第10讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（4个知识点11大题型）-2025 年新高二数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（人教A版2019）

第10讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2、直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离． 知识点诠释： （1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得． （2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理． （3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决． 知识点二：圆的切线方程的求法 1、点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 知识点诠释： 因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是 ． 知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法 1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 知识点四：圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2、圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离． （2）几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含． 知识点诠释： 判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法． 3、两圆公共弦长的求法有两种： 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4、两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 题型一：不含参数的直线与圆的位置关系 【典例1-1】（2025·高二·浙江·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【典例1-2】直线l：与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【变式1-1】（2025·高二·辽宁·期末）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与有关 【变式1-2】直线与圆的位置关系是（ ） A．相交且过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 题型二：含参数的直线与圆的位置关系 【典例2-1】（2025·高二·湖南娄底·期中）已知直线和圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【典例2-2】已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．与有关，不能确定 【变式2-1】（2025·陕西·三模）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与有关，不能确定 【变式2-2】（2025·高二·浙江绍兴·期末）已知直线，圆则直线与圆位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 题型三：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标 【典例3-1】（2025·高二·江苏淮安·期末）设m，n为实数，若点是圆上的任意一点，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【典例3-2】（2025·高二·贵州黔西·期中）若直线与圆相切，则b的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·高二·云南曲靖·期中）已知曲线：和直线：有且仅有一个公共点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．不存在 【变式3-2】（2025·北京通州·一模）若点关于直线的对称点在圆上，则k、b的一组取值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-3】（2025·高二·北京·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2025·高二·江苏徐州·期中）直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型四：切线与切线长问题 【典例4-1】（2025·甘肃平凉·模拟预测）过点与圆：相切的直线方程为 . 【典例4-2】过点作圆的切线，则直线的方程为 . 【变式4-1】（2025·高二·广东茂名·期末）过点作圆的切线，则直线的方程为 .（写出一条方程即可） 【变式4-2】已知直线与垂直，则 ；过上一动点向圆作切线，切点为，则 . 【变式4-3】（2025·高二·福建莆田·期中）已知圆C的圆心，且与直线相切于点，则圆C方程为 . 题型五：弦长问题 【典例5-1】（2025·高二·福建福州·期中）已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是 . 【典例5-2】（2025·高二·宁夏吴忠·期中）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 【变式5-1】（2025·高二·河北唐山·期中）已知的两条弦互相垂直，且交于点，则的最大值为 ． 【变式5-2】已知直线与圆相交于，两点，则的取值范围是 ． 【变式5-3】已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 ． 【变式5-4】过圆O：外一点引直线l与圆O相交于A，B两点，当的面积取得最大值时，直线l的斜率为，则 ． 【变式5-5】（2025·高二·湖北·期中）直线与圆交于、两点，则的面积是 ． 