第14讲 直线和圆锥曲线的位置关系（4个知识点13大题型）-2025 年新高二数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（人教A版2019）

第16讲 直线和圆锥曲线的位置关系 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：直线与椭圆的位置关系 平面内点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M（x，y）， 若点M（x，y）在椭圆上，则有； 若点M（x，y）在椭圆内，则有； 若点M（x，y）在椭圆外，则有. 直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. ①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 直线与椭圆的相交弦 设直线交椭圆于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 知识点三、直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若即， ①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦 设直线交双曲线于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 双曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. 在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率； 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍. 解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 知识点四、直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线的位置关系 将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若 ①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点． 直线与抛物线的相交弦 设直线交抛物线于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 抛物线的焦点弦问题 已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： ① 焦点弦长 ② ③，其中|AF|叫做焦半径， ④焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。 题型一：直线与椭圆的位置关系 【例1】直线与椭圆的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式1-1】直线与椭圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式1-2】（2025·高二·上海黄浦·期末）直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【变式1-3】（2025·高二·宁夏·期中）已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 题型二：椭圆的弦长问题 【例2】（2025·高二·四川成都·期中）已知为椭圆：上一点，且点到两焦点距离之和为，且椭圆离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值. 【变式2-1】（2025·高二·上海·期末）已知椭圆的方程为，、为其左、右焦点． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值． 【变式2-2】（2025·高二·海南·期末）已知椭圆经过点 (1)求的方程和离心率； (2)若过点且斜率为1的直线与的另一个交点为，求的面积． 【变式2-3】已知离心率为的椭圆的顶点所构成的四边形的面积为，过右焦点且斜率为1的直线交C于M，N两点． (1)求C的方程； (2)求. 题型三：椭圆的综合问题 【例3】（2025·北京大兴·三模）已知椭圆经过点，且右顶点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点的直线与椭圆交于不同两点B，C（均不是椭圆顶点），直线AB，AC分别与直线OP交于点M、N，求证：． 【变式3-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆上任意一点，的最小值是0． (1)求椭圆的方程． (2)过点的直线与椭圆交于，两点．若在轴的上方，且，求直线的斜率． 【变式3-2】（2025·江苏扬州·三模）已知和，直线与椭圆切于点. (1)求的离心率； (2)若过的直线交于另一点，且的面积为，求的方程. 【变式3-3】已知椭圆的离心率为，点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)已知为坐标原点，过点的直线与交于不同的两点M，N，G为线段的中点，且，求的方程. 题型四：直线与双曲线的位置关系 【例4】过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于两点，若，则这样的直线有（    ）条． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4-1】（2025·高二·甘肃酒泉·期末）已知双曲线，则下列说法不正确的是（   ） A．双曲线的焦点坐标为， B．双曲线与有相同的渐近线 C．双曲线的焦点到一条渐近线的距离为3 D．直线与双曲线有两个交点 【变式4-2】直线与双曲线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4-3】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）双曲线与直线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 题型五：双曲线的弦长问题 【例5】已知双曲线：，点的坐标为 ．设直线 过点，斜率为，它与双曲线交于、两点，求线段的长． 【变式5-1】已知双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值. 【变式5-2】（2025·高二·四川达州·期末）已知中心在坐标原点的双曲线的右焦点坐标，且离心率. (1)求双曲线的标准方程和渐近线方程； (2)过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，求. 【变式5-3】（2025·高二·天津和平·期中）已知双曲线C：的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线与双曲线C的右支交于M，N两点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为，求弦长. 题型六：双曲线的综合问题 【例6】（2025·江西景德镇·模拟预测）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程. (2)直线与双曲线交于点M，N，其中点M在第二象限. ①求； ②已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，设直线，的斜率分别为，，求. 