专题31 圆锥曲线必刷68道小题（最新好题速递）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题31 圆锥曲线必刷68道小题 【题型01：圆锥曲线的定义】 一、单选题 1．（24-25高二上·吉林松原·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点作直线交于两点，则三角形的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 2．（24-25高二上·北京大兴·期末）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，若，则到轴的距离是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二·全国·月考）若点P到点的距离比它到直线的距离小2，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·山西·期中）已知双曲线C：，其左、右焦点分别为，，过点的直线交C的左右两支分别于A，B两点，且，，则C的实轴长为（   ） A．1 B．6 C．2 D．4 二、多选题 5．（24-25高二下·广西来宾·开学考试）已知方程表示的曲线为.给出以下四个判断，其中正确的是（    ） A．当时，曲线表示椭圆 B．当或时，曲线表示双曲线 C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 三、填空题 6．（24-25高二下·广西贵港·月考）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，若，则 ． 7．（24-25高二下·上海徐汇·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，设点，则的值为 ． 8．（24-25高二上·河北石家庄·期中）平面内动点满足方程，则动点的轨迹方程为 . 【题型02：圆锥曲线的标准方程】 一、单选题 1．（23-24高二上·全国·月考）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一部分，其宽为8m，高为0.8m，根据图中的坐标系，该抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·湖南株洲·开学考试）与椭圆有相同焦点且过点的椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·安徽亳州·月考）若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏无锡·期中）求长轴长是短轴长的倍，且过点的椭圆的标准方程（   ） A． B． C．或 D． 6．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（ ） A． B．或 C． D．以上都不对 7．（24-25高二上·河北·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 8．（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线的顶点为原点，对称轴是轴，与直线相交所得线段的长为12，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·湖南·期中）抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【题型03：圆锥曲线中的距离最值问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·重庆北碚·期末）已知椭圆的方程为，则椭圆上一点到左焦点的距离最小值为（   ）. A．8 B．5 C．3 D．2 2．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点为是该抛物线上一动点，且的最小值为1，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．2 D． 3．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）已知双曲线的右焦点为，点，点为双曲线左支上的动点，则的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·重庆·月考）已知抛物线的焦点为为上的动点，为圆上的动点，设点到轴的距离为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25高二上·湖南常德·月考）已知是椭圆的左焦点，过椭圆上一点作直线与圆相切，切点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25高二下·河北秦皇岛·月考）设椭圆的左焦点为，点在上，则的最小值为 ，最大值为 ． 7．（2024高二上·全国·月考）设实数满足的最小值为 . 8．（24-25高二下·福建宁德·开学考试）已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值是 ． 【题型04：椭圆、双曲线的离心率】 一、单选题 1．（24-25高二下·河南·期末）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，则C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 2．（24-25高二下·浙江杭州·期中）椭圆（）的两个焦点分别为、，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·贵州安顺·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽·模拟预测）已知椭圆：（）的上顶点为，左、右焦点分别为，，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25高二下·上海宝山·期中）设椭圆的焦距为，且，则该椭圆的离心率 . 6．（24-25高二上·山东聊城·月考）已知，分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为 . 