维二：计算满足条件“两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下”的情况数 先从4种颜色中选1种作为两次都摸到的颜色，有种选法. 把剩下3种颜色分配到两次摸球中，使得两次能凑齐这3种颜色.而3种颜色分配到两次摸球中，每种颜色分配都有2种选择，故共有种选择.所以满足”两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下”的情况数. 【方法总结】古典概型要求计算基本事件总数和事件包含数，列举法通过直接计数代替公式推导，减少了因分步计数或重复遗漏导致的错误. 列举法可根据题目需求选择不同的列举形式：简单枚举：适用于基本事件较少的情况（如抛硬币、抽2个球）.树状图/表格法：处理多步骤试验（如连续抽取不放回的物品），通过分层列举避免混乱.坐标法：适用于二维问题（如抛掷两枚骰子），通过坐标系定位事件组合. 列举法在古典概型中的应用，既体现了数学的严谨性（通过穷举确保无遗漏），又兼顾了实用性（降低认知负荷）.尽管其效率在事件数较大时受限，但在小规模问题中，其优势无可替代. 【类题训练】 1．在一个不透明的盒子中装有5个形状大小相同、颜色互不相同的小球.某人先后两次任意摸取小球（每次至少摸取1个小球），第一次摸取后记录下摸到的小球颜色，再将摸到的小球放回盒中；第二次摸取后，同样记录下摸到的小球颜色.那么“两次记录的小球颜色能够凑齐5种颜色，且恰有一种颜色两次都被记录”的概率是 . 【答案】 【分析】应用分步乘法原理及分类加法原理结合组合数的运算，最后结合古典概型计算求解. 【详解】某人先后两次任意摸取小球，每次至少摸取1个小球， 则每次摸球的情况有种； 所以先后两次任意摸取小球共有种情况； 两次记下的小球颜色能凑齐5种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下的情况有： 第一次摸取1个球，第二次摸取5个球，情况共有种； 第一次摸取2个球，第二次摸取4个球，情况共有种； 第一次摸取3个球，第二次摸取3个球，情况共有种； 第一次摸取4个球，第二次摸取2个球，情况共有种； 第一次摸取5个球，第二次摸取1个球，情况共有种； 所以两次记下的小球颜色能凑齐5种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下的概率为. 故答案为：. 【摸球问题，正难则反】 2．一个袋中装有6个大小形状完全相同的小球，其中有4个白球，2个黑球，现随机从袋中摸出一球，记下颜色，放回袋中后，再从袋中随机摸出一球，记下颜色，则两次摸出的球中至少有一个黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意利用相互独立事件概率的乘法公式，先求出两次摸到的全是白球的概率，再利用对立事件的概率公式即可求解. 【详解】记每次摸出白球为事件A，每次摸出黑球为事件B，则 ，， 两次摸出的球中至少有一个黑球包括两次黑球和一次白球一次黑球， 其对立事件为两次摸到的都是白球， 两次摸到的都是白球概率为， 所以两次摸出的球中至少有一个黑球的概率为， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是第一次摸出球后又放回去，所以每次摸出白球和黑球的概率都不变，求出这两个概率，每次摸球是相互独立的，所以可以利用概率的乘法公式求出两次摸到的全是白球的概率，即可求出其对立事件至少有一个黑球的概率. 【摸球问题，球色增多，背景拓宽】 3．在一个袋子中装有个除颜色外其他均相同的小球，其中有红球个、白球个、黄球个，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸次，则记下的颜色中有红有黄但没有白的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知得取出的3球中有2红1黄或2黄1红，2红1黄的情况有3种，2黄1红的情况也有3种，由此能求出记下的颜色中有红有黄但没有白的概率. 【详解】从袋中随机摸出一个球，摸到红球、白球、黄球的概率分别为， 由已知得取出的3球中有2红1黄或2黄1红， 按摸球顺序，颜色是2红1黄的情况有3种，2黄1红的情况也有3种， 所以记下的颜色中有红有黄但没有白的概率为. 故选：C. 4．一个不透明的袋子中装有6个小球，其中有4个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同，则下列结论中正确的有（    ） A．若一次摸出3个球，则摸出的球均为红球的概率是 B．若一次摸出3个球，则摸出的球为2个红球，1个白球的概率是 C．若第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球，则两次摸出的球为不同颜色的球的概率是 D．