2026年高中数学解题方法技巧解答题技法讲义-函数性质法

高分技法13  函数性质法（解答题技法） 近年来，概率常常与数列、函数等其他模块知识联系起来综合考查，函数思想也经常在概率模块问题的解答中体现，强调了函数的工具作用，因此，结合函数的性质求概率的最值是未来的一大考查趋势. 高分技法 利用函数工具求解概率最值问题的3大易失分点 1.设函数时，注意函数自变量的取值范围，尤其注意，概率的取值范围为，在概率问题中，不要忽略这个隐含条件. 2.求导后，结合单调性先求出极值，注意不要混淆极大值与极小值，牢记口诀“先减后增极小值，先增后减极大值”. 3.求出单调性与极值后，结合函数的定义域分析找最值，注意函数的最值有可能在定义域的端点处取到. 【母题1】［2025安徽阜阳模拟，15分］一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐.每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得150分，出现两次音乐获得100分，出现一次音乐获得50分，没有出现音乐则获得-300分，每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立. （1）若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为，求的最大值点. （2）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了，设每盘游戏的得分为随机变量，请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 解析 （1）Step 1+2提取信息，确定的表达式 由题可知，一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为， Step 3求导，分析的单调性 则，由得或（舍去）， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， Step 4分析得的最大值点 所以当时，有最大值，即的最大值点. （2）由题可知的所有可能取值为-300，50，100，150， ，， ，， 所以. 令，， 【构造函数】利用函数性质研究的最值，看是否小于零，如果是，则能够说明问题 则，所以在上单调递增， 所以当时，，故. 这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知： 许多人经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少. 【母题2】［2025广东汕头模拟，15分］2023年11月，教育部发布《中小学实验教学基本目录》，内容包括了中小学16个学科的900多项实验与实践活动，某学校的数学老师组织学生进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到，假设小明在果园中一共会遇到n颗番石榴（不妨设n颗番石榴的大小各不相同），最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前颗番石榴，自第颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设，小明摘到那颗最大番石榴的概率为P. （1）若，，求P； （2）当n趋向于无穷大时，从理论的角度，求P的最大值及P取最大值时t的值.（取） 解析 （1）依题意，4颗番石榴的位置从第1颗到第4颗排序，有（种）情况. 要摘到那颗最大的番石榴，有以下两种情况： ①最大的番石榴是第3颗，其他的随意在哪个位置，有（种）情况； ②最大的番石榴是最后1颗，第二大的番石榴是第1颗或第2颗， 其他的随意在哪个位置，有（种）情况， 所以所求概率为. （2）记事件A表示最大的番石榴被摘到，事件表示最大的番石榴排在第i颗，则， 由全概率公式知. 当时，最大的番石榴在前k颗中，不会被摘到，此时； 当时，最大的番石榴被摘到，当且仅当前颗番石榴中的最大一颗在前k颗之中时，此时. 因此. 令［构造函数：将k看作自变量，构造函数］，求导得，由，得，当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，则，于是当时，取得最大，所以P的最大值为，此时t的值为. 【母题3】（2025高三·全国·专题练习）设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为，，，，.指标可用来刻画X和Y的相似程度，其定义为.设. （1）若，求； （2）若，求的最小值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）不妨设，则. 所以 . （2）当时，， 记 ， 【利用定义，结合对数的运算法则得到关于的关系式】 则 ， 令，则， 令，则， 【一次导数判断不了单调性，进行二次导数】 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，则单调递增，而， 所以在为负数，在为正数， 则在单调递减，在单调递增， 【利用导数求得其最小值】 所以的最小值为. 