【变式6-1】（2025·河北石家庄·三模）已知双曲线，左、右焦点分别为、，两条渐近线为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)设过原点的直线与交于、两点且点在第一象限， （i）若以为直径的圆恰好过右焦点，求点的坐标． （ⅱ）连接与双曲线交于点，若面积为，求直线的方程． 【变式6-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的离心率为分别是双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线交于两点，当直线垂直于轴时，. (1)求双曲线的标准方程； (2)若的面积为，求直线的方程. 【变式6-3】已知双曲线，以坐标原点为中心将逆时针旋转可得到曲线，且点在上． (1)求点在曲线上对应的点的坐标； (2)已知为上两点，为线段的中点． ①若关于轴的对称点为，点为的中点，直线与直线交于点．证明：存在常数，使得； ②若直线的倾斜角为，且到直线的距离与之比为，求直线与的夹角． 题型七：直线与抛物线的位置关系 【例7】已知抛物线的焦点为，过点且与抛物线有唯一公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式7-1】过点且与抛物线恰有一个公共点的直线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式7-2】（2025·江苏宿迁·三模）已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式7-3】过点与抛物线只有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．0条 题型八：抛物线的弦长问题 【例8】（2025·河南·二模）设抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点. (1)求的准线方程； (2)设为准线上一点，且，求. 【变式8-1】（2025·高二·湖南·期中）已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且的右顶点为． (1)求的方程； (2)设过点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 【变式8-2】（2025·高二·上海杨浦·期中）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 【变式8-3】（2025·高三·河南·开学考试）已知抛物线，点，直线，记A关于l的对称点为B，且B在抛物线W上. (1)求直线l与直线AB的交点坐标； (2)求抛物线W的标准方程； (3)求直线AB被抛物线W截得的弦长. 题型九：抛物线的综合问题 【例9】（2025·四川泸州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，以为圆心的圆与相切，与相交于两点（在轴的上方），且. (1)求的方程； (2)设过且不与坐标轴垂直的直线与交于两点，过线段的中点的直线与轴交于点，且点在点的右侧，，证明：. 【变式9-1】（2025·河南·模拟预测）过点且斜率存在的直线交抛物线于不同的两点，且. (1)求； (2)已知的半径为2，证明：对于抛物线上的动点，且，总存在抛物线上的另外两点，使为的内切圆. 【变式9-2】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于两个动点（可以重合） (1)求点的轨迹的方程； (2)过点的两条直线相互垂直，直线与交于两点，直线与交于两点，线段的中点分别为. ①求四边形面积的最小值； ②判断直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 【变式9-3】（2025·江西·模拟预测）已知A为抛物线的焦点，B为T的准线与x轴的交点，C在y轴正半轴上，直线AD交T于M，N两点，D在线段AM上，且四边形ABCD为菱形． (1)求（用p表示）； (2)证明：D为线段AM的中点． 题型十：定点问题 【例10】（2025·高二·上海·期中）已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． (1)求抛物线Γ的方程； (2)若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； (3)设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 【变式10-1】（2025·高二·福建厦门·期末）已知点，点M与N关于原点对称，直线AM，AN的斜率之积是，记动点M的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线l与交于P，Q两点，且． （ⅰ）当l与y轴垂直时，求的面积； （ⅱ）证明：l过定点． 【变式10-2】（2025·高二·山东临沂·期末）已知抛物线：（），是的焦点，为上的一动点，且的最小值为1. (1)求的方程； (2)直线（不过坐标原点）交于、两点，且满足，证明过定点，并求出该定点的坐标. 【变式10-3】如图所示，已知椭圆，记椭圆E的右顶点和上顶点分别为A，B，点P在线段AB上运动，垂直于x轴的直线PQ交椭圆E于点M（点M在第一象限），P为线段QM的中点，设直线AQ与椭圆E的另一个交点为N，证明：直线MN过定点． 题型十一：定值问题 【例11】（2025·陕西·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与轴交于点，与交于，两点，证明：为定值． 【变式11-1】（2025·高二·福建莆田·期末）已知椭圆过点和．过作直线l与椭圆交于C、D两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线的斜率分别为，证明是定值； 【变式11-2】已知椭圆E：的左右焦点分别为，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为的正方形．A为圆上一点（不在x轴上），B为椭圆E上一点，且满足轴，直线l与圆O切于点A，过作l的垂线，垂足为M． (1)求椭圆E的方程及圆O的方程； (2)求证：为定值． 【变式11-3】（2025·高二·甘肃·期末）已知椭圆的离心率为，上的点到其一个焦点的距离的最大值为3． (1)求的标准方程； (2)设，为的左、右顶点，（异于左、右顶点）为上一动点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 题型十二：面积问题 【例12】（2025·高二·辽宁大连·期末）已知抛物线：，过点倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点. (1)若，求的值； (2)若，求面积的取值范围. 【变式12-1】（2025·高二·四川内江·期末）设抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A、B两点. (1)求F的坐标和抛物线C的准线方程； (2)设在抛物线C的准线上，若，求的面积. 【变式12-2】在直角坐标系中，，分别是，轴上一点，且．动点满足，点的轨迹为． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于，两点，求面积的最大值． 【变式12-3】（2025·河南信阳·模拟预测）已知椭圆过点，焦距为2. (1)求的方程； (2)若，过作两条相互垂直的直线，与曲线分别交于A，B，C，D四点，设线段，与的中点分别为M，N. （i）证明：直线过定点； （ii）求四边形面积的取值范围. 题型十三：向量问题 【例13】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）设，分别是直线和上的动点，且，动点为线段的中点． (1)求动点的轨迹方程； (2)已知线段是圆的一条直径，求的最大值． 【变式13-1】（2025·高二·贵州黔西·期中）已知中心为坐标原点O，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为，且椭圆M过点． (1)求椭圆M的方程； (2)若过点的直线l与椭圆M交于A，B两点，，求直线l的方程． 【变式13-2】（2025·广东珠海·模拟预测）已知点，以线段为直径的圆内切于圆． (1)求点的轨迹的方程； (2)当过点的动直线与轨迹相交于两点（可以相同）时，，．求动点的轨迹长度． 【变式13-3】（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知点在圆上，作垂直于轴，垂足为，点为中点． (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与轴交于点，与交于、两个相异点，且，求的取值范围． 1．直线与曲线（0）的公共点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·高二·湖北咸宁·期末）曲线与直线的公共点的个数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高三·安徽合肥·期末）已知抛物线：与抛物线：，则（    ） A．过与焦点的直线方程为 B．与只有1个公共点 C．与x轴平行的直线与及最多有3个交点 D．不存在直线与和都相切 4．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆的短轴顶点为，短轴长是4，离心率是，直线与椭圆C交于P，Q两点. (1)求椭圆C的方程； (2)求弦的长度. 5．（2025·上海浦东新·模拟预测）已知椭圆的上焦点为，左顶点为，是抛物线上一点，直线与抛物线相切于点． (1)若椭圆的离心率为，求椭圆的方程； (2)设，直线与椭圆相交于两点，且线段中点的横坐标相等，求的最小值； (3)设，抛物线的准线与椭圆相交于轴右侧的点；若同时也是椭圆在点处的切线，求的所有可能值． 6．已知双曲线的离心率，实轴长. (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于，两点，求； 7．（2025·河北张家口·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，为个焦点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若倾斜角为的直线经过与的右支交于不同的两点，，的面积为（为坐标原点），，求的值. 8．（2025·高二·新疆博尔塔拉·期末）已知抛物线的焦点坐标为． (1)求抛物线C的方程； (2)若斜率为1且过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，求． 9．（2025·上海宝山·三模）如图，是抛物线上一点，过点的直线与轴分别交于两点，且是线段的中点，是抛物线上异于点的动点. (1)证明：直线是抛物线的切线； (2)已知，且的重心是的焦点，求所在的直线方程； (3)若分别在线段上，且交于点，求证：点是的重心. 10．已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点． (1)求抛物线的方程； (2)当点为直线上的定点时，求直线的方程. 11．（2025·高二·云南昆明·期中）已知抛物线的焦点为． (1)求的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 12．（2025·高二·江苏南京·期中）已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若O为坐标原点，椭圆C的右顶点为A，点E的坐标为，过点F的直线l与椭圆C交第一象限于点M，与线段AE交于点P． （i）若的面积是1，求直线l的斜率； （ii）若的面积与的面积之比为，求直线l的斜率． 13．已知双曲线的离心率是，焦距为6． (1)求的方程； (2)若直线与相交于两点，且（为坐标原点），求的方程． 14．（2025·高二·云南昆明·期中）已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2． (1)求双曲线C的方程； (2)O为坐标原点，过点且斜率不为0的直线l交双曲线C于P，Q两点（点P在第一象限，点Q在第二象限），直线OQ交双曲线C于点，求． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 直线和圆锥曲线的位置关系 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：直线与椭圆的位置关系 平面内点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M（x，y）， 若点M（x，y）在椭圆上，则有； 若点M（x，y）在椭圆内，则有； 若点M（x，y）在椭圆外，则有. 直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. ①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 直线与椭圆的相交弦 设直线交椭圆于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 知识点三、直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若即， ①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦 设直线交双曲线于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 双曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. 在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率； 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍. 解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 知识点四、直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线的位置关系 将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若 ①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点． 