第三章一元函数的导数及其应用 必刷小题1 导数及其应用（必刷题限时训练）（新高考通用）-【2026年高考数学一轮备考·学霸专练】

必刷小题1　导数及其应用 (分值：73分) 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.下列求导运算结果正确的是(　　) A.'=1+ B.(xln x)'=ln x+1 C.(sin π)'=cosπ D.'= 2.(2025·永州模拟)已知函数f(x)=+aln x在点(1，f(1))处的切线方程为x-y=0，则a等于(　　) A. B.e C. D.2 3.函数y=x2-ln x的单调递减区间为(　　) A.(0，e) B.(0，1) C.[1，+∞) D.(0，+∞) 4.已知函数y=f(x)的大致图象如图所示，则其导函数y=f '(x)大致的图象可能是(　　) 5.某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是0.1πr4分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径.已知每售出1 mL的液体材料，制造商可获利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为8 cm，则当每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为(　　) A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 6.(2025·武汉模拟)若函数f(x)=ln x+ax2-2，x∈存在单调递增区间，则实数a的取值范围是(　　) A.(-2，+∞) B. C. D.[-2，+∞) 7.已知曲线C1：f(x)=ex+a和曲线C2：g(x)=ln(x+b)+a2(a，b∈R)，若存在斜率为1的直线与C1，C2同时相切，则b的取值范围是(　　) A. B.[0，+∞) C.(-∞，1] D. 8.已知f(x)是定义域为R的偶函数，且在(-∞，0)上单调递减，若a=f(ln 1.04)，b=f(1.04)，c=f(e0.04)，则(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.下列说法中正确的有(　　) A.(sin 2x)'=cos2x B.已知函数f(x)在R上可导，且f '(1)=1，则=1 C.一质点A沿直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为s(t)=t2+1，则该质点在t=2 s时的瞬时速度是4 m/s D.若h(x)=f(x)·g(x)，则h'(x)=f '(x)·g'(x) 10.已知f '(x)为函数f(x)的导函数，当x>0时，有f(x)-xf '(x)>0恒成立，则下列不等式一定成立的是(　　) A.f >2f B.f <2f C.f >2f(1) D.2f >f(1) 11.已知函数f(x)=-x3+3x-1，则(　　) A.f(x)在x=-1处取得极小值 B.f(x)有3个零点 C.f(x)在区间(-2，2)上的值域为(-3，1) D.函数f(x)图象的对称中心为点(0，-1) 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.函数f(x)=x-cosx，x∈的值域是　　　　　　.  13.已知函数f(x)=aex-x2有两个极值点，则a的取值范围为　　　　　.  14.定义：如果函数f(x)在区间[a，b]上存在x1，x2(a<x1<x2<b)，满足f '(x1)=f '(x2)=，则称函数f(x)是[a，b]上的“双中值函数”.已知函数f(x)=x3-x2+a是[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 必刷小题1　导数及其应用 (分值：73分) 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.下列求导运算结果正确的是(　　) A.'=1+ B.(xln x)'=ln x+1 C.(sin π)'=cosπ D.'= 【答案】B 【解析】对于A，'=1-，故A错误； 对于B，(xln x)'=x'ln x+(ln x)'x=ln x+·x=ln x+1，故B正确； 对于C，(sin π)'=0，故C错误； 对于D，'===，故D错误. 2.