7．（24-25高二下·云南临沧·期末）已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为 . 8．（24-25高二下·上海浦东新·期末）如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是 .    【题型05：椭圆、双曲线中的焦点三角形问题】 一、单选题 1．（24-25高二下·山西·期中）已知椭圆的离心率为，过左焦点的直线交于两点，为该椭圆的右焦点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·重庆·期末）若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏苏州·月考）已知是双曲线上的点，是其左､右焦点，且.若的面积为18，则（    ） A．2 B． C． D．3 4．（23-24高二上·四川成都·月考）设，分别是双曲线的下、上焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．12 B．24 C． D． 5．（23-24高二上·四川德阳·期末）设、是椭圆：的两个焦点，点P在C上，若为直角三角形，则的面积为（    ） A． B． C．或1 D．1或 6．（24-25高二上·福建漳州·期末）已知双曲线C：左、右焦点分别为，，过点作渐近线的垂线，垂足为A，交右支于点B，若，则C的离心率是（   ） A． B．2 C． D． 【题型06：抛物线中焦点弦的性质应用】 一、单选题 1．（24-25高二上·天津河西·期末）设F为抛物线C：的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则（   ） A．12 B．6 C． D． 2．（24-25高二上·陕西渭南·月考）已知抛物线，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（23-24高二下·重庆·月考）抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 4．（23-24高二上·重庆·期末）已知点O为坐标原点，直线与抛物线相交于A、B两点，焦点为F，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．线段的中点到x轴的距离为2 5．（24-25高二下·广东·月考）已知是抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线与交于两点，则（    ） A． B． C． D．以为直径的圆与抛物线的准线只有1个公共点 6．（24-25高二下·重庆·期末）已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线交于，两点，在第一象限，抛物线的准线与轴交于点，则（   ） A． B．时， C．以为直径的圆与准线相切 D． 三、填空题 7．（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点（在轴上方），且，则直线的斜率为 . 【题型07：圆锥曲线的轨迹方程 】 一、单选题 1．（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点的距离比到轴的距离大的动点且动点不在轴的负半轴的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东·月考）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 4．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·海南海口·期中）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·广东清远·期末）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【题型08：中点弦问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·北京·期末）已知抛物线（），过其焦点且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为1，则该抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·四川成都·月考）已知曲线，直线与曲线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·湖南永州·月考）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·天津·期中）已知双曲线的右焦点为F，圆M的方程为若直线l与圆M切于点，与双曲线C交于A，B两点，点P恰好为AB的中点，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知直线过双曲线：的左焦点，且与的左、右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·湖北武汉·月考）已知为椭圆的右焦点，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，若△OFP是以OF为底边的等腰三角形，且外接圆的面积为，则椭圆C的长轴长为（   ） A． B． C．4 D．6 7．（23-24高二上·湖南长沙·月考）双曲线左右焦点分别为，，过点直线与双曲线右支交于，两点，弦的中垂线交轴于，若，则该双曲线渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【题型09：圆锥曲线中的参数最值（范围）问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）已知双曲线的离心率为，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 2．