直线与抛物线的相交弦 设直线交抛物线于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 抛物线的焦点弦问题 已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： ① 焦点弦长 ② ③，其中|AF|叫做焦半径， ④焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。 题型一：直线与椭圆的位置关系 【例1】直线与椭圆的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】B 【解析】由椭圆的方程，可得，即椭圆的短轴的右顶点为， 所以直线与椭圆相切. 故选：B. 【变式1-1】直线与椭圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【解析】联立， 则 所以方程有两个不相等的实数根， 所以直线与椭圆相交 故选：C. 【变式1-2】（2025·高二·上海黄浦·期末）直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【解析】，在椭圆内， 恒过点，直线与椭圆相交. 故选：A. 【变式1-3】（2025·高二·宁夏·期中）已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 【答案】C 【解析】将直线方程和椭圆方程联立，解方程组，由解的个数即可判断直线与椭圆的位置关系由，得，化简得， 因为， 所以方程无解， 所以直线与椭圆的位置关系是相离， 故选：C 题型二：椭圆的弦长问题 【例2】（2025·高二·四川成都·期中）已知为椭圆：上一点，且点到两焦点距离之和为，且椭圆离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值. 【解析】（1）由题可得，则， 又由得 ，则， 所以椭圆的方程为. （2）设直线与椭圆交于，两点， 联立方程组，消得到， 则， 由于，又， 则，整理得到，解得， 又时，，所以满足题意. 【变式2-1】（2025·高二·上海·期末）已知椭圆的方程为，、为其左、右焦点． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值． 【解析】（1）由椭圆的方程为， 可得， 所以； （2）设直线与椭圆交于，两点， 联立方程组， 得， 则， 由于即， 解得. 【变式2-2】（2025·高二·海南·期末）已知椭圆经过点 (1)求的方程和离心率； (2)若过点且斜率为1的直线与的另一个交点为，求的面积． 【解析】（1）由题意得解得 所以的方程为． 的离心率为． （2）由题意知直线的方程为， 联立得得或所以 观察可知是等腰三角形，且与轴平行， 所以． 【变式2-3】已知离心率为的椭圆的顶点所构成的四边形的面积为，过右焦点且斜率为1的直线交C于M，N两点． (1)求C的方程； (2)求. 【解析】（1）由题得，解得. ∴椭圆的标准方程为：. （2）由（1）知椭圆的右焦点坐标为，∴所在直线方程为. 联立方程组，消去并整理得. 设，，则，， . 题型三：椭圆的综合问题 【例3】（2025·北京大兴·三模）已知椭圆经过点，且右顶点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点的直线与椭圆交于不同两点B，C（均不是椭圆顶点），直线AB，AC分别与直线OP交于点M、N，求证：． 【解析】（1）由题意， 又因为经过点，所以，所以 所以椭圆的方程，离心率. （2）证明：设， 由，消去可得，， 则， 由得． 同理，， 则 ， 上式分子部分 ， 故，所以． 【变式3-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆上任意一点，的最小值是0． (1)求椭圆的方程． (2)过点的直线与椭圆交于，两点．若在轴的上方，且，求直线的斜率． 【解析】（1）由椭圆：存在左、右焦点， 知，， 所以，所以，， 所以椭圆的方程为． （2），即，则直线的斜率是正数， 设：，直线的斜率为（）， 设，，由 化简得，所以，． 由题意知， 代入，，消，可得，， 解得，所以直线的斜率是． 【变式3-2】（2025·江苏扬州·三模）已知和，直线与椭圆切于点. (1)求的离心率； (2)若过的直线交于另一点，且的面积为，求的方程. 【解析】（1）由已知点在椭圆上，则， 又，，可知，即， 又直线与椭圆相切， 联立直线与椭圆，得， 即， 化简可得， 联立，解得， 则，即，，， 所以离心率； （2）由（1）得椭圆方程为， 设，由已知，且， 则点到直线的距离， 又的面积， 化简可得， 又点在椭圆上，则， 联立方程，解得，则， 所以，即直线. 【变式3-3】已知椭圆的离心率为，点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)已知为坐标原点，过点的直线与交于不同的两点M，N，G为线段的中点，且，求的方程. 【解析】（1）根据题意可知 解得，，， 故椭圆的方程为. （2）易知直线的斜率必存在，设直线的方程为，，， 由得， 由，得， 则，. 因为，所以为直角，故，即， 因为， 所以 . 解得，即. 故的方程为. 题型四：直线与双曲线的位置关系 【例4】过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于两点，若，则这样的直线有（    ）条． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】由，可得1 当直线l的斜率不存在时，，此时有1条直线符合要求； 当直线l的斜率存在时，若两点都在右支上，因，不符合要求； 若在左、右两支上时，因，根据双曲线的对称性知，有2条直线符合要求. 故这样的直线共有3条． 故选：D. 【变式4-1】（2025·高二·甘肃酒泉·期末）已知双曲线，则下列说法不正确的是（   ） A．双曲线的焦点坐标为， B．双曲线与有相同的渐近线 C．双曲线的焦点到一条渐近线的距离为3 D．直线与双曲线有两个交点 【答案】D 【解析】依题意，双曲线方程为， 所以， A选项，双曲线焦点为，A正确. B选项，双曲线C与的渐近线方程均为，则它们有相同的渐近线，B正确. C选项，双曲线的一条渐近线为， 焦点到渐近线的距离为，C正确. D选项，由于双曲线的渐近线为，直线与渐近线平行，与双曲线只有一个交点，D错误. 故选：D 【变式4-2】直线与双曲线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】方法一：联立直线与双曲线的方程， ，得，方程组无解，说明直线与双曲线没有交点. 方法二：由，得，所以双曲线的渐近线方程为， 因为直线是双曲线的一条渐近线，因此交点个数为0. 故选：A 【变式4-3】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）双曲线与直线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 【答案】C 【解析】因为双曲线的渐近线方程为， 所以，当时，直线与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点； 当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线有一个交点. 故选：C 题型五：双曲线的弦长问题 【例5】已知双曲线：，点的坐标为 ．设直线 过点，斜率为，它与双曲线交于、两点，求线段的长． 【解析】直线的方程为． 由方程组， 得． 设， 则， ． 【变式5-1】已知双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值. 