解答题技法数形结合讲义-2026届高三数学一轮复习

高分技法6  数形结合法（解答题技法） 数形结合法就是基于空间角的定义，准确利用空间线面关系，作出空间角的平面角，然后转化为平面图形的内角问题求解，这种方法的关键在于抓住空间中的线面垂直关系准确作出平面角：作出线面角的关键是找到平面的垂线，作出二面角平面角的关键在于找到棱的垂面（或与棱垂直的直线）．这种方法适用于空间线面关系特征明显，空间角易于找出的问题． 实操一、作空间角 ①异面直线所成角：移线构角，平移异面直线(一条或者两条)，使其在一个三角形内，从而作出所求角 ②线面角：先定斜足，找出平面的垂线，确定斜线在平面内的射影，从而作出线面角 ③二面角：垂面法，找出棱的垂面，且该垂面与二面角两个半平面相交，得到交线，交线所成的角(或其补角)为二面角的平面角；定义法，在二面角的棱上取一点，作两条与棱垂直的分别在两个半平面内的射线，两射线所成角为二面角的平面角二、解三角形 将所求的空间角转化为三角形的内角，解空间角的平面角所在三角形，多利用余弦定理求角 【母题1】［2025四川南充模拟，13分］如图1，在矩形ABCD中，，，将沿着BD翻折至处，得到三棱锥，如图2，过M作BD的垂线，垂足为H，． （1）证明：． （2）求二面角的余弦值． 解析 （1）连接CH，由，，， ，，，， 在中，由余弦定理得， 所以，所以， 因为，平面BCD，，所以平面BCD， 因为平面BCD，所以． （2）方法一：作棱的垂线 如图3，过点H作于点E，在平面BCM内过点E作，交BC于点F，连接HF，则∠HEF为二面角的平面角， 图3 【作空间角】抓住直角三角形BHM，先作出HE——斜边上的高；再立足点E，作出棱MB的垂线，从而作出二面角的平面角，实质就是作了一个过H且垂直于棱MB的垂面 在中，由，得，， 在中，由余弦定理得， 在中，，． 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得，所以二面角C-BM-D的余弦值为． 方法二：三垂线定理法 如图4，过点C作于点P，过点P作，交BM于点Q，连接CQ． 图4 由（1）得平面BCD，所以．又，，所以平面MBD． 又，，所以， 由三垂线定理可得，所以∠CQP为二面角的平面角． 【作空间角】该作法的实质也是找到棱MB的垂面，这个垂面过点C．这种作法灵活利用平面MBD与平面BCD的垂直关系，转化为平面MBD，利用三垂线定理我到了二面角的平面角 在中，由射影定理可得，故， 故． 因为，所以，故． 在中，，故， 故二面角C-BM-D的余弦值为． 方法三：补锥为柱+定义法 如图5，将三棱锥补成三棱柱． 图5 【补锥为柱】三棱锥中的线面关系不明显，可以将三棱锥补成三棱柱，线面关系就非常清楚了，特别是在处理空间角问题时，更为直接 由（1）知，故过点M作，交CG于点S，连接SD， 则∠DMS就是二面角的平面角，在中，，，．所以， 所以． 故，． ． 【解三角形】解三角形时，要根据已知条件，灵活选用相应的公式求解．如本问中，求MS，GS的关键是求∠MGS，而求该角，则应放在中 因为，，所以．又，，所以平面MSD，故．所以． 在中，由余弦定理可得，故二面角的余弦值为． 【母题2】［2025哈尔滨九中模拟，13分］如图6，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E，F分别为PB，AB的中点． （1）求三棱锥的体积； （2）求直线CE与平面PCF所成角的正弦值． 图6 解析 （1）连接AC，因为平面ABCD，平面ABCD，故，故， 在直角梯形ABCD中，，． 又E为PB中点，故． （2）方法一：定义法 在直角梯形ABCD中，F为AB的中点，所以，且． 由已知得平面ABCD，平面PAB，所以平面平面ABCD，又平面平面，所以平面PAB，又平面PCF，所以平面平面PAB，如图7，过点E作，垂足为H，连接CH，则平面PCF，所以∠ECH就是直线CE与平面PCF所成角［作空间角：作平面的垂线时，注意找准相关的两个互相垂直的面，再确定斜线的射影，从而得到线面角］． 图7 在中，E，F分别为PB，AB的中点，则， 而，所以，所以． 因为E，F分别为PB，AB的中点，故，则平面ABCD，又平面ABCD，则，故为直角三角形，则， 在中，， 故直线CE与平面PCF所成角的正弦值为． 方法二：巧用点面距速解线面角 因为，故， 又平面ABCD，平面ABCD，故，又，平面PAB，故平面PAB，而平面PAB，则，则为直角三角形． 易知，，故． 设点E到平面PCF的距离为d， 由（1）可得，解得． 因为E，F分别为PB，AB的中点，故，则平面ABCD，又平面ABCD，则， 故为直角三角形，则， 设直线CE与平面PCF所成角为，则［巧思考：将所法语转化为求解点E到平面PCF的距离，则所求线面角的正弦值就等于点面距与斜线段长度的比值，这样就可减少空间线面关系的逻辑证明，通过简单运算即可求解］． 