第三章 圆锥曲线的方程全章综合检测卷-【暑假预科讲义】2024年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

第三章 圆锥曲线的方程全章综合检测卷 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）（23-24高二上·陕西榆林·期中）双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（5分）（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是（    ） A． B．或 C． D．或 3．（5分）（23-24高二上·福建厦门·期中）已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（22-23高三下·全国·阶段练习）已知是椭圆的左，右焦点，点P在椭圆上，，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（    ）    A． B． C． D． 6．（5分）（23-24高二下·陕西榆林·期末）已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（23-24高二上·福建泉州·期末）已知抛物线的焦点为，点，点在抛物线上，且满足，若的面积为，则的值为（    ） A． B．4 C． D．9 8．（5分）（23-24高二上·全国·单元测试）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与交于点两点，若面积是的2倍，则（    ） A． B． C． D． 二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9．（5分）（23-24高二上·山东烟台·期末）（多选）已知曲线Γ：（），则（    ） A．Γ可能是等轴双曲线 B．若Γ表示焦点在y轴上的椭圆，则 C．Γ可能是半径为的圆 D．若Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则 10．（5分）（23-24高二上·广东中山·阶段练习）已知双曲线，点P是C上的任意一点，则下列结论正确的是（    ） A．若直线与双曲线C无交点，则 B．焦点到渐近线的距离为2 C．点P到两条渐近线的距离之积为 D．点P到点与到直线的距离之比为 11．（5分）（23-24高二上·河南·阶段练习）已知为抛物线的焦点，直线与交于，两点，弦中点的横坐标为4，，则（    ） A．的斜率为1 B．在轴上的截距为 C．弦中点的纵坐标为 D． 12．（5分）（23-24高二上·江苏镇江·期末）已知为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于两点，轴，垂足为与椭圆的另一个交点为，则（    ） A．的最小值为3 B．面积的最大值为 C．直线的斜率为 D．为直角 三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．（5分）（23-24高二上·北京海淀·期中）已知焦点在x轴上的椭圆离心率为，则实数m等于 ． 14．（5分）（23-24高二上·陕西西安·期末）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，那么 ． 15．（5分）（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知双曲线的左顶点为，点为双曲线一条渐近线上的一点，直线与双曲线的另一条渐近线交于点.若直线的斜率为1，且点是线段的一个三等分点，则双曲线的离心率为 . 16．（5分）（2024·全国·模拟预测）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过点作直线交两条渐近线于点，，且．若点在轴上的射影为，则 ． 四．解答题（共6小题，满分70分） 17．（10分）（2024高二上·江苏·专题练习）求满足下列条件的参数的值． (1)已知双曲线方程为焦距为6，求k的值； (2)椭圆与双曲线有相同的焦点，求a的值． 18．（12分）（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知点P到的距离与它到x轴的距离的差为4，P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)若直线与C交于A，B两点，且弦中点的横坐标为，求的斜率. 19．（12分）（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上一点． (1)当为椭圆的上顶点时，求的大小； (2)直线与椭圆交于，若，求的值. 20．（12分）（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知拋物线的准线方程为，过点作斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，. (1)求的取值范围； (2)若为直角三角形，且，求的值. 21．