专题训练(十四) 椭圆、双曲线、抛物线-【成功方案】2025年大暑假小一轮高二数学专题复习

专题训练（十四） 椭圆、双曲线、抛物线 一、单项选择题 5.若椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，且 1,已知双曲线C:夏 y 长轴长是短轴长的两倍，则m的值为 63 =1(a>0,b>0)的 ( 焦距为2√5，且实轴长为2，则双曲线C的 渐近线方程为 ( A B Ay=士女 C.2 D.4 B.y=士2x 6.已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y C.y=±5z D.y=±5 轴上，与直线2x十y=0交于A,B两点，若 |AB引=2√15，则该双曲线的方程为 2.设F为抛物线C:y=4x的焦点，点A在 C上，点B(3,O),若AF=|BF1,则AB A.y2-x2=25 B.y-x2=16 ( C.y2-x2=9 D.y2-x2=6 A.2 B.2√2 C.3 D.32 7双尚线C号 =1的右焦点到C的一 4 3知精圆C后+芳=1a>b>0)的在，右 条渐近线的距离为 () A.2 B.5 焦点分别为F,F2,左、右顶点分别为M, C.3 D.4 N,过F2的直线l交C于A,B两点（异于 8.已知抛物线x=2y2上的点M到其焦点的 M,N),△AF,B的周长为4√3，且直线 距离为2，则点M的横坐标是 () AM与AN的斜率之积为-号，则C的方 B月 程为 ( c号 1 台+首=l D.6 二、多项选择题 n等-1 9.已知曲线C:m.x十ny2=1. 4若直线y=红十1与糖圆写+片-1总有 A.若m>n>0,则C是椭圆，其焦点在y 轴上 公共点，则m的取值范围是 B.若m=n>0,则C是圆，其半径为√元 A.m>1 C.若m<0,则C是双曲线，其渐近线方程 B.m>0 C.0<m<5且m≠1 为y=±√ D.m≥1且m≠5 D.若m=0,n>0,则C是两条直线 29 10.圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦 14.设双曲线mx2十y2=1的一个焦点与抛 点发出的光线，经双曲线反射后，反射光 物线y- 日的焦点相同，离心率为2， 线的反向延长线过双曲线的另一个焦点. 由此可得，过双曲线上任意一点的切线， 则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线 的距离为 平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下 四、解答题 面问题：已知F,F2分别是双曲线C:x 兰-1的左、右焦点，点P为C在第一象 5.已知椭圆C:号之 =1(a>b>0)的右 焦点F与抛物线C2的焦点重合，C的中 限上的点，点M在F,P延长线上，点Q 心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直 的坐标为停.o),且Q为∠RPE的平 的直线交C1于A,B两点，交C2于C,D 分线，则下列正确的是 两点，且1CD=专AB, PF A.PF =2 (1)求C的离心率： (2)设M是C1与C的公共点，若1MF B.PF,+PF2=2√3 =5,求C与C,的标准方程。 C.点P到x轴的距离为√3 D.∠F,PM的角平分线所在直线的倾斜 角为150 11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,直线l的斜率为3且经过点F,直线( 与抛物线C交于A,B两点（点A在第一象 限)，与抛物线的准线交于点D.若AF=8. 则下列结论正确的是 ( A.p=4 B.DF=FA C.BD=2 BF D.BF=4 三，填空题 12.已知O为坐标原点，抛物线C:y2=2px (p>O)的焦点为F,P为C上一点，PF 与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ OP.若FQ=6,则C的准线方程为 1双曲线c后 =1(a>0,b>0)的离心 率为e,写出满足条件“直线y=2x与C 无公共点”的e的一个值 30 16.