精品解析：山西省长治学院附属太行中学校2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试题

太行中学2024—2025学年第二学期第二次月考 高二数学试题 一.选择题：本题共8小题，每小题5分共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 为研究变量相关关系，收集得到如下数据： 5 6 7 8 9 9 8 6 4 3 若由最小二乘法求得关于的经验回归方程为，则据此计算残差为0的样本点是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. 0.9 B. 0.78 C. 0.66 D. 0.12 3. 如图，用6种不同的颜色给图中，，，区域染色，要求相邻区域不能同色，则不同的染色方法共有（ ） A. 400种 B. 460种 C. 480种 D. 496种 4. 某市高二年级期中联考的数学成绩，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中项的系数是（ ） A. B. C. 12 D. 44 6. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 7. 已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点，若成等差数列，且，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 二.选择题：本题共3小题，每小题6分共18分，在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分. 9. 现有一场流水席，共有6荤4素2汤共十二道菜品在长桌上摆成一排，下列说法正确是（ ） A. 两份汤相邻的摆法共有种 B. 每道素菜不相邻的摆法共有种 C. 若十二道菜品顺序已经固定，现又上了四道主食，有种不同摆法 D. 两汤不摆在首尾的摆法共有种 10. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，．下列结论正确的是（ ） A. 每次随机抽取一个零件，抽出的零件不放回，第1次抽到次品的概率和第2次抽到次品的概率不相同 B. 任取一个零件，它不是第1台车床加工概率是0.75 C. 任取一个零件，它是次品的概率小于0.06 D. 如果取到的零件是次品，那么它是第2台车床加工的概率是 11. 已知数列满足，且，，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列的前n项和为 C. 数列的前n项和为 D. 若，数列的前n项和为，则 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 二项式的展开式中，共有有理项是______项 13. 已知直线和圆C：交于A、B两点，则的最小值为______ 14. 已知恒成立，则正数取值范围为______． 四.解答题：本题共5小题，共77分 15. 记为数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 一对夫妻计划进行为期60天的自驾游．已知两人均能驾驶车辆,且约定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人驾车,另一人休息;②若前一天由丈夫驾车,则下一天继续由丈夫驾车的概率为,由妻子驾车的概率为;③妻子不能连续两天驾车．已知第一天夫妻双方驾车的概率均为． （1）在刚开始的三天中,妻子驾车天数的概率分布列和数学期望; （2）设在第n天时,由丈夫驾车的概率为,求数列的通项公式． 17. 已知定义在上的两个函数，. （1）求的单调区间及极值； （2）求函数的最小值. 18. 如图1，在矩形ABCD中，，，将△沿对角线翻折到处，得到如图2所示的三棱锥，且，点是线段上一点，且． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知抛物线C：，直线l：交于，两点，当，时，． （1）求抛物线的方程； （2）分别过点，作抛物线的切线，两条切线交于点，且，分别交轴于，两点，证明：的外接圆过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太行中学2024—2025学年第二学期第二次月考 高二数学试题 一.选择题：本题共8小题，每小题5分共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 为研究变量的相关关系，收集得到如下数据： 5 6 7 8 9 9 8 6 4 3 若由最小二乘法求得关于的经验回归方程为，则据此计算残差为0的样本点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出回归方程的样本中心点，从而可求得，再根据残差的定义可判断. 详解】由题意可得：， 即样本中心点为，可得，解得， 所以，可得 5 6 7 8 9 9 8 6 4 3 9.2 7.6 6 4.4 2.8 0 所以残差为0的样本点是. 故选：C. 2. 若，则（ ） A. 0.9 B. 0.78 C. 0.66 D. 0.12 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率公式、事件和的概率公式求解即可. 【详解】因为， 所以． 故选：B． 3. 如图，用6种不同的颜色给图中，，，区域染色，要求相邻区域不能同色，则不同的染色方法共有（ ） A. 400种 B. 460种 C. 480种 D. 496种 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，按的顺序涂色，即可得到答案. 【详解】按的顺序涂色， 共有：种. 故选：C. 4. 