【母题4】（24-25高三上·湖北·期末）某商家推出一个活动：将n件价值各不相同的产品依次展示在参与者面前，参与者可以选择当前展示的这件产品，也可以不选择这件产品，若选择这件产品，该活动立刻结束；若不选择这件产品，则看下一件产品，以此类推，整个过程参与者只能继续前进，不能返回，直至结束.同学甲认为最好的一定留在最后，决定始终选择最后一件，设他取到最大价值产品的概率为；同学乙采用了如下策略：不取前件产品，自第件开始，只要发现比他前面见过的每一个产品的价值都大，就选择这件产品，否则就取最后一件，设他取到最大价值产品的概率为. （1）若，求和； （2）若价值最大的产品是第件（），求； （3）当趋向于无穷大时，从理论的角度（即），求的最大值及取最大值时的值.（取） 【答案】(1)，；(2)；(3)的最大值为，此时 【解析】（1）由题意可知，，依题意，4个产品的位置从第一个到第4个排序，有种情况，同学乙要取最贵价值产品，有以下两种情况： 最贵价值产品是第3个，其它的随意在哪个位置，有种情况；最贵价值产品是第4个，第二贵价值产品是第1个或第2个，其它的随意在哪个位置，有种情况，所以所求概率 （2）法一：若考虑全部产品排序，价值最大的产品是第件，共有种排法， 先从件产品中挑件产品出来，其中价值最大的产品放在前，剩下的全排列，共种排法，剩下的件产品全排列，即； 法二：若价值最大的产品是第件，则乙同学能取到该产品，只需要前件产品中价值最大的产品排在前件，即； （3）记事件表示最贵价值产品被乙同学取到，事件表示最贵价值产品排在第个，则，由全概率公式可知，， 当时，最贵价值产品在前个中，不会被取到，此时， 当时，最贵价值产品被取到，当且仅当前件产品中最贵的一个在前个之中，此时，此时， 【根据（2）的结果，以及全概率公式求，构造函数】 令，，由，得， 当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 则，于是当时，取得最大值， 所以的最大值为，此时的值为. 【利用导数求函数的最值】 （2025·辽宁沈阳·一模） 1．泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，，其中为自然对数的底数． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值（保留三位小数）； (2)某公司制造微型芯片，次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数． ①若，求在个产品中至少有个次品的概率； ②若，求在个产品中至少有个次品的概率．通过比较计算结果，你发现了什么规律? (3)若，且，求的最大值（保留一位小数）． 参考数据：若，则一有，，；，，． （24-25高三·四川成都·阶段练习） 2．某学校高二年级组织举办了知识竞赛．选拔赛阶段采用逐一答题的方式，每位选手最多有5次答题机会，累计答对3道题则进入初赛，累计答错3道题则被淘汰．初赛阶段参赛者每两人一组进行比赛，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等，得分规则如下：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分，选手抢到试题但没有回答正确得0分，对方选手得5分，2道试题抢答完毕后得分少者被淘汰，得分多者进入决赛（若分数相同，则同时进入决赛） (1)已知选拔赛中选手甲答对每道试题的概率为，且回答每道试题是否正确相互独立，求甲进入初赛的概率； (2)已知初赛中选手甲答对每道试题的概率为，对手答对每道试题的概率为，两名选手回答每道试题是否正确相互独立，求初赛中甲的得分的分布列与期望； (3)进入决赛后，每位选手回答4道试题，至少答对3道试题胜出，否则被淘汰，已知选手甲进入决赛，且决赛中前3道试题每道试题被答对的概率都为p，若甲4道试题全对的概率为，求甲能胜出的概率的最小值. （24-25高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习） 3．甲乙两名选手进行象棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直到一方比另一方多2分为止，多得2分的一方赢得比赛，已知每局比赛中，甲获胜的概率为a，乙获胜的概率为b，双方平局概率为c，，且每局比赛结果相互独立. (1)若，求甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率. (2)若，若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望的最大值. （24-25高三·海南省直辖县级单位·开学考试） 4．第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办．