【解析】（1）∵双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为， 到直线的距离为， ∴，解得，，所求双曲线C的方程为. （2）联立，得， ∵直线被双曲线C截得的弦长为， ∴，设直线与双曲线交于，， 则，，则. 【变式5-2】（2025·高二·四川达州·期末）已知中心在坐标原点的双曲线的右焦点坐标，且离心率. (1)求双曲线的标准方程和渐近线方程； (2)过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，求. 【解析】（1）由题意可得，可得，且焦点在轴上， 所以， 所以双曲线的方程为：；渐近线的方程为：； （2）过双曲线右焦点且倾斜角为的直线方程为：， 联立双曲线方程可得：， 所以， 则. 【变式5-3】（2025·高二·天津和平·期中）已知双曲线C：的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线与双曲线C的右支交于M，N两点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为，求弦长. 【解析】（1）因为双曲线的焦距为，所以，即， 又，所以，解得， 则双曲线的方程为. （2）由题意，直线的方程为， 联立，消去y并整理得， 设，，此时， 由韦达定理得，， 所以. 题型六：双曲线的综合问题 【例6】（2025·江西景德镇·模拟预测）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程. (2)直线与双曲线交于点M，N，其中点M在第二象限. ①求； ②已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，设直线，的斜率分别为，，求. 【解析】（1）因为点在双曲线上，所以. 离心率为，，解得，. 故双曲线的标准方程为. （2）①设，. 联立得， 则，. 故. ②. 由题意得点M，N都在双曲线C的左支上，且点M在第二象限，所以， 则. 故. 【变式6-1】（2025·河北石家庄·三模）已知双曲线，左、右焦点分别为、，两条渐近线为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)设过原点的直线与交于、两点且点在第一象限， （i）若以为直径的圆恰好过右焦点，求点的坐标． （ⅱ）连接与双曲线交于点，若面积为，求直线的方程． 【解析】（1）由双曲线的两条渐近线方程为，得，即， 又因为双曲线经过点，得，解得，， 所以双曲线的方程为. （2）（i）由题意知，点在以原点为圆心，以为半径的圆上， 设点，则， 又因为点在双曲线上，联立，可得， 又因为点在第一象限，所以； （ii）设直线的方程为，设点、， 联立可得， 由题意可得， 由双曲线的对称性可知， ，解得或（舍去）， 因为，所以，满足题意， 由图可知，所以，直线的方程为. 【变式6-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的离心率为分别是双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线交于两点，当直线垂直于轴时，. (1)求双曲线的标准方程； (2)若的面积为，求直线的方程. 【解析】（1）由题意可得 解得， 故双曲线的标准方程为. （2）由题意可知直线的斜率不为0，则设直线. 联立整理得， 则， . 因为的面积为， 所以，即， 整理得，即，即， 解得，所以， 故直线的方程为或 【变式6-3】已知双曲线，以坐标原点为中心将逆时针旋转可得到曲线，且点在上． (1)求点在曲线上对应的点的坐标； (2)已知为上两点，为线段的中点． ①若关于轴的对称点为，点为的中点，直线与直线交于点．证明：存在常数，使得； ②若直线的倾斜角为，且到直线的距离与之比为，求直线与的夹角． 【解析】（1）由，得，直线的斜率， 所以直线与轴正半轴的夹角为， 以为中心将点逆时针旋转后得到点， 则直线与轴正半轴的夹角为，且， 所以， 因为， ．， 故． （2）①记双曲线的右顶点为，该点逆时针旋转后坐标为，且在曲线上，所以，则． 又点在上，所以，则，则双曲线的方程为， 如图，设，则，直线的斜率为，直线的斜率为，因为点在上，所以，两式作差得， 则，所以， 则为直角三角形，为直角， 因为点为的中点，所以， 故存在，使得． ②因为直线的倾斜角为，所以绕坐标原点逆时针旋转后直线的倾斜角为，且， 记为线段的中点，则直线与的夹角等于直线与的夹角， 设直线：， 旋转后坐标原点到直线的距离， 联立消去得， 所以， 所以， ， 因为，所以， 即， 整理得，所以， 即， 根据对称性得和情况一致，故只讨论的情况． 当时，直线方程为， 则， 所以，则点， 则直线的斜率为，倾斜角为， 且直线的倾斜角为， 所以直线与的夹角为， 即直线与的夹角为． 题型七：直线与抛物线的位置关系 【例7】已知抛物线的焦点为，过点且与抛物线有唯一公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解析】由抛物线的方程为知． 当过点的直线斜率不存在，即直线与轴重合时，满足直线与地物线有唯一公共点． 当过点的直线斜率为0时，直线方程为，满足直线与抛物线有唯一公共点． 当过点的直线斜率存在且不为0时，设直线方程为， 由得关于的方程， 令，解得，此时满足条件的直线有1条． 综上，过点与抛物线有唯一公共点的直线有3条， 故选：C． 【变式7-1】过点且与抛物线恰有一个公共点的直线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】当直线过点，且与轴平行时，此时直线与抛物线只有1个公共点； 当直线过点，且与轴垂直时，此时直线与抛物线有2个公共点； 当直线过点，斜率存在且不为0时，设直线，代入抛物线，得：， 因为. 由，因为，所以方程有两根， 故过点可以作两条直线与抛物线相切. 综上，过点共有3条直线，与抛物线只有1个公共点. 故选：D 【变式7-2】（2025·江苏宿迁·三模）已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条， 则当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线为； 当直线的斜率存在时，设直线为， 则，消去整理得， 即有两个不同的解， 所以即，解得或， 所以 “”是“过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条”的充分条件. 故选：A. 【变式7-3】过点与抛物线只有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．0条 【答案】C 【解析】当直线斜率存在时， 设直线的斜率等于，则当 时，直线的方程为， 满足直线与抛物线仅有一个公共点， 当时，设直线的方程为， 代入抛物线的方程可得：， 有，解得，故切线方程为， 当斜率不存在时，直线方程为，该直线也与抛物线相切， 故满足条件的直线方程有三条. 故选：C． 题型八：抛物线的弦长问题 【例8】（2025·河南·二模）设抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点. (1)求的准线方程； (2)设为准线上一点，且，求. 【解析】（1）因为抛物线的方程为，所以抛物线的准线方程为 （2）因为在的准线上，所以，即， 易得的坐标为，此时， 因为，所以，解得， 所以的方程为，设，， 联立消去并整理得，由韦达定理得， 所以 【变式8-1】（2025·高二·湖南·期中）已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且的右顶点为． (1)求的方程； (2)设过点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 【解析】（1）因为，所以的右焦点坐标为， 所以，即， 所以的方程为． （2）依题意可得直线的方程为． 