专题训练(六) 三角恒等变换与解三角形-【成功方案】2025年大暑假小一轮高二数学专题复习

专题训练（六） 三角恒等变换与解三角形 一、单项选择题 种，其中底与腰之比为黄金割比的黄金 1.在△ABC中，cosC=号，AC=4,BC=3, 三角形被认为是最美的三角形.它是一 个顶角为36°的等腰三角形（另一种是 则cosB等于 ( 顶角为108°的等腰三角形)，例如，五角 A司 星由五个黄金三角形与一个正五边形组 成，如图所示，在其中一个黄金△ABC c n号 中，C=6根据这些信，可得 2.已知sin0+sim(0+）=1,则sin(0+若】 c0s324°= 等于 A号 R号 c号 n号 3.若sm(登-2a=号则sna-cosa的值为 A.6-1 ( 4 B6+1 4 A号 R号 C.-5+1 4 D.4+⑤ 8 C.-3 D.-3 6.在△ABC中，A,B,C的对边分别是a,b,c. 5 若A=120°，a=1,则2b+3c的最大值为 4.已知a为锐角，若cos(a十 )=则 sin(2a- )的值为 A.3 2 7 A. B.一2 C.32 n C D-品 7.已知cos(经十a)+3cos(a-x)=0,则 sin a- 5.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾 sin'a_ 经这样说过：“几何学里有两件宝，一个 sin(a) 是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把 A 勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把 黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两 Cio 11 8.已知cos(0叶x)=-2sin0,则sin20-2 三、填空题 c0s20+1 12.已知ian(+a)=号，则n2asa 1+cos 2a A-号 B 13.在△ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C c D.2 的对边，且什a=2 asin B-c sin C sin B-sinA,则A- 二、多项选择题 9.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a, 14.如图，在三棱锥P一ABC的平面展开图 b,c,若b=25,c=3,A十3C=π，则下列 中，AC=1,AB=AD=√3，AB⊥AC,AB 结论正确的是 ⊥AD,∠CAE=30°，则cos∠FCB= A.cos C 3 B.sin B 3 D(P) C.a=3 D.S△Ac=√2 10.已知0<0<至，若sin20=m,cos20=n 且m≠n,则下列选项中与tan(答一)恒 四、解答题 相等的有 ( l5.△ABC中，sin'A-sinB-sinC=sinB A.1十m B.1十n sin C. (1)求A: C.n D.m 1.已知函数x)=5cos号-sm气os营 则 () A.函数f(x)的最小正周期为4π 且点(-子，)是函数图象的一个 对称中心 C.将函数f(x)图象向左平移5π个单位 6 长度，所得到的函数图象关于y轴 对称 D.函数(x)在区间(-吾，0)上单调递减 -12 (2)若BC-3,求△ABC周长的最大值， 16.在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B.C 的对边，26=(6+c2-a2)·(1-tanA). (1)求角C; (2)若c=2√/10，D为BC的中点，在下列 两个条件中任选一个，求AD的长度. 条件①：△ABC的面积S=4且B>A: 条件②：c0sB=25 5 -138.选A因为一2sin0=cos(0十x)=一cos0,即 专题训练（六） 三角恒等变换与 2sin0=cos0,若cos0=0,则sin0=0,这与sin20 解三角形 十c0s20=1矛盾，所以，c0s0时0，剩1an0=7,所 一、单项选择题 以，sin20-2=2sin6cos0-2sim20-2cos'g cos 20+1 1.选A由余孩定理得AB2-AC2+BC2一2AC· 2cos20-1+1 BCeos C=4+3-2X4X3x号-9， =am0-amg-1=名-}-1=-故选A 二、多项选择题 所以AB=3, 所以oB=ABBC3-AC-9+9-16-上 9.选AD因为A十3C=,A十B十C=, 2.AB·BC 2×3×39 所以B=2C 2.选B因为sin0叶sin(0+号】 nBiC得2 由正孩定理 3 sin 2C sin C' =sim(+吾-看）+im(0+吾+君】 甲2n品CC所以msC 23 3 3,故A正确： =im(+吾）os吾-os(0+）im吾+ 因为cosC- 3,所以sinC= 3 sin(0+吾）os吾+co(0+吾）sin晋 所以nB=n2C-2 in Cos C=2××号- 3 =2sim(0+g)os吾=v3sim(0+）=l. 22,故B错误： 所以0+）- 图为0sB=60s2C-2aos2C-1=-号 3.D4.B5.B 所以sinA=sin(B+C)=sin Beos C+cos Bsin C 6.选B因为A=120°，a=1,所以由正弦定理可得 1 23 2g×g+()×9则A- 3 9 sin B sin C sin A sin120° 3· 所以a2=b+c2-2 bccos A=(2V3)2+32-2× 3 sin B.c=23 所以6=2 3 sin C. 2V3×3×5=1,所以a=1,故C错误： 9 23e43sin B+2/5sin C 3 S△AC= 2mA=号×2X8×写-回. -4v 3sin(60°-C)+2v3sinC 故D正确 10.AD 'sin 20=m,cos 20=n. 43 sin C+2cos C-2321sin(c+g). 