为了普及全运知识，某大学举办了一次全运知识闯关比赛，比赛分为初赛与复赛，初赛胜利后才能参加复赛，初赛规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参加初赛，他们各自闯关成功的概率分别为，假定互不相等，且每人能否闯关成功相互独立． (1)若计划依次派甲、乙、丙进行初赛闯关，，求该小组初赛胜利的概率； (2)已知，若乙只能安排在第二个派出，要使初赛派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出； (3)初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛，复赛规定：单人参赛，每个人回答三道题，全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖，已知某学生进入了复赛，他在复赛中前两道题答对的概率均为，第三道题答对的概率为．若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值． （24-25高三·湖南郴州·开学考试） 5．在扔硬币猜正反游戏中，当硬币出现正面时，猜是正面的概率为.猜是反面的概率为；当硬币出现反面时，猜是反面的概率为，猜是正面的概率为.假设每次扔硬币相互独立. (1)若两次扔硬币分别为“正反”，设猜测全部正确与猜测全部错误的概率分别为，试比较的大小； (2)若不管扔硬币是正面还是反面猜对的概率都大于猜错的概率， （i）从下面①②③④中选出一定错误的结论： ①；②；③，④ （ii）从（i）中选出一个可能正确的结论作为条件.用表示猜测的正反文字串，将中正面的个数记为，如“正反正反”，则，若扔四次硬币分别为“正正反反”，求的取值范围. （23-24高三·山东威海·期末） 6．信息熵是信息论中的一个重要概念，用来刻画一些随机事件的不确定程度.设随机变量所有可能的取值为，且，定义的信息熵. (1)若随机变量的分布列如下表所示.求的值； (2)若，求的最大值及对应的，的值； (3)若，随机变量所有可能的取值为，，试判断与的大小关系. （2024·福建龙岩·三模） 7．某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.    (1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)； (①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，. ) (2)（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望； （ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大. （2024·河南濮阳·模拟预测） 8．现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失．设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞间相互独立．设有一个初始的细胞，在第一个周期中开始分裂，其中． (1)设结束后，细胞的数量为，求的分布列和数学期望； (2)设结束后，细胞数量为的概率为． （ⅰ）求； （ⅱ）证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高分技法13  函数性质法（解答题技法） 近年来，概率常常与数列、函数等其他模块知识联系起来综合考查，函数思想也经常在概率模块问题的解答中体现，强调了函数的工具作用，因此，结合函数的性质求概率的最值是未来的一大考查趋势. 高分技法 利用函数工具求解概率最值问题的3大易失分点 1.设函数时，注意函数自变量的取值范围，尤其注意，概率的取值范围为，在概率问题中，不要忽略这个隐含条件. 2.求导后，结合单调性先求出极值，注意不要混淆极大值与极小值，牢记口诀“先减后增极小值，先增后减极大值”. 3.求出单调性与极值后，结合函数的定义域分析找最值，注意函数的最值有可能在定义域的端点处取到. 【母题1】［2025安徽阜阳模拟，15分］一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐.每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得150分，出现两次音乐获得100分，出现一次音乐获得50分，没有出现音乐则获得-300分，每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立. （1）若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为，求的最大值点. （2）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了，设每盘游戏的得分为随机变量，请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 解析 （1）Step 1+2提取信息，确定的表达式 由题可知，一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为， Step 3求导，分析的单调性 则，由得或（舍去）， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， Step 4分析得的最大值点 所以当时，有最大值，即的最大值点. （2）由题可知的所有可能取值为-300，50，100，150， ，， ，， 所以. 令，， 【构造函数】利用函数性质研究的最值，看是否小于零，如果是，则能够说明问题 则，所以在上单调递增， 所以当时，，故. 