（12分）（23-24高二上·浙江·阶段练习）如图，双曲线的离心率为，实轴长为，，分别为双曲线的左右焦点，过右焦点的直线与双曲线右支交于A，B两点，其中点A在第一象限.连接与双曲线左支交于点C，连接分别与x，y轴交于D，E两点. (1)求该双曲线的标准方程； (2)求面积的最小值. 22．（12分）（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知椭圆，离心率为，点在椭圆上． (1)求E的方程； (2)过作互相垂直的两条直线与，设交E于A，B两点，交E于C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N．探究：与的面积之比是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 圆锥曲线的方程全章综合检测卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）（23-24高二上·陕西榆林·期中）双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【解答过程】由双曲线，可得，则， 且双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的焦点坐标为. 故选：D. 2．（5分）（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【解题思路】由于不知道焦点在哪个轴上，所以需要分类讨论. 【解答过程】当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆的方程为， 由离心率为，可得. ∵椭圆过点∴，，∴椭圆的标准方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，，，得， 可得椭圆的标准方程为，整理为. 故选：D. 3．（5分）（23-24高二上·福建厦门·期中）已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义把问题转化为求取得最小值，数形结合求解即可. 【解答过程】抛物线的焦点为，准线为， 设点在准线上的射影为，如图，    则根据抛物线的定义可知， 求的最小值，即求的最小值， 显然当，，三点共线时取得最小值， 此时点的横坐标为，则，解得，即. 故选：D. 4．（5分）（22-23高三下·全国·阶段练习）已知是椭圆的左，右焦点，点P在椭圆上，，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据，得到，求解即可. 【解答过程】因为，所以， 因为，在中，， 即， 又，所以， 所以，即， 解得， 故选：B. 5．（5分）（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】由关系以及离心率、可得双曲线方程，进一步代入即可求解. 【解答过程】由该花瓶横截面圆的最小直径为，有， 又由双曲线的离心率为，有， 可得双曲线的方程为，代入，可得，故该花瓶的高为. 故选：B. 6．（5分）（23-24高二下·陕西榆林·期末）已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设出，利用点差法即可求出结果. 【解答过程】设，则有，， 两式相减得到， 又线段的中点坐标为， 所以，得到， 所以的斜率为. 故选：B. 7．（5分）（23-24高二上·福建泉州·期末）已知抛物线的焦点为，点，点在抛物线上，且满足，若的面积为，则的值为（    ） A． B．4 C． D．9 【解题思路】利用两点间距离公式，通过解方程组、三角形面积公式进行求解即可. 【解答过程】由，根据抛物线的对称性，设， 因为， 所以， 而点在抛物线上，所以， 则有，或舍去， 即，， 又因为的面积为， 所以有，舍去. 故选：A. 8．（5分）（23-24高二上·全国·单元测试）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与交于点两点，若面积是的2倍，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由三角形的面积关系得出并用含m的关系式表示，再由直曲联立判别式大于零得出m的取值范围即可. 【解答过程】设直线与轴的交点为，则. 所以，. 因为所以. 由得，即 ，. 所以，解得 或. 因为与有两个交点， 联立 消得， 则,解得. 所以. 故选：C. 二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9．（5分）（23-24高二上·山东烟台·期末）（多选）已知曲线Γ：（），则（    ） A．Γ可能是等轴双曲线 B．若Γ表示焦点在y轴上的椭圆，则 C．Γ可能是半径为的圆 D．若Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则 【解题思路】根据圆，椭圆，双曲线的标准方程，逐一判断选项即可. 