2025年广西贵港市港南区中考数学四模试卷

2025年广西贵港市港南区中考数学四模试卷 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一个是符合要求的.用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑。） 1．（3分）电梯上行4层楼记为+4，那么电梯下行3层楼应记为（　　） A．﹣3 B．+3 C．+4 D．﹣4 2．（3分）下列图形中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）若式子有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≤3 B．x≥﹣3 C．x≠3 D．x≥0 4．（3分）下列计算正确的是（　　） A．a3•a3＝a9 B．2a3÷a2＝a C．（﹣a2）2＝a4 D．a4+a2＝a6 5．（3分）甲、乙两种水稻的平均亩产量均为1200千克，方差为，．为保证产量稳定，适合推广的品种为（　　） A．甲 B．乙 C．甲、乙均可 D．无法确定 6．（3分）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中∠1＝80°，∠2＝40°，则∠3的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．70° 7．（3分）关于一次函数y＝x+1，下列说法正确的是（　　） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点（0，1） C．y随x的增大而减小 D．当x＞﹣1时，y＜0 8．（3分）如图，点是反比例函数在第一象限内的图象上任意一点，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积是1，则k的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 9．（3分）有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，收获小麦12000kg，第二块使用新品种，收获小麦14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg．如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg，根据题意列出分式方程正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC、BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC＝55°，则∠DBC的度数是（　　） A．50° B．45° C．40° D．35° 11．（3分）如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC＝90°，AD＝3，则CE的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 12．（3分）甲、乙两地之间是一条直路，小红跑步从甲地到乙地，小刚步行从乙地到甲地，两人之间的距离y（单位：米）与小刚步行时间x（单位：分），下列说法错误的是（　　） A．小红跑步的速度为150米/分 B．小刚步行的速度为100米/分 C．a＝12 D．小红到达乙地时，小刚离甲地还有500米 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分。） 13．（3分）2的相反数是 　 　 ． 14．（3分）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作．若从这四部著作中随机抽取一本，则抽取的一本恰好是《大学》的概率是　 　 ． 15．（3分）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若，则CD＝　 　 ． 16．（3分）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为　 　 ． 三、解答题（本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，． （1）尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点P；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求AC的长． 18．（10分）（1）计算：； （2）解不等式组：． 19．（10分）为提高学生的环保意识，某校举行了“爱护环境，人人有责”环保知识竞赛，对收集到的数据进行了整理、描述和分析． 【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理．（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）如表： 组别 A B C D 成绩（x/分） 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 人数（人） m 94 n 16 【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：m＝　 　 ，n＝　 　 ； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是 　 　 °； （4）若竞赛成绩80分以上（含80分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的2000名学生中成绩为优秀的人数． 20．（10分）如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（1，0），点D（4，4）在反比例函数y（x＞0）的图象上，直线yx+b经过点C，与y轴交于点E，连接AC，AE． （1）求k，b的值； （2）求△ACE的面积． 21．