这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知： 许多人经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少. 【母题2】［2025广东汕头模拟，15分］2023年11月，教育部发布《中小学实验教学基本目录》，内容包括了中小学16个学科的900多项实验与实践活动，某学校的数学老师组织学生进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到，假设小明在果园中一共会遇到n颗番石榴（不妨设n颗番石榴的大小各不相同），最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前颗番石榴，自第颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设，小明摘到那颗最大番石榴的概率为P. （1）若，，求P； （2）当n趋向于无穷大时，从理论的角度，求P的最大值及P取最大值时t的值.（取） 解析 （1）依题意，4颗番石榴的位置从第1颗到第4颗排序，有（种）情况. 要摘到那颗最大的番石榴，有以下两种情况： ①最大的番石榴是第3颗，其他的随意在哪个位置，有（种）情况； ②最大的番石榴是最后1颗，第二大的番石榴是第1颗或第2颗， 其他的随意在哪个位置，有（种）情况， 所以所求概率为. （2）记事件A表示最大的番石榴被摘到，事件表示最大的番石榴排在第i颗，则， 由全概率公式知. 当时，最大的番石榴在前k颗中，不会被摘到，此时； 当时，最大的番石榴被摘到，当且仅当前颗番石榴中的最大一颗在前k颗之中时，此时. 因此. 令［构造函数：将k看作自变量，构造函数］，求导得，由，得，当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，则，于是当时，取得最大，所以P的最大值为，此时t的值为. 【母题3】（2025高三·全国·专题练习）设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为，，，，.指标可用来刻画X和Y的相似程度，其定义为.设. （1）若，求； （2）若，求的最小值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）不妨设，则. 所以 . （2）当时，， 记 ， 【利用定义，结合对数的运算法则得到关于的关系式】 则 ， 令，则， 令，则， 【一次导数判断不了单调性，进行二次导数】 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，则单调递增，而， 所以在为负数，在为正数， 则在单调递减，在单调递增， 【利用导数求得其最小值】 所以的最小值为. 【母题4】（24-25高三上·湖北·期末）某商家推出一个活动：将n件价值各不相同的产品依次展示在参与者面前，参与者可以选择当前展示的这件产品，也可以不选择这件产品，若选择这件产品，该活动立刻结束；若不选择这件产品，则看下一件产品，以此类推，整个过程参与者只能继续前进，不能返回，直至结束.同学甲认为最好的一定留在最后，决定始终选择最后一件，设他取到最大价值产品的概率为；同学乙采用了如下策略：不取前件产品，自第件开始，只要发现比他前面见过的每一个产品的价值都大，就选择这件产品，否则就取最后一件，设他取到最大价值产品的概率为. （1）若，求和； （2）若价值最大的产品是第件（），求； （3）当趋向于无穷大时，从理论的角度（即），求的最大值及取最大值时的值.（取） 【答案】(1)，；(2)；(3)的最大值为，此时 【解析】（1）由题意可知，，依题意，4个产品的位置从第一个到第4个排序，有种情况，同学乙要取最贵价值产品，有以下两种情况： 最贵价值产品是第3个，其它的随意在哪个位置，有种情况；最贵价值产品是第4个，第二贵价值产品是第1个或第2个，其它的随意在哪个位置，有种情况，所以所求概率 （2）法一：若考虑全部产品排序，价值最大的产品是第件，共有种排法， 先从件产品中挑件产品出来，其中价值最大的产品放在前，剩下的全排列，共种排法，剩下的件产品全排列，即； 法二：若价值最大的产品是第件，则乙同学能取到该产品，只需要前件产品中价值最大的产品排在前件，即； （3）记事件表示最贵价值产品被乙同学取到，事件表示最贵价值产品排在第个，则，由全概率公式可知，， 当时，最贵价值产品在前个中，不会被取到，此时， 当时，最贵价值产品被取到，当且仅当前件产品中最贵的一个在前个之中，此时，此时， 【根据（2）的结果，以及全概率公式求，构造函数】 令，，由，得， 当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 则，于是当时，取得最大值， 所以的最大值为，此时的值为. 【利用导数求函数的最值】 （2025·辽宁沈阳·一模） 1．泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，，其中为自然对数的底数． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值（保留三位小数）； (2)某公司制造微型芯片，次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数． ①若，求在个产品中至少有个次品的概率； ②若，求在个产品中至少有个次品的概率．通过比较计算结果，你发现了什么规律? (3)若，且，求的最大值（保留一位小数）． 参考数据：若，则一有，，；，，． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）分析可知，，利用正态分布原则可求得的值； （2）分别利用独立重复试验的概率公式和泊松分布的概率公式可求得，比较大小后的可得出结论； （3）利用泊松分布得出，由，得出，然后构造函数，结合函数的单调性比较与的大小，以及与的大小，即可得出的最大值. 【详解】（1）因为当，且时，可近似地认为，即， 这里，， 所以， . （2）①若，则； ②若，其中， 则. 比较计算结果，可以发现利用二项分布计算的结果与利用泊松分布计算的结果是相等的，说明某些特定情形下，可以用泊松分布来计算二项分布. （3）由于，所以，， 由泊松分布的概率公式可得，， 所以，， 因为，即， 构造函数，则， 所以，函数在上单调递减， 由于，，所以，， 又因为，需要比较与的大小， 而，所以，相当于比较与的大小， 构造函数， 所以，对任意的恒成立， 所以，函数在上单调递减，且， 所以，，所以，， 即， 且，需要比较与的大小关系，而， 所以相当于比较与的大小， 构造函数，其中，且， ， 当时，，所以，函数在上单调递增， 即，即，即， 因此，的最大值为. 【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答. 数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用. （24-25高三·四川成都·阶段练习） 2．某学校高二年级组织举办了知识竞赛．选拔赛阶段采用逐一答题的方式，每位选手最多有5次答题机会，累计答对3道题则进入初赛，累计答错3道题则被淘汰．初赛阶段参赛者每两人一组进行比赛，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等，得分规则如下：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分，选手抢到试题但没有回答正确得0分，对方选手得5分，2道试题抢答完毕后得分少者被淘汰，得分多者进入决赛（若分数相同，则同时进入决赛） (1)已知选拔赛中选手甲答对每道试题的概率为，且回答每道试题是否正确相互独立，求甲进入初赛的概率； (2)已知初赛中选手甲答对每道试题的概率为，对手答对每道试题的概率为，两名选手回答每道试题是否正确相互独立，求初赛中甲的得分的分布列与期望； (3)进入决赛后，每位选手回答4道试题，至少答对3道试题胜出，否则被淘汰，已知选手甲进入决赛，且决赛中前3道试题每道试题被答对的概率都为p，若甲4道试题全对的概率为，求甲能胜出的概率的最小值. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据独立事件概率公式结合互斥事件和概率公式计算即可； （2）先应用独立事件概率乘积公式，再列分布列计算数学期望即可； （3）先应用n次独立重复实验求概率再结合导函数求出概率的最小值. 【详解】（1）设为甲的答题数，则可能取， ， ， ， 所以甲进入初赛的概率为． （2）由题知，可能取， 则， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 5 10 15 20 所以． （3）因为甲4道试题全对的概率为，所以第4道试题答对的概率为， 所以甲能胜出的概率， 即， 因为， 因为， 所以当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以． 【点睛】关键点点睛：求解概率最小值的关键是设函数应用导函数得出函数单调性进而求出函数的最小值即可. （24-25高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习） 3．甲乙两名选手进行象棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直到一方比另一方多2分为止，多得2分的一方赢得比赛，已知每局比赛中，甲获胜的概率为a，乙获胜的概率为b，双方平局概率为c，，且每局比赛结果相互独立. (1)若，求甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率. (2)若，若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望的最大值. 【答案】(1) (2)分布列见解析，最大值为 【分析】（1）由甲选手恰好在第4局赢得比赛可得各场比赛结果，即可得答案； （2）由题可得X的值可能为2，4，5，据此可得分布列及，后由基本不等式结合二次函数单调性可得最大值. 【详解】（1）若比赛中甲胜，计比赛结果为甲；比赛中乙胜，计比赛结果为乙；比赛平局，计比赛结果为平. 若4局比赛中没有平局，则比赛结果按比赛顺序分别为：甲乙甲甲，乙甲甲甲. 对应概率为：； 若4局比赛中有平局，则比赛结果按比赛顺序分别为：平平甲甲，平甲平甲，甲平平甲. 对应概率为：. 