专题训练(十二) 立体几何与空间向量-【成功方案】2025年大暑假小一轮高二数学专题复习

又平面PHA|平面ABCH,平面PHA∩平而 不妨取x一3，则y一3，x一2， ABCH-AH,PHC平面PHA,从而PH⊥平 所以m一(3，√3,2)为平面A1BD的一个法向量， 面ABCH. 在APAE中，点F为AP的中，点， 从而c0s(AE,m)= AE·m=35=3 |AE1mV3×41 则S人厘F=SAAEF, 设平面ABD与平而A1AD所成的角为0， 所以VPE=VI AFF=-VI1 PAE 则6cos0-是 Vp-APM 所以血0=-cs0- SAE PII 因此平面A1BD与平面A1AD所成角的正弦值 24大3 1 将 治 2.解(1)证明：阁为底面ABCD是平行四边形， 12,所以a3=8,故a=2. ∠ABC-120°，B-4,AB-1,且M为BC的 中点， 专题训练（小一）立体几何与空间向量 所以(CM=2,(1D=1:∠1DCM=60° 易得CD LDM. 1.解在平面AB(1)内，过点A作A5⊥AD,交 又PD⊥DC,且PD∩DM-D,PD, BC于点E. DMC平面PDM, 因为AA1平面ABCD, 所以CDI平面PDM. 所以AA1上AE,AA1⊥AD. 图为AB∥CD,所以AB⊥平面PDM. 如图，以(AE,Ai,AA) 又PMC平面PDM, 为一个正交基底，越立空 B 所以AB⊥PM 间直角坐标系· (2)法一：由(1)知AB⊥平面PDM, 因为AB-AD-2, 所以∠NAB为直线AN与平面PDM所成角的 AA,-3,∠BAD-120 余角 连接AM,因为PM⊥MID,PMLDC, 则A(0,0,0),B(3,-1,0),ID(0,2,0). 所以PM平面ABCD,所以PM⊥AM. E(W3,0.0).A1(0,0W3),C1(wW3,1,N3) 图为∠ABC=120°，AB=1,BM=2, (1)Ai=(w3,1,3),AC=(W3,13. 所以由余弦定理得AM=√7， 则c(A]i,AG)= AB.AC 又PA-√15，所以PM-2w2, ABI ACI 所以PB-PC-2√3， 3-1-3 1 连接BV,结合余弦定理得BN√I1. √7X7 -7 连接AC,则由余弦定理得AC-√2I, 因此异西直线A1B与AC:所成角的余弦使 在△PAG中，钻合余孩定理得 的 PA2+AC2=2AN2+2PN2, (2)可知平而AAD的一个法向量为A产-(W3,00). 所以AN=√/15. 所以在△ABN中， 设m=(x,y,z)为平面A1BD的一个法向量， 又A1B=(W,-1,-3)BD=(-√5,3,0)， cOs∠BAN= AB2+AV2-BY=1+15-11 2AB·AN 2V15 m·A1B-0, 则 -1四 m·BD-0, 61 8x-y-e-0, 设直线AN与平面PDM所成的角为B, -3x+3y=0. 则sin9=cos/BAV= 6 76 法二：周为PM|MD,PMDC, 分别以BA,BE,BC所在的直线为x轴·y轴， 所以PM⊥平面ABCD. 之轴，建立如图所示的空间直角坐标系B一y, 连接AM,则PM⊥AM 图为/ABC=120°，AB=1.BM=2, 所以AM=√7. 又PA=√15，所以PM=2√2. 由(1)知CD|DM, 过点M作ME∥CD交AD于点E, 则ME⊥MI). 故可以以M为坐标原点，MD,ME,P所在直线分 则A(1,0,0).B(0,0,0),M(位0,2） 别为x少，z抽建立如图所示的空间直角坐标系 N侵2o 设平面AMN的法向量为m=(x1y1产1)， 因为-（号o号》-(0，号》， m·A-+-0， 所以 取空1=1，得m mM-是-是-0： 则A(-√3,2,0)，P(0,0,2√2)，C(W3,-1,0), (1,1,1) 所以N停-2w2 设平面BMWN的法向量为n一(2y2,2), 国为丽=(20,2)=(0,2-2)月 所以=(，-号w n·Bi=号+号=0， 易知平面PDM的一个法向量为n=(0,1,0). 所以 2-1， 设直线AN与平面PDM所成的角为日， n:a-空整-0， 2 则sin9=cos(A,n1=1A·nl 2 得n=(-1,1,1), |AN·nl√5 所以am=间子由国知二西有在 - 6 MNB为纯二面角，故二面角A一MN一B的余 3.解(1)证明：因为AF∥平面MNG,且AFC平面 弦位为一} ABEF,平面ABEF∩平面MNG=NG, 4.解（1)证明：如图，取B的中点Q,连接 所以AF∥NG, AQ,AC, 易知CM=BN=V2a,所以AM=2(1一a), :四边形AB(CD为菱形，则AB=BC, 所以瓷-1号， :∠ABC=60, △ABC为等边三角形， 所以MG∥B(C,所以MGAB. :Q为BC的中点，则AQ⊥BC 又因为平面ABCD⊥平面ABEF,且MGC平面 :AD∥BC,∴.AQ⊥AD, ABCD,平面ABCD∩平面ABEF=AB,所以 由于AA1⊥平面AB MG⊥平而ABEF. CD,以点A为坐标原 (2)由(1)知，MG⊥NG. 点，以AQ.AD.AA MN-√a+(1-a-2a-2u-≥2】 所在直线分别为工轴、 B4- y轴、之轴建立空间直 当L仅当a=合时等号成立， 角坐标系，如图， 77 则A(0,0,0),A1(0,0,1),D(0,1,1),Q(3,0,0), ∴直线1的点钟式方程为y-厅-c一3 c610.cf原2i小M010 化为一般式得x+5y6=0. Gi-(-夏-1Ac6g,. 5.选D直线l的方程为y=x一a,即7一y一a=0. 国上洽有三个点到立线的距离为1，可知國心 :C应.AC=-3+号-(-1)2=0. 22 到直线的距离等于半径的一半，即=1，“ √2 .C1M⊥AC 士② (2)如图，假设点E存在，设点E的坐标为 6.选C取AB的中点D(2,-3), (3,A,0),其中-1≤≤1，A克=(W5,A,0),AD= PA+PR-2PD,IPA+PB-12PD (0,1,1), 又由题意知，圆C的阳心G的坐标为(1,2)，半径 设平面AD1E的法向量为n一(x,y,x), 为2， n·AE=0, 13x十Ay=0, |PD1的最大位为圆心C(1,2)到D(2,-3)的距 则 即 n·AD=0,y+z-0. 离d再加半径r,又d=√1-25=√26，.d+r= 取y=一V3,则x=A,=5, √26+2， n=(,-53), .|2PD的最大值为2√26-4， 平面ADD1的一个法向量为m一(1,0,0)， 即PA+PB1的最大值为2√26+4. .lex(m, 7.选D以A为原点，直线AB为x轴建立平面克 角坐标系（图略），则B(3,0).设M(x,y),依随意 解得X=±号，印CE=1-受我CE=1+ 2 有， √2十y2 =2,化简整理得，22十y2一8.x 因此，枚BC上存在一点E,使得平面EAD1与平 (x3)2十y2 十12-0，即(x一4)2十y2一4，则M,点的轨迹国成 西DAD夫角的会候债为行比时CE-1一号我 区域的面积为4π. 8.选A设点P(xe),则6y6=0.过点P =1-2 向圆C作切线，切点为A,B,连楼AB,以CP为 直径的國的方程为x(x一x6)十y(y一%)=0 专题训练（十） 直线与圆 又圆C:x2十y2一4，作羞可得直线AB的方程为 xxo十yy%=4,将o=1g一6，代入可得(x+y)x0 一、单项选择题 +6y-4=0, 1.A 2 1 _2 x+y=0. 3 2.选B图为d= 满足 /1+1 21 6y-4-0 2 3 所以1=2vP-4=21-('-E 故真线AH过定点（号，号） 3.选A若克线是陶的对称轴，则克线过国心，圆心 二，多项选择题 坐标a,0,所以由2a十01=0，解释a=号 9.选AB进项A中直线xy2一0在两坐标轴 上的栽距分别为2，一2，所以围成的三角形的面 1.这TD國C:x2-y2-1x=0可化为(x-2)2一y 积是2，所以A正确：选项B中PP的中点 =1,则圆心C(2,0), 直线PC的斜率为女e-05=B, (宁学2告)克线3=1上P0,2 2-3 P(1,1)两，点连线的斜率为一1，所以B正确；选 :1⊥PC,则直线1的斛率为 项C中霄要条件2≠y1x2≠x1·所以C错误： 选项D中还有一条截距都为0的直线y一x,所以 3 D错误. 78专题训练（十二） 立体几何与空间向量 1.如图，在平行六面体 D 2.如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD ABCD- A B C D 是平行四边形，∠ABC=120°，AB-1, 中，AA,⊥平面ABCD, BC=4,PA=√/15，M,N分别为BC,PC的 且AB=AD=2, 中点，PD⊥DC,PM⊥MD AA=3,∠BAD=120°. (1)求异面直线AB与AC1所成角的余 弦值； (2)求平面A,BD与平面A1AD所成角的 正弦值。 (1)证明：AB⊥PM: (2)求直线AN与平面PDM所成角的正 弦值. 25 3.如图，正方形ABCD和ABEF所在平面 4,如图，在四棱台 B 互相垂直，且边长都是1，M,N,G分别为 ABCD-A B C D 线段AC,BF,AB上的动点，且CM=BN, 中，底面四边形 D AF∥平面MNG,记BG=a(0<a<1). ABCD为菱形， (1)证明：MG⊥平面ABEF: (2)当MN的长最小时，求二面角A一MN一B AA=AB=专AB=1,∠ABC=60, 的余弦值. AA1⊥平面ABCD. (1)若点M是AD的中点，求 证：CM⊥A,C: (2)棱BC上是否存在一点E,使得平面 EAD,与平面DAD,夹角的余弦值为写？ 若存在，求线段CE的长：若不存在，请说 明理由 26