（24-25高二上·重庆·期中）已知为双曲线上一动点，过原点的直线交双曲线于，两点，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点在上，若，则的横坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·安徽·期中）已知点P在椭圆C：上（点P不是椭圆的顶点），，分别为椭圆C的左、右焦点，交y轴于点G，且，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点P在椭圆C上，直线与直线交于点Q，且，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25高二上·四川南充·月考）直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是 . 7．（23-24高二上·江苏南通·月考）已知M是抛物线上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点．若，则线段MF的长为 . 8．（23-24高二上·上海·期中）点到点的距离之差为，到轴、轴距离之比为，则的取值范围是 . 9．（23-24高二上·江西·期中）已知分别是双曲线的上、下焦点，经过点且与轴垂直的直线与的一条渐近线相交于点，且在第四象限，四边形为平行四边形，若的离心率的取值范围是，则直线的倾斜角的取值范围是 . 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题31 圆锥曲线必刷68道小题 【题型01：圆锥曲线的定义】 一、单选题 1．（24-25高二上·吉林松原·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点作直线交于两点，则三角形的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆的定义得， 则的周长为. 故选：D. 2．（24-25高二上·北京大兴·期末）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，若，则到轴的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用抛物线上的点到焦点与到准线的距离相等，即可得到答案. 【详解】抛物线的焦点为F的坐标为，准线为：， 由点P到的距离为3，可知到轴的距离是2. 故选：A 3．（2024高二·全国·月考）若点P到点的距离比它到直线的距离小2，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义即可写出点P的轨迹方程. 【详解】由题意，知P到的距离比它到的距离小2， 因此P到的距离与到直线的距离相等， 故P的轨迹是以F为焦点，为准线的抛物线， 所以P的轨迹方程为． 故选：C 4．（24-25高二下·山西·期中）已知双曲线C：，其左、右焦点分别为，，过点的直线交C的左右两支分别于A，B两点，且，，则C的实轴长为（   ） A．1 B．6 C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义列式求出，进而求出实轴长. 【详解】设，则， 因此，解得， 所以C的实轴长. 故选：D 二、多选题 5．（24-25高二下·广西来宾·开学考试）已知方程表示的曲线为.给出以下四个判断，其中正确的是（    ） A．当时，曲线表示椭圆 B．当或时，曲线表示双曲线 C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 【答案】BD 【分析】A选项，根据曲线表示椭圆得到不等式，求出A错误；B选项，令，解得或；C选项，由椭圆特征得到，求出C错误；D选项，根据双曲线特征得到，，解得，D正确. 【详解】A选项，方程表示的曲线为. 当即或时，曲线表示椭圆， 当时，曲线表示圆，所以A不正确； B选项，若曲线表示双曲线，令，解得或， 故当或时，曲线是双曲线，所以B正确； C选项，曲线表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得，C错误； D选项，曲线表示焦点在轴上的双曲线，可得，，解得，所以D正确 故选：BD. 三、填空题 6．（24-25高二下·广西贵港·月考）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，若，则 ． 【答案】3 【分析】根据抛物线的定义求参数值即可. 【详解】由抛物线的定义知，即. 故答案为：3 7．（24-25高二下·上海徐汇·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，设点，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义与方程运算求解. 【详解】由双曲线的标准方程可得， 由满足方程，知点在双曲线的右支上， . 故答案为：4. 8．（24-25高二上·河北石家庄·期中）平面内动点满足方程，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】由题意，点到两个定点，的距离之和等于常数， 根据椭圆的定义可知，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，， 所以，故所求的轨迹方程为. 故答案为： 【题型02：圆锥曲线的标准方程】 一、单选题 1．（23-24高二上·全国·月考）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得，，得到，进而求得双曲线的标准方程. 【详解】由椭圆，可化为标准方程，可得， 因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以， 又因为双曲线过点，可得，则， 所以双曲线的标准方程为. 故选：B. 2．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一部分，其宽为8m，高为0.8m，根据图中的坐标系，该抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，设出抛物线方程，利用待定系数法求出抛物线方程. 【详解】依题意，设该抛物线的方程为， 由点在此抛物线上，得，解得， 所以该抛物线的方程为. 故选：C 3．（24-25高二下·湖南株洲·开学考试）与椭圆有相同焦点且过点的椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆定义，结合两点距离求解，即可求解. 