题型六：判断圆与圆的位置关系 【典例6-1】已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【典例6-2】（2025·高二·上海·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【变式6-1】（2025·高二·上海·期中）圆与圆的位置关系不可能为（ ） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 【变式6-2】（2025·高二·北京密云·期末）已知圆和圆，则它们的位置关系是（    ） A．外离 B．相切 C．内含 D．相交 【变式6-3】（2025·高二·上海浦东新·期中）圆和与圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 题型七：由圆的位置关系确定参数 【典例7-1】（2025·高二·内蒙古呼和浩特·期中）在平面直角坐标系xOy中，若圆：上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在圆：上，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·高二·江苏苏州·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·高二·广西南宁·开学考试）已知圆，圆，若两圆的公切线恰有四条，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型八：公共弦与切点弦问题 【典例8-1】（2025·广东东莞·模拟预测）圆与圆的公共弦长为 . 【典例8-2】（2025·高二·上海徐汇·期中）两圆和的公共弦长为 ． 【变式8-1】已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为 ． 【变式8-2】已知圆，点A是直线上的一个动点，过点A作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为 ；直线过定点 . 【变式8-3】已知圆，点P是直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为 ． 【变式8-4】已知圆：，则过点作的圆的切线，切点分别为A､B，则直线AB方程为 题型九：公切线问题 【典例9-1】（2025·高二·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程 . 【典例9-2】已知圆，圆，则的公切线方程为 ．（写出一条即可） 【变式9-1】（2025·高二·福建南平·期中）写出与圆和圆都相切的一条切线方程 . 【变式9-2】（2025·高二·江苏苏州·期中）圆与圆C关于直线对称，写出两圆的一条公切线： . 【变式9-3】（2025·高二·广西南宁·期中）已知圆，圆，则两圆公切线的方程为 . 题型十：圆中范围与最值问题 【典例10-1】（多选题）（2025·高二·山西·期末）已知圆：与直线：，点在圆上，点在直线上，则（   ） A．直线与圆相离 B．过点的直线被圆截得的弦长的最小值为 C． D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 【典例10-2】（多选题）（2025·高二·湖南岳阳·期末）已知圆，点是上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．圆关于直线对称 B．直线与圆相交所得弦长为 C．若，则距离的最大值为 D．的最小值为 【变式10-1】（多选题）已知点在圆上，点，则下列说法正确的是（     ） A．直线与圆相离 B．当最大时， C．点到直线的距离最大值为 D．点到直线的距离最小值为 【变式10-2】（多选题）（2025·高二·山西太原·期中）已知点是圆上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【变式10-3】（多选题）若曲线是由方程和共同构成，则下列结论不正确的是（ ） A．曲线围成的图形面积为 B．若点在曲线上，则的取值区间是 C．若与直线有公共点，则 D．若圆能覆盖曲线，则的最小值为2 【变式10-4】（多选题）（2025·福建宁德·二模）已知圆和两点，．若圆上存在点，使得，则实数的取值可以为（    ） A． B．4 C． D．6 题型十一：圆系问题 【典例11-1】若圆与圆相交，我们把经过圆和圆交点的圆称为圆、圆的圆系方程，其方程可设为．根据以上信息，解决如下问题：已知圆与交于两点，则以为直径的圆的一般方程为 ． 【典例11-2】已知圆系方程（，m为参数），这些圆的公切线方程为 . 【变式11-1】设直线系：，对于下列三个命题： ①中所有直线均与一个定圆相切； ②中所有直线均经过一个定点； ③存在点不在中的任一条直线上． 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号） 【变式11-2】（2025·上海·模拟预测）设直线系，对于下列四个命题： ①M中所有直线均经过一个定点； ②存在定点P不在M中的任一条直线上； ③对于任意整数，存在正n边形，使其所有边均在M中的直线上； ④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等． 其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号） 【变式11-3】圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ． 【变式11-4】已知圆，圆，则过圆与圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为 . 1．（2025·甘肃白银·三模）过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是（   ） A．12 B．9 C． D． 2．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知直线与圆交于A，B两点，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）射影几何认为：所有无穷远点都位于唯一的一条无穷远直线上；任何两条平行直线都在无穷远处相交.莱莫恩（Lemoine）定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线分别和边相交于点，则三点在同一直线上.这条直线称为该三角形的莱莫恩（Lemoine）线.在平面直角坐标系中若三角形三个顶点的坐标为，，则该三角形的莱莫恩（Lemoine）线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·北京海淀·三模）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与有关，不能确定 5．