综上，甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率为； （2）因，则比赛结果只有甲乙两种，且. 又比赛最多进行5局，则X的值可能为2，4，5. 时，比赛结果按比赛顺序分别为甲甲，乙乙， 则； 时，比赛结果按比赛顺序分别为甲乙甲甲，乙甲甲甲，乙甲乙乙，甲乙乙乙， 则； 时，说明前4场比赛没有结束比赛，即前4场甲乙打平， 则对应比赛结果按比赛顺序分别为甲乙乙甲甲，乙甲甲乙甲，乙甲乙甲甲，甲乙甲乙甲， 甲乙乙甲乙，乙甲甲乙乙，乙甲乙甲乙，甲乙甲乙乙， 则. 则对应分布列为： X 2 4 5 则. 注意到， 则， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 因为函数在上单调递增， 所以， 故的最大值为. （24-25高三·海南省直辖县级单位·开学考试） 4．第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办．为了普及全运知识，某大学举办了一次全运知识闯关比赛，比赛分为初赛与复赛，初赛胜利后才能参加复赛，初赛规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参加初赛，他们各自闯关成功的概率分别为，假定互不相等，且每人能否闯关成功相互独立． (1)若计划依次派甲、乙、丙进行初赛闯关，，求该小组初赛胜利的概率； (2)已知，若乙只能安排在第二个派出，要使初赛派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出； (3)初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛，复赛规定：单人参赛，每个人回答三道题，全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖，已知某学生进入了复赛，他在复赛中前两道题答对的概率均为，第三道题答对的概率为．若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值． 【答案】(1) (2)甲先派出； (3) 【分析】（1）由独立事件的乘法公式求解即可； （2）分别求出甲乙丙和丙乙甲时的所有可能取值和相应概率，再用期望公式求出对应的期望，作差分解因式即可比较出结果； （3）由独立事件的乘法公式结合题意可得，进而可得，再利用导数分析单调性和最值，得到结果即可； 【详解】（1）设事件表示该小组获胜， 则， 所以该小组初赛胜利的概率为， （2）若依次派出甲乙丙进行闯关，设派出的人员数目为， 则的可能取值为， 则， ， ， 此时， 若依次派出丙乙甲进行闯关，设派出的人员数目为， 则的可能取值为， 则， ， ， 此时， 所以 ， 因为， 所以， 所以， 所以要使初赛派出人员数目的期望较小，先派出甲. （3）由题意可得，， 则， 令， 则， 令， 所以当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 所以， 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是用代换，得到，再构造函数求导分析即可. （24-25高三·湖南郴州·开学考试） 5．在扔硬币猜正反游戏中，当硬币出现正面时，猜是正面的概率为.猜是反面的概率为；当硬币出现反面时，猜是反面的概率为，猜是正面的概率为.假设每次扔硬币相互独立. (1)若两次扔硬币分别为“正反”，设猜测全部正确与猜测全部错误的概率分别为，试比较的大小； (2)若不管扔硬币是正面还是反面猜对的概率都大于猜错的概率， （i）从下面①②③④中选出一定错误的结论： ①；②；③，④ （ii）从（i）中选出一个可能正确的结论作为条件.用表示猜测的正反文字串，将中正面的个数记为，如“正反正反”，则，若扔四次硬币分别为“正正反反”，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式求，作差可得， 分别在条件下确定差的正负，由此可得的大小关系， （2）（i）由条件证明，由不等式性质可求的范围，由此确定一定错误的结论； （ii）由条件，结合互斥事件概率加法公式和独立事件概率乘法公式求， 若选①，令，求出的范围，化简，结合二次函数性质求其范围； 若选③，令，结合对勾函数性质求的范围，化简，结合二次函数性质求其范围； 【详解】（1）猜测全部正确的概率为， 猜测全部错误的概率为， 因为， 所以当时，， 当时，， 当时，， （2）（i）若不管扔硬币是正面还是反面，猜对的概率都大于猜错的概率， 则，解得， 所以， 所以， 因此，②④一定错误， （ii）若扔四次硬币分别为“正正反反”，事件包含以下三种情况： 两个正都猜对，且两个反都猜对，其概率为； 有且只有一个正猜对，且有且只有一个反猜对，其概率为； 两个正都猜错，且两个反都猜错，其概率为； 所以， 若选择①， 令，则，其中， 所以， 所以， 记，， 由二次函数的性质可知，在区间上单调递增， 所以， 即的取值范围是 若选择③， 此时，又， 所以，所以， 令，则 ，， 由对勾函数性质可得函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为 ，，， 所以，， 记，， 由二次函数的性质可知，在区间上单调递减， 所以，即 【点睛】关键点点睛：本题第二小问解决的关键在于结合题意准确理解事件，利用基本事件表示，再结合概率运算公式求其概率表达式. （23-24高三·山东威海·期末） 6．