【详解】的焦点为， ， 故， 因此所求的椭圆方程为， 故选：B 4．（24-25高二上·安徽亳州·月考）若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设双曲线为，利用点求得，进而确定正确答案. 【详解】由题可设双曲线方程为且， 又在双曲线上，所以， 则双曲线的方程是，即． 故选：B． 5．（24-25高二上·江苏无锡·期中）求长轴长是短轴长的倍，且过点的椭圆的标准方程（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分析可知，，对椭圆的焦点位置进行分类讨论，将点的坐标代入椭圆方程，求出的值，即可得出椭圆的标准方程. 【详解】由题意可知，， 若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为， 将点的坐标代入椭圆方程可得，解得， 此时，椭圆的标准方程为； 若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为， 将点的坐标代入椭圆方程可得，解得， 此时，椭圆的标准方程为. 综上所述，椭圆的标准方程为或. 故选：C. 6．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（ ） A． B．或 C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】根据给定条件设出椭圆方程，将给定点的坐标代入，列出方程组求解即得. 【详解】设椭圆方程为：，因椭圆过点和点， 于是得 ，解得， 所以所求椭圆方程为. 故选：A 7．（24-25高二上·河北·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】设双曲线方程为，然后代点计算即可求得，从而求解. 【详解】设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 8．（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线的顶点为原点，对称轴是轴，与直线相交所得线段的长为12，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设抛物线，根据点在上，代入抛物线方程，求出的值，即可得解. 【详解】由题意，设抛物线， 因为抛物线与直线相交所得线段的长为12， 所以点在上，所以， 解得，所以的标准方程为． 故选：B 9．（24-25高二上·湖南·期中）抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，结合抛物线的定义可得，，再根据面积关系运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 设，则， 因为，即， 解得，则，即， 又因为的面积为，且，解得， 所以抛物线方程为. 故选：A. 【题型03：圆锥曲线中的距离最值问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·重庆北碚·期末）已知椭圆的方程为，则椭圆上一点到左焦点的距离最小值为（   ）. A．8 B．5 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据椭圆方程及其性质，即可得点到左焦点的距离最小值. 【详解】由椭圆方程知，椭圆上点到左焦点的距离最小值为. 故选：D 2．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点为是该抛物线上一动点，且的最小值为1，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，求出抛物线的标准方程，根据抛物线的定义，判断出线段和的最小值，求出结果. 【详解】 抛物线上的点到抛物线焦点距离的最小值为1，则有，解得， 在抛物线中，当时，， 因此点在抛物线上方. 过点作准线于，交抛物线于点，连接，过作准线于，连接，如图，显然， 当且仅当点与点重合时取等号，所以. 故选：B. 3．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）已知双曲线的右焦点为，点，点为双曲线左支上的动点，则的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的焦点坐标求出的值，设双曲线的左焦点为，利用双曲线的定义得出，利用当为线段与双曲线的交点时，的周长取最小值，求解即可. 【详解】因为双曲线的右焦点为，则， 且，可得，则，，， 所以，双曲线的标准方程为，如下图所示： 双曲线的左焦点为，且， 同理可得， 由双曲线的定义可得，所以，， 所以，的周长为， 当且仅当为线段与双曲线的交点时，等号成立， 所以，周长的最小值为. 故选：A. 4．（24-25高二上·重庆·月考）已知抛物线的焦点为为上的动点，为圆上的动点，设点到轴的距离为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】作出图形，过点作垂直于抛物线的准线，垂足为点，利用抛物线的定义可知，分析可知，当且仅当为线段分别与圆A､抛物线的交点时，取最小值，即可得解. 【详解】根据已知得到，圆， 所以，圆A的半径为1， 抛物线的准线为，过点作，垂足为点，则， 由抛物线的定义可得， 所以， . 当且仅当为线段分别与圆A､抛物线的交点时，两个等号成立， 因此，的最小值为2. 故选：B. 5．（24-25高二上·湖南常德·月考）已知是椭圆的左焦点，过椭圆上一点作直线与圆相切，切点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义和圆的切线长把所求问题转化，再结合函数的单调性即可求解结论． 【详解】是椭圆的左焦点，设为椭圆的右焦点，由题可得：圆的圆心即为， 由题知， 故， 因为，，当令， 因为当时，函数均单调递增， 故单调递增， 所以． 故选：A． 二、填空题 6．（24-25高二下·河北秦皇岛·月考）设椭圆的左焦点为，点在上，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 15 23 【分析】求出椭圆的长轴长及左、右焦点坐标，再结合椭圆定义及线段和差大小关系求出最值. 