(2025·永州模拟)已知函数f(x)=+aln x在点(1，f(1))处的切线方程为x-y=0，则a等于(　　) A. B.e C. D.2 【答案】D 【解析】因为f(x)=+aln x， 则f '(x)=-， 因为函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x-y=0，则f '(1)=a-1=1，解得a=2，符合题意. 因此a=2. 3.函数y=x2-ln x的单调递减区间为(　　) A.(0，e) B.(0，1) C.[1，+∞) D.(0，+∞) 【答案】B 【解析】由题意知，x>0，y'=x-=， 令y'<0，得0<x<1， 所以其单调递减区间为(0，1). 4.已知函数y=f(x)的大致图象如图所示，则其导函数y=f '(x)大致的图象可能是(　　) 【答案】A 【解析】由图可知，当x>0时，f(x)单调递减，则f '(x)<0，由此排除B，D选项； 当x<0时，从左向右，f(x)先单调递增再单调递减再单调递增，对应导函数的符号为+，-，+，由此排除C选项，所以A选项正确. 5.某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是0.1πr4分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径.已知每售出1 mL的液体材料，制造商可获利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为8 cm，则当每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为(　　) A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 【答案】A 【解析】依题意知，每瓶液体材料的利润f(r)=0.3×πr3-0.1πr4=0.1π(4r3-r4)，0<r≤8， 则f '(r)=0.4πr2(3-r)， 令f '(r)=0，得r=3， 当r∈(0，3)时，f '(r)>0， 当r∈(3，8]时，f '(r)<0， 因此函数f(r)在(0，3)上单调递增，在(3，8]上单调递减，即当r=3时，f(r)取最大值， 所以当每瓶液体材料的利润最大时，r=3. 6.(2025·武汉模拟)若函数f(x)=ln x+ax2-2，x∈存在单调递增区间，则实数a的取值范围是(　　) A.(-2，+∞) B. C. D.[-2，+∞) 【答案】A 【解析】易知f(x)的定义域为， f '(x)=+2ax， 若f(x)存在单调递增区间， 则f '(x)>0在上有解， 故a>-在上有解， 令g(x)=-， 而g(x)=-在上单调递增， g(x)>g=-2，故a>-2. 7.已知曲线C1：f(x)=ex+a和曲线C2：g(x)=ln(x+b)+a2(a，b∈R)，若存在斜率为1的直线与C1，C2同时相切，则b的取值范围是(　　) A. B.[0，+∞) C.(-∞，1] D. 【答案】D 【解析】f '(x)=ex，g'(x)=， 设斜率为1的切线在C1，C2上的切点横坐标分别为x1，x2， 由题知==1，∴x1=0，x2=1-b， 则f(0)=1+a，g(1-b)=a2， 则两点处的切线方程分别为y-(1+a)=x和y-a2=x-(1-b)，故a+1=a2-1+b， 即b=2+a-a2=-+≤. 8.已知f(x)是定义域为R的偶函数，且在(-∞，0)上单调递减，若a=f(ln 1.04)，b=f(1.04)，c=f(e0.04)，则(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 【答案】A 【解析】因为f(x)是定义域为R的偶函数，且在(-∞，0)上单调递减， 所以f(x)在(0，+∞)上单调递增， ln 1.04<ln e=1<1.04，即ln 1.04<1.04； 令h(x)=ex-(x+1)， 当x>0时，h'(x)=ex-1>0， 则h(x)在(0，+∞)上单调递增， 所以h(0.04)=e0.04-(0.04+1)=e0.04-1.04>h(0)=0， 即e0.04>1.04， 所以e0.04>1.04>ln 1.04. 而f(x)在(0，+∞)上单调递增， 故有f(ln 1.04)<f(1.04)<f(e0.04)，即a<b<c. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.下列说法中正确的有(　　) A.(sin 2x)'=cos2x B.已知函数f(x)在R上可导，且f '(1)=1，则=1 C.