安徽省蚌埠市固镇县毛钽厂实验中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题

固镇县毛钽厂实验中学2024~2025学年高一6月月考 数 学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题 区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本卷命题范围：入教A版必修第三册第六章~第九章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 如 合题目要求的 1.若i是虚数单位，实数m,n满足m一2i=1十i,则m一n= A-3 B.3 C.-1 D.1 长 2.下列说法不正确的是 : A.直四棱柱是长方体 B.正方体是平行六面体 C.长方体是平行六面体 D.平行六面体是四棱柱 3.某班有45名学生，其中男生25人，女生20人现用分层抽样的方法，从该班学生中抽取9人 参加禁毒知识测试，则应抽取的男生人数为 A.6 B.5 C.4 D.3 4.已知向量a,b的夹角为45°，且la=1,b|=√2，则(a十2b)·(a-b)= A.2 B.1 c.-1 D.-2 5.已知a,3为不同的平面，A,B,M,N为不同的点，a为直线，下列推理中错误的是 AA∈a,A∈B,B∈a,B∈B,则aC3 B.M∈a,M∈B,N∈a,N∈B,则直线MNCa,直线MNC3 C.A∈a,A∈B,则a∩B=A D,A,B,M∈a,A,B,M∈A,且A,B,M不共线，则a,B重合 6.一艘轮船沿北偏东28°方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东32方 向上，经过10分钟的航行，此时轮船与灯塔的距离为√19海里，则灯塔与轮船原来的距离为 A.2海里 B.3海里 C.4海里 D.5海里 【高一6月月考·数学卷第1页（共4页）】 5463A-1 7.已知{a,b}能作为平面内所有向量的一个基底，若a+b与(k十1)a十b共线(k∈R),则k的 值是 A1+ 2 B.-1-5 C.一1±⑤ D.-1+5 2 2 2 8.克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师.托勒密定 理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定 理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和.已知四边形 ABCD是圆O的内接四边形，且AC=√3BD,∠ADC=2∠BAD.若AB·CD十BC·AD= 4√3，则圆O的半径为 A.4 B.2 C.5 D.25 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：9,8,6,10,9,7,6,9（单位：环），则下列 说法正确的是 A这组数据的众数为9 B.这组数据的40%分位数是7.5 C.这组数据的极差是4 D.这组数据的标准差是2 10.在复平面内，下列说法正确的是 A.若复数x=a十bi(a,b∈R),则z为纯虚数的充要条件是a=0 B复数2=+1对应的点位于第一象限 C.若复数x满足z2∈R,则z∈R D.若复数之满足引z=10,则复数之对应点的集合是以原点O为圆心，以10为半径的圆 11.如图所示，在三棱锥V-ABC中，AB=BC,且∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°，P为线段 VC的中点，则 APB与AC垂直 B.PB与VA平行 C.点P到点A,B,C,V的距离相等 D.VB与平面ABC,PB与平面ABC所成的角可能相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知复数z满足z十10i=z(为虚数单位)，则x的虚部为 13.正方形OA'B'C的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的 直观图（如图），则原图形的面积是 14,已知三棱锥P一ABC的四个顶点在球O的球面上，且满足条件 PA=3,PB=4,PC=5,AB=5,AC=√34，BC=√41，则球O 的表面积为 【高一6月月考·数学卷第2页（共4页）】 5463A-1 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知向量a=(2,1),b=(-1,m) (1)若a与b的夹角为135°，求实数m的值； (2)若a⊥(a一b),求向量a在向量b上的投影向量. 