【详解】椭圆长轴长为10，左焦点，令右焦点为，点在椭圆外， 因此，当且仅当为线段与椭圆交点时取等号； ， 当且仅当为线段的延长线与椭圆交点时取等号， 所以的最小值为15，最大值为23. 故答案为：15；23    7．（2024高二上·全国·月考）设实数满足的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意，利用椭圆的定义，即可求代数式的最小值，得到答案. 【详解】设，则在椭圆上， 因为， 设，则为椭圆的右焦点， 如图所示，设椭圆的左焦点为， 则， 当且仅当三点共线且在之间时等号成立， 而，故的最小值为. 故答案为：. 8．（24-25高二下·福建宁德·开学考试）已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值是 ． 【答案】10 【分析】记双曲线的右焦点为，由双曲线的定义得，则结合三点共线求解即可． 【详解】如图所示： 记双曲线的右焦点为，则，得， 圆的圆心，半径为1， 则，等号成立时，四点共线． 故的最小值是：10． 故答案为：10 【题型04：椭圆、双曲线的离心率】 一、单选题 1．（24-25高二下·河南·期末）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，则C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由题可得，然后根据离心率公式计算即可. 【详解】由题设得，得. 故选：B． 2．（24-25高二下·浙江杭州·期中）椭圆（）的两个焦点分别为、，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设以为边作正三角形与椭圆交于，两点，根据题中条件得，则，构建的等量关系即可求离心率. 【详解】设以为边作正三角形与椭圆交于，两点， 则，所以， 由椭圆的定义可得，即， 则离心率. 故选：B. 3．（24-25高二上·贵州安顺·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知双曲线的渐近线方程的斜率需小于直线的斜率，得，结合和离心率的定义即可求解. 【详解】由题意知，双曲线的渐近线方程为， 要使直线与双曲线的右支有两个交点， 需使双曲线的渐近线方程的斜率小于直线的斜率， 即，即，由， 得，整理得，所以， 因为双曲线中，所以双曲线的离心率的范围是. 故选：B 4．（2025·安徽·模拟预测）已知椭圆：（）的上顶点为，左、右焦点分别为，，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，根据椭圆的定义，利用余弦定理计算得出关于的方程，结合离心率的的概念即可求解. 【详解】由题意得,因为，设，， 因为A为椭圆的上顶点，所以，则， 又由椭圆的定义知，故，解得， 故，， 在中，， 在中，， 即，所以. 故选：C 二、填空题 5．（24-25高二下·上海宝山·期中）设椭圆的焦距为，且，则该椭圆的离心率 . 【答案】/ 【分析】由题意得出，等式两边同时除以，可得出关于的方程，结合可求出的值. 【详解】因为椭圆的焦距为，且，即， 等式同时除以可得，即， 因为，解得. 故答案为： 6．（24-25高二上·山东聊城·月考）已知，分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理，列出等式求解即可. 【详解】 由椭圆定义得，又因为， 所以，， 又，，结合勾股定理得， 解得，则， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 7．（24-25高二下·云南临沧·期末）已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为 . 【答案】2 【分析】应用点到直线的距离得，结合的关系得，在中应用余弦定理得，进而有，即得渐近线斜率，根据双曲线参数关系求离心率. 【详解】 由题意，，双曲线的渐近线为，如上图， 设点在上，则，故， 所以，则，故， 所以，故，则椭圆离心率为. 故答案为：2 8．（24-25高二下·上海浦东新·期末）如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是 .    【答案】/ 【分析】由题意，根据双曲线的定义，结合矩形的性质，可得椭圆长轴长，由离心率的计算公式，可得答案. 【详解】设，，因为在双曲线上，所以， 又四边形为矩形，所以， 所以，， 设椭圆方程为，则，，又因与双曲线有相同焦点，则， 所以离心率为． 故答案为：． 【题型05：椭圆、双曲线中的焦点三角形问题】 一、单选题 1．（24-25高二下·山西·期中）已知椭圆的离心率为，过左焦点的直线交于两点，为该椭圆的右焦点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆定义以及离心率和焦点坐标计算可得，可求出结果. 【详解】易知的周长为. 因为所以， 故的周长为. 故选：A 2．（23-24高二上·重庆·期末）若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在使用余弦定理后用椭圆的基本定义化简即可计算出结果. 【详解】首先我们需要确定椭圆的基本参数，对于椭圆 故. 根据椭圆的定义，对于椭圆上的任意一点 有： ……①，……② 由题知……③ 在中使用余弦定理有： ……④ 将①②③代入④式得到：……⑤ 现在我们可以计算三角形的面积： 因此， 的面积是 . 故选：B. 3．（24-25高二上·江苏苏州·月考）已知是双曲线上的点，是其左､右焦点，且.若的面积为18，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】利用勾股定理与双曲线的定义可求出，结合三角形的面积公式可求出的值. 【详解】由得， 由勾股定理得， 由双曲线的定义得， ， 所以， 则的面积为， ，解得. 故选：C. 【点睛】本题考查焦点三角形面积的计算，涉及双曲线的定义和勾股定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 4．（23-24高二上·四川成都·月考）设，分别是双曲线的下、上焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．12 B．24 C． D． 【答案】B 【分析】利用条件及双曲线的定义求出，进而可得为直角三角形，然后直接求面积即可. 