专题训练(十一) 空间点、线、面的位置关系-【成功方案】2025年大暑假小一轮高二数学专题复习

专题训练（十一） 空间点、线、面的位置关系 一、单项选择题 5.如图，在棱长为1的正方体ABCD 1.直线（和l2是异面直线，l1在平面α内， A1BCD1中，M,N分别是AD1,AB 在平面3内，l是平面a与平面3的交线， 的中点，过直线BD的平面α∥平面 则下列命题正确的是 () AMN,则平面a截该正方体所得截面的面 积为 A.l至少与l1,l2中的一条相交 B.l与l1,l2都相交 C.1至多与l1,l2中的一条相交 D.l与l1,l都不相交 2.矩形ABCD中，AB=2,AD=1,E,F分别 是边AB,CD的中点，将正方形ADFE沿 A.② EF折到A,DFE的位置，使得二面角 号 A,一EF-B的大小为120°，则异面直线 C.3 号 A,F与CE所成角的余弦值为 6.已知正方体ABCD-AB:C:D1的体积为 16√2，点P在正方形A,B,CD1上且A1 C到P的距离分别为2,2√3，则直线CP与 平面BDDB,所成角的正切值为() 号 R号 B10 10 n C.2 7.在正方体ABCD-A,B1C1D,中，E,F分别 为BC,CC,的中点，则平面AEF截正方体 3.在正方体ABCD一ABCD1中，P为 所得的截面多边形的形状为 ( B,D的中点，则直线PB与AD所成的 A,三角形 B.四边形 角为 ( ) C.五边形 D.六边形 8.如图，G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点 A号 B晋 或所在棱的中点，则表示GH,MN是异面 直线的图形的序号为 c D. 4.点E,F分别是三棱锥P一ABC的棱AP, BC的中点，AB=6,PC=8,EF=5,则异 面直线AB与PC所成的角为 ( ① 4 A.90 B.45 A.①② B.③④ C.30 D.60 C.①③ D.②④ 22 二、多项选择题 13.正方体ABCD一AB,CD的棱和六个 9.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC 面的对角线共有24条，其中与体对角线 上的高AD为折痕，翻折△ABD和 AC1垂直的有 条 △ACD,使得平面ABD⊥平面ACD.下列 14.如图，已知正方体ABCD一A,B,CD,的 结论正确的是 棱长为2，点M,N分别是棱BC,CD,的 中点，点P在平面ABCD内，点Q在线 段A,N上，若PM=√5，则PQ长度的最小 值为 A.BD⊥AC B.△BAC是等边三角形 C.三棱锥D一ABC是正三棱锥 D.平面ADC⊥平面ABC 10.已知正方体ABCD一A,B,C,D,,则 ( M B A.直线BC与DA,所成的角为90 15.如图，VA⊥平面ABC,△ABC的外接圆 B.直线BC与CA,所成的角为90 是以边AB的中点为圆心的圆，点M,N, C.直线BC1与平面BB,D,D所成的角为 P分别为棱VA,VC,VB的中点，则下列 45 结论正确的有 ·(把正确结论的 D.直线BC与平面ABCD所成的角 序号都填上) 为45 ①MN∥平面ABC;②(OC⊥平面VAC: 11.在正方体ABCD-ABCD,中，E.F,G 分别是A,B,B,C1,BB,的中点，下列四 ③MN与BC所成的角为6O°：④MN⊥OP: 个推断中正确的是 () ⑤平面VAC⊥平面VBC. A.FG∥平面AAD,D B.EF∥平面BC,D C.FG∥平面BC,D 四、解答题 D.平面EFG∥平面BC,D, 16.如图所示，在三棱柱ABC-A,B,C1中， 三、填空题 AB=AC,侧面BCCB⊥底面ABC,E, 12.如图所示，在长方体 F分别为棱BC和A,C的中点. ABCD-ABCD,中， 平面AB.C与平面 ADC的位置关系是 23 (1)求证：EF∥平面ABBA1: 17.如图，菱形ABCD的边 (2)求证：平面AEF⊥平面BCC,B 长为a,∠D=60°，点H 为DC的中点，现以线 D 段AH为折痕将 △DAH折起使得点D到达点P的位 置，且平面PHA⊥平面ABCH,点E,F 分别为AB,AP的中点， (1)求证：平面PBC∥平面EFH: (2)若三棱作P-EFH的体积等于侵。 求a的值. 247.选B如图，把载面AEF补形为四边形AEFD1, 专题训练（十一）空间点、线、面 连接AD1,BC, 的位置关系 因为E,F分别为BC,CC 的中点，则EF∥BC, 一、单项选择题 又在正方体ABCD 1.A2.D3.D A1B1CD1中 4.