专题训练(十五) 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-【成功方案】2025年大暑假小一轮高二数学专题复习

专题训练（十五） 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一、单项选择题 7.某单位安排7位工作人员在10月1日到 1.从标号分别为1、2、3的三个红球和标号分 10月7日值班，每人值一天，其中甲、乙二 别为1、2的两个白球中取出不同颜色的两 人安排在相邻两天，并且甲只能在双日值 个小球，不同的取法种数共有 班，则不同的安排方法有 () A.5种 B.6种 A.120种 B.240种 C.10种 D.20种 C.360种 D.720种 2.从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个 8.甲、乙、丙三人用如图所示的七张卡片组成 不同的数字相加，其和为偶数的不同取法 一个三位数，规则如下：甲从这七张卡片中 的种数为 ( 随机抽出一张，把卡片上的数字写在百位， A.30 B.20 然后把卡片放回；乙再从这七张卡片中随 C.10 D.6 机抽出一张，把卡片上的数字写在十位，然 3.从1,2,3,4,5,6中任取三个不同的数相 后把卡片放回：丙又从这七张卡片中随机 加，则不同的结果共有 ( 抽出一张，把卡片上的数字写在个位，然后 A.6种 B.9种 把卡片放回.则组成的三位数的个数为 C.10种 D.15种 4.将2名教师、4名学生分成2个小组，分别 安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个 1112234 小组由1名教师和2名学生组成，不同的 A.21 B.48 安排方案共有 ( C.64 D.81 A.12种 B.10种 二、填空题 C.9种 D.8种 9.为培养学生的综合素养，某校准备在高二 5.已知两条异面直线a,b上分别有5个点和 年级开设A,B,C,D,E,F,6门选修课程， 8个点，则这13个点可以确定不同的平面 学校规定每个学生必须从这6门课程中选 个数为 ( 3门，且A,B两门课程至少要选1门，则学 A.40 B.16 生甲共有 种不同的选法。 C.13 D.10 10.从0,1,2,3,4五个数字中任取三个数字， 6.设集合A={(xx2,x3)x,∈{一1,0,1}， 组成能被3整除的没有重复数字的三位 =1,2.3,4},那么集合A中满足条件“x十 自然数，共有 个 十x后十x≤4”的元素个数为 11.若一个三位数中任意两个相邻数位上的 A.60 B.65 数字的差均不超过1，则称其为“平稳数” C.80 D.81 “平稳数”的个数是 32 三、解答题 13.求不定方程x十y十之十=25的满足 12.有一项活动，需在3名老师、8名男同学 x<y的正整数解(x,y,,o)的组数， 和5名女同学中选部分人员参加。 (1)若只需一人参加，则有多少种不同的 选法？ (2)若需老师、男同学、女同学各一人参 加，则有多少种不同的选法？ (3)若需一名老师、一名同学参加，则有多 少种不同的选法？ -33可得直线AF的方程为y=2√2(x一1)， 5.选C分两类情况讨论： 联立小y=22x-1)得2x2-5+2=0. 第1类，直线口分别与直线b上的8个点可以确 y2-4x. 定8个不同的平面： 第2美，直线b分别与直线4上的5个点可以确 解得x=2或x= 1 定5个不同的平面. 所以直线GB的方程为2√2x十3y+2√2=0， 根据分类加法计数原理知，共可以确定8+5=13 易知直线GA的方程为2√2x-3y十2V2=0, 个不同的平面 6.选D由题意知，x了十x3十x十x≤4恒成立，所 从而r= 122+22=42 W8+9 √17 以x1,12,x3,T4各有3种取法，根据分步乘法计 因为点F到直线GB的距离山=2V2+2W② 数原理知满足题意的元素的个数为3=81. V8+9 7.选D根据题意，甲只能在2,4,6这三天值班，共 4V2 3种选择：又甲，乙二人安排在相邻两天，甲确定 =r,所以以点F为圆心且与直线GA相切 √17 后，乙有2种选择：其余5人没有限制，有5×4× 的圈必与直线GB相切。 3×2×1=120种选择，故不同的安排方法有3×2 ×120=720种. 专题训练（十五）分类加法计数原理 8.选C第一步：甲从七张卡片中随机抽出一张，抽 与分步乘法计数原理 到的不同取值为1,2,3,4，共4种情况：第二步： 同理，乙有4种情况：第三步：同理，丙也有4种情 一、单项选择题 况.根据分步乘法计数原理，组成的三位数的个 1.选B由已知可得，不同的取法种数共有3×2=6 数为4×4×4=64. 故选B 二、填空题 2.选D从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个不 9.1610.20 同的数字的和为偶数可分为两类： 11.解析设“平稳数”的百位、十位、个位上的数宇 第一类，取出的两个数都是偶数，有0和2,0和 分别为a,b,c. 4,2和4，共3种不同的取法： 若b=0,别a=1,c∈{0,1}，有2个“平稳数” 第二类，取出的两个数都是奇数，有1和3,1和 若b=1,则a∈{1,2}，c∈{0,1,2}， 5,3和5，共3种不同的取法. “平稳数"有2×3=6个. 