2026年高中数学解题方法技巧解答题技法讲义-函数巧构造

高分技法8  函数巧构造（解答题技法） 构造函数法就是借助已知条件，根据问题需要对待证不等式等价变形，构造新函数，利用新函数的性质（单调性等）解决问题．该方法在高考中常用于解决南不等式恒成立求参、不等式恒成立证明等问题． 实操 一、差商构造模型 思路：将证明转化为证明或(此时函数值均大于0)； 步骤：作差(商)变形构造新函数利用导数研究的单调性与最值原不等式得证； 二、分参构造模型 分离参数后，对不含参的一边进行构造处理； 三、同构模型 中心思想： 示例： 【母题1】［2022新高考Ⅱ卷改编，15分］已知函数． （1）当时，求的单调区间． （2）当时，，求a的取值范围． （3）设，证明：． 解析 （1）当时，，则， 当时，；当时，． 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是． （2）设，，则． 【作差构造】直接利用作差法构造函数，转化为恒成立即可 设，则． 若，则，因为为连续函数，故存在，使得，， 故在上，单调递增，此时，即，从而在上单调递增，故，与题设矛盾，不满足题意． 若，． 【同构变形】有关指数、对数常用的变形技巧：，．这些技巧经常可以帮助我们化成同构的形式 下面证明对任意，总有成立． 设，则， 故在上单调递减，故，即在上恒成立， 【结论提炼】将有关对数的常用不等式（当且仅当时取等号）中的x换成就可以得到（与且仅当时取等号） 由上述不等式有， 故恒成立，即在上单调递减，所以． 若，对于，， 所以在上单调递减，所以，满足题意． 综上，a的取值范围是． （3）先证不等式成立． 不等式成立 （其中），构造函数，则． 当时，， 所以函数在上单调递减，，从而不等式成立． 令，，则有， 整理可得， 故，即， 即成立． 【母题2】［2025江西南昌7月检测，13分］已知函数． （1）讨论函数的零点个数． （2）否存在正实数k，是使得恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． （1）， 则， 则在上单调递减， 当时，，当时，，所以函数有且只有1个零点． （2）由得，即． 设［分参构造：分离参数后构造函数，利用函数的单调性求最值即可］，， 则． 设［方法提炼：一阶导数值的正负无法判断的时候，往往要继续求导，但是我们只需要对一阶导数中不知道正负的那一部分求导，不需要整体求导］，，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，则恒成立， 所以函数在上单调递减， 又时，，且［关键提醒：函数在上单调递减，严格地说在上是没有最小值的，但是我们可以去研究时的极限，假如这个极限是个正数，我们还是能够找到这样的正实数k］， 所以不可能存在正实数k，使得恒成立． 【母题3】（24-25高三·福建三明·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的单调减区间； (2)讨论函数的单调性； (3)函数有两个零点，求证：. 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)证明见解析 【解析】（1）函数的定义域为，当时，函数， 所以 令，解得，所以函数的减区间是. （2）函数的定义域为， 又， ①当时，对任意的，当；当， 此时函数在上单调递减，在上单调递增； ②当时，由可得，由可得或， 此时函数在上单调递减，在和上单调递增； ③当时，恒成立，此时函数在上单调递增； ④当时 由可得，由可得或， 此时函数在上单调递减，在和上单调递增； 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、. （3）， 因为函数有两个零点，不妨设， 则，所以， 【作商同构，由，将所证不等式等价变形为，令，即证】 整理可得，即， 要证，即证，即证， 令，即证， 令，其中，则，所以函数在上为增函数，则， 即，即，故原不等式得证. 【母题4】（24-25高三·上海青浦·阶段练习）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数a的值； (3)已知，有.若，，求证：. 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析 【解析】（1）由于，故.所以，， 所以所求的切线经过，且斜率为1，故其方程为. （2）设，则， 从而当时，当时. 所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当. 设，则. 当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有. 【构造函数，得到，命题等价于对任意，都有，放缩得到】 一方面，若对任意，都有，则对， 有， 取，得，故. 再取，得，所以. 另一方面，若，则对任意都有， 满足条件.综合以上两个方面，知a的值是2. （3）由. 可知，当时，在上递增， 已知，有 当时，放缩法得： . 