（2025·云南·模拟预测）已知直线与圆相交于A、B两点，若，则（    ） A．1 B． C． D． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）直线与圆相交于，两点，当面积最大时，（   ） A．0 B． C． D． 7．（2025·四川成都·模拟预测）过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 8．若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·河南新乡·模拟预测）已知圆和直线，则圆心到直线l的距离为（   ） A． B． C．2 D．3 10．直线被圆截得的最短的弦长为（    ） A． B． C．4 D． 11．（2025·山东烟台·三模）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（    ）． A．5 B． C． D．10 12．（多选题）（2025·江苏徐州·模拟预测）已知圆，P为圆O上的动点，则（    ） A．圆心O关于直线AB的对称点为 B．动点P到直线AB的距离最大值为 C．以AB为直径的圆与圆O有2条公切线 D．分别过A，B两点所作的圆O的切线长相等 13．（多选题）（2025·湖南·模拟预测）已知直线和圆，不过原点O的直线m过点，且与圆O交于P，Q两点，过点O作直线m的垂线交l于点M，则（） A．与圆O没有公共点 B．点O到直线m距离的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 14．（多选题）已知圆，直线，则（   ） A．直线经过定点 B．直线与圆相交 C．圆心到直线距离为时，直线的倾斜角为或 D．时，直线被圆截得的弦长最短 15．（2025·高三·云南·期中）已知圆 ，在圆上至少存在三个点到直线 的距离为 ，则实数 的取值范围为 . 16．（2025·上海·模拟预测）圆上的点到直线的距离最大值为 . 17．过定点的直线与曲线交于不同的两点，则直线的斜率的取值范围是 . 18．已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求. 19．已知平面直角坐标系中两定点为、，为坐标原点． (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)设．动点满足，记的轨迹为曲线．若曲线与圆：外切，求的值． 20．在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的公共点都在圆上，设是直线上的一点，过向圆引两条切线，切点为. (1)求圆的标准方程； (2)若为正三角形，求点的坐标； (3)求的取值范围. 21．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程； (3)求直线上被圆所截得的弦长. 22．（2025·高二·广东广州·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程及过点的切线方程； (2)直线与圆相交于两点，且，求实数的值． 23．已知圆O：和点 (1)过点M作圆O的切线，求切线的方程； (2)已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值？若存在，则求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由； 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2、直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离． 知识点诠释： （1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得． （2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理． （3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决． 知识点二：圆的切线方程的求法 1、点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 知识点诠释： 因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是 ． 知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法 1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 知识点四：圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2、圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离． （2）几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含． 知识点诠释： 判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法． 3、两圆公共弦长的求法有两种： 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4、两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 题型一：不含参数的直线与圆的位置关系 【典例1-1】（2025·高二·浙江·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【解析】由，即圆心，半径， 所以到的距离， 所以直线与圆相交. 故选：B 【典例1-2】直线l：与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【答案】A 【解析】圆C的圆心坐标为，半径为2，直线l的方程为， 圆心到直线l的距离为， 所以直线l与圆C的位置关系是相交. 故选：A. 【变式1-1】（2025·高二·辽宁·期末）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与有关 【答案】A 【解析】由题可得，圆心为，又点满足直线方程， 即直线经过圆心， 所以直线与圆相交. 故选：A. 【变式1-2】直线与圆的位置关系是（ ） A．相交且过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径， 因为，所以直线过圆心， 所以直线与圆相交且过圆心. 