专题训练(九) 数列求和及其综合应用-【成功方案】2025年大暑假小一轮高二数学专题复习

专题训练（九） 数列求和及其综合应用 一、单项选择题 二、多项选择题 1.数列1,6,15,28,45，…中的每一项都可用如 6.若数列{a,}满足：对任意正整数n,{a+1一an} 图所示的六边形表示出来，故称它们为六边 为递减数列，则称数列{a.冫为“差递减数 形数，那么第10个六边形数为 列”.给出下列数列{an}(n∈N·),其中是 “差递减数列”的有 ( ) A.a=3n B.a=n2+1 28 C.a.=√n A.153 B.190 D.d.- C.231 D.276 7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差 2.已知数列{an}满足an+1=an一an1(n≥2，n d≠0,7<1.记4=561=5-5， ∈N”),a1=1,a=2,S.为数列{an)的前n 项和，则S等于 ( n∈N,下列等式可能成立的是( A.3 B.2 C.1 D.0 A.2a1=a:+a6 B.2b,=b2+b 3.已知数列{a,},{b}满足41=b一1，a+ C.ai-aza8 D.b2=b2bs 么，山=3，m∈N,则数列6的前10 8.已知下图的一个数阵，该阵第n行所有数 a= b. 项和为 ( 的和记作aa=1,a:=1+号十1，a, A号×(3”-D ag×(9-1D 1十号十+号十1…，数列a,的前n项 C%×2r-D D6×(27"-D 和记作S。,则下列说法正确的是() 1 4.已知数列{a.}和{b.}的首项均为1，且a。 1 1 ≥a.(n≥2)，a。+1≥a,数列{bn}的前n项 12 和为S。,且满足2SS+1十a.b.+1=0,则 1 1 1 42 1 S2等于 () A.2022 1 1 1 11 1 B.2022 4 8 4 2 1 1 C.4043 D.4043 24 8 1684 21 5.定义在[0，十o∞)上的函数f(x)满足：当 0≤x<2时，f(x)=2x-x2:当x≥2时， A.a.=4- 2 f(x)=3f(x一2).记函数f(x)的极大值 点从小到大依次为a1,a2,…,an,…,并记 B.aa-1-a.= 3 2 相应的极大值依次为b,b2,…,bn,…,则 S=a1b十ab十…十anbn的值为( cs-溜 A.19×32+1 B.19×39+1 C.20×39+1 D.20×3+1 D.S.-4n-6+3 18 三、填空题 13.已知数列{a,的前n项和为S,a=一 1 4 9.数列{an}的通项公式为am=- n十√n+I 且4S.+1=3S.-9(n∈N), 若该数列的前k项之和等于9，则k= (1)求数列{a.的通项公式： (2)设数列{b.}满足3b.十(n一4)a.=0 10.我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高 (n∈N"),记{b.}的前n项和为T。.若 阶等差数列的求和问题，如数列 T≤ab对任意n∈N“恒成立，求实数入 m(D就是二阶等差数列.数列 的取值范围。 2 n(n十1)(n∈N)的前3项和是 2 11.数列(an}满足a+2十(-1)"an=3n-1, 前16项和为540，则41= 四、解答题 12.已知公比大于1的等比数列{an}满足a2 +a4=20,a1=8. (1)求{a.)的通项公式： (2)记bn为{a.}在区间(0，m](m∈N') 中的项的个数，求数列{b.〉的前100项 和Sa -19所以√/Sa-1Sa-(nl1D√ana-√a 4.选D由an-1≥an(n22),am+1≥am可得n+1 (常数)，所以数列S阳}是等差数列. =a+ ①②→③. 即数列〔au}是常数列， 已知{4m}是等羞敦列，{√Sn)是等差数列. 又教列iam}的首项为1，所以am一1， 设数列{an}的公差为d, 所以当SSn11≠0时， 2SnSw-1十anbw+1=0可化为2SnSn+1十bm+i 利s.-a-nn2Dd-d-(a-号m -0. 