综上，.若，，. （2025·北京延庆·一模） 1．已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，求的单调区间； (3)若，且，证明：. （24-25高三·海南海口·阶段练习） 2．已知函数. (1)求函数的极值； (2)求证：当时，. （24-25高三·北京顺义·阶段练习） 3．已知函数， (1)求曲线在处的切线方程； (2)设函数，求函数的单调区间； (3)在（2）的条件下，若函数的图象恒在直线的图象的上方，求实数的最大值. （24-25高三·陕西·阶段练习） 4．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若，求的取值范围． （2025·辽宁辽阳·一模） 5．已知函数，. (1)求的单调区间； (2)若的最大值为，证明：，. （24-25高三·重庆·阶段练习） 6．已知函数. (1)当时，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围； (2)若对，不等式恒成立，其中为自然对数的底数，求的最小值. （24-25高三·江苏无锡·阶段练习） 7．已知函数． (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)设，，，恒成立，求实数的取值范围； (3)若，求证：． （24-25高三·山东济南·阶段练习） 8．已知函数． (1)求的极值； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围． (3)若方程有两个不等正根，求实数的取值范围． （2025·山东潍坊·一模） 9．已知函数，． (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)当时，求的解集； (3)若函数图象上有三个点，，，并且从左到右横坐标成等差数列，判断曲线在点处的切线斜率与，两点连线斜率的大小关系． （24-25高三·上海·阶段练习） 10．定义域为的函数存在导函数，如果对于定义域上的任意实数，不等式恒成立，则称函数具有“性质”，其中 为常数. (1)若，判断函数是否具有“2性质”，并说明理由； (2)若，函数的定义域为且具有“1性质”，求实数的取值范围； (3)已知定义域为的函数的表达式为，该函数具有“2性质”，证明：存在实数，对任意，当时，不等式 恒成立. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高分技法8  函数巧构造（解答题技法） 构造函数法就是借助已知条件，根据问题需要对待证不等式等价变形，构造新函数，利用新函数的性质（单调性等）解决问题．该方法在高考中常用于解决南不等式恒成立求参、不等式恒成立证明等问题． 实操 一、差商构造模型 思路：将证明转化为证明或(此时函数值均大于0)； 步骤：作差(商)变形构造新函数利用导数研究的单调性与最值原不等式得证； 二、分参构造模型 分离参数后，对不含参的一边进行构造处理； 三、同构模型 中心思想： 示例： 【母题1】［2022新高考Ⅱ卷改编，15分］已知函数． （1）当时，求的单调区间． （2）当时，，求a的取值范围． （3）设，证明：． 解析 （1）当时，，则， 当时，；当时，． 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是． （2）设，，则． 【作差构造】直接利用作差法构造函数，转化为恒成立即可 设，则． 若，则，因为为连续函数，故存在，使得，， 故在上，单调递增，此时，即，从而在上单调递增，故，与题设矛盾，不满足题意． 若，． 【同构变形】有关指数、对数常用的变形技巧：，．这些技巧经常可以帮助我们化成同构的形式 下面证明对任意，总有成立． 设，则， 故在上单调递减，故，即在上恒成立， 【结论提炼】将有关对数的常用不等式（当且仅当时取等号）中的x换成就可以得到（与且仅当时取等号） 由上述不等式有， 故恒成立，即在上单调递减，所以． 若，对于，， 所以在上单调递减，所以，满足题意． 综上，a的取值范围是． （3）先证不等式成立． 不等式成立 （其中），构造函数，则． 当时，， 所以函数在上单调递减，，从而不等式成立． 令，，则有， 整理可得， 故，即， 即成立． 【母题2】［2025江西南昌7月检测，13分］已知函数． （1）讨论函数的零点个数． （2）否存在正实数k，是使得恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． （1）， 则， 则在上单调递减， 当时，，当时，，所以函数有且只有1个零点． （2）由得，即． 设［分参构造：分离参数后构造函数，利用函数的单调性求最值即可］，， 则． 设［方法提炼：一阶导数值的正负无法判断的时候，往往要继续求导，但是我们只需要对一阶导数中不知道正负的那一部分求导，不需要整体求导］，，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，则恒成立， 所以函数在上单调递减， 又时，，且［关键提醒：函数在上单调递减，严格地说在上是没有最小值的，但是我们可以去研究时的极限，假如这个极限是个正数，我们还是能够找到这样的正实数k］， 所以不可能存在正实数k，使得恒成立． 【母题3】（24-25高三·福建三明·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的单调减区间； (2)讨论函数的单调性； (3)函数有两个零点，求证：. 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)证明见解析 【解析】（1）函数的定义域为，当时，函数， 所以 令，解得，所以函数的减区间是. （2）函数的定义域为， 又， ①当时，对任意的，当；当， 此时函数在上单调递减，在上单调递增； ②当时，由可得，由可得或， 此时函数在上单调递减，在和上单调递增； ③当时，恒成立，此时函数在上单调递增； ④当时 由可得，由可得或， 此时函数在上单调递减，在和上单调递增； 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、. （3）， 因为函数有两个零点，不妨设， 则，所以， 【作商同构，由，将所证不等式等价变形为，令，即证】 整理可得，即， 要证，即证，即证， 令，即证， 令，其中，则，所以函数在上为增函数，则， 即，即，故原不等式得证. 【母题4】（24-25高三·上海青浦·阶段练习）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数a的值； (3)已知，有.若，，求证：. 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析 【解析】（1）由于，故.所以，， 所以所求的切线经过，且斜率为1，故其方程为. （2）设，则， 从而当时，当时. 所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当. 设，则. 当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有. 【构造函数，得到，命题等价于对任意，都有，放缩得到】 一方面，若对任意，都有，则对， 有， 取，得，故. 再取，得，所以. 另一方面，若，则对任意都有， 满足条件.综合以上两个方面，知a的值是2. （3）由. 可知，当时，在上递增， 已知，有 当时，放缩法得： . 综上，.若，，. （2025·北京延庆·一模） 1．已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，求的单调区间； (3)若，且，证明：. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为， (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解； （2）求出导数，再根据得出方程的根，列表即可求出函数单调区间； （3）求出，构造函数，利用导数判断函数单调性，由单调性求出函数最小值即可得证. 【详解】（1）由，所以 所以， 又， 所以曲线在处的切线方程为， 即 （2）由，定义域为， 令得或 因为，所以. 所以， 列表： 0 0 递减 递增 递减 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， （3）因为， 又，， 所以是方程的两个根. 依题意，有， 所以，即， 所以 ， 令，则， 令，则 因为，所以， 所以在上是增函数， 所以，所以在为减函数， 所以，即. 【点睛】关键点点睛：根据题意计算出是解题的第一个关键，再由二次求导判断出函数单调性，利用单调性求最值是解决问题的第二个关键所在. （24-25高三·海南海口·阶段练习） 2．已知函数. (1)求函数的极值； (2)求证：当时，. 【答案】(1)的极小值为，无极大值 (2)证明见解析 【分析】（1）对求导，利用导数判断函数的单调性，进而求得函数的极值； （2）不等式等价于 令，利用导数证明即可. 【详解】（1）令解得， 当时， 在上单调递减； 当时，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）原不等式等价于：，即 令， 对求导得 令对求导可得等号当且仅当时成立， 所以在上单调递增，，等号当且仅当时成立； 所以在上单调递减，，即原不等式成立. （24-25高三·北京顺义·阶段练习） 3．已知函数， (1)求曲线在处的切线方程； (2)设函数，求函数的单调区间； (3)在（2）的条件下，若函数的图象恒在直线的图象的上方，求实数的最大值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)2 【分析】（1）求出函数在处的导数，利用点斜式方程即可得到切线方程； （2）求出的导数，讨论参数的范围，根据的符号，写出单调区间； （3）将函数图象的位置关系转化为函数等式恒成立问题，根据(2)中的单调区间，求参数范围即可. 【详解】（1）已知函数 ，则， 将代入可得 将代入可得， 所以切点为,切线斜率, 则切线方程为，整理得； （2）已知，其定义域为. ， 令，， 当，即时，恒成立(因为二次函数开口向上)， 则恒成立，所以在上单调递增； 当，即时，由，根据求根公式可得，； 则在和上, 单调递增； 在上，, , 单调递减； 综上，当时，的单调递增区间为，无减区间； 当时，的 单 调 递 增 区 间 为 和 , 单 调 递 减 区 间 为 . （3）由题意知在上恒成立，即在上恒成立， 等价于在上恒成立， 令，则恒成立， 对进行求导，， 令，对其求导得， 所以在上单调递增； 又，所以当时，，即, 所以在上单调递增， 因为在上单调递增，所以， 所以, 即实数的最大值为2. （24-25高三·陕西·阶段练习） 4．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)函数的单调减区间为，无单调增区间. (3) 【分析】（1）由函数解析式求得切点坐标，再由导数求得切线斜率，根据点斜式，可得答案； （2）由函数解析式求导，根据导数与函数单调性的关系，可得答案； （3）利用参变分离整理不等式，并构造函数，由导数与隐零点的思想求得函数的最小值，可得答案. 【详解】（1）由，则， 求导可得，则， 所以切线方程为， 整理可得. （2）由，则，求导可得， 令，求导可得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，即， 故函数单调减区间为，无单调增区间. （3）由不等式，整理可得， 令，求导可得， 令，,函数在上单调递增， 由，，则存在，使得，即， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故， 可得. （2025·辽宁辽阳·一模） 5．已知函数，. (1)求的单调区间； (2)若的最大值为，证明：，. 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系可求出函数的增区间和减区间； （2）由函数的最大值可求出的值，将所证不等式变形为，构造函数，利用导数分析函数的单调性与极值，可证得，即可证得结论成立. 【详解】（1）因为函数的定义域为，且， 由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为. （2）由（1）知，，解得， 要证，即证，即证， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，，即， 所以，，，即. （24-25高三·重庆·阶段练习） 6．已知函数. (1)当时，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围； (2)若对，不等式恒成立，其中为自然对数的底数，求的最小值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用导数可得到函数最小值，结合零点存在性定理分情况讨论即可； （2）将问题转化为，令，利用导数分情况讨论即可，构造函数，由导数求出最值，进而求解. 【详解】（1），则， 令得，即在递减； 令得，即在递增， 故最小值为， ①当，即时，恒成立，故无零点，不满足题意； ②当，即时，当时恒成立，故有1个零点，不满足题意； ③当，即时，，且，（或者时，）， 由零点的存在性定理可知在上有1个零点， 又，则， 则在上递增，上递减， 则，即，则，当且仅当时取等， 则，（或者时，）， 故由零点的存在性定理可知在上有1个零点，即在上有两个零点， 综上：有两个零点，则. （2），则， 令，则， ①当时，， 的最小值为，的最小值为； ②当时，，则在递减，且时，， 故不能恒成立； ③当时，令可得，即在上递增， 令可得，即在上递减， 故， 则， 故， 令，故， 令， 则， 令可得，即在递减； 令可得，即在递增则， 则的最小值为，当且仅当时取得等号. 综上可知，的最小值为. （24-25高三·江苏无锡·阶段练习） 7．已知函数． (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)设，，，恒成立，求实数的取值范围； (3)若，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，求出切线斜率，然后利用点斜式求出直线方程； （2）将条件转换为，根据恒成立的关系，即，然后利用导数求出两边的最值即可； （3）现根据条件推出，然后利用反证法证明. 【详解】（1），所以， 又，所以切线方程为； （2），，， 所以， 由（1）得，令， 当时，，严格增， 当时，，严格减， 所以； 令， ， 令， 当时，，严格减， 当时，，严格增， 所以， 所以， 所以实数的取值范围为； （3）由（2）得当时，，严格增， 当时，，严格减， 若，则 假设，则， 所以， 下面比较时，与的大小， 令，则，， ， 令， ， 所以单调递增， 所以，与假设推出的矛盾， 所以假设不成立，所以. （24-25高三·山东济南·阶段练习） 8．已知函数． (1)求的极值； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围． (3)若方程有两个不等正根，求实数的取值范围． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2) (3) 【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性进而得出极值； （2）根据函数在上单调递增，再构造函数即可得出，再求导即可得出最大值求参； （3）把有两个正根得出方程有两个根，构造函数分讨论单调性，结合零点存在定理即可求解. 【详解】（1）由题意得， 令，得，当时，；当时，； 则在上单调递增，在上单调递减， 故时函数取到极大值，极大值为，无极小值； （2）因为在上单调递增，所以恒成立，所以恒成立， 设，所以，因为，当单调递增； 当单调递增； 当单调递减；所以，所以； （3）由题意与的图象有两个交点，即有两个根， 即方程有两个根， 令， 令， ①若，即， 则在上单调递增，至多有一个零点，不满足题意； ②若在上单调递减， 当时，， 令，得，故当时，， 当时，，令，得， 故当时，， 所以在上存在唯一零点，且， 当时，，当时，， 故时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，即， 故， 要使得有两个零点，则必有，即， 由于，此时，得； 下证时，有两个零点， 因为，由（1）知恒成立， 故，仅当时取等号， 所以， 故在和上各有一个零点， 综上，当时，有两个零点，即与的图象有两个交点． （2025·山东潍坊·一模） 9．已知函数，． (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)当时，求的解集； (3)若函数图象上有三个点，，，并且从左到右横坐标成等差数列，判断曲线在点处的切线斜率与，两点连线斜率的大小关系． 【答案】(1)和 (2) (3)曲线在点处的切线斜率小于两点连线的斜率 【分析】（1）求导，根据，令求得增区间； （2）当时，可判断在上单调递增，结合求解； （3）设出三点坐标，分别表示出曲线在点处切线斜率和两点连线斜率，通过作差比较，构造函数借助导数证明. 【详解】（1）由，， 令，得或，由于，则， 令，解得或， 所以的单调增区间为和. （2）当时，，且， 又，即在上单调递增， 所以的解集为. （3）设，，，且，， 曲线在点处切线斜率为， 两点连线斜率为 ， ， 令，则， 令，， 则，令， ，即在上单调递减， ，即， 所以在上单调递减，故， ，又，即， 所以，即， 所以曲线在点处切线斜率小于两点连线斜率. （24-25高三·上海·阶段练习） 10．定义域为的函数存在导函数，如果对于定义域上的任意实数，不等式恒成立，则称函数具有“性质”，其中 为常数. (1)若，判断函数是否具有“2性质”，并说明理由； (2)若，函数的定义域为且具有“1性质”，求实数的取值范围； (3)已知定义域为的函数的表达式为，该函数具有“2性质”，证明：存在实数，对任意，当时，不等式 恒成立. 【答案】(1)具有“2性质”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义直接判断即可； （2）结合定义可得对任意的恒成立，进而得到对任意的恒成立，令，进而结合导数分析单调性求得最值即可求解； （3）先根据定义得到对任意的恒成立，分类讨论求得，再结合题意可得，令，，进而结合导数分析求解即可. 【详解】（1）具有“2性质”，理由如下： 因为，所以， 所以， 所以恒成立，所以具有“2性质”； （2）因为，所以， 因为函数在上具有“1性质”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则， 当时，；当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 所以实数的取值范围为. （3）因为，所以， 因为函数在上具有“2性质”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 当时，对任意的，上式恒成立，符号题意； 当时，恒成立， 设，， 则，所以函数在上单调递减， 所以，即； 当时，恒成立， 设，， 则，所以函数在上单调递减， 所以，即. 综上所述，. 要证对任意的，当时，都有恒成立， 不妨设，则，则， 即证恒成立， 即恒成立， 令，， 即存在，使得在上为增函数， 即存在，使得， 即对任意的恒成立， 可得对任意的恒成立， 令，， 则，所以在上单调递增， 又，所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以对任意，当时，不等式恒成立. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$