【详解】由双曲线得， 又，且， 得到， 所以， 即为直角三角形， 所以. 故选：B. 5．（23-24高二上·四川德阳·期末）设、是椭圆：的两个焦点，点P在C上，若为直角三角形，则的面积为（    ） A． B． C．或1 D．1或 【答案】D 【分析】分析确定直角顶点后位置，当焦点（或）为直角，结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】由已知，若是直角三角形，则直角顶点可能是点P， ; 若是直角三角形，则直角顶点可能是焦点（或）为直角顶点， 此时（或），. 故选：D. 【点睛】方法点睛：分类讨论得出直角位置，结合椭圆定义得出面积计算即可； 6．（24-25高二上·福建漳州·期末）已知双曲线C：左、右焦点分别为，，过点作渐近线的垂线，垂足为A，交右支于点B，若，则C的离心率是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】设一渐近线方程为，则应用点到直线距离得出，再结合平行得出，再结合双曲线定义得出，计算即可求得离心率． 【详解】设渐近线，，则， ，所以， 是的中点，，所以,所以， 又因为，所以， 即，解得，则；    故选：A. 【题型06：抛物线中焦点弦的性质应用】 一、单选题 1．（24-25高二上·天津河西·期末）设F为抛物线C：的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则（   ） A．12 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】利用过抛物线焦点的弦长公式求解； 【详解】解：因为过抛物线C：的焦点，且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点， 所以， 故选：A 2．（24-25高二上·陕西渭南·月考）已知抛物线，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义得再由焦点弦性质求解. 【详解】 由题意知， 即取得最小值时当且仅当取得最小值． 依抛物线定义知，当为通径，即时为最小值， 所以的最小值为4． 故选：B. 3．（23-24高二下·重庆·月考）抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据抛物线焦点弦性质及直线的倾斜角、斜率关系计算即可. 【详解】由题意可知，不妨设，， 联立直线与抛物线方程得， 又，而， 则，即或， 所以直线的倾斜角为或. 故选：C    二、多选题 4．（23-24高二上·重庆·期末）已知点O为坐标原点，直线与抛物线相交于A、B两点，焦点为F，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．线段的中点到x轴的距离为2 【答案】AC 【分析】联立方程组求得，且，结合选项，结合抛物线的定义和焦点弦，逐项判定，即可求解. 【详解】由抛物线，可得焦点，则直线过抛物线的焦点， 联立方程组，整理得到，显然， 设，可得， 对于A中，由抛物线的定义，可得，所以A正确； 对于B中，由 ， 所以与不垂直，所以B错误； 对于C中，由，可得， 由抛物线定义，可得， 则，所以C正确； 对于D中，线段的中点的到轴的距离为，所以D错误. 故选：AC. 5．（24-25高二下·广东·月考）已知是抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线与交于两点，则（    ） A． B． C． D．以为直径的圆与抛物线的准线只有1个公共点 【答案】ACD 【分析】根据抛物线焦点坐标公式求出的值，判断A；进而得到抛物线方程，再求出直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求出的值，判断B； 然后根据抛物线的焦点弦长公式求出，判断C；最后根据抛物线的定义判断以为直径的圆与抛物线的准线的公共点个数，判断D. 【详解】已知是抛物线的焦点，则，解得，所以选项A正确. 由可得抛物线方程为.过点且倾斜角为的直线的斜率，根据点斜式可得直线的方程为，即. 将代入，可得，即. 因为，是直线与抛物线的交点，根据韦达定理，，所以选项B错误. 由抛物线的焦点弦长公式. 由，根据韦达定理可得. 因为，所以，，则. 又因为，所以，所以选项C正确. 设的中点为，分别过，，作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，则，. 所以. 这说明以为直径的圆的圆心到准线的距离等于圆的半径， 所以为直径的圆与抛物线的准线只有个公共点，所以选项D正确. 故选：ACD. 6．（24-25高二下·重庆·期末）已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线交于，两点，在第一象限，抛物线的准线与轴交于点，则（   ） A． B．时， C．以为直径的圆与准线相切 D． 【答案】ACD 【分析】A选项，过焦点的直线方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，计算出；B选项，由焦点弦长公式得到方程，得到，不妨设，解得，，求出，，；C选项，求出的中点坐标为，计算出到准线的距离为，C正确；D选项，计算出，得到D正确. 【详解】A选项，设过焦点的直线方程为， 联立，可得，， ，，则，故A正确； B选项，，故， 当时，，解得， 由对称性，不妨设，则，， 解得，，此时， ，显然，故B错误； C选项，，，的中点坐标为， 到准线的距离为， 所以，以为直径的圆与准线相切，C正确；    D选项，， ， ，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 7．（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点（在轴上方），且，则直线的斜率为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，作出几何图形，借助图形并结合抛物线的定义求解即得. 【详解】过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为D，E， 过A作直线的垂线，垂足为， 依题意，，， 由，得，， 因此，即， 所以的斜率为. 故答案为： 【题型07：圆锥曲线的轨迹方程 】 一、单选题 1．