因为数列{Sn}是等差数列，所以数列w√Sn}的 图为Sw为效列{6u的前n项和， d=0 所以2SnSw+1+bu+1=2S.S4-1一(Sa+1Sm) 透项公式是关于n的一次函效，则a1一 =0, 即d-241, 所以 所以a2-1十d=3u1 S+1 Sx ②③→① 因此数列尽是以1为着项，2为公是的等差 已知数列{√Smi是等差数列，a2-3u1, 数列 所以S1-41,S2-4十u2-1a: 设数列√Sn}的公差为d,>0, 所以号-1+2一1)=2m一1 刘√S2-√S=√小a1-√a1=d,将a1=d, 故S=2m-脚S5。-1≠0. 所以/Sm一√/S,(n-1)d-nd,所以Sm-n2d2, 所以an=5.-S,1=n2-(-1)2=2n- 所以52022一1013 (n≥2)，是关于n的一次函数，所以数列{uu是 5.选A当0≤x2时，f(x)-2xx2-1(x1)2， 等差数列. 可得a1=1,b1=1:当2x<1时，有0x一2< 2,可得f(x)=3f(x-2)=3[1-(x-3)2,可得 专题训练（九）数列求和及其综合应用 a2=3,b2=3;当4≤x<6时，有0≤x42,可 得f(x)-9∫(x一4)-9L1-(x-5)2」，可得a3- 一、单项选择题 5,bs=9;…:20=39,bsc=33;….故S2m=a1b1十 1.速B由题意知，数列{4n}的各项为1,6,15,28， t红b1…1u2=6a-1×113×315X9|…139× 45,…, 319,352=1×3+3×9+5y27+…+39×30,两 所以a1=1=1×1,a2=6=2×3,ag=15=3X5, 式相减可得-2S20=1+2(3十9+27+…十39) a4-28-4X7,a5-45-5×9,…,am-n(21-1) 所以a1w=10X19=190. 39×320-1十2×3X(1-319) 1-3 -39×320,化简 2.选Aam1=am-at1(n22,n∈N),a1=1. 可得S20-1119×320.故选A. g-2,.a3-1,a4--1,--2.a6--1,a7-1,ag 二、多项选择题 =2.…,故数列{an}是周期为6的周期景列，且每 6.选CD对于A,若an=3n,则aa+1am=3(n 连续6项的和为0，故S0一3×0十a1十a2如一a1+ 1)一3n=3,所以{aa+1一ar}不为递减数列.故数 02=3. 列{an》不是“益递减数列”：对于B,若am=n2十1， 3.选D固为aw十1一am bn+1一3 则&t1一an-(n十1)2-n3-2m十1，所以{am+1 所以am}为等差数列，公差为3，{b.》为等比数 一an}是递增数列，故数列{am不是“差递减致 列，公比为3， 列”：对于C,若am=√n,则an1一au=√n十T 所以an-1-3(n1)-3n2,b.-1×3m-1 Vn- 1 =30-1, n+后所以a,+1a,为适减铁列，故 所以b=33-3=271-1, 数列a}是“差递减数列"；对于D,芳a,=hn升气 所以b?是以1为首项，27为公比的等比效列， 所以6}的前10项和为1X1270=1 127 26 (270-1). -h+2小由于面yl+2》 69 在(0，十)上单调递减，所以{aw-1一an}为逃减 三、填空题 数列，故数列{an}是“差递减数列” 9.解析 7.选ABC由题意，知b1=S2=a1十a2, a一n-n+T 一√一I一n,故前n项和 6m1=Sgm12—Sgm=4ge1十a2H2: Sm-(W2√1)(W3√2)+…1(wWn11-n)- 可得hn=a2m-1十a2n(n>1,n∈N*). n1-1,令S:=/k11-1=9,解得k=99. 由{an}为等差数列，可知{b}为等差数列. 答案99 选项A中，由a4为a2,a6的等差中项， 10.10 得2a4一2一4，成立. 11.解析令n=2k(k∈N·), 逸项B中，由b:为2，b的等差中项， 则有a2-2+a2A-6为1（兔∈N*), 得2h=b2十bs,成立. .a2十a4=5,ag+ag=17,a10+a12=29,a11 选项C中，a2=a1+d,a1=a1十3d.a%=a1十7d. 18-11, 由a2-a2cg,可得(a1十3d)2=(a十d)(d+7d), .