信息熵是信息论中的一个重要概念，用来刻画一些随机事件的不确定程度.设随机变量所有可能的取值为，且，定义的信息熵. (1)若随机变量的分布列如下表所示.求的值； (2)若，求的最大值及对应的，的值； (3)若，随机变量所有可能的取值为，，试判断与的大小关系. 【答案】(1) (2)时，的最大值为. (3) 【分析】（1）先求得的值，结合的定义即可求解； （2）由题意得，构造函数，利用导数求得最值即可； （3）按照定义写出表达式，分析得出，、，两式相加即可得证. 【详解】（1）因为，解得， 所以. （2）由题意知，， 所以， 令， ， 令，可得，所以，解得， 所以在上单调递增， 令，可得，所以，解得， 所以在上单调递减， 因此当时，取得最大值， 即当时，的最大值为. （3） . ， 因为，所以， 所以， 同理因为， 所以， 所以， 所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：第二问的关键在于写出的表达式，进而构造适当的函数，利用导数即可顺利求解. （2024·福建龙岩·三模） 7．某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.    (1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)； (①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，. ) (2)（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望； （ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大. 【答案】(1) (2)（i）分布列见解析，；（ii） 【分析】（1）根据频率分布直方图求得样本平均数，然后利用正态分布的对称性求解概率. （2）（i）先求出的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可； （ii）先根据二项分布的期望求出，然后构造函数，利用导数求出最大值时的即可. 【详解】（1）由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为： ． 即，，所以， 因为质量指标值近似服从正态分布， 所以， 所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为等品的概率约为. （2）（i），所以所取样本的个数为20件， 质量指标值在的芯片件数为10件，故可能取的值为0，1，2，3， 相应的概率为： ，， ，， 随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望. （ii）设每箱产品中A等品有件，则每箱产品中等品有件， 设每箱产品的利润为元， 由题意知：， 由（1）知：每箱零件中A等品的概率为， 所以，所以， 所以 . 令，由得，， 又，，单调递增，，，单调递减， 所以当时，取得最大值. 所以当时，每箱产品利润最大. （2024·河南濮阳·模拟预测） 8．现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失．设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞间相互独立．设有一个初始的细胞，在第一个周期中开始分裂，其中． (1)设结束后，细胞的数量为，求的分布列和数学期望； (2)设结束后，细胞数量为的概率为． （ⅰ）求； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)分布列见解析， (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）求出的取值及不同取值对应的概率，进而列出分布列，利用期望公式求出期望； （2）（i）求出第时分裂为2个细胞的概率，再用等比数列求和公式，即可求解； （ii）求出第时分裂为3个细胞的概率，再用等比数列求和公式，求出，再利用导数法确定函数的单调性，从而确定最值，即可得证. 【详解】（1）结束后，的取值可能为，其中， ， 所以分布列为 1 2 3 4 ． （2）（ⅰ）表示分裂结束后共有2个细胞的概率，则必在某一个周期结束后分裂成2个细胞. 不妨设在第时分裂为2个细胞，之后一直有2个细胞，此事件概率 ， 所以． （ⅱ）代表分裂后有3个细胞的概率，设细胞在后分裂为2个新的细胞， 这2个细胞在剩下的中，其中一个分裂为2个细胞，一个保持一直分裂为1个细胞， 此事件的概率， 得， ， 其中．令， 记，令，得． 当单调递增；当单调递减． 故，所以． 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个，一是求解时，利用等比数列的知识求解；二是求解的最值时，根据解析式的特点，利用导数来求解. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$