故选：A. 题型二：含参数的直线与圆的位置关系 【典例2-1】（2025·高二·湖南娄底·期中）已知直线和圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【解析】由题意，直线可化为：， 直线过定点，代入圆中， 易知该点为圆上一点，所以直线1与圆相交或相切. 故选：D. 【典例2-2】已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．与有关，不能确定 【答案】C 【解析】直线， 即， 令，解得， 即直线过点， 又， 则点在圆内， 所以直线与圆相交，有个公共点， 故选：C. 【变式2-1】（2025·陕西·三模）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与有关，不能确定 【答案】C 【解析】直线， 令，得即直线恒过定点． 由知，点A在圆内，故直线恒与圆相交， 故选:C． 【变式2-2】（2025·高二·浙江绍兴·期末）已知直线，圆则直线与圆位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【答案】B 【解析】由直线：，可知直线过定点， 由圆：，可知圆心，半径为， 则， 所以点在圆的内部，从而直线与圆相交. 故选：B . 题型三：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标 【典例3-1】（2025·高二·江苏淮安·期末）设m，n为实数，若点是圆上的任意一点，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】B 【解析】点在圆上，故， 圆心到直线的距离为，故直线与圆相切. 故选：B 【典例3-2】（2025·高二·贵州黔西·期中）若直线与圆相切，则b的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由圆，可得圆心为，半径为， 因为直线与圆相切，则满足，解得. 故选：A. 【变式3-1】（2025·高二·云南曲靖·期中）已知曲线：和直线：有且仅有一个公共点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【解析】易知，直线过定点，曲线表示圆心为，半径为2的圆， 定点在圆外.由与有且仅有一个公共点时，与圆相切， 此时圆心到直线的距离，解得， 故选：A. 【变式3-2】（2025·北京通州·一模）若点关于直线的对称点在圆上，则k、b的一组取值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】由于在圆上，圆心为， 要使关于直线的对称点在圆上， 则直线必经过圆心，故，结合选项可知：只有D符合， 故选：D 【变式3-3】（2025·高二·北京·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，曲线表示的曲线为圆心在原点， 半径为1的圆在轴以及轴上方的部分． 在同一坐标系中，作出斜率为1的直线，在直线平移的过程中可发现， 直线过时先与半圆形有2个交点，此时. 再将直线向上平移一直到最后与半圆相切，此时，且, 即， 所以满足条件的的取值范围. 故选：D. 【变式3-4】（2025·高二·江苏徐州·期中）直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】联立，即（）， 解得，即交点为. 故直线与曲线的交点个数为1. 故选：B 题型四：切线与切线长问题 【典例4-1】（2025·甘肃平凉·模拟预测）过点与圆：相切的直线方程为 . 【答案】 【解析】易知点在圆上，故所求切线与直线垂直， 又，所以所求切线斜率， 故所求切线方程为，即. 故答案为：. 【典例4-2】过点作圆的切线，则直线的方程为 . 【答案】 【解析】当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 则圆心到切线的距离，得， 切线方程为； 当直线斜率不存在时，直线方程为，则圆心到切线的距离，故直线不是切线. 故直线的方程为. 故答案为：. 【变式4-1】（2025·高二·广东茂名·期末）过点作圆的切线，则直线的方程为 .（写出一条方程即可） 【答案】或（写出一条即可） 【解析】由可知：直线一定有斜率， 故设：， 则，化简可得，故或， 当时，切线方程为，当时，切线方程为， 故切线方程为：或， 故答案为：或， 【变式4-2】已知直线与垂直，则 ；过上一动点向圆作切线，切点为，则 . 【答案】 2 4 【解析】因为直线与垂直， 所以，解得， 所以， 因为圆的圆心为，半径为， 由题意得当最小时，连线与直线垂直， 所以， 由勾股定理得， 所以的最小值为， 故答案为：；4. 【变式4-3】（2025·高二·福建莆田·期中）已知圆C的圆心，且与直线相切于点，则圆C方程为 . 【答案】 【解析】∵圆C的圆心，且与直线相切于点， ∴直线与直线垂直， ∴，即，解得， ∴圆心，圆的半径， ∴圆C方程为. 故答案为：. 题型五：弦长问题 【典例5-1】（2025·高二·福建福州·期中）已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是 . 【答案】 【解析】由直线l：，得直线l恒过定点， 由圆C：，得，圆心，半径为， 又，即点在圆内， 当直线l经过圆心时，， 当直线时，，则， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【典例5-2】（2025·高二·宁夏吴忠·期中）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 【答案】 【解析】根据圆的方程可得圆心为，半径. 圆心到直线的距离， 圆截直线的弦长公式为，解得 因为，所以. 故答案为：. 【变式5-1】（2025·高二·河北唐山·期中）已知的两条弦互相垂直，且交于点，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】由题设，圆心，半径为，则， 令圆心到弦的距离为，则到弦的距离为， 所以，，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 【变式5-2】已知直线与圆相交于，两点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由，得，可得直线恒过的定点， 由圆，得， 又，所以点在圆内， 可得圆心，半径为， 当直线经过圆心时，， 当直线时，又， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式5-3】已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 ． 