已知点F为抛物线E:y=2px(p>0)的 (2)已知点G(一1,0)，延长AF交抛物线 焦点，点A(2,m)在抛物线E上，且到原点 于点B,证明：以点F为圆心且与直线 的距离为2√3. GA相切的圆必与直线GB相切. (1)求抛物线E的方程： -31 一10.选BCD由题意可知：圈C:x2十y2=2(r>1) 13.解析设圆心C的坐标为(x,0),x<0, 的圆心C(0,0)到直线1：x一y十b=0的距离d 则圈的半径r=x十1|， -u ② 六圆心C到直线1的距离d=r十1山 2 ①当b=2r时，直线1的方程为x一y十2r=0,圆 心C(0,0)到直线1：x-y十2r=0的距离d= 又孩长为22，则=严+2=+川 l=r>r. 解得x=1(不合题意，舍去)或x=一3. ② ∴.圈心C(-3,0),半径为2， ∴l与C相离，l与C不可能相交，故A选项 则圆C的方程为(x+3)2+y2=4. 错误： 答案(x十3)2+y2=4 ②若Q为C上的动，点，且PQ的最小值为r,则 14.解析由圆O:x2十y2=1,得到圆心坐标为O 圈心C(0,0)到直线l:x一y十b=0的距离d= (0,0),半径r=1,把直线1的方程y=kx十1 2r.d=h=2r, (k≠0)，整理为一般式方程得1：kx一y十1=0， √② 圆心O(0,0)到直线AB的距离4=一1，弦 ∴.b=2√2r,故B选项正确： k2+1 ③若b=3r,直线1的方程为x一y十3r=0,圆心 C(0,0)到直线l:x-y十6=0的距离则d=3r AB的长度AB1=2P==2√中有 2 -3号d-,>1与C相离且周C 上到直线1装小距高是8y,->,调C k十 又因为+☆≥2√·石-2， z2+y2=2(r>1)上拾有2个点到1的距离为2r, 故C选项正确： SAB≤：当且仅当=店，即=士1时取 ④若b=r十上，圈P的丰径为r一1，若圈P与C 等号，S△Y取得最大值，最大值为)，此时k=士L, 内切，则PC=r-(r-1)=1,而圆C:x2+y2 答案士1 =2(r>1)的圆心到直线1：x一y十b=0的距离 专题训练（十四） 椭圆、双曲线、 为：d=l6 2 =√2>1=|PC1,圈 抛物线 P与C不可能内切，故D选项正确， 一、单项选择题 11.选BCD圆C2关于x轴的对称圆C为(x一2)2 1.选B由题意可知，2c=2√5,2a-2,所以c=√5， +(y+1)2=1,周心C3(2,-1),r3=1.点N关 于x轴的对称点N‘在圆C3上，又圆C的圆心 a=1.所以62-G-2,别日-2. C(-6,5).r=2, 2.选B由题意得，F(1,0),则|AF=BF=2, :.IPMI+PNI=PMI+IPN'>PCI-n+ 即点A到准线x=一1的距离为2，所以点A的 IPCl-=IPC+IPCI-3>GC-3= 横坐标为一1十2=1， √(2+6)2+(-1-5)-3=7，∴.|PM+|PN| 不妨设点A在x轴上方，代入得，A(1,2), 的取值范围是[7，十©⊙). 所以AB=√(3-1)2十(0-2)2=2√2.故选B. 三，填空题 3.选C由△AF1B的周长为4V3, 12.解析由题意知，圆心(2,0)到直线3x十4y十a=0 可知AF1|+|AF2+|BFI+|BF2|=4a 的距离d=16+a=2,解得a=4或a=-16. √32+2 =4√3， 答案4或-16 解得a=3,则M(-3,0),N(W3,0). 79 设点A(x0y%)(x0≠士√3)， ×2 x,右焦点为W13,0),所以点(W13,0)到渐近 由直线AM与AN的钟率之叔为一号， 线2x一3y=0的距离为21區=2.故选A 可得 2 √4+9 x0十√3xo-3 8.选C设点M的横坐标为x0,抛物线的标准方程 即6=-号6-3.0 为少=受，该抛物线的准线方程为工= ,因 1 又号+ -1,所以6=0(0-）@ 为抛物线x=2y2上的点M到其焦点的距离为 由①②解得=2 2.到o十日=2，解得=点故选C 所以C的方程为写+置 二，多项选择题 =1. 4.