专题训练(八) 等差数列与等比数列-【成功方案】2025年大暑假小一轮高二数学专题复习

专题训练（八） 等差数列与等比数列 一、单项选择题 7.已知等比数列{an}的前n项和为S。,a:= 1.数列(a,}满足a,=4a。-1十3(n≥2)且a1=0, Ss-S 则此数列第5项是 4S5 =8,则a1= A.15 B.255 A.16 B.8 C.16 D.63 C.6 D.2 2.记S.为等比数列{a,}的前n项和.若 8.已知等差数列{am}满足a4十a,=0,a十ag a,-a=12,a-a,=24,则3 =一4，则下列命题：①{an〉是递减数列； ( a ②使S>0成立的n的最大值是9：③当n A.2"-1 B.2-21-" =5时，S。取得最大值：④as=0.其中正确 C.2-2"- D.21-"-1 的是 3.已知等差数列{a.}和等比数列{bn)的各项 A.①② B.①③ 都是正数，且a1=b,a1=b1.那么一定有 C.①④ D.①②③ ( ) 二、多项选择题 A.as≤b B.a6≥b 9.记S。为等差数列{a.}的前n项和，若 C.a1e≤b2 D.a12≥bg a1十3as=S,则以下结论一定正确的是 4.在数列{a.}中，山= 2,4 a n+1 A.a1=0 B.S,的最大值为S ln(1+1),则a等于 ( C.S=S D.lasI<asl A.2+nln n B.2n+(n-1)In n 10.已知等比数列{a》的各项均为正数，公比 C.2n+nln n D.1+n+nln n 为g,且a1>1,a6+a7>a6a,+1>2,记 5.已知数列{a.}的前n项和为S。,1=1,a2=2, {a.}的前n项积为T。,则下列选项中正 且对于任意n>1,n∈N”,满足S+1十S,-1= 确的是 2(S.十1)，则 A.ag=17 B.a1a=19 A.0<q<1 B.a6>1 C.S。=81 D.S1o=91 C.T2>1 D.T3>1 6.侏罗纪蜘蛛网是一种非常 三、填空题 有规律的蜘蛛网，如图是由 11.设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公 无数个正方形环绕而成的 比为g的等比数列.已知数列{a,十b}的 且每一个正方形的四个顶 前n项和S=n2-n十2”-1(n∈N),则d 点都恰好在它的外边最近 十q的值是 一个正方形四条边的三等分点上，设外围 12.九连环是我国从古至今广泛流传的一种 第1个正方形的边长是m,侏罗纪蜘蛛网 的长度（蜘蛛网中正方形的周长之和）为 益智游戏.在某种玩法中，用a,表示解下 S。则 n(n≤9，n∈N')个圆环所需移动的最少 A.S无限大 次数，{a。}满足a:=1,且a。= B.S.<3(3+√5)m 2a.-1一1(n为偶数)， 则解下5个圆环需 C.S.=3(3+√5)m 2aw-1十2(n为奇数)， D.S。可以取100m 最少移动 次 16 13.已知数列{a.}的各项均为正数，其前n项 15.已知数列{a。}的各项均为正数，记S为 和为S.满足am·S。=9(n=1,2,…).给 {an}的前n项和，从下面①②③中选取两 出下列四个结论： 个作为条件，证明另外一个成立. ①an}的第2项小于3；②{a,}为等比数 ①数列{an是等差数列：②数列{√S。}是 列：③(a}为递减数列：④{an}中存在小 等差数列：③az=3a1. 于0的项。 其中所有正确结论的序号是 四、解答题 14.在①a5=b十h,②S=87,③a-ao=b 十b2这三个条件中任选一个，补充在下 面问题中，并给出解答。 设等差数列{an}的前n项和为Sn,数列 {b.}的前n项和为T., ,a1=b8, 若对于任意n∈N'都有T.=2b,一1，且 S≤S(k为常数)，求正整数k的值， 17得(1-X-)A=xO店+(C. .致列am}在n>1,n∈N*时是等差数列，公差 两边平方后得，(1一入一：)2A0 为2， -(OB FOC)2 又a1=1,a2=2, =X2(0B2+2(0C+2(0.(C am-2+(n-2)/2-2n-2(n>1,n∈N"), A=号心∠B00-经 .4g=2×9-2=16,a10=2×10-2=18,Sg= 3 又A0=Bd=Cd. 118×218X2×2=73,Se=19×219X8× 2 2 ∴.(1a)2=A2+22-, 2-91.故选D. 1+3-2(入+a), 6.选B由题意可得，外围第2个正方形的边长为 0<a<1,0<<1,.1+3≥4vr 设Vg-t,.32-41+1≥0， V+(m- 3: 解得≥1会)减≤分 外国第3个正方形的边长为 即V≤g→≤日的减大准是司 3 3 3 9: 答案司 外圈第n个正方形的边长为⑤)一m 专题训练（八） 等差数列与等比数列 所以蜘妹网的长度 =n[+9+号 停门 一、单项选择题 1.