选A如图，取PB的中点G, AD1∥BC 连接EG,FG,则EG= 所以EF∥AD1,则A,D1,F,E四点共面： 则平面AEF截正方体所得的栽面多边形的形状 GF=2PC,EG∥AB.GF∥ 为四边形 故选B. PC,则∠EGF(或其补角)即为AB与PC所成的 8.选D由题意可得图①中GH与MN平行，不合 角，在△EFG中.EG=号AB=3.FG=PC=4, 题意： EF=5,EG2+FG=EF2,所以∠EGF=90° 图②中的GH与MN异面，符合题意： 5.选B如图，分别取C1D1, 图③中GH与MN相交，不合题意： BC1的中点P,Q,连接PQ, 图④中GH与MN异面，符合题意. BD1,DP,BQ,NP,易知 则表示GH,MH是异面直线的图形的序号为： MN∥B1D1∥BD,AD∥ ②④. NP,AD=NP,所以四边形 本题选择D选项 ANPD为平行四边形，所以 二、多项选择题 AN∥DP.又BD和DP为平面DBQP内的两条 9.选ABC由题惑易知，BD⊥平面ADC,又ACC 相交直线，AVN,MN为平面AMN内的两条相交 平面ADC,故BD⊥AC,A中结论正确：设等腰直 直线，所以平面DBQP∥平面AMN,四边形 角三角形ABC的腰为a,则BC=√2a,由A项知 DBQP的面积即所求.因为PQ∥DB,所以四边 BD⊥平面ADC,CDC平面ADC,.BD⊥CD,又 彩DBQP为梯彩，PQ-号BD-号，梯彩的高A 号由句股定理得5C=x号a BD=CD= +(-(9= =a,∴AB=AC=BC,则△BAC是等边三角形， 4 B项中结论正确：易知DA=DB=DC,又由B项 可知C项中结论正确，D项中结论错误. 所以四边形DBQP的面积为号(PQ+BD)A 10.选ABD如图，在正方体 9 ABCD-ABCD1中，因 8 为BC⊥B,C,BC,⊥ 6.选A易知AB=2W2,连接CP,在Rt△CCP A,B1,所以BC1⊥平面 中，可计算C1P=√CP2-CC7=2,又A1P=2, AB1CD,所以BC1⊥DA1, A1C1=4,所以P是A1C1的中点，连接AC与 BC1⊥CA1,故选项A,B均 A BD交于点O,易证AC⊥平面BDD1B,直线CP 正确：设A,C1∩BD1=O,周为A,C1⊥平面 在平面BDD1B1内的射影是OP,所以∠CPO就 BB1D1D,所以直线BC1与平面BB1D1D所成 是直线CP与平面BDD1B所成的角，在 的角为∠CB),在直角△CBO中，sin∠CBO= Rt△CPO中，tan∠CPO-CO_2 吧2，放∠GB030,故选项C错误：直线 PO BC1与平面ABCD所成的角为∠CBC=45°， 故选项D正确.综上，选ABD, 11.选AC,在正方体ABCD-A1BC1D1中，E, F,G分别是A1B,B1C1,BB1的中点， .FG∥BC,:BC∥AD1,∴.FG∥AD1, 74 FG平面AA1D1D,AD1C平面AA1D1D, 所以VA⊥BC, ∴.FG∥平面AA:D1D,故A正确： 又BC⊥AC,且AC∩VA=A, ,EF∥A1C,AC1与平而BCD1相交， 所以BC⊥平面VAC,又BCC平面VBC, .EF与平面BC1D1相交，故B错误： 所以平面VAC⊥平面VBC,所以⑤正确. E,F,G分别是A1B,B1C1,BB1的中点， 综上，应填①④⑤. .FG∥BC1, 答案①④⑤ ,FG过平面BCD1,BC1C平面BCD1, 四、解答题 FG∥平面BCD1,故C正确： 16.证明(1)如图，取AB1的中点G,连接BG, :EF与平面BCD相交，∴.平面EFG与平面 FG,在△A1B1C中，因为F,G分别为A1C1, BC1D1相交，故D错误.故选AC. A1B1的中点， 三、填空题 12.解析易证AC,AD都与平面AB1C平行， 且AD∩A1C1=A1, 所以平面AB,C∥平面A1DC1: 答案平行 13.解析如图所示，在正方体ABCD一AB,CD1中， BD⊥AC.,CC⊥平面BCD,BDE平面BCD, 所以FG/B1G1,且FG-2BC. 在三枚柱ABC-AB:C:中，BC∥B1C. 