【母题3】（2025·四川自贡·二模）如图，在平面四边形中，是等边三角形，是等腰三角形，且，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点. (1)若，求证：平面平面； (2)若，记的重心为，若，求与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角正切的最大值. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【解析】（1）设等边三角形的边长为2， 则，连接交于点. 因为是等腰三角形，所以，即， 因为，，. 所以，，，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面. （2）在中，，，， 由余弦定理得，所以，所以三棱锥为正三棱锥. 因为是的重心，所以平面，则， 连接并延长交于， 连接，可得，，平面， 所以平面， 所以面平面，过作， 因为面平面，平面，所以平面. 【构角】 取的中点为，由题意知是的中点. 所以，所以为所求线面角. 【解三角形】在中，，， 所以. （3）因为，设，过作. 因为，可得平面，所以平面平面，所以平面， 可得，， 过作，连接，易得，可得为所求夹角. 【三角有界求最值】在中，，，所以， ，所以，解得， 所以平面与平面夹角正切的最大值. 【母题4】（2025·河北秦皇岛·一模）在三棱锥中，，三棱锥的各顶点均在表面积为的球的球面上，且四点共面． (1)证明：平面平面； (2)当时，求球心到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）设球的半径为，则，解得， 设的外接圆半径为，则， 因为四点共面，可知的外接圆圆心为， 取的中点，连接， 可知为等边三角形，则，， 又因为，则， 且，则，则， 因为，平面，则平面， 且平面，所以平面平面. （2）若，则，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，且平面，则， 在中，由余弦定理可得 ， 即，则， 在中，由余弦定理可得， 可知为钝角，且， 则， 【等积求距离】 设球心到平面的距离为， 因为，则，解得， 所以球心到平面的距离为. （3）过点作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，且平面，则， 【构角，定空间角】 可知直线与平面所成角为， 设，则， 在中，由余弦定理可得 ， 即则， 则， 【换元，基本不等式求最值】 令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值. （2025·浙江·模拟预测） 1．在多面体中，已知，，且，．    (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． （24-25高三·湖北·阶段练习） 2．三余弦定理：设A为平面内一点，过点A的斜线在平面上的正投影为直线．为平面内的一条直线，记斜线与直线的夹角（即直线与平面所成角）为，直线与直线的夹角为，直线与直线的夹角为，则．三余弦定理描述了线面角是斜线与平面内任意直线所成角的最小值，又称最小角定理． (1)证明三余弦定理； (2)如图，已知三棱柱，为正三角形，，求直线与底面所成角的正弦值； (3)已知平行六面体，记为平行六面体体积，为平行六面体表面积，为平行六面体棱长总和，求证：． （24-25高三·江西萍乡·期中） 3．定义：多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的一个顶点，（，且）为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面、平面、、平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，． (1)求四棱锥在顶点处的离散曲率； (2)求四棱锥内切球的表面积； (3)若是棱上的一个动点，求直线与平面所成角的取值范围． （23-24高三·四川成都·期末） 4．如图，在长方形中，，，，将沿折起至，使平面平面.    (1)证明：平面； (2)若二面角的平面角的余弦值为，求的长； (3)设直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，证明：. （注：本题用空间向量法求解或证明不给分，若需要作辅助线，请在答题卡上作出相应的辅助线.） （23-24高三·天津·期末） 5．如图，在四棱锥中， 为等边三角形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为.若存在，求出值；若不存在，请说明理由. （23-24高三·四川自贡·期末） 6．