【答案】或 【解析】圆的半径为2，弦长为圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，直线的方程为，满足题意； 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 由圆心到直线距离为1得，解得． 直线的方程为或． 故答案为：或 【变式5-4】过圆O：外一点引直线l与圆O相交于A，B两点，当的面积取得最大值时，直线l的斜率为，则 ． 【答案】/ 【解析】设，则，当时，的最大值为，此时根据对称性，不妨取直线l的方程为， 因为，， 所以点O到直线l的距离为，所以，解得． 故答案为： 【变式5-5】（2025·高二·湖北·期中）直线与圆交于、两点，则的面积是 ． 【答案】 【解析】先求出圆心到直线的距离，再利用圆心距、弦、半径的关系求出弦的长，然后利用三角形的面积公式可求得结果圆，到直线的距离， ∴， ∴ 故答案为： 题型六：判断圆与圆的位置关系 【典例6-1】已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B 【解析】圆关于直线对称， 圆心在直线上，，， 圆，即，圆心为，半径为． 圆的标准方程是，圆心，半径， 所以， 所以圆与圆的位置关系是相交． 故选：B. 【典例6-2】（2025·高二·上海·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【解析】由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 则，，， 由，则两圆相交. 故选：C. 【变式6-1】（2025·高二·上海·期中）圆与圆的位置关系不可能为（ ） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 【答案】C 【解析】， 故的圆心为，半径为， ， 故的圆心为，半径为， 故，当且仅当时，等号成立，而， 当时，两圆外离或相交，时，两圆内切， 故两圆不可能内含. 故选：C 【变式6-2】（2025·高二·北京密云·期末）已知圆和圆，则它们的位置关系是（    ） A．外离 B．相切 C．内含 D．相交 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆化简为标准方程为，故其圆心为，半径为， 故， 故圆与圆的位置关系为相切. 故选：B. 【变式6-3】（2025·高二·上海浦东新·期中）圆和与圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为，所以， 故圆与圆相交. 故选：B. 题型七：由圆的位置关系确定参数 【典例7-1】（2025·高二·内蒙古呼和浩特·期中）在平面直角坐标系xOy中，若圆：上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在圆：上，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点P坐标为，点Q坐标为. 因为点P和点Q关于直线对称， 所以，整理得：，即点Q坐标为. 因为点P在圆：上，点Q在圆：上， 所以，即. 则是方程组的解， 则圆和圆的位置关系是相切或者相交. 又因为圆的圆心坐标为圆，半径为； 圆的圆心坐标为圆，半径为， 所以两圆的圆心间距离为， 则由两圆的位置关系可得：，解得：. 故选：C. 【典例7-2】已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由圆与圆恰有两条公切线，得圆与圆相交， 而圆心，半径，圆心，半径，则 ， 因此，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 【变式7-1】已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心，半径为，， 又，且两圆外离， 则，即，解得， 所以，即的取值范围是. 故选：C 【变式7-2】（2025·高二·江苏苏州·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径为. 设圆， 由题意，两圆有两个公共点，即两圆相交，所以， 解得，即或. 所以实数a的取值范围是. 故选：D. 【变式7-3】（2025·高二·广西南宁·开学考试）已知圆，圆，若两圆的公切线恰有四条，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由两圆的公切线恰有四条，即两圆相离， 对于，圆心，半径， 对于，圆心，半径， 所以，则，即或. 故选：D 题型八：公共弦与切点弦问题 【典例8-1】（2025·广东东莞·模拟预测）圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【解析】法1，两圆与圆均过点，，弦长为. 法2，两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程， 圆的圆心到直线的距离， 故公共弦长为. 故答案为：. 【典例8-2】（2025·高二·上海徐汇·期中）两圆和的公共弦长为 ． 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 又，所以，即两圆相交， 两圆方程作差得到公共弦方程为， 又圆心到公共弦的距离， 所以公共弦长为. 故答案为： 【变式8-1】已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为 ． 【答案】 【解析】由题设可得的方程为：， 整理得：， 故答案为： 【变式8-2】已知圆，点A是直线上的一个动点，过点A作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为 ；直线过定点 . 【答案】 【解析】由题意过点A作圆的两条切线，切点分别为， 连接,则, 设，则, 故, 当垂直于直线时，d最小， 所以，所以； 由于点A是直线上的一个动点，设点， 线段的中点设为P，则，且， 所以以线段为直径为圆的方程为 ， 即， 将方程与作差可得， 即直线的方程为，可得， 由于,故， 因此，直线恒过定点， 故答案为：； 【变式8-3】已知圆，点P是直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】圆，即， 由于PA，PB分别切圆C于点A，B，则， ，，所以， 因为，所以， 又，所以， 所以，即， 所以最短时，最短， 点C到直线的距离即为的最小值， 所以，所以的最小值为 故答案为： 【变式8-4】已知圆：，则过点作的圆的切线，切点分别为A､B，则直线AB方程为 【答案】 【解析】， 故以为圆心，为半径的圆为， 两圆方程相减得到即为直线方程. 