（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点的距离比到轴的距离大的动点且动点不在轴的负半轴的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义即可得解. 【详解】因为动点到定点的距离比到轴的距离大， 所以动点到定点的距离等于到的距离， 所以动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以动点的轨迹方程是. 故选：B. 2．（24-25高二上·山东·月考）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直接法求解. 【详解】解：由题意可得， 化简得． 故选：B 3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】等价变形给定等式，再利用式子表示的几何意义，由抛物线的定义可得. 【详解】因为， 得， 即动点到定点的距离与到定直线的距离相等， 且点不在直线上， 则由抛物线定义知，动点的轨迹为抛物线. 故选：D. 4．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线的定义求得正确答案. 【详解】 圆的圆心为，半径为，由中垂线的性质可得, 所以, 所以点的轨迹方程是双曲线，且，，，， 所以点的轨迹方程为. 故选：A. 5．（24-25高二下·海南海口·期中）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点、，则，由中点坐标公式可得，由已知条件可得出，将代入等式，化简可得出轨迹的方程； 【详解】设点、，则， 由中点的坐标公式可得，所以，， 因为点在圆上，则，则，整理可得. 因此，轨迹的方程为. 故选：A. 6．（24-25高二上·广东清远·期末）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求得两圆的圆心和半径，判定已知两圆的位置关系为内切，求得切点坐标，利用动圆与已知两圆相外切，内切的条件列出关于和动圆半径r的方程组，消去r再利用椭圆的定义写出轨迹方程，最后根据已知两圆的位置关系做出取舍. 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为，所以两圆相内切于点， 设动圆的圆心为，半径为，则， ， 因此点的轨迹方程是以为焦点，长轴长为10的椭圆（不含点）， 所以该动圆的圆心的轨迹方程为. 故选：B 【题型08：中点弦问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·北京·期末）已知抛物线（），过其焦点且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为1，则该抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，进而根据题意，结合中点弦的斜率得，进而求解准线方程即可. 【详解】根据题意，设，所以①，②， 所以，①②得：，即， 因为直线AB的斜率为2，线段AB的中点的纵坐标为1， 所以，所以抛物线，准线方程为. 故选：B 2．（24-25高二下·四川成都·月考）已知曲线，直线与曲线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用点差法求解，设出直线与圆锥曲线的交点坐标，将交点坐标代入圆锥曲线方程，然后作差，从而得到直线斜率与中点坐标之间的关系. 【详解】设，，因为，两点在曲线上，所以有： 用式减去式可得： 因为点是线段的中点，根据中点坐标公式：可得： ,即，. 代入可得： 化简得：，可得： 而就是直线的斜率，所以直线的斜率为. 故选：B. 3．（24-25高二下·湖南永州·月考）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点坐标，由点差法分析得到，然后将各个选项代入等式后求得，然后得到直线方程，验证直线方程与曲线是否存在交点即可. 【详解】设，，则中点坐标为 ∴，则， ∴， A选项知，则，则直线，则整理得，此时，这样的点不存在，舍去； B选项知，则，则直线，则整理得，此时，这样的点不存在，舍去. C选项知，则，则直线，则整理得，此时，这样的点存在. A选项知，则，则直线，因为，所以直线是曲线的一条渐近线，故这样的点不存在，舍去. 故选：C. 4．（24-25高二上·天津·期中）已知双曲线的右焦点为F，圆M的方程为若直线l与圆M切于点，与双曲线C交于A，B两点，点P恰好为AB的中点，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线l的斜率为k，则，求得，由点在圆上，可求出，设点，，则，，两式相减化简可得，从而可求出的值，进而可得双曲线C的方程. 【详解】设直线l的斜率为k，则，所以， 因为点在圆上， ，即， 设点，，则，. 两式相减，得 则，即， 所以双曲线C的方程为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是利用点差法表示出直线的斜率，由此即可顺利得解. 5．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知直线过双曲线：的左焦点，且与的左、右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法求得直线斜率的关系式，然后利用二倍角公式列方程来求得正确答案. 【详解】设，， 两式相减并化简得，即， 当时，设直线的倾斜角为， 是以为底边的等腰三角形，所以， 所以， 则. 根据对称性可知，当时，， 综上所述，直线的斜率为. 故选：D 6．（24-25高二上·湖北武汉·月考）已知为椭圆的右焦点，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，若△OFP是以OF为底边的等腰三角形，且外接圆的面积为，则椭圆C的长轴长为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】由外接圆面积求半径，应用正弦定理求中的，结合已知有，根据中点弦，应用点差法有即可求椭圆的长轴长. 【详解】由外接圆的面积为，则其外接圆半径为. ∵是以为底边的等腰三角形，设，则， ∴，得， ∴或. 