如图，在边长为4的菱形中，分别是的中点，将沿折起，使点到的位置，且． (1)若平面平面，判断与的位置关系并说明理由； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求二面角大小的余弦值． （24-25高三·重庆·阶段练习） 7．如图甲所示，在四边形中，.在边上取一点（不含），将沿线段折起，使得平面垂直平面，如图乙所示. (1)若在图甲中，，求二面角的平面角的正切值； (2)当点到平面的距离为时，求四棱锥的体积的大小. （24-25高三·四川南充·阶段练习） 8．如图，三棱柱中，，且与均为等腰直角三角形，． (1)若为等边三角形，证明：平面平面； (2)若二面角的平面角为，求以下各值： ①求点到平面的距离；②求平面与平面所成角的余弦值． （2024·广东广州·模拟预测） 9．如图，在三棱台中，为正三角形，，，点为的中点，平面平面．    (1)若，证明：平面平面； (2)若，记平面与平面的交线为，求二面角的余弦值． （22-23高三·广东东莞·阶段练习） 10．如图1，平面图形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，与相交于点，现沿着将其折成四棱锥（如图2）． (1)当侧面底面时，求点到平面的距离； (2)在（1）的条件下，线段上是否存在一点．使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高分技法6  数形结合法（解答题技法） 数形结合法就是基于空间角的定义，准确利用空间线面关系，作出空间角的平面角，然后转化为平面图形的内角问题求解，这种方法的关键在于抓住空间中的线面垂直关系准确作出平面角：作出线面角的关键是找到平面的垂线，作出二面角平面角的关键在于找到棱的垂面（或与棱垂直的直线）．这种方法适用于空间线面关系特征明显，空间角易于找出的问题． 实操一、作空间角 ①异面直线所成角：移线构角，平移异面直线(一条或者两条)，使其在一个三角形内，从而作出所求角 ②线面角：先定斜足，找出平面的垂线，确定斜线在平面内的射影，从而作出线面角 ③二面角：垂面法，找出棱的垂面，且该垂面与二面角两个半平面相交，得到交线，交线所成的角(或其补角)为二面角的平面角；定义法，在二面角的棱上取一点，作两条与棱垂直的分别在两个半平面内的射线，两射线所成角为二面角的平面角二、解三角形 将所求的空间角转化为三角形的内角，解空间角的平面角所在三角形，多利用余弦定理求角 【母题1】［2025四川南充模拟，13分］如图1，在矩形ABCD中，，，将沿着BD翻折至处，得到三棱锥，如图2，过M作BD的垂线，垂足为H，． （1）证明：． （2）求二面角的余弦值． 解析 （1）连接CH，由，，， ，，，， 在中，由余弦定理得， 所以，所以， 因为，平面BCD，，所以平面BCD， 因为平面BCD，所以． （2）方法一：作棱的垂线 如图3，过点H作于点E，在平面BCM内过点E作，交BC于点F，连接HF，则∠HEF为二面角的平面角， 图3 【作空间角】抓住直角三角形BHM，先作出HE——斜边上的高；再立足点E，作出棱MB的垂线，从而作出二面角的平面角，实质就是作了一个过H且垂直于棱MB的垂面 在中，由，得，， 在中，由余弦定理得， 在中，，． 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得，所以二面角C-BM-D的余弦值为． 方法二：三垂线定理法 如图4，过点C作于点P，过点P作，交BM于点Q，连接CQ． 图4 由（1）得平面BCD，所以．又，，所以平面MBD． 又，，所以， 由三垂线定理可得，所以∠CQP为二面角的平面角． 【作空间角】该作法的实质也是找到棱MB的垂面，这个垂面过点C．这种作法灵活利用平面MBD与平面BCD的垂直关系，转化为平面MBD，利用三垂线定理我到了二面角的平面角 在中，由射影定理可得，故， 故． 因为，所以，故． 在中，，故， 故二面角C-BM-D的余弦值为． 方法三：补锥为柱+定义法 如图5，将三棱锥补成三棱柱． 图5 【补锥为柱】三棱锥中的线面关系不明显，可以将三棱锥补成三棱柱，线面关系就非常清楚了，特别是在处理空间角问题时，更为直接 由（1）知，故过点M作，交CG于点S，连接SD， 则∠DMS就是二面角的平面角，在中，，，．所以， 所以． 故，． ． 【解三角形】解三角形时，要根据已知条件，灵活选用相应的公式求解．如本问中，求MS，GS的关键是求∠MGS，而求该角，则应放在中 因为，，所以．又，，所以平面MSD，故．所以． 在中，由余弦定理可得，故二面角的余弦值为． 【母题2】［2025哈尔滨九中模拟，13分］如图6，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E，F分别为PB，AB的中点． （1）求三棱锥的体积； （2）求直线CE与平面PCF所成角的正弦值． 图6 解析 （1）连接AC，因为平面ABCD，平面ABCD，故，故， 在直角梯形ABCD中，，． 又E为PB中点，故． （2）方法一：定义法 在直角梯形ABCD中，F为AB的中点，所以，且． 