选D法一：由于直线y=kx十1恒过点(0,1)， 选ACD对于A,当m>>0时，有>0 所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上， 方程化为宁+兰-1，k市焦点在y的上的箱国。 财0<≤1且m≠5， m n 故A正确. 故m≥1且m≠5. (y=kx+1, 法二：由 对于B.当m=>0时，方程化为子十y=易表 m.x2+5y2-5m=0, 消去y整理得(5k2+m)x2十10kx十5(1-m) 示率径为√日的周，故B错误 =0. 对于C,当m>0,m<0时，方程化为 y =1 由题意知△=100k2一20(1-m)(5k2+m)≥0对 一切k∈R恒成立， 即5mk2十m2一m≥0对一切k∈R恒成立， 1 表示焦点在x轴上的双曲线，其中“一√m .6= 由于m>0且m≠5，.m>1一5k2恒成立， ∴.m≥1且m≠5. 一渐近钱方程为y=±√厂 x:当m<0, 5,选A将原方程支形为+号-1.由题意知a n>0时， 1 方程化为 1 1 =1,表示焦点在y轴上的双 =1,2=1,所以a√m ,b=1.所以√m =2,所 不故选A 曲线，共中a√元 ,新近线方程为y= 6.选C由题意可设双曲线方程为y2一x2=m,m ”x,故C正确， >0. 对于D,当m=0,n>0时，方程化为y=土 m>0, 12x+y=0 得3x2=m,则x=±√3 表示两条平行于x物的直线，故D正确 不封假设√侣则以=2√受， 10.AD 11.选ABC如图所示，分别过 由图象的对称性可知， 点A,B作准线的垂线，垂足 AB=215可化为1OA=15, 分别为E,M,连接EF,抛物 即肾十4×贺-√15，解得m=9, 线C的准线交x轴于点P, P O/F 则PF=p,由于直线l的 故双曲线方程为：y2一x2=9.故选：C D 7.选A依题意得a2=9,b2=4,2=a2+b2=13, 斜率为√3，则其倾斜角为 60°.又AE∥x轴，∴.∠EAF=60°，由抛物线的定 所以a=3,b=2,c=√13，所以渐近线方程为y 义可知，|AE=|AF,则△AEF为等边三角形， 80 .∠EFP=∠AEF=60,则∠PEF=30°， 则抛物线的焦，点(0,2)到双曲线的一条渐近线 ∴.|AF1=EF|=2PFI=2p=8,解得p=4, 的距离为 故A正确：：|AE|=|EF|=2PF1,PF∥AE, d=l23 ∴F为线段AD的中点，则DF=FA,故B正确： =3. √/1+3 :∠DAE=60°，∴.∠ADE=30°， 答案√3 ∴.BD引=2BM川=2BF(抛物线定义)， 四、解答题 故C正确： 15.解(1)由已知可设C2的方程为y2=4cx, BD1=2BFBF=号DF=号AF 其中c=Va2-2 不妨设A,C在第一象限， 故D错误， 由题设得A,B的纵坐标分别为，-企 三、填空题 C,D的纵坐标分别为2c,-2c, 12.解析通解（解直角三角形法）：由题易得OF 2 故AB= ,CD=4e. a =台，PF=p,∠OPF=∠PQP,所以an 由1CDI= AB得c- 3a ∠OPF=tan/PQF,所以PF=FO,即2 IPF 即3x后=2-2后月 =台，解得D=3,所以C的准线方程为1 解得=一2（会去）.5= a a 2 所以C的离心率为2 1 答案x■ 3 (2)由1)知a=2cb=3c,故G:+=l 13.解析 因为双曲线C的渐近线方程为y=士 a t, 设M(xo·y%). 4e+2=1听=4n 要使直线y=2x与C无公共点，则只需要2>么 4c2+3 ① 即可， 由于C2的准线为x=一c, 由么<2的2-a2=2 <4,所以2<5， 所以|MF|=to十c,而MF1=5,故xa=5一c, 解得1<e<5. 代入①得5-)2+450=1， 4c2 3c 答案2（答案不唯一，只要1<e<√5即可） 即c2-2c-3=0,解得c=-1(舍去)，c=3. 14.解析抛物线x2=8y的焦点为(0.2)， 所以C的标准方程为十万， .mx2+ny2=1的一个焦点为(0,2)， .焦点在y轴上， C2的标准方程为y2=12x. a2=1.2=-1 ,c=2. (m2=4p. 16.解(1)由题意可得 解得p-2, 4+m=23. 