前16项的所有偶数项和S%=5十17+29 化简得a1d=d2, 41=92, 又由d≠0，可得a1=d,特合<1成立. .前16项的所有奇数项和S寺=54092 -448, 选项D中，b2=a3-a4=2a1+5d. 令n=2k-1(∈N"), b4-a7+ag-2a1+13d, 则有421一a2%1=6k-4(k∈N*. b%=a1i十a16=2a1-29d. a2+1a1-(ga)|(agag）|(a?4） 由6候=b2bg,知(2a1+13d)2=(21+5d)(2a1+ +…+(ag-1a2k-1)=2-8+14-…+6k4 29d), 化简得2a1d-3d2. k(2+6k-4D-k(3k-])(k∈N), 2 又由10.可得骨-是 a2k11=k(3k-1)十a1(k∈N*), ∴.ag=2-41a5-10十，=24十a1g=44十1， 这与已知条件月≤1矛盾。 a1=70|a1,a13=102|a,a15=140&1, .前16项的所有奇数项和S4一a1一ag十一 8.选ABC 由道意得，A选项4，-1}121… 1:=8a1+2+10-24+41+70+102+140= 8a1+392=448. 1 十…十1- 1x1-(侵门 ,a1=7. 1一2 答案7 四、解答题 x-(] 12.解(1)由于数列〔am:是公比大于1的等比 4 12 2,A正 数列， 设首项为a1,公比为g, fa9-a1g3=20, 依题意有？ B正确： a12-8, a:=32, 1×(1 2 D选项：S 解移12 1g-2, 或1（舍） g-2 所以{an的通项公式为am=2,n∈N°. 3 2,故D错误， (2)由于2=2,2=4,23=8,24=16,2=32,25=61. C港项S=4X5一6+=2，故C正确. 22=128, 2416 所以6对应的区间为(0,1，剩1一0： 故选AC. 62,对应的区间分别为(0,2]，(0,3] 70 则b2=3=1,即有2个1： b,,b5,b?对应的区间分别为 ①-四得红，=-3×是+（任）+（任）广-… (0,4,(0,5,(0,6」，(0,7」， +()”-(m-4)×()-- 则b4==bs=,=2, 即有22个2； -(- ,b…,b5对应的区间分别为(0,8]，(0,9， 1- (0,15] 则%-6-…一15-3，即有23个3； b16,b1,…,b1对应的区间分别为(0,16， (0,17],….(0,31], 所以T一 则16=万7=…=b1=4,即有24个4： 因为Tn≤Ab对任意n∈N“恒成立， bs2,b,…,b影对应的区间分别为（0,32， 所以 (0,33],….(0,63], 4)×()” 则b32=33=…=bs8=5,即有25个5： 成立， b4,b,…,0对应的区间分别为(0,6， 即一3n≤λ(n一4)位成立， (0,65],…,(0.100], 则b61一bg:一…一b1c一6，即有37个6. 当4时以程3吕此时 所以Sw-1X22×22+3×2814×24+5X 当n=4时，-12≤0恒成立： 25+6×37=480. 当心4时，-3-号此时2- 13.解(1)图为4S1-3Sm-9. 所以-3≤A≤1 所以当n≥2时，4Sm一3Sm-19, 两式相减可得仙+1-3u…。-是 专题训练（十） 空间儿何体 an 当n-1时，4-4-+a）9-9, 一、单项选择题 k选A02A0=2x号9-5，=H0+0 所以2、3 1-1=2.在Rt△AOB中，AB=V12-(wW3)2=2, 同理AC=2,所以原△ABC是等边三角形. 所以数列仙，}是背摸为一是公比为子的等比 2.选C设正四棱锥的底面正方形的边长为4，高 数列 为h,树而三角形底边上的高（斜高）为h', 所以a=一 则由已知得-言4 4” 如图，设()为正四棱雏 (2)因为3bn十(n-4)am=0, S一ABCD底面的中心，E为 所以6，=aDx()户 BC的中点， 所以工，-3×及-2×()-1×()广10 则在Rt△SOE中，h'? h ×(停)'-+a-4x保)广，① (, 4a2. 1 2红，-3×(}2×()°1×(》 0x(侵)…(a-a)×(》”(m-4)× 解得公_⑤十1（负值舍去）。 (》”@ 3.C 71