不妨设点在轴下方， 由是以为底边的等腰三角形，知：或 设，则 ，， 所以， 所以， 因为四点共线，为线段的中点， 所以，， 所以， 所以或（此时焦点在轴上，舍去） ∵为椭圆的右焦点， ， ∴，故椭圆的长轴长为.    故选：B. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中解决弦的中点相关问题，经常利用点差法解决. 7．（23-24高二上·湖南长沙·月考）双曲线左右焦点分别为，，过点直线与双曲线右支交于，两点，弦的中垂线交轴于，若，则该双曲线渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设直线的方程，与双曲线联立，求AB的中垂线方程，得到P点坐标，利用得到离心率，进而求得渐近线方程. 【详解】设直线的方程为，，， 联立， 判别式， 韦达定理，， 所以中点纵坐标，横坐标， 则中点坐标为， 所以AB的中垂线方程为， 令得，，即P的坐标为， 所以， 由弦长公式可知，， 将韦达定理代入得，， 因为，所以，整理得，， 所以，即，所以渐近线方程为. 故选：C. 【题型09：圆锥曲线中的参数最值（范围）问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）已知双曲线的离心率为，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先判断双曲线的焦点位置，写出，利用离心率列出方程，求解即得. 【详解】由双曲线的方程可知其焦点在轴上，， 因，，，， 则，解得，符合题意． 故选：A. 2．（24-25高二上·重庆·期中）已知为双曲线上一动点，过原点的直线交双曲线于，两点，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，再根据向量数量积公式化简，结合点在双曲线上，可得最值. 【详解】设，且，即， 又直线过原点，且双曲线关于坐标原点对称， 可得与关于坐标原点对称， 则， 所以，， 即， 又， 即的最小值为， 故选：B. 3．（24-25高二下·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点在上，若，则的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：， 因为，且，可知为锐角， 则， 设，则， 则，整理可得，解得或（舍去）， 所以的横坐标为. 故选：C. 4．（24-25高二上·安徽·期中）已知点P在椭圆C：上（点P不是椭圆的顶点），，分别为椭圆C的左、右焦点，交y轴于点G，且，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，结合椭圆上点到同侧焦点和准线的距离比为离心率得，根据角平分线的性质有，列方程求，即可得结果. 【详解】根据对称，不妨设，. 由题意得，，，，则离心率， 左准线方程为，所以， 因为，所以由角平分线定理得， 即，解得，所以. 故选：C 5．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点P在椭圆C上，直线与直线交于点Q，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设，，则，由题意，结合椭圆定义可列关于的方程由此即可得解. 【详解】 椭圆的左、右焦点分别为，离心率为， 不妨设，则， 点P在椭圆C上，直线与直线交于点Q，且， 所以， 又是的中点， 所以， 所以是正三角形， 所以，可得， 设，， 所以，即， 所以，解得， 又，所以，所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键是想办法用含的式子表示出，从而即可顺利得解. 二、填空题 6．（24-25高二上·四川南充·月考）直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出直线所过定点的坐标，分析可知，定点在椭圆内或椭圆上，结合椭圆方程可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】直线方程可化为，故该直线恒过定点， 因为直线与椭圆恒有公共点， 则点在椭圆内或椭圆上，所以，，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故答案为：. 7．（23-24高二上·江苏南通·月考）已知M是抛物线上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点．若，则线段MF的长为 . 【答案】8 【分析】设出线段MF的长度，再由已知条件表达出M的坐标，代入抛物线即可得出结果. 【详解】如图所示： 设，易求，作轴于点E， 因为 ，所以 ， 所以在，， 所以 ， 又因为M是抛物线 上一点，所以 ，即 ， 解得 或 舍去 所以线段MF的长为8. 故答案为：8 8．（23-24高二上·上海·期中）点到点的距离之差为，到轴、轴距离之比为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过题意，可判断点的轨迹为双曲线，求出双曲线的方程，再通过比值关系求出范围. 【详解】设点，由题意，即①， 三点不共线，， 因为， ，所以点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上， ②， ①代入②，解得：， ，，， 解得：，即的取值范围是. 故答案为：. 9．（23-24高二上·江西·期中）已知分别是双曲线的上、下焦点，经过点且与轴垂直的直线与的一条渐近线相交于点，且在第四象限，四边形为平行四边形，若的离心率的取值范围是，则直线的倾斜角的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据双曲线的几何性质和平行四边形的性质可知也在双曲线的渐近线上，且在第二象限，从而由可知轴，设，又在渐近线上，可得，利用，和离心率的取值范围可得答案围． 【详解】由双曲线的对称性可知也在双曲线的渐近线上，且在第二象限， 由轴，可知轴，所以可设， 又在渐近线上，所以，所以， 因为的离心率的取值范围是， 所以， 又，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是根据双曲线的几何性质和平行四边形的性质可知也在双曲线的渐近线上，利用求解. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$