3 m2+n2=11m= n1十m 其中ing=2四 7 atm(片-小-千温g-e8品8 所以26+3c的最大值为2四 (cos o-sin 0)(cos o-sin 0)1-sin 20 (cos 0+sin (cos o-sin 0) cos 20 7.选D 周为cos(受+a)+3cos(a-)=0. n 所以一sina-3cosa=0,所以tana=-3 1.选BCDf(r)=3cos2专-sin方cos号 sin a-sin'gsin a(1-sin'a)-sin acos a sin(2a) cos a 3.I+cos z sin r 2 2 cos -2 sin 2 品故适D 一（十青）+复长最小正调期为东A错民 63 -)-o(-经+)+9-g ,在△FCB中，由余弦定理得 Cos∠FCB= CF2+BC2-FB2_1+22-(W6) 点（一要，号）是一个对称中心，B玉确： 2XCFXBC 2×1×2 向左手移警个单位长度得到代：+语) 4 答案一1 ,关于y轴 4 四、解答题 对称，C正确： 15.解(1)由正弦定理和已知条件得 x(-晋0)x+晋∈(0，晋，所以f)在区 BC2-AC2-AB2=AC·AB. ① 间（一吾，0）上单调递减，D正确，故选BCD, 由余弦定理得 BC2=AC2+AB2-2AC.ABeos A. ② 三、填空题 12.解析 周为tam(十o) 由0@将c0sA=- 因为0<A<,所以A= 3 1 所 1-tantana 2 （②由正往充理及)将B品二 :名解释om。= 1 =23, 3' 所以sin2a-cos2e_2 sin acos a-c0s2g 从而AC=23sinB. 1cos 2a 2cosa AB=23sin(-A-B)=3cos B-V3sin B. 1 =tana一 5 6 BC+AC+AB=3+3sin B++3cos B 答案 5 一 =3+28sin(B+5）片 13.解析 由正弦定理，“ b sin A sin B sin C' 又0<B<5 得什a=2 asin B-c b-a 所以当B=-吾时，△ABC周长取得最大值3+2点. 整理得b2-a2=2 acsin B-c2. 16.解(1)在△ABC中，由余弦定理知， b2+c2-a2=2acsin B=2bcsin A. b2+c2-a2=2bccos A. 由余弦定理得，b2+c2-a2=2 becos A, 所以262=2 becos A(1-tanA), ..2bccos A=2bcsin A,cos A=sin A. 所以b=c(cosA-sinA), 六anA=1A=F 6sin B 又由正孩定理知，。一nC 答案开 sin B=sin C(cos A-sin A), 14.解析在△ABD中，：AB⊥AD, 所以sin(A+C)=sinC(cosA-sinA), AB=AD=√3， 即sin Acos C+cos Asin C ∴BD=√6，.FB=BD=√6. =sin Ccos A-sin Csin A, 在△ACE中，AE-AD-√3，AC-1,∠CAE 所以sin Acos C=-sin Csin A, =30°， 因为sinA≠0，所以cosC=一sinC,所以tanC =-1, ∴.EC=√/(3)2+12-2XV3×1×cos30°=1. 又因为0<C<π， ..CF=CE=1. 又：BC=√/AC2+AB2=√/12+(W3)=2, 所以C-平。 64 (2)选择条件②，0sB=2y5】 M,O,N三点共线， 闲为cosB二，2·且0<Bx ∴.m十n=2. 所以inB-5 6.选A 由题意得，A方-号AC,D元=D, 图为sinA=sin(B+C) 故AE-AD+DE-多AC+号Di-2AC+ =sin Bcos C+sin Ccos B -9×()+×25- 号-AD)-号aC+吉（店-号AC到-}证 10 +C. 由正弦定理知 sin C sin A' 所以a=csinA 210×10 所以m=号=故m十= 10 =2w2, 7.C PA-PBI=PA+PB-2 PCI. sin C ② :.BAI=(PA-PC)+(PB-PC)=CA+ 在△ABD中，由余弦定理知 CBI. AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cOsB 即CA-CB=Ci+C. 两边平方整理得，Ci,C=0,∴C才LCB. -2M02+-2X2v0x恒x2 ∴，△ABC为直角三角形.故选C =26, 8.选D设△ABC的外接圆的圆心为O 所以AD=√26. 则周的*径为×尽，0+0i+0心C-0: 3 (答案不唯一) 2 故PA+Pi+2P心=4PO+OC. 专题训练（七） 平面向量 又14P0+O0C12=51+8P0.OC≤51+24=75， 故Pi+Pi+2P心≤53， 一，单项选择题 当P心，O心同向共线时取最大值， 1.选A 由题意可知，B=心+成=一}A店 9.选C法一：如图，连接DA, +AD. 以D点为原点，BC所在直线 2.选B设该学生的体重为m,重力为G,两臂的合 为x轴，DA所在直线为y轴， 力为F,则|G引=|F|,由余孩定理得F2= 建立如图所示的平面直角坐 M B D C 4002+4002-2×400×400×c0 2m=3×4002, 标系.设内切圆的毕径为r,则圆心为坐标(0，r), 根据三角形面积公式，得号X IAANC X一 .|F1=400V3, 2 ABXAC×sin60° ∴G=mg=400V3,m=40V3≈69kg. 3.选△a=(1,2),b=(2,-2). (L△BC为△ABC的周长).解得r=1. .2a+b=(4,2),又c=(a,-1),c∥(2a+b). 易得B(一3,0)，C(W3,0),A(0,3),D(0,0), .2λ十4=0，解得入=一2，故选A. 设M(cos0,1+sin0).0e[0,2x), 4.B 则BM=(cos0+√3,1+sin9).BA=(W3,3), 5.选C如图，连接AO,由O为 Bi=(W3.0), BC的中点可得，A0-号(i+ BM=(cos0+3,1+sin 0)=(33y,3x), AC)=罗AM+号A, 故os0V3r+3y-3, sin0=3x-1, 65