某市高二年级期中联考的数学成绩，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态分布的对称法求解. 【详解】解：因为，且，， 所以， 故选：D 5. 的展开式中项的系数是（ ） A B. C. 12 D. 44 【答案】A 【解析】 【分析】求出展开式的通项，分别令的指数等于和，即可得解. 【详解】展开式的通项为， 令，则， 令，则， 所以的展开式中x的系数是. 故选：A. 6. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的前项和公式和因式分解化简，求出的值，同理化简并求出的值，从而得到. 【详解】设等比数列的公比为， 由，显然， 则，即， 所以， 所以. 故选：C. 7. 已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，得到恒成立，转化为在恒成立，即，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为且， 因为函数在定义域内单调递增，所以恒成立， 即在恒成立，即， 设，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以. 故选：A. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点，若成等差数列，且，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据条件表示出，然后结合求解出的关系式，则离心率可求. 【详解】设，所以， 又因为成等差数列，所以， 所以，所以， 因为，解得， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，化简可得，所以， 故选：A. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线离心率的常用方法： （1）定义法：根据已知条件列出方程组求解出的值，结合离心率计算公式求得结果； （2）齐次式法：根据已知条件得到关于的齐次方程，将其转化为关于离心率的方程，计算出结果即可； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值求得离心率 二.选择题：本题共3小题，每小题6分共18分，在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分. 9. 现有一场流水席，共有6荤4素2汤共十二道菜品在长桌上摆成一排，下列说法正确的是（ ） A. 两份汤相邻的摆法共有种 B. 每道素菜不相邻的摆法共有种 C. 若十二道菜品的顺序已经固定，现又上了四道主食，有种不同摆法 D. 两汤不摆在首尾的摆法共有种 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用捆绑法即可判断；对于B，利用插空法即可判断；对于C，利用定序倍缩法即可判断；对于D，利用分步计数原理即可判断. 【详解】对于A，先将两份汤捆绑在一起，看作一个整体，有种摆法； 再与其余十道菜品排列在一起，有种摆法； 所以两份汤相邻的摆法共有种，故A错误； 对于B，先将6荤2汤共八道菜品进行排列，有种摆法； 再利用插空法将4道素菜插到上述八道菜品共9个空中，有种摆法； 所以每道素菜不相邻的摆法共有种，故B正确； 对于C，先将十六道菜品进行排列，有种摆法； 其中十二道菜品的顺序已经固定，利用定序倍缩法可知有种不同摆法，故C正确； 对于D，将十二道菜品看作12个空，去掉首尾两个空还有10个空，在其中任选两个空将两份汤放进去，共有种方法； 再将剩余的十道菜品排列到剩余的10个空中，共有种方法； 所以两汤不摆在首尾的摆法共有种，故D正确. 故选：BCD. 10. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，．下列结论正确的是（ ） A. 每次随机抽取一个零件，抽出的零件不放回，第1次抽到次品的概率和第2次抽到次品的概率不相同 B. 任取一个零件，它不是第1台车床加工的概率是0.75 C. 任取一个零件，它是次品的概率小于0.06 D. 如果取到零件是次品，那么它是第2台车床加工的概率是 【答案】BC 【解析】 【分析】由条件概率公式计算后判断． 【详解】记事件为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第台机床加工”，，，且两两互斥， 由题意，，，，， 由全概率公式第1次抽到次品的概率， 第2次取得次品与第1次取得次品这两个事件是相互独立的，因此第2次取得次品的概率仍然是，A错； 任取一个零件，它不是第1台车床加工的概率是，B正确； 由A选项计算结论知C正确； ，D错； 故选：BC． 11. 已知数列满足，且，，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列的前n项和为 C. 数列的前n项和为 D. 若，数列的前n项和为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由条件可得，即可判断A，由数列的通项公式即可判断B，由错位相减法即可判断C，由裂项相消法即可判断D 【详解】对A,因为，则，其中， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，故A错误； 对B,，则， 所以， 则数列的前n项和为，故B正确； 对C,设数列的前n项和为，则， 即①， 则②， ①②可得， 则，故C正确； 对D,因为， 则 ，故D正确； 故选：BCD 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 二项式的展开式中，共有有理项是______项 【答案】1012 【解析】 【分析】求出展开式的通项，由x的幂指数为整数可得解. 【详解】二项式的展开式，， 展开式中有理项即为为整数，为偶数，又，则符合条件的有1012个， 所以共有有理项1012项. 