【解答过程】对于A，若Γ是等轴双曲线，则，显然不成立，故A错误； 对于B，Γ表示焦点在y轴上的椭圆， 则，解得，故B正确； 对于C，Γ是圆，则，解得，半径为，故C正确； 对于D，Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则， 解得，故D正确. 故选：BCD. 10．（5分）（23-24高二上·广东中山·阶段练习）已知双曲线，点P是C上的任意一点，则下列结论正确的是（    ） A．若直线与双曲线C无交点，则 B．焦点到渐近线的距离为2 C．点P到两条渐近线的距离之积为 D．点P到点与到直线的距离之比为 【解题思路】由双曲线的方程可得渐近线，比较直线斜率与渐近线斜率即可可判断A；根据点到直线的距离公式可判断BC；根据距离公式，代入双曲线方程即可化简求解D． 【解答过程】A中，由双曲线的方程可得渐近线的方程为， 由于过原点且与双曲线无交点，则，所以A不正确； B中，由知渐近线的方程为，焦点， 所以焦点到渐近线的距离为，所以B正确； C中，设，因为在双曲线上，所以， 即，所以到渐近线的距离之积为 ，所以C正确； D中， 点到点的距离为，到直线的距离为， 故 ，故D正确， 故选：BCD． 11．（5分）（23-24高二上·河南·阶段练习）已知为抛物线的焦点，直线与交于，两点，弦中点的横坐标为4，，则（    ） A．的斜率为1 B．在轴上的截距为 C．弦中点的纵坐标为 D． 【解题思路】联立直线与抛物线方程得韦达定理，即可根据中点关系求解，进而由弦长公式求解，利用抛物线焦半径公式即可求解. 【解答过程】易得的斜率存在，设，，， 由得，则由，得. 由，得， 所以，弦中点的纵坐标为， . 故ACD正确，B错误， 故选：ACD. 12．（5分）（23-24高二上·江苏镇江·期末）已知为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于两点，轴，垂足为与椭圆的另一个交点为，则（    ） A．的最小值为3 B．面积的最大值为 C．直线的斜率为 D．为直角 【解题思路】先由椭圆与过原点直线的对称性知，，再利用1的代换、利用基本不等式可判断A；由直线与椭圆方程联立，解得交点坐标，得出面积关于k的函数关系式，再求函数最值可判断B；由对称性，可设，则，，则可得直线的斜率与k的关系可判断C；先由A、B对称且与点P均在椭圆上，可得，又由C项可知， 得，即，可判断D. 【解答过程】 对于A，设椭圆的右焦点为，连接， 则四边形为平行四边形， 所以， ， 当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B，联立得， ， 所以的面积， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，设，则，，故直线的斜率，故C正确； 对于D，设，直线的斜率为，直线的斜率为， 则， 又点和点在椭圆上，①，②， ①-②得，易知， 则，得， ，，故D正确. 故选：BCD. 三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．（5分）（23-24高二上·北京海淀·期中）已知焦点在x轴上的椭圆离心率为，则实数m等于 8 ． 【解题思路】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得＝，解之即可. 【解答过程】由题意焦点在x轴上的椭圆离心率为， 可得＝，解得m＝8． 故答案为：8． 14．（5分）（23-24高二上·陕西西安·期末）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，那么 10 ． 【解题思路】 由焦半径公式求得焦点弦长. 【解答过程】由题设抛物线焦点坐标为， 则由抛物线定义易知：， 故. 故答案为：10. 15．（5分）（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知双曲线的左顶点为，点为双曲线一条渐近线上的一点，直线与双曲线的另一条渐近线交于点.若直线的斜率为1，且点是线段的一个三等分点，则双曲线的离心率为 . 【解题思路】写出直线的方程为，将其分别与双曲线渐近线联立解出的纵坐标，根据为的三等分点，得到关于的方程，最后化为关于的齐次方程，即可得到离心率. 【解答过程】不妨设点在第二象限，直线的方程为， 联立，得点的纵坐标; 联立，得点的纵坐标. 由为的三等分点,可知，则有，整理得, 则，则，故的离心率. 故答案为：. 16．（5分）（2024·全国·模拟预测）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过点作直线交两条渐近线于点，，且．若点在轴上的射影为，则 ． 【解题思路】画出图形，数形结合，由已知条件和双曲线的几何性质运算求解即可. 【解答过程】如图所示，    设直线交轴于点， 则． 双曲线的渐近线方程为， ，． 不妨设，，则，则，，， ，． 故答案为：. 四．解答题（共6小题，满分70分） 17．（10分）（2024高二上·江苏·专题练习）求满足下列条件的参数的值． (1)已知双曲线方程为焦距为6，求k的值； (2)椭圆与双曲线有相同的焦点，求a的值． 