根据双曲线三个参数的关系得到4=a2十b2 所以抛物线E的方程为y2=4x 11 n m (2)证明：设以点F为国心且与直线GA相切的 又离心率为2，即4=4，解得n=1,m= 圈的半径为r, 1 3 因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上， 0 所以m=士2√2，由抛物线的对称性， 六此双曲线的方程为y2一 31, 不妨取A(2,2√②). 则双曲线的一条渐近线方程为x一√3y=0, 由A(2,2√2)，F(1,0) 81 可得直线AF的方程为y=2√2(x一1)， 5.选C分两类情况讨论： 联立小y=22x-1)得2x2-5+2=0. 第1类，直线口分别与直线b上的8个点可以确 y2-4x. 定8个不同的平面： 第2美，直线b分别与直线4上的5个点可以确 解得x=2或x= 1 定5个不同的平面. 所以直线GB的方程为2√2x十3y+2√2=0， 根据分类加法计数原理知，共可以确定8+5=13 易知直线GA的方程为2√2x-3y十2V2=0, 个不同的平面 6.选D由题意知，x了十x3十x十x≤4恒成立，所 从而r= 122+22=42 W8+9 √17 以x1,12,x3,T4各有3种取法，根据分步乘法计 因为点F到直线GB的距离山=2V2+2W② 数原理知满足题意的元素的个数为3=81. V8+9 7.选D根据题意，甲只能在2,4,6这三天值班，共 4V2 3种选择：又甲，乙二人安排在相邻两天，甲确定 =r,所以以点F为圆心且与直线GA相切 √17 后，乙有2种选择：其余5人没有限制，有5×4× 的圈必与直线GB相切。 3×2×1=120种选择，故不同的安排方法有3×2 ×120=720种. 专题训练（十五）分类加法计数原理 8.选C第一步：甲从七张卡片中随机抽出一张，抽 与分步乘法计数原理 到的不同取值为1,2,3,4，共4种情况：第二步： 同理，乙有4种情况：第三步：同理，丙也有4种情 一、单项选择题 况.根据分步乘法计数原理，组成的三位数的个 1.选B由已知可得，不同的取法种数共有3×2=6 数为4×4×4=64. 故选B 二、填空题 2.选D从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个不 9.1610.20 同的数字的和为偶数可分为两类： 11.解析设“平稳数”的百位、十位、个位上的数宇 第一类，取出的两个数都是偶数，有0和2,0和 分别为a,b,c. 4,2和4，共3种不同的取法： 若b=0,别a=1,c∈{0,1}，有2个“平稳数” 第二类，取出的两个数都是奇数，有1和3,1和 若b=1,则a∈{1,2}，c∈{0,1,2}， 5,3和5，共3种不同的取法. “平稳数"有2×3=6个. 由分类加法计数原理得，共有3十3=6种不同的 若2≤b≤8，则a,c∈{b一1，b,b十1}， 取法 “平稳数”有7×3×3=63个. 3.选C从1,2,3,4,5,6中任取三个不同的数 若b=9,则ac∈{8,9}，“平稳数”有2×2=4个 相加， 综上可知，“平稳数”的个数是2十6十63十4 所得的最小值为1+2+3=6， =75. 最大值为4十5+6=15， 答案75 1+2+3=6,1+2+4=7,1+2+5=1+3+4= 三、解答题 8,1+2+6=1+3+5=2+3+4=9, 12.解(1)分为三美：3名老师中选一人，有3种方 1+3+6=1+4+5=2+3+5=10, 法：8名男同学中选一人，有8种方法：5名女同 1+4+6=2+3+6=2+4+5=11, 学中选一人，有5种方法. 1+5+6-2+4+6=3+4+5=12,3+4+6=13, 由分类加法计数原理知，有3十8+5=16种 3+5+6=14,4+5+6=15 选法。 共有：10种不同钻采.故选C (2)分三步：第一步选老师，有3种方法：第二步 4.选A安排人员去甲地可分为两步：第一步安排 选男同学，有8种方法：第三步选女同学，有5种 教师，有C是种方案：第二步安排学生，有C学种方 方法。 案，其余的教狮和学生去乙地，所以不同的安排 由分步桑法计数原理知，共有3×8×5=120种 方案共有C·C=12种，选A. 选法 82