故答案为：. 题型九：公切线问题 【典例9-1】（2025·高二·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程 . 【答案】（或或，任写一条即可，答案不唯一） 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆心距为，故两圆外切， 两圆圆心所在直线的方程为，即，中点为， 切线垂直于直线，且经过中点，所以切线的方程为； 切线平行于直线，且到直线的距离为， 设平行于直线切线方程为， 则或， 所以切线的方程分别为. 故答案为：（或或，任写一条即可，答案不唯一）. 【典例9-2】已知圆，圆，则的公切线方程为 ．（写出一条即可） 【答案】，，（三个方程写出一个即给满分） 【解析】因为，的半径均为1，则外切，结合图像可知，的公切线方程为，，． 故答案为：，， 【变式9-1】（2025·高二·福建南平·期中）写出与圆和圆都相切的一条切线方程 . 【答案】（答案不唯一，或均可以） 【解析】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为， 圆心距为，所以两圆外切，如图，有三条切线， 易得切线的方程为， 因为，且，所以，设，即， 则到的距离，解得（舍去）或，所以， 又和关于对称，联立，解得，且在上， 在上任取一点，设其关于的对称点为， 则，解得， 则，所以直线，即， 综上，切线方程为或或． 故答案为：（答案不唯一，或均可以）． 【变式9-2】（2025·高二·江苏苏州·期中）圆与圆C关于直线对称，写出两圆的一条公切线： . 【答案】答案不唯一 【解析】设关于直线对称点的坐标为， 则，解得， 圆C的方程是，其圆心坐标为，半径为1， 两圆的圆心距， 所以两圆外离，且， 设与OC平行的公切线方程为，即， 则由O到直线的距离，可得，解得， 所以两圆的一条公切线为或， 另外，根据对称性可知，，也为两圆的公切线. 故答案为：答案不唯一 【变式9-3】（2025·高二·广西南宁·期中）已知圆，圆，则两圆公切线的方程为 . 【答案】 【解析】由，圆心为，半径为， 由，圆心为，半径为， 显然，即两圆内切，且切点为， 所以两圆公切线的方程为. 故答案为： 题型十：圆中范围与最值问题 【典例10-1】（多选题）（2025·高二·山西·期末）已知圆：与直线：，点在圆上，点在直线上，则（   ） A．直线与圆相离 B．过点的直线被圆截得的弦长的最小值为 C． D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】ACD 【解析】A： 圆，， 圆心，半径， 所以圆心到直线的距离为 ， 所以直线与圆相离，故A正确； B：设过点的直线方程为， 所以该直线被圆截得最短的弦长为垂直与该直径的弦长， 和圆心的距离为， 最短弦长为，故B错误； C：当的值最小时，则， 的最小值是圆心到直线的距离减去半径，即，故C正确； D：从点向圆引切线，当时，切线长最小，最小值是，故D正确. 故选：ACD． 【典例10-2】（多选题）（2025·高二·湖南岳阳·期末）已知圆，点是上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．圆关于直线对称 B．直线与圆相交所得弦长为 C．若，则距离的最大值为 D．的最小值为 【答案】AC 【解析】由题意可得圆的标准方程为，圆心为，半径， 选项A：因为圆心在直线上，所以圆关于直线对称，说法正确； 选项B：圆心到直线的距离，所以由垂径定理可得弦长为，说法错误； 选项C：因为，所以点在圆外，又因为点是上的动点， 所以，当且仅当三点共线且在第三象限时等号成立， 所以距离的最大值为，说法正确； 选项D：因为点是上的动点，所以，， 当且仅当三点共线且点在轴正方向上时等号成立， 所以的最小值为，说法错误. 故选：AC 【变式10-1】（多选题）已知点在圆上，点，则下列说法正确的是（     ） A．直线与圆相离 B．当最大时， C．点到直线的距离最大值为 D．点到直线的距离最小值为 【答案】BC 【解析】由题意，，即， 又的圆心为，半径为， 所以到的距离为，故直线与圆相交，A错； 要使最大，只需与圆相切，则，B对； 由A分析知，点到直线的距离，最大值为，最小值为，C对，D错. 故选：BC. 【变式10-2】（多选题）（2025·高二·山西太原·期中）已知点是圆上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【解析】由圆可知，圆心为，半径为， A选项，设，则， 当直线与圆相切时，有最值，则 ，解得，则的最小值为，故A选项正确； B选项，因为，表示圆上的点到距离的平方和， 故，则，故B选项正确； C选项，当时，此时，故C选项错误； D选项，令，则当直线与圆相切时有最值， 即，解得，所以的最大值为，故D选项正确； 故选：ABD 【变式10-3】（多选题）若曲线是由方程和共同构成，则下列结论不正确的是（ ） A．曲线围成的图形面积为 B．若点在曲线上，则的取值区间是 C．若与直线有公共点，则 D．若圆能覆盖曲线，则的最小值为2 【答案】ABC 【解析】由，，得或， 当时，，，是圆心为，半径为1的半圆， 同理可得的其他部分，分别为圆心为半径为1的半圆，圆心为半径为1的半圆，圆心为半径为1的半圆； 作曲线的图形如下图： 图中虚线部分是边长为2的正方形； 对于A，图形的面积，错误； 对于B，由图可知的取值范围是,，错误； 对于C,根据曲线的对称性可知，当直线与相切时，此时 或（舍去）， 故要使曲线与直线有公共点，则，C错误， 对于D，覆盖住曲线的圆的半径的最小值显然是2，正确； 故选：ABC． 【变式10-4】（多选题）（2025·福建宁德·二模）已知圆和两点，．若圆上存在点，使得，则实数的取值可以为（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】BCD 【解析】∵，∴点的轨迹是以为直径的圆O，半径为， 故点P是圆O与圆C的交点， 圆心和半径分别为，， 因此两圆相切或相交，即， 解得． 故选：BCD 题型十一：圆系问题 【典例11-1】若圆与圆相交，我们把经过圆和圆交点的圆称为圆、圆的圆系方程，其方程可设为．根据以上信息，解决如下问题：已知圆与交于两点，则以为直径的圆的一般方程为 ． 【答案】 【解析】由题意可设经过点的圆的方程为， 整理得，则圆心为． 圆①，圆②， 由①-②得，，即直线的方程为． 因为为直径，圆心在直线上，所以，解得， 故以为直径的圆的方程为． 故答案为：． 【典例11-2】已知圆系方程（，m为参数），这些圆的公切线方程为 . 【答案】 【解析】圆心坐标为，所以圆心在直线上， 设圆的切线为，即， 所以两直线间的距离为圆的半径，，所以直线方程为. 故答案为: . 【变式11-1】设直线系：，对于下列三个命题： ①中所有直线均与一个定圆相切； ②中所有直线均经过一个定点； ③存在点不在中的任一条直线上． 