16.(本小题满分15分) 某市3000名市民参加亚冬会相关知识比赛，成绩统计如下图所示. (1)求a的值，并估计该市参加考试的3000名市民中，成绩在[80,90)上的人数： (2)若在本次考试中前1500名参加复赛，则进人复赛市民的分数应当如何制定（结果用分 数表示) ↑频/组距 6 3 2a土成续（分） 05060708090100 17.(本小题满分15分) 在长方体ABCD-A1B,CD1中，AD=AA1=1,AB=3,点E是棱AB上的点，AE=2EB. (1)求异面直线AD1与EC所成角的大小： (2)求点C到平面DDE的距离， 】 C 【高一6月月考·数学卷第3页（共4页）】 5463A-1 18.(本小题满分17分) 在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，b=23,sin2A+sin2C十sin Asin C=sinB. (1)求角B的大小 (2)若AD是∠BAC的内角平分线，当△ABC面积最大时，求AD的长. 19.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，M为AP边上的中点，N为CP边上的中点，平面PBC⊥平 面ABCD,∠PBC=90°，AD∥BC,∠ABC=90°，2AB=2AD=V2CD=BC=2. (1)求证：MN∥平面ABCD: (2)求证：CD⊥平面PBD: (3)若直线PD与底面ABCD所成角的余弦值为 ,求二面角B一PC一D的正切值， 【高一6月月考·数学卷第4页（共4页）】 5463A-1固镇县毛钽厂实验中学2024~2025学年高一6月月考·数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B D C A C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 AC BD AC 1.B 因为实数m，n满足 m-2i=1+mi， ，所以 $$\left\{ \begin{array}{l} m = 1 \\ - 2 = n \end{array} \right. ，$$ m-n=1-(-2)=3. .故选B. 2.A 3.B 4.D 向量a与b的夹角为 $$4 5 ^ { \circ } ， | a | = 1 ， | b | = \sqrt 2 ，$$ $$\left( a + 2 b \right) \cdot \left( a - b \right) = a ^ { 2 } + a \cdot b - 2 b ^ { 2 } = 1 + 1 \times \sqrt 2$$ $$\times \frac { \sqrt 2 } { 2 } - 4 = - 2 .$$ D. 5.C 对于A，由 A∈a，A∈β，B∈a，B∈β， ，根据直线上有两个点在平面内，则这条直线在这个平面内，可得 a⊂ 8，所以A正确； 对于B，由 M∈α，M∈β，N∈α，N∈β， ，根据直线上有两个点在平面内，则这条直线在这个平面内，可得直线 MN⊂α， ，直线 MN⊂β， ，所以B正确； 对于C，由 A∈α，A∈β， ，则平面 α 和平面 β 是一条经过点A的直线，所以C不正确； 对于D，由 A，B，M∈α，A，B，M∈β， ，且A，B，M不共线，根据过不共线的三点唯一确定一个平面，可得 α，β 重 合，所以D正确.故选C. 6.A 如图设A为轮船原来的位置，B为轮船10分钟后的位置，C为灯塔的位置，由题意知AB= $$1 8 \times \frac { 1 0 } { 6 0 } = 3 ， B C = \sqrt { 1 9 } ， \angle B A C = 1 8 0 ^ { \circ } - 3 2 ^ { \circ } - 2 8 ^ { \circ } = 1 2 0 ^ { \circ } .$$ .令 AC=x. △ABC 中，由余弦定理得 $$\sqrt { 1 5 }$$ $$\left( \sqrt { 1 9 } \right) ^ { 2 } = 3 ^ { 2 } + x ^ { 2 } - 2 x \cdot 3 \cos 1 2 0 ^ { \circ } ，$$ ，即 $$x ^ { 2 } + 3 x - 1 0 = 0 ，$$ ，解得 x=2 或一5(舍)，故 AC=2 (海里). 