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AD＝CD，过点D的直线l交BA的延长线于点M，交BC的延长线于点N且∠ADM＝∠DAC． （1）求证：MN是⊙O的切线； （2）当AB＝6，时，求AM的长． 22．（12分）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行． 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线yx+b．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km， ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km． 23．（12分）【综合与实践】 如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD，以CD为直角边在CD的右侧构造Rt△CDE，∠DCE＝90°，连接BE，． 【特例感知】 （1）如图1，当m＝1时，BE与AD之间的位置关系是 　 　 ，数量关系是 　 　 ． 【类比迁移】 （2）如图2，当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF，EF，BF，如图3．已知AC＝6，设AD＝x，四边形CDFE的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当BF＝2时，请直接写出AD的长度． 2025年广西贵港市港南区中考数学四模试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A A A C A B B C A D D 题号 12 答案 C 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一个是符合要求的.用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑。） 1．（3分）电梯上行4层楼记为+4，那么电梯下行3层楼应记为（　　） A．﹣3 B．+3 C．+4 D．﹣4 【答案】A 【分析】直接利用电梯上升4层记为+3，则电梯下降记为负数，进而得出答案． 【解答】解：电梯上行4层楼记为+4，那么电梯下行3层楼应记为﹣3． 故选：A． 2．（3分）下列图形中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例． 【解答】解：A、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确； B、影子的方向不相同，故本选项错误； C、影子的方向不相同，故本选项错误； D、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误． 故选：A． 3．（3分）若式子有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≤3 B．x≥﹣3 C．x≠3 D．x≥0 【答案】A 【分析】由二次根式有意义的条件可得3﹣x≥0，从而可得答案． 【解答】解：∵式子有意义， ∴3﹣x≥0， 解得：x≤3， 故选：A． 4．（3分）下列计算正确的是（　　） A．a3•a3＝a9 B．2a3÷a2＝a C．（﹣a2）2＝a4 D．a4+a2＝a6 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法、单项式除以单项式、幂的乘方与积的乘方、合并同类项法则逐项计算判断即可． 【解答】解：A、a3•a3＝a6，故此选项不符合题意； B、2a3÷a2＝2a，故此选项不符合题意； C、（﹣a2）2＝a4，故此选项符合题意； D、a4与a2不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； 故选：C． 5．（3分）甲、乙两种水稻的平均亩产量均为1200千克，方差为，．为保证产量稳定，适合推广的品种为（　　） A．甲 B．乙 C．甲、乙均可 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据方差的意义，方差越小数据越稳定求解即可． 【解答】解：∵s甲2＝186.9千克2，s乙2＝325.3千克2， ∴S甲2＜S乙2， ∴甲水稻产量稳定， 故选：A． 6．（3分）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中∠1＝80°，∠2＝40°，则∠3的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．70° 【答案】B 【分析】根据“两直线平行，内错角相等”以及角的和差关系求解即可． 【解答】解：如图， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠AMN＝∠2+∠3， ∵∠1＝80°，∠2＝40°， ∴∠3＝40°， 故选：B． 7．（3分）关于一次函数y＝x+1，下列说法正确的是（　　） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点（0，1） C．y随x的增大而减小 D．当x＞﹣1时，y＜0 【答案】B 【分析】根据一次函数性质分析判断各选项正误即可． 【解答】解：A、一次函数y＝x+1过第一、二、三象限，故原说法错误，不符合题意； B、一次函数y＝x+1图象与y轴交于点（0，1），正确，符合题意； C、一次函数y＝x+1性质是y随x的增大而增大，故原说法错误，不符合题意； D、一次函数y＝x+1中，x＜﹣1时，y＜0，故原说法错误，不符合题意； 故选：B． 8．（3分）如图，点是反比例函数在第一象限内的图象上任意一点，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积是1，则k的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【答案】C 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义进行解答即可． 【解答】解：由题意得， S△AOB|k|＝1， 又∵k＞0， ∴k＝2， 故选：C． 9．