选Ban-4aw-1十3(n≥2)， 1- ∴.an+1=4(am-111)(222), 4n× {am十1}是以1为首项，4为公比的等比数列， 1、 3 3 则um一1-4"1 一3(3十√5)m.故选B. a0-4n1-1, .a5-44-1-255. 亿选D设￥比数列0，的公比为q由3 2.B 8,即as十ay十a4=g2(as-a4+a3） as I asl ay =8,可得q3 3.选B因为等差数列{umw}和等比数列bn}的各项 a5a4|a3 都是正效，且a1=,a1:=b11,所以a1十a11= =8,即g=2,又42=4，所以a=2=2.故选D. b11=2a6, 所以46-1，里_1年≥么n-s。 8.选D设等盖数列{aw}的公差为d首项为a1,故 2 2 a1-a7=2a1+9d=0 当且仅当b=11时，取等号，此时效列{b}的公 【as-as-2a1+11d-二1'评将：d、n. 比为1. 由于d<0,故{an}是递减歌列，①正确：Sn=9n 4.选C由题意得-&=lh(n十1)-lnn n十1n n(m12X(-2)-10m-n2,令5，-10m-m2>0, 2 n分别用1,2.3，…，n1(n≥2)取代， 解得：0<n<10,且n∈N·,故使Sn>0成立的n 累加得号-件-hA一h1,即号-2+1n, 的最大值是9，②正骑：am=9十(n一1)X(一2)= 一2n十1l.当1n5时，gn>0,当n≥6时：an< 即an一2n十nlnn(n≥2)， 0,故当n一5时，Sm取得最大值，③正确：4s一2 文a1=2符合上式，故ag=2nlnn ×6+11=一1，④皤误.故遂D. 5.选D对于任意n>1,n∈N”, 二、多项选择题 满足S+1+Sm-1=2(Sw一1)， 9,选AC设等差数列{an}的公差为d,剥4一 .Sn11-Sm=5m-Sw-1+2, 3(a1一4d)=7a1+21d,解得a1=一3d,则am=a1 .am11一4n=2. 1(n-1)d=(n-4)d,所以a=0,故A正确：因为 67 S一S=51=0,所以S=S6,故C正确：由于d 当≥2时，a,=1-9-94a)>0, 的取位情况不清楚，故S:可能为最大值也可能 an an-l anm-l 为最小值，故B不正确：因为a3十a,一2a1一0，所 可得am<a-1,所以数列{am}为递减数列，③ 以a3=一s,即a3=|as,故D错误. 对；对于①若所有项均大于等于00：取n l0.选ABC由于等比数列am}的各项均为正数， 公比为g 90000.则aa≥100,5m>900,于是am5m>9与 且a1>1,a6十47≥uaa7-1>2,所以(ae-1) 已知办盾，所以④正确 (a7-1)<0.由题意得a6>1.a?<1,所以0<q 答案①③④ <1,A,B正确： 四、解答题 因为asa1>2, 14.解由Tm-2bm-1,n∈N”得， 所以6a?>1,T2=a1·a2·…·1·a12= 当n=1时，b1=1: (aa)>l,T1a-a}3<1, 当n≥2时，Tm-1-2h-11. 所以满足Tm>1的最大正整数n的值为12，C 正磷，D错误. 从而bn=2hn一2bw-1+即bm=26。-1: 三、填空题 由此可知，数列{b.}是首项为1，公比为2的等 11.解析由题意知q≠1， 比数列· 所以Sn=(a1|a2|…Ian)|(1b2|… 故bn一2n-1 br） ①当a5-63十b5时，a1-32,as-20, =1-,1D4-11-g2 设数列{an}的公差为d,则a。-a1十4d, 2 10 即20=32+1d,解得d=-3, 所以am=32-3(n-1)=35-3n, 罔为当n≤11时，an>0,当n>11时，am<0, =n2-n一2w-1, 所以当n一11时，Sa取得最大位。 号- 因此，正整数最的值为11. ②当S3一87时，a:一32,3u2-87, -号=-1 设数列{am}的公差为d,则3(32-d)=87, 所以人 解得d-2,q-2, 解得d=-3, b=一1 1-9 所以am=32-3(n-1)=35-3n, b g4”-2%, 因为当n11时，4m>0,当>11时，4<0， 所以当n=11时，S,取得最大值， 所以d十g-4. 因此，正整数的值为11. 答案4 ③当ag一410=b1-b2时，a:=32,4g-a16=3, 12.解析因为as一2a4-2-2(2ag1)+2-4a3, 设数列{am}的公差为d,则-d=3, 所以as=4a3=4(2a2十2)=8a2十8=8(2a1-1) 解得d=-3, +8=16a1=16, 所以4m-32-3(1-1)-35-3n, 所以解下5个圆环需最少移动的次数为16. 因为当n11时，m>0,当n>11时，am<0, 答案16 所以当n=11时，S取得最大值， 13.解析1=1，可得a2=9,又各项均为正，可得 因此，正整数的殖为11. a:=3,令n=2可得a2(3十a2)=9,可解得a2= 15.解①③→②. 35D<3,故①正确；假设数列{@n}为等比 已知{an}是等差数列，a2=3a1. 2 设数列{um}的公差为d,则a2一3a1一a1十l,得 数列，设共公比为g,则ai=aa,即（侵 d-2a1, 是所以号-Ss,可得1+-叶 所以Sn=a1+n21Dd=2a1. 2 g十g),解得g=0,不合乎题意，故数列{an}不 因为数列{a:》的各项均为正数， 是等比数列，②错： 所以√Sa一na1, 68 所以√/Sa-1Sa-(nl1D√ana-√a 4.选D由an-1≥an(n22),am+1≥am可得n+1 (常数)，所以数列S阳}是等差数列. =a+ ①②→③. 即数列〔au}是常数列， 已知{4m}是等羞敦列，{√Sn)是等差数列. 又教列iam}的首项为1，所以am一1， 设数列{an}的公差为d, 所以当SSn11≠0时， 2SnSw-1十anbw+1=0可化为2SnSn+1十bm+i 利s.-a-nn2Dd-d-(a-号m -0. 因为数列{Sn}是等差数列，所以数列w√Sn}的 图为Sw为效列{6u的前n项和， d=0 所以2SnSw+1+bu+1=2S.S4-1一(Sa+1Sm) 透项公式是关于n的一次函效，则a1一 =0, 即d-241, 所以 所以a2-1十d=3u1 S+1 Sx ②③→① 因此数列尽是以1为着项，2为公是的等差 已知数列{√Smi是等差数列，a2-3u1, 数列 所以S1-41,S2-4十u2-1a: 设数列√Sn}的公差为d,>0, 所以号-1+2一1)=2m一1 刘√S2-√S=√小a1-√a1=d,将a1=d, 故S=2m-脚S5。-1≠0. 所以/Sm一√/S,(n-1)d-nd,所以Sm-n2d2, 所以an=5.-S,1=n2-(-1)2=2n- 所以52022一1013 (n≥2)，是关于n的一次函数，所以数列{uu是 5.选A当0≤x2时，f(x)-2xx2-1(x1)2， 等差数列. 可得a1=1,b1=1:当2x<1时，有0x一2< 2,可得f(x)=3f(x-2)=3[1-(x-3)2,可得 专题训练（九）数列求和及其综合应用 a2=3,b2=3;当4≤x<6时，有0≤x42,可 得f(x)-9∫(x一4)-9L1-(x-5)2」，可得a3- 一、单项选择题 5,bs=9;…:20=39,bsc=33;….故S2m=a1b1十 1.速B由题意知，数列{4n}的各项为1,6,15,28， t红b1…1u2=6a-1×113×315X9|…139× 45,…, 319,352=1×3+3×9+5y27+…+39×30,两 所以a1=1=1×1,a2=6=2×3,ag=15=3X5, 式相减可得-2S20=1+2(3十9+27+…十39) a4-28-4X7,a5-45-5×9,…,am-n(21-1) 所以a1w=10X19=190. 39×320-1十2×3X(1-319) 1-3 -39×320,化简 2.选Aam1=am-at1(n22,n∈N),a1=1. 可得S20-1119×320.故选A. g-2,.a3-1,a4--1,--2.a6--1,a7-1,ag 二、多项选择题 =2.…,故数列{an}是周期为6的周期景列，且每 6.选CD对于A,若an=3n,则aa+1am=3(n 连续6项的和为0，故S0一3×0十a1十a2如一a1+ 1)一3n=3,所以{aa+1一ar}不为递减数列.故数 02=3. 列{an》不是“益递减数列”：对于B,若am=n2十1， 3.选D固为aw十1一am bn+1一3 则&t1一an-(n十1)2-n3-2m十1，所以{am+1 所以am}为等差数列，公差为3，{b.》为等比数 一an}是递增数列，故数列{am不是“差递减致 列，公比为3， 列”：对于C,若am=√n,则an1一au=√n十T 所以an-1-3(n1)-3n2,b.-1×3m-1 Vn- 1 =30-1, n+后所以a,+1a,为适减铁列，故 所以b=33-3=271-1, 数列a}是“差递减数列"；对于D,芳a,=hn升气 所以b?是以1为首项，27为公比的等比效列， 所以6}的前10项和为1X1270=1 127 26 (270-1). -h+2小由于面yl+2》 69