7.C 若 a+kb 与 (k+1)a+b 共线，则设 a+kb=λ[(k+1)a+b]=λ(k+1)a+λb， ，因为 a，b}能 $$\left\{ \begin{array}{l} 1 = \lambda \left( k + 1 \right) \\ k = \lambda \end{array} \right. ，$$ ，所以 $$k ^ { 2 } + k - 1 = 0 ，$$ 解得 $$k = \frac { - 1 \pm \sqrt 5 } { 2 } .$$ 故 c 作为平面内所有向量的一个基底，所以 选C. 8.B由托勒密定理，得 $$A C \cdot B D = A B \cdot C D + B C \cdot A D = 4 \sqrt 3 .$$ 因为 $$A C = \sqrt 3 B D ，$$ 所以 BD=2. .设圆的半径为R，由正弦定理，得 $$\frac { A C } { \sin \angle A D C } = \frac { B D } { \sin \angle B A D } = 2 R$$ 又 AC= $$\sqrt 3 B D ，$$ ，所以 $$\sin \angle A D C = \sqrt 3 \sin \angle B A D .$$ 因为 ∠ADC=2∠BAD， ，所以 $$2 \sin \angle B A D \cos \angle B A D = \sqrt 3 \sin \angle B A D ，$$ 因为 0<∠BAD<π， 所以 sin∠BAD>0， 所以 $$\cos \angle B A D = \frac { \sqrt 3 } { 2 } ，$$ 所以 $$\sin \angle B A D = \sqrt { 1 - \cos ^ { 2 } \angle B A D } = \frac { 1 } { 2 } ，$$ 则 $$2 R = \frac { B D } { \sin \angle B A D } = 4 ，$$ ，故R=2. 【高一6月月考·数学卷参考答案第1页(共4页)】 5463A-1 9.AC对于A,由题意知这组数据的众数为9，故A正确： 对于B,这组数据从小到大为6,6,7,8,9,9,9,10，由8×40%=3.2知40%分位数为8，故B错误： 对于C,这组数据的极差是10一6=4，故C正确： 对于D,这组数据的平均数是号×(9+8十6十10+9+7+6+9)=8，方差是2=名× [(9-8)2+(8-8)2+(6-8)2+(10-8)2+(9-8)2+(7-8)2+(6-8)2+(9-8)2]=2, 所以这组数据的标准差是厄，故D错误.故选AC 10.BD对于A,若复数x=a十bi(a,bcR),则之为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0，故A错误； 对于B.=告+1=0护+1=i计1，故B正确： 2 对于C,复数i满足=一1∈R,但i￠R,故C错误： 对于D,若复数：满足|=10，根据复数的几何意义则复数：对应点的集合是以原点O为圆心，以10为半 径的圆，故D正确.故选BD 11,AC过点P作PH⊥AC,垂足为H,可得H为AC的中点.，AB=BC,.BH⊥AC, 结合BH∩PH=H,可得AC⊥平面PBH,则AC⊥PB,故A正确；由已知条件可知 PH∥VA,而PH与PB有交点，因而PB与VA不平行，故B错误：点P是R△VAC 的外心，则P到V,A,C的距离相等，则点P到A,B,C,V四点的距离相等，故C正确： VB与平面ABC所成角即∠BA,PB与平面ABC所成角即∠PBH,tan∠VBA= A龙am∠PBH-PH之 VA VA 号AB V2AB <an∠VBA,则VB与平面ABC,PB与平面 ABC所成的角不可能相等，故D错误.故选AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.一5设=a+bi(a,b∈R),因为x+10i=,所以a+bi+10i=a一bi,可得b+10=一b,解得为一5，则的 虚部为-5. 13.8√2如图所示，根据斜二测画法可知原图形为平行四边形，其中OA=OA'=2,OB=2OB=4√2，所以原 图形的面积为OA×OB=8√2. 42 A 0 2 第13题图 第14题图 14.50x由题意可知，PA=3,PB=4,AB=5,可得PA+PB=AB,所以∠APB=,即PA⊥PB,同理可 得，PA⊥PC,PB⊥PC,以点P为一个顶点，PA,PB,PC为三条相邻棱，构造长方体PADB一CEFG 由于点P,A,B,C都在球O的球面上，显然长方体PADB一CEFG内接于球O,其对角线PF长就是球O的 直径，所以2R=V月十车+可=/何=5区，R=号.