精品解析：贵州省遵义市2024-2025学年高二下学期联考数学试题

高二联考数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，满足，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在区间内有唯一零点，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则下列说法不正确的是（ ） A. B. 展开式的各项系数和为729 C. 展开式中的系数为15 D. 展开式中奇数项的二项式系数和为32 6. 甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出2个球，则取出的2个球都是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的前n项和为，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 是等比数列 D. 是等差数列 8. 设点F为椭圆E：（）的右焦点，M是圆O：与x轴正半轴的交点，过点M作圆O的切线，交椭圆E于A，B两点，若△ABF的周长是4b，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 传承红色文化，宣扬爱国精神，某中学国旗队在高一年级招收新成员8人，经培训后进行考核，所得分数（10分制）分别为7，7，8，8，8，8，9，9，则下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的平均数为8 B. 这组数据的众数为8 C. 这组数据的极差为2 D. 这组数据的75%分位数为8 10. 三棱锥的各棱长均为2，其内切球半径为，外接球半径为，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 内切球与各面相切于重心 D. 该三棱锥的体积为 11. 已知函数（，）在区间上单调递增，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数图象的一个对称中心可能是 C. 函数的最大值为 D. 函数在区间上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线的斜率为__________. 13. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且，则__________. 14. 若正整数（b，c都是整数），则称b和c为a的因数，的不同正因数的个数为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2025年4月18日，以“干净黔茶、全球共享--新茶饮、新生活、新赛道”为主题的第17届贵州茶产业博览会在贵州省遵义市湄潭县的中国茶城广场盛大开幕.开幕式上，发布了贵州新茶饮系列团体标准、全国新茶饮供应链中心战略规划；湄潭、凤冈、正安、余庆抢抓机遇，成立了“新茶饮”联盟；茶博会期间推出了品尝新茶饮、啤酒美食一条街等一系列“子活动”.啤酒主要以湄潭翠芽绿茶精酿（简称湄潭翠芽啤酒）、茉莉毛尖花茶精酿为主.某调查小组为了了解人们喜欢喝湄潭翠芽啤酒是否与性别有关，随机调查了200名品尝者，得到以下不完善的列联表. （1）完成以下2×2列联表，能否有99%的把握认为人们是否喜欢喝湄潭翠芽啤酒与性别有关？ 喜欢 不喜欢 合计 男性 40 女性 100 合计 95 200 （2）根据是否喜欢喝湄潭翠芽啤酒利用分层抽样的方法从男性品尝者中随机抽取5人，再从这5人中随机选出3人进行深入交流，记这3人中喜欢喝湄潭翠芽啤酒的人数为X，求随机变量X的分布列、期望. 附：，. （） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16. 已知数列的前n项积（），等差数列中，，. （1）求数列、的通项公式； （2）令，求数列的前n项和. 17. 如图，在四棱柱中，四边形是菱形，点P在线段上，，平面平面. （1）证明：； （2）已知，，，，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知双曲线：（，）的左、右顶点分别为，，它的一条渐近线方程为. （1）求的标准方程； （2）过点的直线与双曲线的右支交于，两点，直线与交于点，证明：点在定直线上. 19. 已知函数，. （1）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围； （2）当时. （ⅰ）若，比较与的大小； （ⅱ）若数列满足，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二联考数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的虚部定义直接判断即可. 【详解】因为复数，根据复数的虚部概念可知，该复数的虚部为1. 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式，求出集合，根据交集计算法则，求出集合的交集. 【详解】由题意知，解得，所以， 所以. 故选：A. 3. 已知平面向量，满足，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用数量积的运算律求出，再利用夹角公式求解. 【详解】由，，得，解得， 因此，而，则， 所以与的夹角为. 故选：C 4. 已知函数在区间内有唯一零点，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用零点存在性定理列式求解即得. 【详解】函数在上单调递增， 由函数在内有唯一零点，得，解得， 所以实数b的取值范围是. 故选：D 5. 已知在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则下列说法不正确的是（ ） A. B. 