由得． 设，则， 则． 【变式8-2】（2025·高二·上海杨浦·期中）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 【解析】（1）根据抛物线的定义可知， ，即，解得， 所以抛物线的方程为. （2） 由（1）知，抛物线焦点为, 若直线l的斜率不存在，则, 则，不满足题意， 所以直线的斜率存在且不为零，并设为，则， 设， 联立，消去可得，， 所以， 因为， 解得， 所以直线的方程为. 【变式8-3】（2025·高三·河南·开学考试）已知抛物线，点，直线，记A关于l的对称点为B，且B在抛物线W上. (1)求直线l与直线AB的交点坐标； (2)求抛物线W的标准方程； (3)求直线AB被抛物线W截得的弦长. 【解析】（1）因为A关于l的对称点为B，所以直线AB与l垂直. 因为l的斜率为所以直线AB的斜率为 故直线AB的方程为 联立，解得 故两直线的交点坐标为 （2）易知点是线段AB的中点， 设所以，解得 将B的坐标代入抛物线W的方程，得，解得 故抛物线W的标准方程为 （3）由（1）得， 由（2）得， 联立，得 设直线AB与抛物线W的另一个交点为， 因为，所以，解得， 故 所以 故直线AB被抛物线W截得的弦长为 题型九：抛物线的综合问题 【例9】（2025·四川泸州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，以为圆心的圆与相切，与相交于两点（在轴的上方），且. (1)求的方程； (2)设过且不与坐标轴垂直的直线与交于两点，过线段的中点的直线与轴交于点，且点在点的右侧，，证明：. 【解析】（1）以为圆心且与相切的圆的方程为， 将代入并整理，得，即. 考虑到，解得，代入，解得， 所以点的坐标分别为，所以，解得. 故的方程为. （2）证明：设直线， 由得， 显然判别式. 设，则， 所以，即. 由抛物线的定义，得. 由及在的右侧，得，解得， 即. 所以，从而， 故. 【变式9-1】（2025·河南·模拟预测）过点且斜率存在的直线交抛物线于不同的两点，且. (1)求； (2)已知的半径为2，证明：对于抛物线上的动点，且，总存在抛物线上的另外两点，使为的内切圆. 【解析】（1）设直线， 代入，得， 整理可得， ，解得. （2） 由（1）知，，设点，， 则， 直线的方程：， 将代入上式，化简得， 故点到直线的距离为， 化简得， 同理， 故是方程0的两个根， 易知， 而同理可得的方程为， 到直线的距离为. 故对于上的点，总存在另外两点，使为的内切圆. 【变式9-2】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于两个动点（可以重合） (1)求点的轨迹的方程； (2)过点的两条直线相互垂直，直线与交于两点，直线与交于两点，线段的中点分别为. ①求四边形面积的最小值； ②判断直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 【解析】（1）根据题意，圆心坐标为． 又因为该圆经过点和，所以， 化简得，所以点的轨迹的方程为． （2）①因为直线的斜率一定存在且不为0， 故设，． 联立方程消x得， 则． 所以 ， 同理， 所以， 当且仅当时，四边形的面积最小，最小值为32． ②易知当直线斜率不存在时，直线关于x轴对称， 此时①中，得直线； 当直线PQ斜率存在时，设直线， 联立方程，得， 又，得， 同理可得， 所以，是方程的两根， 所以，即，则，所以直线过定点． 综上，直线过定点． 【变式9-3】（2025·江西·模拟预测）已知A为抛物线的焦点，B为T的准线与x轴的交点，C在y轴正半轴上，直线AD交T于M，N两点，D在线段AM上，且四边形ABCD为菱形． (1)求（用p表示）； (2)证明：D为线段AM的中点． 【解析】（1） 由题可知，， 所以菱形ABCD的边长为p，因为C在y轴正半轴上，所以， 故，所以． （2）证明：易得直线AD的方程为， 与T的方程联立得， 整理得，解得， 由题知点M在x轴上方，所以， 因为，所以D为线段AM的中点． 题型十：定点问题 【例10】（2025·高二·上海·期中）已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． (1)求抛物线Γ的方程； (2)若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； (3)设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 【解析】（1）抛物线的焦点为， 则，即，所以抛物线为； （2）直线的方程为，联立抛物线Γ和直线l的方程：， 得．，设， 由韦达定理得， 故. （3）由题意可知所在直线斜率不为0，所在直线方程． 联立抛物线Γ和直线的方程：，化简可得：， 则．由韦达定理可得， 又由已知，则． 此时直线恒过点． 【变式10-1】（2025·高二·福建厦门·期末）已知点，点M与N关于原点对称，直线AM，AN的斜率之积是，记动点M的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线l与交于P，Q两点，且． （ⅰ）当l与y轴垂直时，求的面积； （ⅱ）证明：l过定点． 【解析】（1）（1）设，， 则直线AM，AN的斜率分别为，，且， 依题意有， 所以，所以的方程为． （2）（2）（ⅰ）因为l与y轴垂直，所以P，Q关于y轴对称，因为，所以， 又，不妨设P在Q的左侧，则直线AP的倾斜角为，所以直线AP方程为， 联立的方程，消去y化简得，，解得（舍去）， 所以，所以， 所以，所以的面积为． （ⅱ）设，，由题意，l斜率存在， 设l：，联立的方程， 消去y化简得，， ， ，， 由题意得，所以 所以，即，解得或， 时，l：点A，不符合题意， 所以，此时，所以l过定点． 【变式10-2】（2025·高二·山东临沂·期末）已知抛物线：（），是的焦点，为上的一动点，且的最小值为1. (1)求的方程； (2)直线（不过坐标原点）交于、两点，且满足，证明过定点，并求出该定点的坐标. 【解析】（1）因为的最小值为1，故，即，所以抛物线方程为 （2）显然直线的斜率存在，设方程为，则, 即，设，由韦达定理得，则， 因为，所以，解得（舍），，故的方程为：，故恒过点. 【变式10-3】如图所示，已知椭圆，记椭圆E的右顶点和上顶点分别为A，B，点P在线段AB上运动，垂直于x轴的直线PQ交椭圆E于点M（点M在第一象限），P为线段QM的中点，设直线AQ与椭圆E的另一个交点为N，证明：直线MN过定点． 【解析】解法一（平移齐次化法） 由中线斜率推论得，即． 将点平移到原点，可得椭圆方程． 整理得①．设平移后的直线②． 联立式①②，并整理得． 构造得． 从而，即，故过点． 平移回去后得定点，于是直线MN过定点． 解法二（三点共线构造等式） 由题意得，，则直线的方程为． 设点，，因为轴，所以． 因为P为线段QM的中点，所以． 又因为A，Q，N三点共线，所以，即． 设直线，代入，整理得． 由韦达定理得，，于是 从而，故直线MN的方程为，即直线MN过定点． 题型十一：定值问题 【例11】（2025·陕西·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与轴交于点，与交于，两点，证明：为定值． 【解析】（1）由题意得 ，得，                           故的方程为； （2）设，则直线l的方程为， 与联立，得， 则，且，          所以 ， 故为定值． 