所以球0的表面积S=R=4红×碧=0 4 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 5.解：)由题意知2十m=c0s135°二号，解得m=一3或 …4分 5m+1 【高一6月月考·数学卷参考答案第2页（共4页）】 5463A-1 (2)a-b=(2,1)-(-1,m)=(3,1-m), 因为a⊥(a-b),所以2×3+1×(1-m)=0, 解得m=7,.b=(一1,7).… 10分 17 故a在b上的投影向量为五=/示·示=（一06…四 13分 16.解：(1)依题意，(3a+7a+6a+2a+2a)×10=1,故a=0.005. 故成绩在[80,90)上的频率为0.3，枚所求人数为3000×0.3=900..…6分 (2)依题意，要前1500名市民参加复赛，就是求该组数据的中位数，故70+(0.5一0.1一0.15)÷ 0035=7号 所以参加复赛的市民分数应在77一以上. 15分 17.解：（门）在线段CD上取靠近点D的三等分点F,…2分 连接AF,DF,如图，由平面几何的知识易知AF∥CE,…3分 故∠DAF或其补角即为异面直线AD1与EC所成角.…4分 D 由于AD=AF=D1F=2,故△D1AF为等边三角形，…5分 ∴∠D1AF=60°，即异面直线AD与EC所成角为60°.…7分 (2)设点C到平面DDE的距离为h, 由e-E=Va-e得号XSmuXh=-子XSomFXDD,…10分 即号×（号×1×5）×h=子×（号×3×1）×1， …13分 解得h=35,即点C到平面D,DE的距离为35 5 51 15分 18.解：(1)由正弦定理得a2十c2一2=一ac,… 2分 由余弦定理得0B=+上=一令→B=等 6分 (2)在△ABC中，由余弦定理得=a2+c2-2 accos B, 则12=d+e2-2 Dacs号x,即d2++ac=12. …9分 ,a>0,c>0,.∴.a+c2+ac=12>3a→ac≤4， 当且仅当a=c=2时，(ac)ax=4, (S%r)m=7 asin B--×4sm号=E. 13分 此时，∠BAC=∠C=（x-号x=吾 在△ABD中，∠ADB=若+=， 由正弦定理得AD一2 2X8 2 -→AD= -=6 17分 2 19.(1)证明：连接AC,…1分 在△ACP中，因为M、N为对应边上的中点，所以MN为中位线， MN∥AC,… …3分 又MN吐平面ABCD,ACC平面ABCD,… …4分 .MN∥平面ABCD. …5分 (2)证明：在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，2AB=2AD=√2CD=BC, 【高一6月月考·数学卷参考答案第3页（共4页）】 5463A-1 .△ABD是等腰直角三角形，…6分 又BC=2,则AB=1,CD=BD=2,∴.BC=CD+BD, ∴.△BCD是等腰直角三角形，CD⊥DB,…7分 平面PBC⊥平面ABCD,∠PBC=90°，PBC平面PBC,平面PBC∩平面 ABCD=BC. .PB⊥平面ABCD,·8分（没写平面PBC∩平面ABCD=BC扣1分） 又CDC平面ABCD,所以PBCD,…9分 又PB∩BD=B,DBC平面PBD,PBC平面PBD, 所以CD⊥平面PBD.…10分 (③》直线PD与底面ABCD所成角的余弦值为号，且PBL平面ABCD。 直线PD与底面ABCD所成的角为∠PDB,…11分 又BC=2,则AB=1,CD=BD=√2， R△PBD中，cos∠PDB=P0-号，PD=6,PB=2, 12分 设BC的中点为E,连接DE,过点E作PC的垂线交PC于F,连接DF,…13分 由(1)知，DE⊥CB,DE⊥PB,且PB、BCC平面PBC,PB∩BC=B, 则DE⊥平面PBC,,PCC平面PBC,∴.DE⊥PC ,DE、EFC平面DEF, PC⊥平面DEF,… 14分 ,DFC平面DEF,∴.PC⊥DF.又PC⊥EF 则∠DFE是二面角B一PC-D的平面角.… 15分 :DE=AB=1,EF⊥CF,∠PBC=90°，BC=PB=2, CF=ERCE=EEF=1∴EF-号， ……16分 设二面角B-PC-D的平面角为0，则二面角B-PC-D的正切值为m0-器=E. …17分 【高一6月月考·数学卷参考答案第4页（共4页）】 5463A-1