【解题思路】（1）分焦点位置进行讨论即可. （2）根据椭圆和双曲线的方程判断焦点的位置，求出焦点坐标，从而求出参数. 【解答过程】（1）若焦点在x轴上，则方程可化为，所以，即； 若焦点在y轴上，则方程可化为，所以，即． 综上所述，k的值为6或． （2）由双曲线方程知焦点在x轴上且． 由椭圆方程，知，所以， 即，解得或(舍去)． 因此a的值为1． 18．（12分）（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知点P到的距离与它到x轴的距离的差为4，P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)若直线与C交于A，B两点，且弦中点的横坐标为，求的斜率. 【解题思路】（1）根据两点间距离公式，结合绝对值的性质进行求解即可； （2）利用点差法进行求解即可. 【解答过程】（1）设，由题意可知：， 两边同时平方， 得 所以的方程为或. （2）由题可知曲线为， 设，，则. 由 得， 所以的斜率为. 19．（12分）（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上一点． (1)当为椭圆的上顶点时，求的大小； (2)直线与椭圆交于，若，求的值. 【解题思路】（1）由题意可得，，即可求出的大小； （2）联立直线与椭圆的方程，由韦达定理求出，，再由弦长公式求解即可. 【解答过程】（1）由题意可得，，， 所以，，所以 （2）设，，联立， 可得， 所以，， 所以 ，解得. 20．（12分）（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知拋物线的准线方程为，过点作斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，. (1)求的取值范围； (2)若为直角三角形，且，求的值. 【解题思路】（1）由题意可得抛物线方程，设直线方程为，联立方程，结合运算求解； （2）由题意可得：，解法一：利用直线方程消元，结合韦达定理运算求解；解法二：利用抛物线方程消元，结合韦达定理分析求解. 【解答过程】（1）由题意可知：抛物线的方程为， 直线的斜率存在，设直线方程为， 联立方程组，消去得， 要使直线与抛物线交于不同的两点，，则， 即，解得或， 所以们取值范围为或. （2）设，，由（1）可知，是的两个根， 则，， 解法一：因为，则，即， 可得 ， 解得或， 结合（1）中的取值范围可知：. 解法二：因为，所以，即， 因为，所以， 因为，所以， 即，解得， 此时满足（1）中的取值范围，所以. 21．（12分）（23-24高二上·浙江·阶段练习）如图，双曲线的离心率为，实轴长为，，分别为双曲线的左右焦点，过右焦点的直线与双曲线右支交于A，B两点，其中点A在第一象限.连接与双曲线左支交于点C，连接分别与x，y轴交于D，E两点. (1)求该双曲线的标准方程； (2)求面积的最小值. 【解题思路】（1）根据已知求出，然后根据离心率得出，根据的关系求出的值，即可得出答案； （2）根据已知可得，，设，，求出直线的方程.与双曲线方程联立，根据韦达定理表示出点B坐标，同理得出点C的坐标.表示出直线的方程，求出的坐标，得出直线的方程.进而表示出面积，换元，结合二次函数的性质，即可得出答案. 【解答过程】（1）由已知可得，，所以. 又，所以，. 所以，双曲线方程是 . （2）由（1）可知，，设，， 则直线的方程为. 将直线的方程与双曲线方程联立， 消x，整理可得， 恒成立. 由韦达定理可得，， 所以，，. 根据已知可知，， 所以，. 同理解得， 所以，， 直线的方程为. 由可得，；由可得，. 由A、D坐标可得直线的方程为， 则直线与y轴交点坐标为，所以. 所以， . 令， 则 . 设，则， 当，即时有最小值，此时，（舍去负值）. 所以，. 当且仅当即时取到最小值，此时. 22．（12分）（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知椭圆，离心率为，点在椭圆上． (1)求E的方程； (2)过作互相垂直的两条直线与，设交E于A，B两点，交E于C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N．探究：与的面积之比是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【解题思路】（1）由椭圆的几何性质求解； （2）设直线，，，设，求出点及，得到直线MN恒过定点，即可求解. 【解答过程】（1）由题意，，解得，， 则E的方程. （2）与面积之比为定值，定值为4，理由如下： 设直线，，， 讨论：①当，且时， 联立，可得， ，则， 所以，， 所以， 设，同理可得． 所以（，且）， 所以直线，即， 所以直线MN恒过定点； ②当时，不妨设直线；，可发现轴，且MN过， ③当时，直线MN依然过，但无法形成三角形. 综上，直线MN恒过点， 设点O，K到直线MN的距离分别是，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$