【变式11-1】（2025·高二·福建莆田·期末）已知椭圆过点和．过作直线l与椭圆交于C、D两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线的斜率分别为，证明是定值； 【解析】（1）因为椭圆过点和， 代入椭圆表达式可得； 所以椭圆的标准方程为. （2）证明：设， 直线的斜率一定存在，设为， 如下图所示： 联立，消去得到， 易知，可得； 且， ， 故是定值. 【变式11-2】已知椭圆E：的左右焦点分别为，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为的正方形．A为圆上一点（不在x轴上），B为椭圆E上一点，且满足轴，直线l与圆O切于点A，过作l的垂线，垂足为M． (1)求椭圆E的方程及圆O的方程； (2)求证：为定值． 【解析】（1）已知以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为的正方形，设椭圆的焦距为， 则：，且， 所以，则椭圆的方程为：， 圆的方程为：． （2）证明：由椭圆方程得， 因为轴，所以设的坐标为，的坐标为，不妨取， 因为直线与圆切于点，切线的方程为：， 因为，所以， 由得，， 又，所以， 因为，所以， 所以． 【变式11-3】（2025·高二·甘肃·期末）已知椭圆的离心率为，上的点到其一个焦点的距离的最大值为3． (1)求的标准方程； (2)设，为的左、右顶点，（异于左、右顶点）为上一动点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 【解析】（1）根据题意得，解得， 的标准方程为； （2）证明：由（1）得，，设点， 则，， ，， ， 为定值． 题型十二：面积问题 【例12】（2025·高二·辽宁大连·期末）已知抛物线：，过点倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点. (1)若，求的值； (2)若，求面积的取值范围. 【解析】（1）设，， 当时，直线为，则直线的方程为， 由，得， 则， 所以. （2）设直线的方程为， 由，得， 因为，，， 所以. 又因为， 所以的面积， 因为，所以， 所以， 即的面积的取值范围是. 【变式12-1】（2025·高二·四川内江·期末）设抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A、B两点. (1)求F的坐标和抛物线C的准线方程； (2)设在抛物线C的准线上，若，求的面积. 【解析】（1）因为抛物线C的方程为， 所以抛物线C焦点F的坐标为，准线方程为； （2） 因为在抛物线C的准线上，所以，即， 此时，因为，所以，解得， 所以直线l的方程为， 设，， 联立，消去y并整理得， 由韦达定理得， 所以， 因为 则 【变式12-2】在直角坐标系中，，分别是，轴上一点，且．动点满足，点的轨迹为． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于，两点，求面积的最大值． 【解析】（1）由题意， ，分别是，轴上一点，且． 动点满足， 设，，， ∴，，， 即 ∴，解得：， ∴曲线的方程为：． （2）由题意及（1）得， 在中， 过点的直线与曲线交于，两点， 易知直线的斜率存在，设其方程为，即，设，， 由消去得， 由，得， ，． 设点到直线距离为，的面积为， ，解得： 设，则， ， 当且仅当时取等号， ∴面积的最大值为1． 【变式12-3】（2025·河南信阳·模拟预测）已知椭圆过点，焦距为2. (1)求的方程； (2)若，过作两条相互垂直的直线，与曲线分别交于A，B，C，D四点，设线段，与的中点分别为M，N. （i）证明：直线过定点； （ii）求四边形面积的取值范围. 【解析】（1）由题意知椭圆过点，则， 因为，所以，联立方程组，解得，则， 所以椭圆的方程为. （2） （i）当两条直线的斜率都存在时，不妨设：，， 设，，，， 联立直线与椭圆的方程，得，消去整理得， 易知，根据韦达定理可知，， ，， 即.同理， 所以， 所以， 令，得，此时直线恒过. 当两条直线中有一条直线的斜率不存在时，易知，仍经过， 所以直线过定点. （ii）当两条直线中有一条直线的斜率不存在时，易知， 当两条直线的斜率都存在时，不妨设；， 由（i）得：. 同理， 则， 因为， 根据基本不等式，当且仅当时等号成立， 所以，， 综上，四边形面积的取值范围为. 题型十三：向量问题 【例13】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）设，分别是直线和上的动点，且，动点为线段的中点． (1)求动点的轨迹方程； (2)已知线段是圆的一条直径，求的最大值． 【解析】（1），分别是直线和上的动点， 设，，， 点为线段的中点，则，， 又， ，即， 动点的轨迹方程为. （2）线段是圆的一条直径，圆心为，半径为， ， ， ，当时，取得最大值． 【变式13-1】（2025·高二·贵州黔西·期中）已知中心为坐标原点O，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为，且椭圆M过点． (1)求椭圆M的方程； (2)若过点的直线l与椭圆M交于A，B两点，，求直线l的方程． 【解析】（1）设椭圆M的方程为半焦距为c， 由题意知，解得，， 故椭圆M的方程为． （2）设，， ∵，∴，． 又，∴，． ∴，． 又， ∴． 又， ∴，，解得． 当时，；当时，． ∴直线l的方程为． 【变式13-2】（2025·广东珠海·模拟预测）已知点，以线段为直径的圆内切于圆． (1)求点的轨迹的方程； (2)当过点的动直线与轨迹相交于两点（可以相同）时，，．求动点的轨迹长度． 【解析】（1）取，记线段的中点为，连接， 由于线段的中点为，则，， 设圆的半径为，圆与圆内切于，连接， 则三点共线，且， 于是， 又， 根据椭圆的定义可得点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 则轨迹的方程为． （2）当直线的斜率不存在时，点重合， 则由，可得，，，则点三点重合， 此时点； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 设，，， 由，得， 则， ，得， 由，，得，，， 故， 化简得， 所以，得， 又因为动点在直线上， 所以，化简得， 经检验符合上式， 所以动点的轨迹为线段， 线段端点为，所以动点的轨迹长度． 【变式13-3】（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知点在圆上，作垂直于轴，垂足为，点为中点． (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与轴交于点，与交于、两个相异点，且，求的取值范围． 【解析】（1）由题意，设点、，则， 因为点为线段的中点，则，即， 因为点在圆上，所以，即， 因此，点的轨迹的方程为. （2）由已知可得，设点、， 联立得， 由已知可得，得， 由韦达定理可得，， 因为，即，则，即， 所以，所以，即， 当时，不成立， 所以，代入得， 解得，因此，的取值范围是. 1．直线与曲线（0）的公共点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】取，原方程变为，两个椭圆与直线有4个公共点， 故选：D 2．