由已知得平面ABCD，平面PAB，所以平面平面ABCD，又平面平面，所以平面PAB，又平面PCF，所以平面平面PAB，如图7，过点E作，垂足为H，连接CH，则平面PCF，所以∠ECH就是直线CE与平面PCF所成角［作空间角：作平面的垂线时，注意找准相关的两个互相垂直的面，再确定斜线的射影，从而得到线面角］． 图7 在中，E，F分别为PB，AB的中点，则， 而，所以，所以． 因为E，F分别为PB，AB的中点，故，则平面ABCD，又平面ABCD，则，故为直角三角形，则， 在中，， 故直线CE与平面PCF所成角的正弦值为． 方法二：巧用点面距速解线面角 因为，故， 又平面ABCD，平面ABCD，故，又，平面PAB，故平面PAB，而平面PAB，则，则为直角三角形． 易知，，故． 设点E到平面PCF的距离为d， 由（1）可得，解得． 因为E，F分别为PB，AB的中点，故，则平面ABCD，又平面ABCD，则， 故为直角三角形，则， 设直线CE与平面PCF所成角为，则［巧思考：将所法语转化为求解点E到平面PCF的距离，则所求线面角的正弦值就等于点面距与斜线段长度的比值，这样就可减少空间线面关系的逻辑证明，通过简单运算即可求解］． 【母题3】（2025·四川自贡·二模）如图，在平面四边形中，是等边三角形，是等腰三角形，且，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点. (1)若，求证：平面平面； (2)若，记的重心为，若，求与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角正切的最大值. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【解析】（1）设等边三角形的边长为2， 则，连接交于点. 因为是等腰三角形，所以，即， 因为，，. 所以，，，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面. （2）在中，，，， 由余弦定理得，所以，所以三棱锥为正三棱锥. 因为是的重心，所以平面，则， 连接并延长交于， 连接，可得，，平面， 所以平面， 所以面平面，过作， 因为面平面，平面，所以平面. 【构角】 取的中点为，由题意知是的中点. 所以，所以为所求线面角. 【解三角形】在中，，， 所以. （3）因为，设，过作. 因为，可得平面，所以平面平面，所以平面， 可得，， 过作，连接，易得，可得为所求夹角. 【三角有界求最值】在中，，，所以， ，所以，解得， 所以平面与平面夹角正切的最大值. 【母题4】（2025·河北秦皇岛·一模）在三棱锥中，，三棱锥的各顶点均在表面积为的球的球面上，且四点共面． (1)证明：平面平面； (2)当时，求球心到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）设球的半径为，则，解得， 设的外接圆半径为，则， 因为四点共面，可知的外接圆圆心为， 取的中点，连接， 可知为等边三角形，则，， 又因为，则， 且，则，则， 因为，平面，则平面， 且平面，所以平面平面. （2）若，则，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，且平面，则， 在中，由余弦定理可得 ， 即，则， 在中，由余弦定理可得， 可知为钝角，且， 则， 【等积求距离】 设球心到平面的距离为， 因为，则，解得， 所以球心到平面的距离为. （3）过点作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，且平面，则， 【构角，定空间角】 可知直线与平面所成角为， 设，则， 在中，由余弦定理可得 ， 即则， 则， 【换元，基本不等式求最值】 令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值. （2025·浙江·模拟预测） 1．在多面体中，已知，，且，．    (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）先作辅助线，证得，结合，再根据线面垂直的判断定理，以及面面垂直的判断定理，即可求证． （2）根据已知条件，通过线面位置关系，可得就是直线与平面所成的角，分别求出，的值，即可求解． 【详解】（1）如图，分别取，的中点、，连接、、，则且，    因为且， 所以且 则四边形为平行四边形，所以且， 因为，所以， 所以， 又因为，所以， 又因为，、平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面． （2）取的中点为，的中点为，连接，，，如图所示，    因为，所以， 在等腰梯形中，易得， 又因为，、平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 过作于点，由平面平面，平面， 则平面， 连接，则就是直线与平面所成的角， 因为平面，所以， 由，，得，，是中点，， 在等腰梯形中，， 所以在等腰中，腰上的高， 又因为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． （24-25高三·湖北·阶段练习） 2．