（3分）有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，收获小麦12000kg，第二块使用新品种，收获小麦14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg．如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg，根据题意列出分式方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设第一块试验田每公顷的产量为x kg，则第二块试验田每公顷的产量为（x+1500）kg，根据两块小麦试验田面积相同列方程即可． 【解答】解：设第一块试验田每公顷的产量为x kg，则第二块试验田每公顷的产量为（x+1500）kg，则 ， 故选：A． 10．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC、BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC＝55°，则∠DBC的度数是（　　） A．50° B．45° C．40° D．35° 【答案】D 【分析】直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互余即可求解． 【解答】解：∵BD经过圆心O． ∴BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， ∵∠BAC＝∠BDC＝55°， ∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝35°， 故选：D． 11．（3分）如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC＝90°，AD＝3，则CE的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠C＝∠DBC＝∠ABD＝30°，根据直角三角形的性质解答． 【解答】解：∵ED是BC的垂直平分线， ∴DB＝DC， ∴∠C＝∠DBC， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠C＝∠DBC＝∠ABD＝30°， ∴BD＝2AD＝6， ∴CE＝CD×cos∠C＝3， 故选：D． 12．（3分）甲、乙两地之间是一条直路，小红跑步从甲地到乙地，小刚步行从乙地到甲地，两人之间的距离y（单位：米）与小刚步行时间x（单位：分），下列说法错误的是（　　） A．小红跑步的速度为150米/分 B．小刚步行的速度为100米/分 C．a＝12 D．小红到达乙地时，小刚离甲地还有500米 【答案】C 【分析】由图象可得小红跑步从甲地到乙地a分钟；小刚步行从乙地到甲地用时（15分）；由此可得小刚的速度；由图象可知，当时间为（6分）时，两人相遇，可得出两人速度和，由此可得出小红的速度；进而可得出a的值，再结合相遇问题，可判断D选项． 【解答】解：∵1500÷15＝100（米/分）， ∴小刚步行的速度为100米/分；故B选项正确； ∵1500÷6＝250（米/分）， ∴250﹣100＝150（米/分）， ∴小红跑步的速度为150米/分，故A选项正确； ∵1500÷150＝10（分）， ∴a＝10，故C选项错误； 小红到达乙地时，小刚离甲地还有（15﹣10）×100＝500（米）；故D选项正确， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分。） 13．（3分）2的相反数是 　﹣2　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据相反数的定义可知． 【解答】解：2的相反数是﹣2． 故答案为：﹣2 14．（3分）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作．若从这四部著作中随机抽取一本，则抽取的一本恰好是《大学》的概率是　　 ． 【答案】． 【分析】由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽取的一本恰好是《大学》的结果有1种，利用概率公式可得答案． 【解答】解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽取的一本恰好是《大学》的结果有1种， ∴抽取的一本恰好是《大学》的概率为． 故答案为：． 15．（3分）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若，则CD＝　22　 ． 【答案】22． 【分析】作AF⊥BC于F，由两个同样大小的含45°角的三角尺，AC，得AF＝BF＝CF2，AD＝BC＝4，得FD2，即可得CD＝FD﹣FC＝22． 【解答】解：作AF⊥BC于F， 由两个同样大小的含45°角的三角尺，AC， 得AF＝BF＝CF2，AD＝BC＝4， 得FD2， 得CD＝FD﹣FC＝22． 故答案为：22． 16．（3分）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据菱形的性质得到AB＝1，∠ABD＝30°，根据平移的性质得到A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，推出四边形A′B′CD是平行四边形，得到A′D＝B′C，于是得到A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，根据平移的性质得到点A′在过点A且平行于BD的定直线上，作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，求得DE＝CD，得到∠E＝∠DCE＝30°，于是得到结论． 