（2025·高二·湖北咸宁·期末）曲线与直线的公共点的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，曲线的方程为，表示椭圆的上半部分含与轴的交点，此时曲线与的交点为(0,3),(4,0), 当时，曲线的方程为，表示双曲线在轴下方的部分， 其一条渐近线方程为：，故直线与无交点， 曲线与直线的公共点的个数为. 故选：B 3．（2025·高三·安徽合肥·期末）已知抛物线：与抛物线：，则（    ） A．过与焦点的直线方程为 B．与只有1个公共点 C．与x轴平行的直线与及最多有3个交点 D．不存在直线与和都相切 【答案】C 【解析】由题意可知的焦点为，的焦点为， 过与焦点的直线方程为，即，A错误； 由，解得或， 所以与有，2个公共点，B错误； 由抛物线：知，开口向右，对称轴为轴， 所以与x轴平行的直线与有1个交点， 由抛物线：知，开口向上，对称轴为轴， 所以与最多有2个交点，C正确； 与关于直线对称，若存在直线与和都相切，则该切线也关于直线对称，不妨设为，与联立得，由得， 所以直线与和都相切，D错误． 故选：C． 4．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆的短轴顶点为，短轴长是4，离心率是，直线与椭圆C交于P，Q两点. (1)求椭圆C的方程； (2)求弦的长度. 【解析】（1）短轴长，离心率是，∴椭圆C的方程为. （2）联立， 故， 设，则， 所以. 所以弦的长度为. 5．（2025·上海浦东新·模拟预测）已知椭圆的上焦点为，左顶点为，是抛物线上一点，直线与抛物线相切于点． (1)若椭圆的离心率为，求椭圆的方程； (2)设，直线与椭圆相交于两点，且线段中点的横坐标相等，求的最小值； (3)设，抛物线的准线与椭圆相交于轴右侧的点；若同时也是椭圆在点处的切线，求的所有可能值． 【解析】（1）因为椭圆的上焦点为，所以， 由题意，，解得，故的方程为； （2）当时，．故椭圆的方程为． 求导得函数图象在点处的切线方程为，即直线的方程为． 联立直线与椭圆的方程得． 从而线段的中点（若存在）横坐标为． 由题意，．故． 经检验，此时，方程（＊）有两个相异实根．故为所求最小值． （3）由题意可得，抛物线的方程可以看成向上或向下平移个单位长度（向上平移，否则向下平移）， 所以抛物线的准线为，即的纵坐标为．由（2）得直线的方程为． 故．代入椭圆的方程，得． 又因为直线与椭圆相切，联立二者方程并令判别式为0，解得． 代入，得，故， 解得或0．因，故不合要求．从而，相应地， 综上，的所有可能值为2. 6．已知双曲线的离心率，实轴长. (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于，两点，求； 【解析】（1）由题设，又， 所以，则. （2）由右焦点为，则， 联立双曲线方程，得，整理得， 显然，则，， 所以. 7．（2025·河北张家口·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，为个焦点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若倾斜角为的直线经过与的右支交于不同的两点，，的面积为（为坐标原点），，求的值. 【解析】（1）由可得，即， 又，即，且， 联立可得， 所以双曲线的标准方程为. （2）由题意可得当时，，显然不合题意，所以， 设直线方程为，， 联立，消去可得， 因为直线经过与的右支交于不同的两点，， 所以， ， ， 即 两边取平方后化简可得， 进一步化简可得， 因为直线经过与的右支交于不同的两点，所以， 解得， 又， 原点到直线的距离， 所以. 8．（2025·高二·新疆博尔塔拉·期末）已知抛物线的焦点坐标为． (1)求抛物线C的方程； (2)若斜率为1且过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，求． 【解析】（1）由题设，则抛物线方程为； （2）由题设，直线，联立抛物线得， 所以，，则. 9．（2025·上海宝山·三模）如图，是抛物线上一点，过点的直线与轴分别交于两点，且是线段的中点，是抛物线上异于点的动点. (1)证明：直线是抛物线的切线； (2)已知，且的重心是的焦点，求所在的直线方程； (3)若分别在线段上，且交于点，求证：点是的重心. 【解析】（1）设，因为是线段的中点，所以. 则，所以直线的方程为， 即. 联立，整理得，所以， 因此，直线是抛物线的切线. （2）设中点为， 由已知得， 解得，从而 若直线斜率不存在，则，与重心矛盾，故斜率存在； 设 联立得：， 因为，所以 所以所在直线方程是 （3）因为三点共线，所以. 又因为，设，则， 所以， 所以， 因为是线段的中点，所以，即，所以， 所以是的重心. 10．已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点． (1)求抛物线的方程； (2)当点为直线上的定点时，求直线的方程. 【解析】（1）依题意，设拋物线的方程为，由, 结合，解得，所以拋物线的方程为. （2）拋物线的方程为， 切线均过点， 所以直线的方程为. 11．（2025·高二·云南昆明·期中）已知抛物线的焦点为． (1)求的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 【解析】（1）抛物线的焦点为，依题意，解得， 所以抛物线． （2）由题意，直线斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立抛物线有，消去得，则， ∴，，又，， ∴ ，为定值. 12．（2025·高二·江苏南京·期中）已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若O为坐标原点，椭圆C的右顶点为A，点E的坐标为，过点F的直线l与椭圆C交第一象限于点M，与线段AE交于点P． （i）若的面积是1，求直线l的斜率； （ii）若的面积与的面积之比为，求直线l的斜率． 【解析】（1）依题意，椭圆的半焦距，由离心率为，得， 所以椭圆方程为. （2）（i）由点，得线段AE的方程为，设， 由的面积是1，得，而， 解得，，即点，又点. 所以直线l的斜率. （ii）依题意，直线l的斜率存在且为正，设直线l的，点， 由的面积与的面积之比为， 得，而，则， 又点均在第一象限，因此， 由，解得，即， 则，，而， 因此，整理得，解得， 所以直线l的斜率为. 13．已知双曲线的离心率是，焦距为6． (1)求的方程； (2)若直线与相交于两点，且（为坐标原点），求的方程． 【解析】（1）因为双曲线的离心率是，焦距为6， 所以，，其中，解得，，所以． 因此，的方程为． （2）设，， 联立方程消去，得， 因为直线与相交于两点， 所以即且， 由韦达定理，得，， 又，， 所以， 即，所以， 将韦达定理代入上式，得，即， 解得，满足且， 因此，的方程为或． 14．（2025·高二·云南昆明·期中）已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2． (1)求双曲线C的方程； (2)O为坐标原点，过点且斜率不为0的直线l交双曲线C于P，Q两点（点P在第一象限，点Q在第二象限），直线OQ交双曲线C于点，求． 【解析】（1）由双曲线的左、右顶点 分别为可知， 又由离心率为2，即，可得， 又在双曲线中，可得， 所以双曲线C的方程为. （2） 因为直线过点且斜率不为0， 且直线l交双曲线C于P，Q两点（点P在第一象限，点Q在第二象限）， 所以设直线的方程为（其中为直线斜率的倒数）， （由双曲线C的方程为可知其渐近线方程为， 所以直线的斜率，解得）. 设，因为直线OQ交双曲线C于点，所以， 所以， ， 联立，可得， 所以由韦达定理可得， 所以 ， 所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$