三余弦定理：设A为平面内一点，过点A的斜线在平面上的正投影为直线．为平面内的一条直线，记斜线与直线的夹角（即直线与平面所成角）为，直线与直线的夹角为，直线与直线的夹角为，则．三余弦定理描述了线面角是斜线与平面内任意直线所成角的最小值，又称最小角定理． (1)证明三余弦定理； (2)如图，已知三棱柱，为正三角形，，求直线与底面所成角的正弦值； (3)已知平行六面体，记为平行六面体体积，为平行六面体表面积，为平行六面体棱长总和，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设在平面的射影为，则，过点作交直线于点，连接，然后由线面角定义可确定命题中所涉及，，，最后由三角函数定义可完成证明； （2）取中点为，连接，，，，通过证明平面平面，可得直线与底面所成角为，然后由三垂线定理可得答案； （3）设，，，，，．直线与底面所成角为，由对称性及三余弦定理可得.然后结合体积，表面积表达式，运用作差法配方后可证明结论. 【详解】（1）如图，不妨设在平面的射影为，则，过点作交直线于点，连接， 即为斜线与平面所成角， 即为斜线在平面的射影直线与平面内的直线所成角，即为斜线与平面内的直线所成角， ，，， 又，，，平面， 平面， 平面，， 根据几何关系可得，， ． （2）取中点为，连接，，，，易知， ，． 又，，，平面，平面， 平面， 平面平面， 直线在平面上的射影必在交线上， 直线与底面所成角为， ，， 由三余弦定理得，得， ， 即直线与底面所成角的正弦值为． （3）证明：设，，，，，，直线与底面所成角为，直线在底面投影与AB夹角为，在底面投影与AC夹角． 由平行六面体的对称性，不妨令，， 由三余弦定理， 则. 由题意得， ， ， ， 由，可得： 则 ， 当且仅当且时等号成立． （24-25高三·江西萍乡·期中） 3．定义：多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的一个顶点，（，且）为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面、平面、、平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，． (1)求四棱锥在顶点处的离散曲率； (2)求四棱锥内切球的表面积； (3)若是棱上的一个动点，求直线与平面所成角的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出、、的值，结合曲率的定义可计算出结果； （2）计算出四棱锥的表面积，根据等体积法计算出四棱锥内切球的半径，结合球体体积公式可求得结果； （3）过点作交于点，连接，推导出平面，分析可知，为直线与平面所成的角，然后设，利用余弦定理求出，利用三角形相似求出，结合函数基本性质求出的范围，即可得出结果. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为，则． 因为平面，平面，所以， 又，，、平面，所以平面， 又平面，所以，即， 由离散曲率的定义得． （2）因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以， 设四棱锥的表面积为， 则 ． 设四棱锥的内切球的半径为，则， 所以， 所以四棱锥内切球的表面积． （3）如图，过点作交于点，连接， 因为平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角． 易知，当与重合时，； 当与不重合时，设， 在中，由余弦定理得 因为，所以，所以，则， 所以． 当分母最小时，最大，即最大，此时（与重合）， 由，得，即， 所以的最大值为， 所以直线与平面所成角的取值范围为． 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. （23-24高三·四川成都·期末） 4．如图，在长方形中，，，，将沿折起至，使平面平面.    (1)证明：平面； (2)若二面角的平面角的余弦值为，求的长； (3)设直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，证明：. （注：本题用空间向量法求解或证明不给分，若需要作辅助线，请在答题卡上作出相应的辅助线.） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由面面垂直的性质证明线面垂直即可. （2）利用定义法找到二面角的平面角，建立方程，求解参数即可. （3）利用定义法将所求角的余弦值表示为一元函数，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为四边形为长方形，所以, 又平面平面，平面平面,所以平面， （2）如图所示，在（ii）图中过点S作,垂足为O, 交于点E,连接．由翻折知, 所以二面角的平面角为, 在（ii）图中设,可得， 因为，所以,所以,所以， 解得,即或（舍去），所以．    （3）如图所示，由（2）知,所以平面 平面,所以．由（1）问， 知平面且,所以平面, 又平面,所以,又, 且平面,所以平面, 又平面,所以． 在（ii）图中过点E作交于点H， 过点E作,连接．由（2）知平面, 又平面,所以平面平面, 因为平面平面,所以平面, 所以在平面的射影为, 所以为直线与平面所成角． 注意到,即，解得．又，,所以， 即，所以， 由（2）知,所以 （等号当且仅当时成立）．    【点睛】关键点点睛：本题解题关键是求出线面角和二面角的余弦值，然后表示为一元函数，最后由基本不等式得到所要求的最值即可． （23-24高三·天津·期末） 5．如图，在四棱锥中， 为等边三角形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为.若存在，求出值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据面面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）首先证明为直线与平面所成的角，再由线面角的定义进行求解即可； （3）取中点，利用线面垂直的性质结合即可确定为二面角的平面角，最后结合余弦定理求解即可. 【详解】（1）取棱的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面， 又平面，所以平面， 又平面，故， 又已知，，又平面， 所以平面. （2）连接， 由（1）中平面， 可知为直线与平面所成的角， 因为为等边三角形，且为的中点， 所以， 又，在中，， 所以，直线与平面所成角的正弦值为. （3）取中点，连接，， 在中，， 因为平面，又平面， 所以，在中，， 所以，所以，又点为中点， 所以，同理， 所以为二面角的平面角， 设， 在中，， 在中，， 在中，，，， 由余弦定理可得：， 即：， 化简得到：， 所以或（舍去）， 即线段上存在一点，使得二面角平面角的余弦值为， 此时. 【点睛】关键点点睛：本题第3小题的解决关键是，利用三线合一分析得为二面角的平面角，从而得解. （23-24高三·四川自贡·期末） 6．如图，在边长为4的菱形中，分别是的中点，将沿折起，使点到的位置，且． (1)若平面平面，判断与的位置关系并说明理由； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求二面角大小的余弦值． 【答案】(1)，理由见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用线面平行的判定、性质判断推理即得. （2）令，连接，求出点到平面的距离即可求得线面角的正弦. （3）取的中点，探求二面角的平面角，再利用余弦定理计算即可. 【详解】（1），理由如下： 由分别是的中点，得，而平面，平面， 则平面，又平面平面，平面， 所以. （2）令，连接，由是菱形，，得都是正三角形， 则，，而平面， 于是平面，又平面，则平面平面， 在平面内过作于，由平面平面， 因此平面，连接，则是直线与平面所成的角， 在正中，，， ，则， 于是，， 所以直线与平面所成角的正弦值是. （3）在中，， 即，显然，则有，同理， 取的中点，连接，则，有， 因此是二面角的平面角，而， 则， 所以二面角大小的余弦值是. 【点睛】思路点睛：平面图形翻折问题，在翻折过程中，始终位于同一平面内的点线位置关系和数量关系不变，否则将可能发生变化. （24-25高三·重庆·阶段练习） 7．如图甲所示，在四边形中，.在边上取一点（不含），将沿线段折起，使得平面垂直平面，如图乙所示. (1)若在图甲中，，求二面角的平面角的正切值； (2)当点到平面的距离为时，求四棱锥的体积的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，为二面角的平面角，利用线面、线线垂直关系的转化可求出平面角的正切值. （2）利用几何特征可证点是甲图中线段中点，利用锥体体积公式可求结果. 【详解】（1）∵，∴. ∵平面平面，平面平面，∴平面， ∵平面，∴. 在乙图中，过点作于点，连接， ∵平面，∴平面， ∵平面，∴，故为二面角的平面角． 在甲图中，由余弦定理得， ∵，， ∴，故，． 当时，，，，∴． ∵平面，平面，∴， 在中，，即二面角的平面角的正切值为. （2）由平面垂直平面，则点到直线的距离为， ∴，故， ∴，故，即点是甲图中线段中点， ∴． ∴． （24-25高三·四川南充·阶段练习） 8．