又E为棱BC的中点，所以FG∥BE, 且FG=BE, 所以四边形BEFG为平行四边形， 所以EF∥BG,又因为BGC平面ABB,A:, .C CLBD,又AC∩CC1=C, EF过平面ABB1A1,所以EF∥平面ABB1A ∴.BD⊥平面ACC1, (2)在△ABC中，因为AB=AC,E为BC的中点， 又，AC1C平面ACC,.AC1⊥BD 所以AE⊥BC, 同理A1B,A1D,BD1,CD1,B1C都与AC1 又侧面BCCB⊥底面ABC,侧面BCB∩底面 垂直. ABC=BC,且AEC平面ABC,所以AE⊥平 正方体ABCD-A1BCD1的棱中没有与AC 面BCC1B, 垂直的校，故与体对角线AC1垂直的有6条. 又AEC平面AEF, 答案6 所以平面AEF⊥平面BCC1B, 14.35- 17.解(1)证明：因为在菱形ABCD中，E,H分别 5 为AB,CD的中点，所以BE∥CH且BE=CH, 15.解析对于①，因为点M、N分别为棱VA、VC 所以四边形BCHE为平行四边形，则BC 的中点， ∥EH. 所以MN∥AC,又MN士平面ABC,ACC平面 又EH￠平面PBC,所以EH∥平面PBC ABC,所以MN∥平而ABC,所以①正确： 因为点E,F分别为AB,AP的中点， 对于②，假设(OC⊥平面VAC,则(OC⊥AC, 所以EF∥BP, 因为AB为圆O的直径，所以BC⊥AC,矛盾，所 又EF过平面PBC,所以EF∥平面PBC 以②不正确： 又EF∩EH=E,所以平面PBC∥平而EFH. 对于③，因为MN∥AC,且BC⊥AC,所以MN (2)在菱形ABCD中，∠D=60°， 与BC所成的角为90°，所以③不正确： 则△ACD为正三角形， 对于④，易得(OP∥VA,又VA⊥平面ABC,AC C平面ABC,所以VA⊥AC,所以VA⊥MN, 所以AH⊥CD,DH=PH=CH= 2a, 所以MN⊥OP,所以④正确： 对于⑤，因为VA⊥平面ABC,BCC平面ABC, AH- 受a,折毫后，PHLAH, 75 又平面PHA⊥平面ABCH,平面PHA∩平面 不妨取x=3,则y=√3，？=2. ABCH=AH,PHC平面PHA,从而PH⊥平 所以m=(3,√3,2)为平面A1BD的一个法向量， 面ABCH. 在△PAE中，点F为AP的中点， 从而cos(AE,m= AE·m=3v5=3 AE1mV3×44 则S△PFF=S△AEF, 设平面A:BD与平面A1AD所成的角为0， 所以VH-PEr=VH-EF= LVH-PAE =- 则os0=是 所以油0=个-0=只 -名×号5 APH 国此平面ABD与平面A1AD所成角的正弦值 ,1 经 2.解(1)证明：因为底面ABCD是平行四边形， =12所以a3=8,故a=2. ∠ABC=120°，BC=4.AB=1,且M为BC的 中点， 专题训练（十二） 立体几何与空间向量 所以CM=2,CD=1,∠DCM=60°， 易得CD⊥DM. L.解在平面ABCD内，过点A作AE⊥AD,交 又PD⊥DC,且PDODM=D,PD, BC于点E, DMC平而PDM, 因为AM⊥平面ABCD 所以CD⊥平面PDM. 所以AA1⊥AE,AA⊥AD. 因为AB∥CD,所以AB⊥平面PDM. 如图，以(AE,AD,AA 又PMC平面PDM, 为一个正交基底，建立空 B 所以AB⊥PM 间直角坐标系， (2)法-：由(1)知AB⊥平面PDM, 因为AB=AD=2, 所以∠NAB为直线AN与平面PDM所成角的 AA=V3,∠BAD=120, 余角. 连接AM,因为PM⊥MD,PM⊥DC, 则A(0.0,0),B(√3，-1,0).D(0,2,0) 所以PM⊥平面ABCD,所以PM⊥AM. E(W3,0,0),A1(0,0W3),C1(W3,1w3). 因为∠ABC=120°，AB=1,BM=2, (1)A1B=(3,-1,-√3)，AC=(3,1,N3). 所以由余弦定理得AM=√7， 期cos(A,i.AC)= AB.AC 又PA=√15，所以PM=2√2. ABIACI 所以PB=PC=2√3， =3-1-3_ 1 连接BN,结合余弦定理得BN=√I, W7X√7 -7 连接AC,则由余孩定理得AC=√②I, 因此异面直线A]B与AC1所成角的余弦值 在△PAC中，结合余弦定理得 PA2+AC2=2AN2+2PN2, 所以AN=√15. (2)可知平面A1AD的一个法向量为AE-(W3,0,0). 所以在△ABN中， 设m=(x,y,)为平面A1BD的一个法向量， 又A1B=(W3,-1,-√3)，BD=(-√5,3,0). COs BAN AB+AN-BNE 1+15-11 2AB·AN 2√15 m·A1B=0, 则 -西 m·BD=0, 6 5-y3=0. 设直线AN与平面PDM所成的角为0， -√3.x+3y=0. 则sin0=cos∠BAN=16 6 76