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号） 【答案】①③ 【解析】圆，圆心到直线的距离为，也即直线与圆相切，①正确. ，直线方程为；，直线方程为. 直线与直线平行，没有交点，所以②错误. 由于，所以存在点不在中的任一条直线上. 所以③正确. 故答案为：①③ 【变式11-2】（2025·上海·模拟预测）设直线系，对于下列四个命题： ①M中所有直线均经过一个定点； ②存在定点P不在M中的任一条直线上； ③对于任意整数，存在正n边形，使其所有边均在M中的直线上； ④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等． 其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号） 【答案】②③ 【解析】由直线系， 可令，消去可得， 故直线系表示圆的切线的集合，故①不正确； 因为对任意，存在定点不在直线系中的任意一条上，故②正确； 由于圆的外切正边形，所有的边都在直线系中，故③正确； 中的直线所能围成的正三角形的边长不一定相等，故它们的面积不一定相等，如图中等边三角形和面积不相等，故④不正确． 综上，正确的命题是②③． 故答案为：②③． 【变式11-3】圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ． 【答案】 【解析】设圆的方程为：， 整理得到：， 因为圆过，代入该点得到：即， 故圆的方程为：即， 故答案为：. 【变式11-4】已知圆，圆，则过圆与圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为 . 【答案】 【解析】设圆与圆的交点分别为，联立方程组，解得或，则， 设所求圆的圆心为，因为圆心在直线上，可得， 则，解得， 所以圆心为，半径， 所以，所求圆的方程为. 故答案为：. 1．（2025·甘肃白银·三模）过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是（   ） A．12 B．9 C． D． 【答案】A 【解析】设直线的方程为，圆心到直线的距离为，解得或， 所以，所以， 所以. 当且仅当时取最小值. 故选：A. 2．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知直线与圆交于A，B两点，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由直线与圆交于A，B两点可得， 即弦心距， 又因，解得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）射影几何认为：所有无穷远点都位于唯一的一条无穷远直线上；任何两条平行直线都在无穷远处相交.莱莫恩（Lemoine）定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线分别和边相交于点，则三点在同一直线上.这条直线称为该三角形的莱莫恩（Lemoine）线.在平面直角坐标系中若三角形三个顶点的坐标为，，则该三角形的莱莫恩（Lemoine）线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设的外接圆方程为， 则，解得， 即外接圆方程为，即， 故该外接圆在处的切线方程为； 直线的方程为，令，则，即得， 外接圆在处的切线方程为； 直线的方程为，令，则，即得， 则直线的方程为，即， 即该三角形的莱莫恩（Lemoine）线方程为. 故选：A. 4．（2025·北京海淀·三模）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与有关，不能确定 【答案】C 【解析】由直线恒过定点，而， 所以点在圆内，故直线恒与圆相交，故有两个交点， 故选：C 5．（2025·云南·模拟预测）已知直线与圆相交于A、B两点，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意有圆心到直线的距离为， 所以， 又解得. 故选：C. 6．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）直线与圆相交于，两点，当面积最大时，（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】，即， 则其圆心为，半径为，而， 当且仅当时等号成立，此时为顶点为的等腰直角三角形， 此时圆心到直线的距离， 则，解得. 故选：B. 7．（2025·四川成都·模拟预测）过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【解析】已知圆的方程为，可得圆心，半径. 因为PQ为圆的切线，所以， 在中，根据勾股定理可得. 已知，则. 点，根据两点间距离公式，可得. 因为，当且仅当时，，此时取得最小值，. 因为，当取最小值时，， 则. 的最小值为. 故选：A. 8．若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：， 故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 9．（2025·河南新乡·模拟预测）已知圆和直线，则圆心到直线l的距离为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【解析】由C：， 即得圆心坐标为， 根据点线距离公式得， 故选：A． 10．直线被圆截得的最短的弦长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【解析】原圆方程配方得， 所以圆心为，半径， 因为直线， 所以直线过定点，因为定点和圆心的距离， 所以定点在圆内，当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大为， 所以弦长最短为. 故选：C. 11．（2025·山东烟台·三模）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（    ）． A．5 B． C． D．10 【答案】A 【解析】，，， 由，解得，或， 则， 因为，所以四边形的面积为. 故选：A. 12．（多选题）（2025·江苏徐州·模拟预测）已知圆，P为圆O上的动点，则（    ） A．圆心O关于直线AB的对称点为 B．动点P到直线AB的距离最大值为 C．以AB为直径的圆与圆O有2条公切线 D．分别过A，B两点所作的圆O的切线长相等 【答案】AC 【解析】直线的斜率，直线的方程为， 对于A，设圆心关于直线对称点为，则，解得，A正确； 对于B，圆心到直线的距离，因此动点P到直线AB的距离最大值为，B错误； 对于C，，线段中点，则，以AB为直径的圆半径为， 而圆半径为，且，即以AB为直径的圆与圆O相交，有2条公切线，C正确； 对于D，过点作圆的切线长为，过点作圆的切线长为，D错误. 