如图，三棱柱中，，且与均为等腰直角三角形，． (1)若为等边三角形，证明：平面平面； (2)若二面角的平面角为，求以下各值： ①求点到平面的距离；②求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①，② 【分析】（1）根据等腰直角三角形及等边三角形的性质可得各边长，再根据勾股定理证明线线垂直，根据线线垂直可证线面垂直，进而可证面面垂直； （2）根据二面角的定义可值为等边三角形，①利用等体积转化法可得点到平面距离；②根据二面角的定义可得两平面夹角. 【详解】（1）设的中点为，连接，，如图所示， 因为与均为等腰直角三角形，， 故，，且，， 因为为等边三角形，故， 故，即， 又，平面，， 故平面，且平面， 故平面平面； （2）①由（1）知，，，且平面平面， 故即二面角的平面角，即， 故为等边三角形，则， 因为，，，且，平面， 所以平面， 设线段中点为，则，， 又，平面，， 平面， 又在三角形中易知：， ∴， 又在三角形中，由，， 则，， 则， 设点到平面的距离为， 又由， 可得， 即求点到平面的距离为； ②由①知，平面，而，故平面， 且平面，故，则， 设和的中点分别为，， 连接，，， 则，，， 又因为，故，且平面，平面， 故即二面角的平面角， 且， 因为， 故，则， 所以， 故平面与平面所成角的余弦值为． （2024·广东广州·模拟预测） 9．如图，在三棱台中，为正三角形，，，点为的中点，平面平面．    (1)若，证明：平面平面； (2)若，记平面与平面的交线为，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明面面垂直，转化为证明线面垂直，根据垂直关系转化为证明平面； （2）首先作出交线，再利用垂直关系构造二面角的平面角，即可求解. 【详解】（1）因为平面平面，且平面平面， 因为，且点是，所以，又面， 所以平面，平面， 所以，，且，平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面； （2）由题意知，，， 因为是等边三角形，且点为的中点，则， 又因为平面平面，平面平面，面， 所以平面，且平面， 所以，可得， 取的中点，连结，，    因为，，则，， 且，平面，则平面， 对于梯形，故点作，垂足为，    因为，则，可得， 由，可知，且，， 将三棱台补成三棱锥，则， 设，可知即为直线，则，即，可得， 由，则、、三点共线，且， 可知为线段的中垂线，则， 过点作，垂足为，过作，垂足为，连结， 因为平面，平面，所以， 且，平面， 可得平面，由平面 可得，且，平面， 所以平面，由平面，可得， 可知二面角的平面角为， 因为平面，由平面，所以， 在中，，，， 可得，，则， 在中，，，可得， 在中，可得， 在中，则，可得， 所以二面角的余弦值为. （22-23高三·广东东莞·阶段练习） 10．如图1，平面图形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，与相交于点，现沿着将其折成四棱锥（如图2）． (1)当侧面底面时，求点到平面的距离； (2)在（1）的条件下，线段上是否存在一点．使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）连接，由题意可得平面，则点到平面的距离与点到平面的距离相等，然后结合求解即可； （2）过作交于点，则底面，作交于点，连接，则，即为二面角的平面角，然后求解即可. 【详解】（1）在中，，所以， 因为在直角梯形中，，，， 所以，所以四边形为正方形， 所以，， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以底面， 连接，因为，，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离与点到平面的距离相等， 设点到平面的距离为，由题意得， 则， 因为，所以， 所以，解得， 所以点到平面的距离为； （2）过作交于点， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以底面， 作交于点，连接， 因为底面，底面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面， 所以，所以为二面角的平面角， 则，所以， 所以， 连接，交于点，因为四边形为正方形，所以， 所以，设， 由，得，得， 因为，所以，解得， 因为底面，底面，所以 所以，所以，即, 所以线段上存在一点．使得平面与平面夹角的余弦值为， 此时. 【点睛】关键点点睛：此题考查点面距离的求解，考查二面角，考查平面图形折叠成空间图形问题，解题的关键是弄清折叠前后边角间的关系，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$