一质点A沿直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为s(t)=t2+1，则该质点在t=2 s时的瞬时速度是4 m/s D.若h(x)=f(x)·g(x)，则h'(x)=f '(x)·g'(x) 【答案】BC 【解析】对于A选项，(sin 2x)'=2cos2x，故A错误； 对于B选项，由导函数定义可知=f '(1)=1，故B正确； 对于C选项，s'(t)=2t，故s'(2)=4，故该质点在t=2 s时的瞬时速度是4 m/s，故C正确； 对于D选项，若h(x)=f(x)·g(x)，则h'(x)=f '(x)·g(x)+f(x)·g'(x)，故D错误. 10.已知f '(x)为函数f(x)的导函数，当x>0时，有f(x)-xf '(x)>0恒成立，则下列不等式一定成立的是(　　) A.f >2f B.f <2f C.f >2f(1) D.2f >f(1) 【答案】BD 【解析】构造函数g(x)=，其中x>0， 则g'(x)=<0， 所以函数g(x)在(0，+∞)上单调递减， 对于A，B选项，g<g， 即2f <4f ，可得f <2f ，A错，B对； 对于C，D选项，g>g(1)， 即2f >f(1)，D对，C无法判断. 11.已知函数f(x)=-x3+3x-1，则(　　) A.f(x)在x=-1处取得极小值 B.f(x)有3个零点 C.f(x)在区间(-2，2)上的值域为(-3，1) D.函数f(x)图象的对称中心为点(0，-1) 【答案】ABD 【解析】由f '(x)=-3x2+3， 令f '(x)>0，解得-1<x<1；令f '(x)<0，解得x<-1或x>1， 所以函数f(x)在(-∞，-1)和(1，+∞)上单调递减，在(-1，1)上单调递增， 所以f(x)在x=-1处取得极小值，故A正确； 又f(-2)=1，f(-1)=-3，f(1)=1，f(2)=-3， 所以f(-2)·f(-1)<0，所以函数f(x)在(-∞，-1)上有且仅有一个零点， 同理函数f(x)在(-1，1)上有且仅有一个零点，在(1，+∞)上有且仅有一个零点， 即函数f(x)共有3个零点，故B正确； 由前面得f(x)在(-2，2)上的值域为[-3，1]，故C错误； 设g(x)=-x3+3x，x∈R，g(-x)=-(-x)3+3(-x)=x3-3x=-g(x)，所以函数g(x)是奇函数，图象关于点(0，0)对称， 又f(x)=-x3+3x-1的图象是由g(x)的图象向下平移1个单位长度得到的，所以函数f(x)图象的对称中心为点(0，-1)，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.函数f(x)=x-cosx，x∈的值域是　　　　　　.  【答案】 【解析】因为f(x)=x-cosx，x∈， 所以f '(x)=+sin x，令f '(x)=0，得x=-， 又f =--， f =-，f =， 从而f(x)max=f =， f(x)min=f =--， 所以函数f(x)=x-cosx，x∈的值域是. 13.已知函数f(x)=aex-x2有两个极值点，则a的取值范围为　　　　　.  【答案】 【解析】f '(x)=aex-2x，f(x)有两个极值点等价于f '(x)有两个变号零点， 令f '(x)=aex-2x=0，有a=， 令g(x)=，则g'(x)=， 当x>1时，g'(x)<0，g(x)单调递减，当x<1时，g'(x)>0，g(x)单调递增， 所以当x=1时，g(x)取得极大值也是最大值，为g(1)=， 当x→-∞时，g(x)→-∞，当x→+∞时，g(x)→0，函数g(x)的大致图象如图所示， 所以a的取值范围是. 14.定义：如果函数f(x)在区间[a，b]上存在x1，x2(a<x1<x2<b)，满足f '(x1)=f '(x2)=，则称函数f(x)是[a，b]上的“双中值函数”.已知函数f(x)=x3-x2+a是[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是　　　　　　.  【答案】 【解析】由于f(x)=x3-x2+a， 则f '(x)=x2-2x， 因为f(x)在[0，a]上存在x1，x2(0<x1<x2<a)， 满足f '(x1)=f '(x2)=， 即x2-2x==a2-a， 则关于x的一元二次方程x2-2x-a2+a=0在(0，a)上有两个不同的实根， 令g(x)=x2-2x-a2+a， 则解得<a<3. 所以实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$