故选：AC 13．（多选题）（2025·湖南·模拟预测）已知直线和圆，不过原点O的直线m过点，且与圆O交于P，Q两点，过点O作直线m的垂线交l于点M，则（） A．与圆O没有公共点 B．点O到直线m距离的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【解析】对于A，圆的圆心为，半径为， 因为点到直线的距离为， 所以直线与圆相离，A正确． 对于B，如图，过点作直线的垂线，当垂足为点时， 点到直线的距离最大，为，B正确． 对于C，当直线轴时，； 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为， 则点到直线的距离为， 从而， 因为恒成立，所以当时，最大， 但此时直线过点，不符合题意，C错误． 对于D，当直线的斜率为0时，； 当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在且不为0时，则直线的方程为且， 联立解得则， 所以． 令，则， 所以当，即时，， 综上所述，的最小值为，D正确． 故选：ABD． 14．（多选题）已知圆，直线，则（   ） A．直线经过定点 B．直线与圆相交 C．圆心到直线距离为时，直线的倾斜角为或 D．时，直线被圆截得的弦长最短 【答案】ABD 【解析】对于A选项，直线的方程可化为， 由得，故直线过定点，A对； 对于B选项，因为，即点在圆内， 故直线与圆相交，B对； 对于C选项，圆心为，圆心到直线的距离为， 解得，此时直线的方程为，该直线的斜率为，倾斜角为，C错； 对于D选项，当时，直线的方程为，， 此时，圆心到直线的距离取最大值，则直线被圆截得的弦长最短，D对. 故选：ABD. 15．（2025·高三·云南·期中）已知圆 ，在圆上至少存在三个点到直线 的距离为 ，则实数 的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题，当圆心到直线的距离为时，圆上恰好有三个点到直线的距离为， 则，所以． 故答案为：. 16．（2025·上海·模拟预测）圆上的点到直线的距离最大值为 . 【答案】4 【解析】因为， 所以圆心坐标为，半径. 所以圆上的点到的距离最大值为圆心到直线的距离加圆的半径，即的长度. 所以. 故答案为：4. 17．过定点的直线与曲线交于不同的两点，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【解析】由已知曲线表示的是以为圆心，以为半径的上半圆， 由题意可知直线的斜率一定存在且大于零，可设方程为，即 当直线与圆相切时，即，得，解得， 所以直线的斜率的取值范围是. 18．已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求. 【解析】（1）圆的方程可化为， 则圆的圆心为，半径， ①当直线的斜率不存在，则直线方程为，满足题意； ②当直线的斜率存在时，可设直线的方程是，即， 由圆心到直线l的距离，解得， 此时直线的方程是， 综上，直线的方程是或. （2）由（1）得直线的方程是， 则, 所以. 19．已知平面直角坐标系中两定点为、，为坐标原点． (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)设．动点满足，记的轨迹为曲线．若曲线与圆：外切，求的值． 【解析】（1）设的中点为，则由中点坐标公式有， 则，，设直线的斜率，则， 所以， 所以线段的垂直平分线的方程为. （2）设，则由已知有， 由有：， 所以圆，圆心， 圆，圆心， 因为圆和圆外切，所以，解得， 因为，所以. 20．在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的公共点都在圆上，设是直线上的一点，过向圆引两条切线，切点为. (1)求圆的标准方程； (2)若为正三角形，求点的坐标； (3)求的取值范围. 【解析】（1）依题意，当时，圆过点，当时，圆过点， 设圆的一般式方程为， 则，解得，因此， 所以圆的标准方程为. （2）由（1）知，圆的圆心，半径为， 由为正三角形，得，解得， 设，则，解得或， 所以点的坐标为或. （3）圆心到直线的距离，设， ，则， ， 设，则，， 函数在上单调递增，， 所以的取值范围为. 21．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程； (3)求直线上被圆所截得的弦长. 【解析】（1）由题意设圆心， 因为， 即， 解得，即，     半径，     所以圆的标准方程为. （2）当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件；     当切线的斜率存在时，设过的切线的方程为， 即， 则圆心到切线的距离， 解得，     此时切线的方程为：， 即，     综上所述：过的切线方程为或. （3）圆心到直线的距离为，     所以弦长. 22．（2025·高二·广东广州·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程及过点的切线方程； (2)直线与圆相交于两点，且，求实数的值． 【解析】（1）由圆心在直线上，设圆心， 由，得，解得， 因此圆心，半径， 所以圆的标准方程为， 当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离为半径3，则直线是符合题意的切线； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， ，解得，直线方程为， 所以切线方程为或. （2）由（1）知，圆的圆心，半径， 由，得圆心到直线的距离， 则，即，则，解得或， 所以实数的值为或. 23．已知圆O：和点 (1)过点M作圆O的切线，求切线的方程； (2)已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值？若存在，则求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由； 【解析】（1）当切线斜率不存在时，显然与圆相切， 当切线斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为1， 所以，解得， 则，整理得， 综上，切线的方程为和； （2）设，由得， 即， 若存在，使为定值， 又，， 则， 整理得， 将代入得， 整理得， 要使为定值，则， 解得，，或，，， 综上，存在定点，定值或定点，定值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$