由分类加法计数原理得，共有3十3=6种不同的 若2≤b≤8，则a,c∈{b一1，b,b十1}， 取法 “平稳数”有7×3×3=63个. 3.选C从1,2,3,4,5,6中任取三个不同的数 若b=9,则ac∈{8,9}，“平稳数”有2×2=4个 相加， 综上可知，“平稳数”的个数是2十6十63十4 所得的最小值为1+2+3=6， =75. 最大值为4十5+6=15， 答案75 1+2+3=6,1+2+4=7,1+2+5=1+3+4= 三、解答题 8,1+2+6=1+3+5=2+3+4=9, 12.解(1)分为三美：3名老师中选一人，有3种方 1+3+6=1+4+5=2+3+5=10, 法：8名男同学中选一人，有8种方法：5名女同 1+4+6=2+3+6=2+4+5=11, 学中选一人，有5种方法. 1+5+6-2+4+6=3+4+5=12,3+4+6=13, 由分类加法计数原理知，有3十8+5=16种 3+5+6=14,4+5+6=15 选法。 共有：10种不同钻采.故选C (2)分三步：第一步选老师，有3种方法：第二步 4.选A安排人员去甲地可分为两步：第一步安排 选男同学，有8种方法：第三步选女同学，有5种 教师，有C是种方案：第二步安排学生，有C学种方 方法。 案，其余的教狮和学生去乙地，所以不同的安排 由分步桑法计数原理知，共有3×8×5=120种 方案共有C·C=12种，选A. 选法 82 (3)可分两类，每一类又分两步， 二，多项选择题 第一类，选一名老师再选一名男同学，有3×8 9.BD 10.AD 24种选法； 1L.选BC可以先排4名男生，再将2名女生插入 第二类，选一名老师再选一名女同学，有3×5 4名男生形成的5个空位中，因此有AA种排 15种选法。 法.或者先将6名学生余排列，再减去将2名女 由分类加法计数原理，共有24十15一39种选法. 生看成一个元素（即2名女生相邻），与4名男生 13.解当x=1时，不同的情况有21十20+19十… 的全排列，此时有A一AA号种排法.所以选项 +1=231种： B、C正确。 当x=2时，不同的情况有19+18+17+…+1 三、填空题 =190种： 12.解析：由题意可知：志愿者的人数分配有两种可 当x=3时，不同的情况有17+16+15+…+1 能，3：3和4：2，则相应的分配方式分别有C =153种： =20种和CC=30种，所以不同的分配方式共 “g 20+30=50种 当x-10时，不同的情况有3十2十1-6种： 答案50 当x=11时，只有1种情况. 13.解析将6名教师分组，分三步完成： 故满足题意的正整数解（工，y,2,心）的组数为 第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C唱 1十6十15十·+153+190+231=946. 种取法： 第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一 专题训练（十六） 排列与组合 组，有C种取法： 第3步，余下的3名教师作为一组，有C种 一、单项选择题 取法 1.A2.D3.A4.A5.A6.D 根据分步乘法计数原理，共有CC号C=60(种) 7,选D由题意可知必有2项工作由同一人完成， 取法. 先选出2项工作有C=6种方法，将其看作一个 再将这3组教师分配到3所中学，有A=6(种) 整体，与其他2项工作分配给3人，有A?种方 分法， 根据分步乘法计数原理可得共有60×6=360 法，故不同的安排方式共有6×A=36种. (种)不同的分法. 8.选B根据题意，设剩下的2个展区为丙展区和 答案360 丁展区，用间接法分析：先计算小李和小王不受 14.解析根据题意得，这10名志愿者分配到三个 限制的静法种数，先在6位志愿者中任选1位，安 运动员服务点处的志愿者数目为2,4,4或3,3， 藉到甲展区，有C=6种情况，再在剩下的5住 4,所以不同的安排方法一共有 志愿者中任选1位，安排到乙展区，有C=5种 情况，最后将剩下的4住志愿者平均分成2组，全 /C3CCCC3CA=22050种， A好 A号 拾列后安排到剩下的2个展区，有CC 答案22050 XA量=6 种情况，则小李和小王不受限制的排法有6×5X 专题训练（十七） 二项式定理 6=180种.若小李和小王在一起，则两人去丙展 区或丁展区，有2种情况，在刺下的1位志愿者中 一，单项选择题 任选1位，安排到甲展区，有C=4种情况，再在 1.B2.B3.A4.C 剩下的3位志愿者中任选1位，安排到乙展区，有 5.选B当x=1时，1=a4十ag十ag十a1十ag①：当 C=3种情况，最后2住安排到剩下的展区，有1 x=一1时，81=a4-ag十a2-a1十ao②，①十② 种情况，则小李和小王在一起的排法有2×4×3 得原式=41. =24种，则小李和小王不在一起的不同安排方案 6.选C因为(1-x)8=[2-(1+x)]8, 有180-24=156种. 所以46=C822(-1)6=112. 83