【解答】解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°， ∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'， ∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAD＝120°， ∴A′B′＝CD，A′B′∥CD， ∴四边形A′B′CD是平行四边形， ∴A′D＝B′C， ∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值， ∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上， ∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′， 则CE的长度即为A'C+B'C的最小值， ∵在Rt△AHD中，∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1， ∴∠ADE＝60°，DH＝EHAD， ∴DE＝1， ∴DE＝CD， ∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°， ∴∠E＝∠DCE＝30°， ∴CE＝2CD． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，． （1）尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点P；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求AC的长． 【答案】（1）见解答． （2）2． 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）利用勾股定理计算即可． 【解答】解：（1）如图，射线AP即为所求． （2）由勾股定理得，AC2． 18．（10分）（1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）； （2）﹣2≤x＜2． 【分析】（1）根据实数的运算法则进行计算即可． （2）根据解一元一次不等式组的步骤进行求解即可． 【解答】解：（1）原式 ． （2）， 解不等式①得，x≥﹣2， 解不等式②得，x＜2， 所以不等式组的解集为：﹣2≤x＜2． 19．（10分）为提高学生的环保意识，某校举行了“爱护环境，人人有责”环保知识竞赛，对收集到的数据进行了整理、描述和分析． 【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理．（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）如表： 组别 A B C D 成绩（x/分） 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 人数（人） m 94 n 16 【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：m＝　50　 ，n＝　40　 ； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是 　72　 °； （4）若竞赛成绩80分以上（含80分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的2000名学生中成绩为优秀的人数． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先有B人数及其所占百分比求出被调查总人数，再用总人数乘以A的百分比求出m的值，再根据各组人数之和等于总人数求出n的值； （2）根据m和n的值即可补全条形统计图； （3）用360°乘以C组人数所占比例可求得其对应圆心角度数； （4）用总人数乘以样本中80分以上（含80分）的人数所占比例即可得． 【解答】解：（1）本次随机抽取的学生人数为94÷47%＝200（人）， ∴m＝200×25%＝50， ∴n＝200﹣50﹣94﹣16＝40； 故答案为：50，40； （2）补全条形统计图如图所示： （3）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是360°72°； 故答案为：72； （4）2000560（名）， 答：估计该校参加竞赛的2000名学生中成绩为优秀的人数有560名． 20．（10分）如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（1，0），点D（4，4）在反比例函数y（x＞0）的图象上，直线yx+b经过点C，与y轴交于点E，连接AC，AE． （1）求k，b的值； （2）求△ACE的面积． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由菱形的性质可知B（6，0），C（9，4），点D（4，4）代入反比例函数y，求出k；将点C（9，4）代入yx+b，求出b； （2）求出直线yx﹣2与x轴和y轴的交点，即可求△AEC的面积； 【解答】解：（1）由已知可得AD＝5， ∵菱形ABCD， ∴B（6，0），C（9，4）， ∵点D（4，4）在反比例函数y（x＞0）的图象上， ∴k＝16， 将点C（9，4）代入yx+b， ∴b＝﹣2； （2）E（0，﹣2）， 直线yx﹣2与x轴交点为（3，0）， ∴S△AEC2×（2+4）＝6； 21．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AD＝CD，过点D的直线l交BA的延长线于点M，交BC的延长线于点N且∠ADM＝∠DAC． （1）求证：MN是⊙O的切线； （2）当AB＝6，时，求AM的长． 【答案】（1）见解析； （2）AM＝6． 【分析】（1）连接OD交AC于点H，根据垂径定理的推论可得半径OD⊥AC，利用平行线的判定定理由∠ADM＝∠DAC可得AC∥MN，得出半径OD⊥MN，再运用切线的判定定理即可证得结论； （2）连接OD交AC于点H，连接BD，利用解直角三角形可得AD＝AB•sin∠ABD＝62CD，CN＝CD•sin∠CDN＝22，利用勾股定理可得DN2，再证明四边形CNDH是矩形，得出CH＝DN＝2，由垂径定理可得AC＝2CH＝4，再根据勾股定理求得BC＝2，运用平行线分线段成比例定理即可求得答案． 