展开式的各项系数和为729 C. 展开式中的系数为15 D. 展开式中奇数项的二项式系数和为32 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质求出，再根据二项式展开式的通项公式逐一分析选项. 【详解】根据二项式系数的性质：当为偶数时，二项式展开式中中间一项的二项式系数最大； 当为奇数时，二项式展开式中中间两项的二项式系数最大. 根据题意，在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大， 所以，所以，所以A正确. 要求展开式的各项系数和，则令， 那么各项系数和为，B正确. 二项式的展开式为：. 要求展开式中的系数，则令，解得. 将代入通项公式中可得的系数为，所以C错误. 根据二项式系数的性质：二项式展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和， 且都等于，因为这里，所以奇数项的二项式系数和为，所以D正确. 故选：C. 6. 甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出2个球，则取出的2个球都是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率的计算公式即可求. 【详解】分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是白球， 依题意，，，， 所以. 故选：D 7. 已知数列的前n项和为，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 是等比数列 D. 是等差数列 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项公式，再逐项判断可得答案. 【详解】数列中，，由，得，解得. 因为，所以， 因为，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列， 所以，故. 对于A，，A错误； 对于B，，故，B错误； 对于C，是等比数列，C正确； 对于D，，而不成等差数列， 所以不是等差数列，D错误. 故选：C. 8. 设点F为椭圆E：（）的右焦点，M是圆O：与x轴正半轴的交点，过点M作圆O的切线，交椭圆E于A，B两点，若△ABF的周长是4b，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的坐标，代入椭圆方程可求得的坐标，进而可求的周长，结合离心率公式求解即可. 【详解】如图，易知，， 将代入椭圆E：得：，解得 不妨设，则， 因为，所以，所以， ， 因为的周长是4b，所以， 即，所以. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 传承红色文化，宣扬爱国精神，某中学国旗队在高一年级招收新成员8人，经培训后进行考核，所得分数（10分制）分别为7，7，8，8，8，8，9，9，则下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的平均数为8 B. 这组数据的众数为8 C. 这组数据的极差为2 D. 这组数据的75%分位数为8 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定的数据组，求出平均数、众数、极差、75%分位数逐项判断. 【详解】对于A，这组数据的平均数，A正确； 对于B，这组数据的众数为8，B正确； 对于C，这组数据的极差为，C正确； 对于D，由，得这组数据的75%分位数为，D错误. 故选：ABC 10. 三棱锥的各棱长均为2，其内切球半径为，外接球半径为，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 内切球与各面相切于重心 D. 该三棱锥的体积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先根据已知条件判断该三棱锥是正四面体，然后结合正四面体的结构特征和性质逐一判断选项即可. 【详解】因为三棱锥的各棱长均为2，则该三棱锥为正四面体. 所以根据勾股定理，底面的高为.则底面三角形的外接圆半径为， 所以该四面体的高为. 所以根据勾股定理可得 所以正四面体的外接球半径为，故B正确. 因为正四面体的外接球球心和内切球球心重合，正四面体的高为顶点到底面的距离且经过球心，正四面体外接圆半径是顶点到球心的距离，而内切圆半径是球心到底面的距离，所以有，那么内切球半径为.故A错误. 因为正面体的内切球是切于各面的重心的，所以C正确. 因为，所以该三棱锥的体积为，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数（，）在区间上单调递增，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数图象的一个对称中心可能是 C. 函数的最大值为 D. 函数在区间上单调递减 【答案】BC 【解析】 【分析】首先化简函数，利用函数单调性得出，应用周期公式，对称性及最值，再根据函数的性质逐项判断即可. 【详解】 当时单调递增，则时，函数单调递增， 所以，所以； 不确定，A选项错误； 令，， 所以当时，时，时，函数图象的一个对称中心是，B选项正确； 设，因为函数的最大值为1， 所以函数的最大值是，故C选项正确； 已知在区间上单调递增，若函数在区间上单调递减， 则，但是，不能恒成立 ，故D不正确. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线的斜率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由导数的几何意义求解即可. 【详解】因为，所以， 当时，， 所以曲线在点处的切线的斜率为. 故答案为：. 13. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合二倍角的正弦求出角，进而求出. 【详解】在△ABC中，由正弦定理，得，即， 解得，又，则，所以， 所以. 故答案为：2. 14. 若正整数（b，c都是整数），则称b和c为a的因数，的不同正因数的个数为__________. 【答案】210 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算得解. 【详解】正整数的正因数形如， 其中， 因此依次确定的值即得一个确定的正因数，确定分别有5种、6种、7种方法， 由分步乘法计数原理得不同正因数个数为. 故答案为：210 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2025年4月18日，以“干净黔茶、全球共享--新茶饮、新生活、新赛道”为主题的第17届贵州茶产业博览会在贵州省遵义市湄潭县的中国茶城广场盛大开幕.开幕式上，发布了贵州新茶饮系列团体标准、全国新茶饮供应链中心战略规划；湄潭、凤冈、正安、余庆抢抓机遇，成立了“新茶饮”联盟；茶博会期间推出了品尝新茶饮、啤酒美食一条街等一系列“子活动”.啤酒主要以湄潭翠芽绿茶精酿（简称湄潭翠芽啤酒）、茉莉毛尖花茶精酿为主.某调查小组为了了解人们喜欢喝湄潭翠芽啤酒是否与性别有关，随机调查了200名品尝者，得到以下不完善的列联表. （1）完成以下2×2列联表，能否有99%的把握认为人们是否喜欢喝湄潭翠芽啤酒与性别有关？ 喜欢 不喜欢 合计 男性 40 女性 100 合计 95 200 （2）根据是否喜欢喝湄潭翠芽啤酒利用分层抽样的方法从男性品尝者中随机抽取5人，再从这5人中随机选出3人进行深入交流，记这3人中喜欢喝湄潭翠芽啤酒的人数为X，求随机变量X的分布列、期望. 附：，. （） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析，能，理由见解析. （2）分布列见解析，期望为. 【解析】 【分析】（1）首先根据表里的数据完善列联表，然后计算卡方值，并与作比较，从而得出结论. （2）首先确定分层抽样的比例和人数，然后确定的可能取值，并计算对应的概率，列出分布列，并计算数学期望的值. 【小问1详解】 列联表如下： 喜欢 不喜欢 合计 男性 60 40 100 女性 35 65 100 合计 95 105 200 . 所以有99%的把握认为人们是否喜欢喝湄潭翠芽啤酒与性别有关. 【小问2详解】 因为在男性中，喜欢喝湄潭翠芽啤酒的人与不喜欢喝湄潭翠芽啤酒的人的比例为. 利用分层抽样随机抽取5人，则喜欢喝湄潭翠芽啤酒的男性为3人，不喜欢喝湄潭翠芽啤酒的男性为2人. 根据题意，的可能取值为1，2，3. ；；. 所以的分布列为： 1 2 3 期望为. 16. 已知数列的前n项积（），等差数列中，，. （1）求数列、的通项公式； （2）令，求数列的前n项和. 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）根据前n项积作商结合计算求解； （2）应用对数运算化简，再应用等差数列及等比数列求和公式结合分组求和计算求解. 【小问1详解】 因为数列的前n项积， 所以，， 所以当， 当， 所以； 因为等差数列中，，，设公差为，所以，所以； 【小问2详解】 因为， 所以数列的前n项和 . 17. 如图，在四棱柱中，四边形是菱形，点P在线段上，，平面平面. （1）证明：； （2）已知，，，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由面面垂直推出线面垂直，得到平面，即得，再由菱形性质，得到，由线线垂直推出线面垂直得平面，即得结论； （2）由图建系，求出相关点和相关向量的坐标，利用空间向量夹角公式计算即得. 【小问1详解】 连接，设，因平面平面， 平面平面，，且平面， 则平面，又平面，则， 因四边形是菱形，则， 因平面，故平面， 因平面，则； 【小问2详解】 设，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 因，则为正三角形，故， 依题意可得：， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设直线与平面所成角为， 则. 18. 已知双曲线：（，）的左、右顶点分别为，，它的一条渐近线方程为. （1）求的标准方程； （2）过点的直线与双曲线的右支交于，两点，直线与交于点，证明：点在定直线上. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题目信息求出取值，确定标准方程； （2）设出直线方程及，两点坐标，结合，两点坐标，用点斜式写出直线与方程，联立求解点. 【小问1详解】 由题意得，所以， 所以的标准方程为. 【小问2详解】 由题意知，点的直线斜率必不为， 设直线方程为，，， 联立方程，消去得，， ， 由韦达定理得，， 由题意知，，，， 所以，解得， 设直线方程为，直线方程为， 联立直线方程，消去得， 即， 又， 所以， 所以点在定直线上. 19. 已知函数，. （1）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围； （2）当时. （ⅰ）若，比较与的大小； （ⅱ）若数列满足，且，证明：. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，由导函数在上恒大于等于0求出的范围. （2）（ⅰ）作差并构造函数，利用导数探讨单调性比较大小；（ⅱ）利用指数函数单调性证得，再利用不等式性质推理得证. 【小问1详解】 函数，由函数在上单调递增， 得，恒成立，即，恒成立， 令函数，求导得，函数在上单调递减， 则，因此，所以实数a的取值范围是. 【小问2详解】 （ⅰ）当时，，， 令函数，求导得， 函数在上单调递增，，即， 所以. （ⅱ）由（ⅰ）知，，令， 则 ，即， 因此当时， ， 所以原命题成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $