精品解析：广东省佛山市三水区三水中学2024-2025学年高二下学期第二次统测数学试题

学高二级2024-2025学年下学期第二次统测 数学科试题 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，且，则集合B可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知有，再结合各项集合描述，解一元二次不等式、指数不等式、对数不等式求集合，即可得. 【详解】因为，所以，显然A中集合不合题意； B中集合为或，也不合题意， C中集合为，满足题意， D中集合为，不合题意. 故选：C 2. 已知是关于的方程（，）的一个根，则（ ） A. 10 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据虚根成对原理可知是方程的另一个根，再由韦达定理计算可得. 【详解】因为是关于的方程（，）的一个根， 所以关于的方程（，）的另一个根为， 所以，解得． 故选：B 3. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项分布的期望、方差列方程，从而求得. 【详解】根据分布列方差的性质得：， 依题意知，满足二项分布， 所以，， 所以，解得，或（舍去）. 故选：D. 4. 关于函数的说法中正确的是（ ） A. 是周期函数 B. 在上有最小值 C. 在上有零点 D. 的图象是中心对称图形 【答案】D 【解析】 【分析】对函数进行求导判断单调性结合零点存在定理可判断A,B,C，由可判断D. 【详解】∵，在上恒成立，函数在上单调递增， ∴不可能是周期函数，且在上无最值，故A，B错误； 又∵，，∴在上无零点，故C错误； ∵， ∴， ∴的图象关于点对称，故D正确， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了函数的综合性质之周期性、最值、对称性以及零点存在定理，属于中档题. 5. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，条件概率及全概率公式可得答案. 【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件， 根据题意可得， ， 所以 . 故选：D. 6. 等差数列的前n项和为，，数列的通项．将数列和数列的公共项按从小到大的顺序排列构成数列，则数列的前50项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分析，及的关系，再应用等比数列求和公式计算求解. 【详解】设等差数列公差为，又因为，所以，所以， 所以，且都是奇数， 所以，所以将数列和数列的公共项按从小到大的顺序排列构成数列， 所以数列的前50项和为的前50项和， 所以. 故选：B. 7. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A. B. e C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 8. 函数的导数仍是x的函数，通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数……．一般地，阶导数的导数叫做n阶导数，函数的n阶导数记为，例如的n阶导数．若，则（ ） A. B. 50 C. 49 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，列举的前几项，根据规律，写出，代入，即可求解. 【详解】由，， ，， 依此类推，， 所以. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. [多选题]下列说法正确的是（ ） A. 可表示为 B. 若把英文“hero”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有23种 C. 10个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手45次 D. 老师手里有3张参观游园的门票分给7人中的3人，每人一张，则分法有种 【答案】ABC 【解析】 【分析】由排列数公式可判断A；由排列定义可判断B；由组合定义可判断C D． 【详解】A项，，正确； B项，h，e，r，o的全排列为（种），正确的有1种，故可能出现的错误共有（种），正确； C项，10个朋友，两个人握手一次，共握手（次），正确； D项，3张门票属于相同元素，故应有种分法，D不正确． 故选：ABC. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，B，由，根据二项展开式求解判断；对C，D，利用赋值法分别令，1和，求解判断. 【详解】由题意，， 知，，故A，B正确； 分别令，1和，得，， ， 所以，， 即，，所以C错误，D正确. 故选：ABD. 11. 如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 关于直线对称 B. 的弦长最大值大于 C. 直线被截得弦长的最大值为 D. 的面积小于 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，求函数的反函数，结合反函数性质判断A，对于B，联立证明直线与曲线有两个交点，设右侧的交点为，左侧的交点为，求交点的距离，判断B，设为曲线的切线，结合导数的几何意义求，结合对称性判断C，证明左侧交点的横坐标大于，过点做的切线，再做该切线关于对称的直线，过，做切线的垂线，与两切线分别交于，求矩形的面积，判断D. 【详解】对于A：由， 所以函数的反函数为， 所以关于直线对称，故A正确； 对于B：有. 设，则， 由. 由， 所以在上单调递减，在上单调递增. 且， 所以存在，使得，另. 所以曲线与直线有两个交点，设右侧的交点为，左侧的交点为， 则，所以， 结合图象可得，的弦长最大值小于，故B错误； 对于C：因为直线与直线垂直， 设为曲线的切线，由， 所以切点为，所以切线方程为. 直线与的距离为. 所以直线被截得弦长的最大值为，即.故C正确； 对于D：由，所以B中. 过点做的切线，再做该切线关于对称的直线， 过，做切线的垂线，与两切线分别交于， 如图所示，构成矩形， 该矩形将图形包含在内，所以的面积小于矩形的面积. 又， 所以矩形的面积为.所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，的夹角为，，，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】首先由数量积的定义求出，再根据及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为向量，的夹角为，，， 所以， 所以. 故答案为： 13. 已知函数，为的导函数，则的值为____. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据导数的运算法则求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为：. 14. 、当时，都有，则实数的最大值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由已知不等式变形得出，令，可知函数在上为增函数，则对任意的恒成立，结合参变量分离法可求得实数的最大值. 【详解】、当时，都有，即， 即， 令，则，故函数在上为增函数， 故对任意的恒成立，故， 因此，实数的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，在处的切线与直线垂直． （1）求的值； （2）求函数的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，由题意得到，即可求解； （2）求导，确定函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 ， 直线的斜率为， 依题意， 所以 ； 【小问2详解】 定义域为， 由得到： 当变化时，和的变化情况如下表: + 0 - 单调递增 单调递减 所以在时取得最大值， 即最大值为 16. 已知数列满足，若为等比数列，且． （1）求； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由和，可得，，再求得，，； （2）由（1）可得，再利用分组求和和裂项求和即可求得的前项和． 【详解】（1）当时，由和，可得， ∴， 当时，由和，可得， 又是等比数列，∴ ， ∴ 即， ∴ ； （2）由（1）可得， ∴ ， ∴ ． 17. 在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 【答案】（1）证明：取的中点为，连接. 因为，，则， 而，故. 在正方形中，因为，故，故， 因为，故，故为直角三角形且， 因为，故平面， 因为平面，故平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面，从而得到面面. （2）在平面内，过作，交于，则，建如图所示的空间坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内，过作，交于，则， 结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系. 则，故. 设平面的法向量， 则即，取，则， 故. 而平面的法向量为，故. 二面角的平面角为锐角，故其余弦值为. 18. DeepSeek，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，2024年末 DeepSeek-R1一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的OpenAI GPT-4.为提升工作效率，M公司引入DeepSeek，并对员工进行了DeepSeek培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训. （1）若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为 求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率； （2）为了激发员工的培训积极性，提升员工使用DeepSeek的能力，M公司在培训过后举办了一次 DeepSeek知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩 Z 近似服从正态分布N(90，9)，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；(结果精确到个位) （3）参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为 且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为X元，求X的分布列与数学期望E(X). 参考数据：若Z~N(μ，σ²)，则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.9973. 【答案】（1） （2）317 （3）分布列为： x 0 800 1 600 2 400 P 【解析】 【分析】（1）应用对立事件概率及独立事件概率乘积公式计算求解； （2）应用正态分布性质计算概率； （3）先根据独立事件概率乘积公式计算概率，再写出分布列计算数学期望即可. 【小问1详解】 分别记甲、乙、丙培训合格为事件A，B，C， 则甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率 【小问2详解】 由已知得μ的近似值为90，σ的近似值为3， 所以 而， 所以估计这些员工中成绩超过93分的人数为317. 【小问3详解】 X的所有可能取值为0，800，1600，2400， 所以X的分布列为 x 0 800 1 600 2 400 P 19. 已知函数（，为自然对数的底数），. （1）若有两个零点，求实数的取值范围； （2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）将有两个零点转化为方程有两个相异实根，令求导，利用其单调性和极值求解； （2）将问题转化为对一切恒成立，令，求导，研究单调性，求出其最值即可得结果. 【详解】（1）有两个零点关于的方程有两个相异实根 由，知 有两个零点有两个相异实根. 令，则， 由得：，由得：， 在单调递增，在单调递减 ， 又 当时，，当时， 当时， 有两个零点时，实数的取值范围为； （2）当时，， 原命题等价于对一切恒成立 对一切恒成立. 令 令，，则 在上单增 又， ，使即① 当时，，当时，， 即在递减，在递增， 由①知 函数在单调递增 即 ， 实数的取值范围为. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值问题，考查学生转化能力和分析能力，是一道难度较大的题目. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学高二级2024-2025学年下学期第二次统测 数学科试题 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，且，则集合B可以是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是关于的方程（，）的一个根，则（ ） A. 10 B. C. 5 D. 3. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 关于函数的说法中正确的是（ ） A. 是周期函数 B. 在上有最小值 C. 在上有零点 D. 的图象是中心对称图形 5. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 6. 等差数列的前n项和为，，数列的通项．将数列和数列的公共项按从小到大的顺序排列构成数列，则数列的前50项和为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A. B. e C. D. 8. 函数的导数仍是x的函数，通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数……．一般地，阶导数的导数叫做n阶导数，函数的n阶导数记为，例如的n阶导数．若，则（ ） A. B. 50 C. 49 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. [多选题]下列说法正确的是（ ） A. 可表示为 B. 若把英文“hero”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有23种 C. 10个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手45次 D. 老师手里有3张参观游园的门票分给7人中的3人，每人一张，则分法有种 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 关于直线对称 B. 的弦长最大值大于 C. 直线被截得弦长的最大值为 D. 的面积小于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，的夹角为，，，则_________ 13. 已知函数，为的导函数，则的值为____. 14. 、当时，都有，则实数的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，在处的切线与直线垂直． （1）求的值； （2）求函数的最大值． 16. 已知数列满足，若为等比数列，且． （1）求； （2）设，求数列的前项和． 17. 在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 18. DeepSeek，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，2024年末 DeepSeek-R1一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的OpenAI GPT-4.为提升工作效率，M公司引入DeepSeek，并对员工进行了DeepSeek培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训. （1）若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为 求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率； （2）为了激发员工的培训积极性，提升员工使用DeepSeek的能力，M公司在培训过后举办了一次 DeepSeek知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩 Z 近似服从正态分布N(90，9)，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；(结果精确到个位) （3）参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为 且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为X元，求X的分布列与数学期望E(X). 参考数据：若Z~N(μ，σ²)，则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.9973. 19. 已知函数（，为自然对数的底数），. （1）若有两个零点，求实数的取值范围； （2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $