第三章 圆锥曲线的方程单元综合测试-2025 年新高二数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（人教A版2019）

第三章 圆锥曲线的方程单元综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的准线方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知抛物线的焦点在y轴上，开口向下，且，则准线方程. 故选：A． 2．双曲线的渐近线方程的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】双曲线的焦点位于轴，且，， 所以其渐近线方程为， 故斜率为， 故选：B. 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，经过且倾斜角为的直线与交于两点（在上方），在上的射影点恰为的中点，则的离心率为：（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接，则由中垂线的性质：，又，所以△为等边三角形，由椭圆的对称性，为其上顶点，所以. 故选：C． 4．若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为， 由题知，， 于是，则， 即. 故选：D 5．已知抛物线的方程为，则“抛物线经过点”是“抛物线的焦点为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】若抛物线经过点，， 所以抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为，故充分性不成立； 若抛物线的焦点为，则， 所以抛物线方程为，则，即抛物线不经过点， 所以必要性不成立， 故“抛物线经过点”是“抛物线的焦点为”的既不充分也不必要条件． 故选：D 6．已知抛物线的焦点为F，准线为l，与y轴平行的直线与l和抛物线E分别交于A，B两点，且，则（    ） A． B． C．6 D．4 【答案】D 【解析】由抛物线定义可知， 因为，所以为等边三角形， 故，， 所以， 其中准线l与轴交点为，则，故， 所以. 故选：D. 7．设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C 8．对于曲线，给出两个结论：①曲线所围成的封闭图形的面积小于8；②曲线上的点到原点的距离的最大值为．则（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】A 【解析】对于①，由，得，当且仅当时取等号， 由，得，当且仅当时取等号， 因此曲线在一个长为4，宽为2的矩形及内部， 因此曲线所围成的封闭图形的面积小于，①正确； 对于②，设曲线上一点为，由，设， 则到原点的距离的平方为， 其中锐角由确定，当时，距离平方有最大值，即， 因此距离的最大值为，②正确． 所以选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知椭圆：，：，则（   ） A．与的离心率相等 B．与的焦距相等 C．与的长轴长相等 D．的短轴长是的短轴长的两倍 【答案】BD 【解析】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆的离心率，椭圆的离心率，A错误； 对于B，椭圆与的焦距长都为6，相等，B正确； 对于C，椭圆与的长轴长不相等，C错误； 对于D，椭圆的短轴长是的短轴长的两倍，D正确. 故选：BD 10．已知曲线，则下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线C表示椭圆 B．当时，曲线C表示双曲线 C．曲线C可能表示两条直线 D．曲线C不可能表示抛物线 【答案】BD 【解析】若曲线C表示椭圆，则，解得，故A错误； 若曲线C表示双曲线，则，解得，故B正确； 曲线C不可能表示两条直线，故C错误； 无论m取何值，曲线C都不可能表示抛物线，故D正确． 故选：BD． 11．设双曲线的左、右焦点分别为，，且，，为上关于坐标原点中心对称的两点，则下列说法正确的有（   ） A．的实轴长为 B． C．若，则直线的斜率为 D．若，则 【答案】BD 【解析】设为双曲线的半焦距，则2， 由，即，所以的实轴长为，故A错误； 由于关于原点中心对称，关于原点中心对称， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以，故B正确； 由，解得，所以， 所以直线斜率即直线斜率，，故C错误； 由，，可得，， 则，所以， 又，所以，故D正确. 故选：BD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知双曲线与抛物线有共同的焦点F，且点F到双曲线渐近线的距离等于1，那么双曲线的方程为 ． 【答案】 【解析】对于抛物线，其焦点坐标为. 在抛物线中，，则，所以焦点的坐标为. 因为双曲线与抛物线有共同的焦点，所以双曲线的半焦距. 双曲线的一条渐近线方程为. 点到直线（、不同时为）的距离公式为. 已知点到双曲线渐近线的距离等于，根据点到直线的距离公式可得. 又因为，所以，即，因为，所以. 由，，，可得，即，解得，因为，所以. 将，代入双曲线方程，可得双曲线的方程为. 故答案为：. 13．已知直线经过椭圆的一个顶点，则的离心率为 . 【答案】/ 【解析】令，得，显然点不可能是的一个顶点， 令，得，所以点是的一个顶点， 所以，故椭圆的离心率. 故答案为： 14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过作斜率为的直线交于第一象限的点，则外接圆的半径为 . 【答案】 【解析】因为，且， 解得，， 又，设，则， 由余弦定理知， 即，解得， 即，，则易知， 故，的外接圆半径为. 故答案为:. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l与C交于两点，为坐标原点，若的面积为，求． 【解析】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. （2） 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 16．（15分） 设，分别是直线和上的动点，且，动点为线段的中点． (1)求动点的轨迹方程； (2)已知线段是圆的一条直径，求的最大值． 