若第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球，则两次摸出的球为不同颜色的球的概率是 【答案】BC 【分析】求出总事件数以及摸出的球均为红球的事件数，由概率公式求解即可判断选项，求出总事件数和摸出的球为2个红球，1个白球的事件数，由概率公式求解即可判断选项，分两种情况：，①若第一次摸出红球，第二次摸出白球；②若第一次摸出白球，第二次摸出红球，分别求出其概率相加即可判断选项，． 【详解】解：对于，总事件数是，摸出的球均为红球的事件数为，所以摸出的球均为红球的概率是，故选项错误； 对于，总事件数是，摸出的球为2个红球，1个白球的事件数为，所以摸出的球为2个红球，1个白球的概率是，故选项正确； 对于，①若第一次摸出红球，第二次摸出白球，则概率为；②若第一次摸出白球，第二次摸出红球，则概率为．故两次摸出的球为不同颜色的球的概率是，故选项正确； 对于，①若第一次摸出红球，第二次摸出白球，则概率为，②若第一次摸出白球，第二次摸出红球，则概率为．故两次摸出的球为不同颜色的球的概率是，故选项错误． 故选：BC． 5．一个不透明的箱子中装有5个小球，其中白球3个，红球2个，小球除颜色不同外，材质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球；重复该试验，直至小球全部取出，假设试验开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的有（    ） A．经过两次试验后，试验者手中恰有2个白球的概率为 B．若第一次试验抽到一个白球，则第二次试验后，试验者手有白红球各1个的概率为 C．经过6次试验后试验停止的概率为 D．经过8次或9次试验后小球全部取出的概率最大 【答案】AD 【分析】A选项，分析出需要两次投掷硬币，均正面朝上，且从箱子里抽出的两个小球均为白色，利用独立事件乘法公式计算出概率；B选项，第二次试验需投掷硬币，正面朝上，且从箱子里抽出的小球为红球，从而计算出概率；C选项，前5次有4次投掷硬币，正面朝上，第6次投掷硬币，正面朝上，求出概率；D选项，设经过次试验后小球全部取出的概率最大，求出相应的概率，得到不等式组，求出答案. 【详解】A选项，经过两次试验后，试验者手中恰有2个白球， 需要两次投掷硬币，均正面朝上，且从箱子里抽出的两个小球均为白色， 故概率为，A正确； B选项，第二次试验需投掷硬币，正面朝上，且从箱子里抽出的小球为红球， 故概率为，B错误； C选项，经过6次试验后试验停止，即前5次有4次投掷硬币，正面朝上， 第6次投掷硬币，正面朝上， 概率为，C错误； D选项，设经过次试验后小球全部取出的概率最大， 此时前次有4次投掷硬币，正面朝上，第次投掷硬币，正面朝上， 故概率为， 令，解得， 又，故经过8次或9次试验后小球全部取出的概率最大，D正确. 故选：AD. 6．一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为 ． 【答案】## 【分析】分第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”，或第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”，或两次均为“2个小球颜色一黄一白”，三种情况计算即可，分别计算可得结论. 【详解】“两次得分和为0分”可能的情况有第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”， 或第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”，或两次均为“2个小球颜色一黄一白”， 第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”， 记黄球为，2个白球为、1个红球为， 利用枚举法可知从中一次取2个小球为， 共有10种取法，而颜色相同的取法有两种， 故第一次取2个小球颜色相同的概率为，第二次取2个小球中有红球的概率为， 所以第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”的概率为． 第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”， 第一次取2个小球中有红球的概率为，第二次2个小球颜色相同的概率为， 所以第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”的概率为． 两次均为“2个小球颜色一黄一白”， 第一次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为， 第二次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为， 所以两次均为“2个小球颜色一黄一白”的概率为． 所以两次先后取2个小球，得分为零分的概率为. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$