【解答】（1）证明：连接OD交AC于点H，如图1， ∵AD＝CD， ∴， ∴OD⊥AC， ∴∠AHO＝90°， ∵∠ADM＝∠DAC， ∴AC∥MN， ∴∠MDO＝∠AHO＝90°， ∴OD⊥MN， ∴MN是⊙O的切线； （2）解：连接OD交AC于点H，连接BD，如图2， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠ACB＝90°， ∵∠ADM＝∠DAC， ∴AC∥MN， ∴∠ACD＝∠CDN，∠DNC＝∠ACB＝90°＝∠ADB， ∵∠ABD＝∠ACD， ∴∠ABD＝∠CDN， ∴∠BNM＝∠AHO＝∠MDO＝90°， ∴sin∠ABDsin∠CDN＝sin∠DCA， ∵AB＝6， ∴AD＝AB•sin∠ABD＝62， ∵AD＝CD， ∴CD＝2， ∴CN＝CD•sin∠CDN＝22， 在Rt△CDN中，由勾股定理得：ND2， ∵∠CND＝∠CHD＝∠NDH＝90°， ∴四边形CNDH是矩形， ∴CH＝ND＝2， ∵OD⊥AC， ∴AC＝2CH＝4， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC2， ∵AC∥MN， ∴，即， ∴AM＝6． 22．（12分）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行． 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线yx+b．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km， ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）①、易得火箭第二级的引发点的坐标为（9，3.6），分别代入抛物线的解析式和直线的解析式可得a和b的值； ②、把①中得到的抛物线的解析式整理成顶点式，可得火箭运行的最高点的坐标，取纵坐标减去1.35km即为相应的高度，把所得高度分别代入①中得到的两个函数解析式，求得合适的x的值，相减即为两个位置间的距离； （2）假设火箭落地点与发射点的水平距离为15km．用a表示出火箭第二级的引发点的坐标，把火箭第二级的引发点的坐标和（15，0）代入直线解析式可得火箭落地点与发射点的水平距离恰好为15km时a和b的值，进而结合抛物线开口向下可得a的取值范围． 【解答】解：（1）①∵y＝ax2+x经过点（9，3.6）， ∴81a+9＝3.6． 解得：a． ∵yx+b经过点（9，3.6）， ∴3.69+b． 解得：b＝8.1； ②由①得：yx2+x （x2﹣15x） （x）2（0≤x≤9）． ∴火箭运行的最高点是km． ∴1.35＝2.4（km）． ∴2.4x2+x． 整理得：x2﹣15x+36＝0． 解得：x1＝12＞9（不合题意，舍去），x2＝3． 由①得：yx+8.1． ∴2.4x+8.1． 解得：x＝11.4． ∴11.4﹣3＝8.4（km）． 答：这两个位置之间的距离为8.4km； （2）当x＝9时，y＝81a+9． ∴火箭第二级的引发点的坐标为（9，81a+9）． 设火箭落地点与发射点的水平距离为15km． ∴yx+b经过点（9，81a+9），（15，0） ∴． 解得：． ∴a＜0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km． 23．（12分）【综合与实践】 如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD，以CD为直角边在CD的右侧构造Rt△CDE，∠DCE＝90°，连接BE，． 【特例感知】 （1）如图1，当m＝1时，BE与AD之间的位置关系是 　AD⊥BE　 ，数量关系是 　AD＝BE　 ． 【类比迁移】 （2）如图2，当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF，EF，BF，如图3．已知AC＝6，设AD＝x，四边形CDFE的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当BF＝2时，请直接写出AD的长度． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由 证明△ACD≌△BCE，即可得出 AD⊥BE，AD＝BE； （2）由已知得出△ADC∽△BEC，即可得出BE＝mAD，AD⊥BE； （3）①由已知得出四边形CDFE是正方形，由勾股定理即可得 出 ，数形结合即可求解； ②过D作DH⊥AC于H，则△ADH是等腰直角三角形，由勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：（1）AD⊥BE，AD＝BE， ∵， ∴CE＝CD，CB＝CA， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE，∠A＝∠ABC＝45°， 在△ACD和△BCE中， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠CBE＝∠A＝45°， ∴∠ABE＝∠CBE+∠ABC＝90°，即AD⊥BE， 故答案为：AD⊥BE，AD＝BE； （2）BE＝mAD，AD⊥BE； 证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， 又∵m， ∴△ADC∽△BEC， ∴，∠CBE＝∠A，则BE＝mAD， 又∵∠A+∠ABC＝90°， ∴∠CBE+∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝90°， ∴AD⊥BE； （3）①连接CF交DE于O，由（1）知，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°， ∴， ∴x，且AD＝BE＝x，∠DBE＝90°， ∴， ∵点F与点C关于DE对称， ∴DE垂直平分CF， ∴CE＝EF，CD＝DF， ∵CD＝CE， ∴CD＝DF＝EF＝CE， ∵∠DCE＝90°， ∴四边形CDFE是正方形， ∴， ∴y与x的函数表达式为y＝x2﹣6x+36（0＜x≤6）， 由， ∴其最小值为18； ②过D作DH⊥AC于H，则△ADH是等腰直角三角形， ∴， ∴， 连接OB，由直角三角形性质得OB＝OE＝OD＝OC＝OF， ∴， ∴∠CBF＝90° ∵BC＝6，BF＝2， ∴， 则， ∵CH2+DH2＝CD2， ∴， 解得， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$