【解析】（1），分别是直线和上的动点， 设，，， 点为线段的中点，则，， 又， ，即， 动点的轨迹方程为. （2）线段是圆的一条直径，圆心为，半径为， ， ， ，当时，取得最大值． 17．（15分） 已知抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点. (1)求抛物线的标准方程； (2)设直线与交于两点. ①当时，求的面积； ②过点分别作抛物线的切线交于点，证明：点在定直线上. 【解析】（1）由题意，可设抛物线的标准方程为.， 因为点在抛物线上，可得，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）①当时，直线， 联立方程组，整理得， 方程的判别式， 设，，则，， 所以， 又由到直线的距离， 所以的面积； ②联立方程组，整理得， 设，，则且，， 不妨设在第一象限，则在曲线上，则有， 则在处的切线方程为， 又由，可得在处的切线方程为， 同理可得，点在曲线上，则有， 则在处的切线方程为，且； 所以在处的切线方程为， 联立方程组，解得，所以点在定直线上. 18．（17分） 平面直角坐标系中，已知点，动点在轴上的投影为，且，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知点，在曲线上，点在轴上方且异于点，点在轴下方，直线，，与轴分别交于点，，． （i）若，求的取值范围； （ii）求证：． 【解析】（1）设，则，由得， 整理得曲线的方程为：． （2）（i）联立直线与得：，故， 又，以替代，得，所以，即轴． 于是，，即|AB|的取值范围为．     （ii）联立直线与得：， 由韦达定理，，由， 在直线中，令得，同理，又， 于是 . 19．（17分） 已知抛物线仅经过中的一点． (1)求的方程． (2)过原点作圆的两条切线，切点分别为E，F．且E，F在的准线上． ①求； ②若是圆上纵坐标最大的点，点M，N在上，线段PM，PN的中点分别为，，且点G，H也在上，求|MN|． 【解析】（1）因为中的， 所以点不可能在上， 点关于轴对称，要么都在上，要么都不在上， 因为只经过四个点中的一点，所以都不在上， 所以点在上，将其坐标代入，得， 所以的方程为 （2）（i）由题可知，O，E，D，F四点共圆，该圆是以OD为直径的圆， 又，所以该圆的方程为，．． 与圆的方程相减，得直线EF即的准线的方程为， 解得． （ii）由（i）可知． 设． 因为点G，H在上，所以， 将代入，可得， 同理有， 所以是方程的两个根， 所以， 所以 . 第2页，共13页 第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 圆锥曲线的方程单元综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的准线方程（    ） A． B． C． D． 2．双曲线的渐近线方程的斜率为（   ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，经过且倾斜角为的直线与交于两点（在上方），在上的射影点恰为的中点，则的离心率为：（    ）． A． B． C． D． 4．若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 5．已知抛物线的方程为，则“抛物线经过点”是“抛物线的焦点为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知抛物线的焦点为F，准线为l，与y轴平行的直线与l和抛物线E分别交于A，B两点，且，则（    ） A． B． C．6 D．4 7．设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．对于曲线，给出两个结论：①曲线所围成的封闭图形的面积小于8；②曲线上的点到原点的距离的最大值为．则（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知椭圆：，：，则（   ） A．与的离心率相等 B．与的焦距相等 C．与的长轴长相等 D．的短轴长是的短轴长的两倍 10．已知曲线，则下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线C表示椭圆 B．当时，曲线C表示双曲线 C．曲线C可能表示两条直线 D．曲线C不可能表示抛物线 11．设双曲线的左、右焦点分别为，，且，，为上关于坐标原点中心对称的两点，则下列说法正确的有（   ） A．的实轴长为 B． C．若，则直线的斜率为 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知双曲线与抛物线有共同的焦点F，且点F到双曲线渐近线的距离等于1，那么双曲线的方程为 ． 13．已知直线经过椭圆的一个顶点，则的离心率为 . 14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过作斜率为的直线交于第一象限的点，则外接圆的半径为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l与C交于两点，为坐标原点，若的面积为，求． 16．（15分） 设，分别是直线和上的动点，且，动点为线段的中点． (1)求动点的轨迹方程； (2)已知线段是圆的一条直径，求的最大值． 17．（15分） 已知抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点. (1)求抛物线的标准方程； (2)设直线与交于两点. ①当时，求的面积； ②过点分别作抛物线的切线交于点，证明：点在定直线上. 18．（17分） 平面直角坐标系中，已知点，动点在轴上的投影为，且，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知点，在曲线上，点在轴上方且异于点，点在轴下方，直线，，与轴分别交于点，，． （i）若，求的取值范围； （ii）求证：． 19．（17分） 已知抛物线仅经过中的一点． (1)求的方程． (2)过原点作圆的两条切线，切点分别为E，F．且E，F在的准线上． ①求； ②若是圆上纵坐标最大的点，点M，N在上，线段PM，PN的中点分别为，，且点G，H也在上，求|MN|． 第4页，共5页 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$