故答案为：1012 13. 已知直线和圆C：交于A、B两点，则的最小值为______ 【答案】4 【解析】 【分析】求出直线过的定点并判断与圆的位置关系，再求出最短弦长. 【详解】直线恒过定点，圆圆心，半径 ，即点在圆内，当且仅当时，长最短， 所以. 故答案为：4 14. 已知恒成立，则正数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】将原不等式同构为，即，令，分析单调性可得，令利用导数求出最值得解. 【详解】由，可得． 令，易知在上单调递增， 由，可得， 故，即. 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 所以，即， 故正数的取值范围是. 故答案为：. 四.解答题：本题共5小题，共77分 15. 记为数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 【小问1详解】 当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. 【小问2详解】 , 所以 故 所以 ， . 16. 一对夫妻计划进行为期60天的自驾游．已知两人均能驾驶车辆,且约定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人驾车,另一人休息;②若前一天由丈夫驾车,则下一天继续由丈夫驾车的概率为,由妻子驾车的概率为;③妻子不能连续两天驾车．已知第一天夫妻双方驾车的概率均为． （1）在刚开始的三天中,妻子驾车天数的概率分布列和数学期望; （2）设在第n天时,由丈夫驾车的概率为,求数列的通项公式． 【答案】（1）分布列见解析; （2）, 【解析】 【分析】(1)设妻子驾车天数为,写出的可能取值,根据题意求出相对应的概率,列出分布列,根据期望公式求出结果即可; (2)由于丈夫驾车的概率与前一天驾车的对象有关系,不妨假设第天,丈夫驾车的概率为,则妻子驾车的概率为,得到关于的递推关系式,构造等比数列,求出等比数列通项公式即可求得通项公式. 【小问1详解】 解:设妻子驾车天数为,则的可能取值为:, 由题意可知:, , , 所以的分布列如下表所示: 0 1 2 所以; 【小问2详解】 假设第天,丈夫驾车的概率为,则妻子驾车的概率为, 此时第n天时,由丈夫驾车的概率为, 即,则有, 所以,因为, 所以是以为首项,为公比的等比数列, 即,故. 17. 已知定义在上的两个函数，. （1）求的单调区间及极值； （2）求函数的最小值. 【答案】（1）的单调减区间为，单调增区间为； 极小值为，无极大值 （2）1 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求出极值点，列表分析单调区间，利用单调性求极值即可； （2）构造函数，对函数求导，列表分析函数的单调性，由函数单调性即可分析求出函数的最小值. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 令， 列表如下： 单调递减 极小值 单调递增 由表格可知：的单调减区间为， 的单调增区间为， 的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 因为， 所以， 所以， 由， 所以令， 所以， 所以在上单调递增， 而， ， 由零点存在性定理可知， 存在一个， 使得， 则有， 即 有上述对函数分析： 列表如下： 单调递减 极小值 单调递增 故 . 所以函数的最小值为1. 18. 如图1，在矩形ABCD中，，，将△沿对角线翻折到处，得到如图2所示的三棱锥，且，点是线段上一点，且． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）在△中，根据线段长度关系可证，又，根据线面垂直的判定定理可得平面，则可证； （2）过点作于点,过点作的平行线，结合平面,可以以为轴，为轴，过点的的平行线为轴建立空间直角坐标系，再根据线面角的向量法求解即可. 【小问1详解】 由题知. 在△中，，，， ，. ，，平面，平面. 平面，. 【小问2详解】 过点作于点,过点作的平行线， 又由（1）知平面，以为轴，为轴，过点的的平行线为轴建立如图空间直角坐标系. 由题意可知，，，，. 在△中，根据等面积法，得,， 则 ，，，, 由，得, ，，. 设平面的法向量为， 则，令，则，，. 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知抛物线C：，直线l：交于，两点，当，时，． （1）求抛物线的方程； （2）分别过点，作抛物线的切线，两条切线交于点，且，分别交轴于，两点，证明：的外接圆过定点． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立直线方程和抛物线方程得到、的横坐标，用表示出，由解出，进而得到抛物线的方程； （2）联立直线与抛物线方程得到，，再由切线、的方程分别求得，进而利用圆心是弦的垂直平分线的交点求得外接圆圆心，从而求得圆的方程，再由定点的求法即可得解. 【小问1详解】 当，时，直线，联立得， 所以，解得，所以抛物线的方程为； 【小问2详解】 设，，因为，所以，，， 联立并整理得，由韦达定理得，， 由得，从而， 所以直线即，令得，所以 同理直线，令得，所以 联立、：得，所以， 因为，，所以的外接圆圆心落在直线上， 由，知线段中点，， 所以线段的垂直平分线方程为， 联立得， 所以外接圆圆心坐标为， 所以， 所以圆的方程为， 即， 令得，所以的外接圆过定点. 【点睛】方法点睛：过定点问题的处理： （1）若是证明直线过定点，可将直线设为斜截式，然后消掉一个参数，即得直线所过的定点； （2）证明圆过定点时，常利用直径所对圆周角为直角转化为向量的数量积恒为零处理； （3）证明曲线过定点的问题时，经常将曲线中的参变量集中在一起，令其系数等于零，解得定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $