第13讲 抛物线（3个知识点7大题型）-2025 年新高二数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（人教A版2019）

第13讲 抛物线 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 知识点诠释: （1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值 （2）定义中的隐含条件：焦点F不在准线上，若F在上，抛物线变为过F且垂直与的一条直线. （3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化. 知识点二：抛物线的标准方程 抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 ，，，。 知识点诠释： ①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程； ②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下） ③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍. ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论. ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。 知识点三：抛物线的简单几何性质： 抛物线标准方程的几何性质 范围：，， 抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。 对称性：关于x轴对称 抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。 顶点：坐标原点 抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。 抛物线标准方程几何性质的对比 图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 顶点 O（0，0） 范围 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 e=1 准线方程 焦半径 知识点诠释： （1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线； （2）标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程. 题型一：抛物线的定义 【典例1-1】已知是抛物线：的焦点，是上一点，，则到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，解得， 所以，得到，故到轴的距离为. 故答案为：C. 【典例1-2】（2025·新疆·模拟预测）抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以．由焦半径公式得，， 因为抛物线开口朝左，所以，即，所以 故选：A． 【变式1-1】（2025·陕西安康·三模）已知抛物线上的点到焦点的距离为6，则点到轴的距离为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】由抛物线方程可得：抛物线的准线方程为：， 由抛物线的定义可得：点到准线的距离为6， 所以点纵坐标为，代入抛物线方程可得：， 得：， 所以点到轴的距离为， 故选：B 【变式1-2】（2025·陕西汉中·二模）如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10cm，口径26cm，底径10cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以该碗轴截面的对称轴为轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图， 设该抛物线的方程为（的单位均为cm），点纵坐标为（单位：cm）， 则，，于是，解得， 故该抛物线的焦点到准线的距离为． 故选：B 【变式1-3】（2025·高二·四川凉山·期末）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由于抛物线的准线方程为，抛物线上点到直线的距离为5， 故点到直线的距离为4，故， 故选：B 题型二：求抛物线的标准方程 【典例2-1】（2025·高二·北京东城·期中）已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为抛物线的准线方程为，所以， 解得，则该抛物线的标准方程为，故D正确. 故选：D 【典例2-2】（2025·高二·山西太原·期末）已知抛物线以圆的圆心为焦点，则其标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为的圆心为，所以，得到， 又焦点在轴的正半轴上，所以抛物线的标准方程为， 故选：D. 【变式2-1】（2025·高二·北京平谷·期末）以为焦点的抛物线标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，抛物线方程形如，因，解得， 故以为焦点的抛物线标准方程是. 故选：D. 【变式2-2】（2025·高二·山西运城·期末）抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点.现有一束光线从抛物线的焦点射出，经抛物线上一点反射后，反射光线所在直线经过点，若，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据抛物线的光学性质可知与轴平行， 所以由抛物线定义可知， 解得， 所以抛物线的标准方程为， 故选：D 【变式2-3】（2025·高二·安徽马鞍山·开学考试）过拋物线：焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，，O为坐标原点，且△的面积为，则抛物线C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设，令为，联立抛物线方程并整理得， ∴若，则，，又易得， ∴，则，即， ∴， 又，而， ∴，即，又，则，故. 故选：D 题型三：焦点三角形 【典例3-1】（2025·浙江金华·三模）已知过抛物线焦点的直线与该抛物线交于两点，若，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【解析】由抛物线，则焦点，设，， 易知 当直线的斜率不存在时，直线方程为，则， 即，解得； 当直线的斜率存在时，可设直线方程为， 代入，整理可得， ，， 则，当且仅当时，等号成立， 即，解得. 综上所述的最大值为. 故选：A. 【典例3-2】（多选题）（2025·高二·广东·期中）已知抛物线的焦点为，点在上，则（   ） A． B．的准线方程为 C．若，则 D．以为直径的圆与轴相切 【答案】ACD 【解析】对于A中，由抛物线，可得其焦点为，所以A正确； 对于B中，抛物线的准线方程为，所以B错误； 对于C中，因为点在上，根据抛物线的定义，可得， 解得，所以C正确； 对于D中，由抛物线的定义，可得， 则线段的中点坐标（即圆心）到轴的距离为， 故以为直径的圆与轴相切，所以D正确． 故选：ACD． 【变式3-1】（多选题）（2025·新疆喀什·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．F的坐标为 C．若，则 D． 【答案】BC 【解析】对于A，B，由抛物线方程为，则焦点，准线方程为，故A错误，B正确； 对于C，将代入，得，则，故C正确； 对于D，由抛物线定义得，当时，取等号，故D错误. 故选：BC. 【变式3-2】（多选题）（2025·高二·广东深圳·期末）设为坐标原点，直线经过抛物线的焦点，且与交于，两点（点在轴上方），与的准线交于点，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】 A.由题意得，，故，，A正确. B.由A得，抛物线标准方程为，准线方程为， ∴，故，正确. .设，由得，， ∴，故，C错误. D.由得，，故， ∴，故， ∴，D正确. 故选：ABD. 【变式3-3】（多选题）（2025·高三·浙江杭州·期末）已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴交于点A，M为抛物线上的点，且满足，过M作l的垂线，垂足为与交于点Q，则（   ） A．直线的斜率为定值 B． C． D． 【答案】ACD 【解析】选项A，设，易知， 由得， 由得，， 显然，故解得，则，可得， 当点在上方时（点在轴下方由对称性可得），坐标为， 为常数，当点在下方时时，也为常数，A正确； 选项B，当点在上方时，作轴，垂足为， 如图，则，则， 若，则， 又，所以，所以，B错误； 选项C，，， 所以， 因，则，C正确； 选项D，由得，        因， 即，又， ，从而， 则，即， 于是， 故得，即D正确． 故选：ACD． 题型四：轨迹方程 【典例4-1】已知F是抛物线的焦点，P是该抛物线上一动点，则线段PF的中点E的轨迹方程是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】抛物线的标准方程是，故， 设，PF的中点， ∴， 因为，所以，即． 故选：C 【典例4-2】（2025·高二·福建福州·期末）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之和是2，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， ，又因为， . 故选：D. 【变式4-1】（2025·高二·江苏苏州·期末）如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为轴，所以，则，故D正确. 故选：D． 【变式4-2】已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，动点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点P在以为焦点，为准线的抛物线上，其轨迹方程为， 故选：D 【变式4-3】（2025·高二·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知动点到直线的距离与它到定点的距离相等， 由抛物线的定义知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以，点的轨迹方程为. 故选：B. 题型五：抛物线的简单几何性质 【典例5-1】（多选题）（2025·重庆·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于，两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是（     ） A．若为的中线，则 B． C．存在直线使得 D．对于任意直线，都有 【答案】ABD 【解析】不妨取，两点都在第一象限，过分别作抛物线准线的垂线，垂足为， 设，，， 联立，得且，即， 所以， 则， 对于A：若为的中线，则，结合得，所以， 所以，， 此时，所以，A正确； 对于B：由求根公式， 则，所以，B正确； 对于C：若，即，明显等腰直角三角形， 此时，即，所以，解得，此时， 此时为同一点，不合题意，C错误； 对于D：， 又，结合，都恒成立，D正确； 故选：ABD. 【典例5-2】（多选题）（2025·甘肃·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过且斜率为1的直线与交于两点，若，则的值可能为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】ABC 【解析】由题可知，的方程为，联立整理得， 则，得. 故选：ABC. 【变式5-1】（多选题）（2025·高二·福建泉州·期中）已知为坐标原点，过抛物线：焦点的直线与交于、两点，则下列选项正确的是（   ） A． B．面积的最小值为2. C． D．可能为直角. 【答案】BC 【解析】 对于A，由题意，，所以无最小值，故A错误； 对于B，因直线的斜率不可能为0，故可设， 与联立消元得：， 显然，设，则， 则， 点到直线的距离为， 则的面积为， 则当时，即时，取得最小值2，故B正确； 对于C，设直线的倾斜角为，则， 则，故C正确； 对于D，由B选项可得， 则， 故与所夹的角为钝角，故D错误. 故选：BC. 【变式5-2】（多选题）（2025·高二·辽宁抚顺·开学考试）已知过抛物线焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是（    ）. A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因抛物线的焦点坐标为， 由题可设经过抛物线焦点的弦所在直线方程为， 代入消去，可得：，显然， 设弦的两端点坐标分别为：，则（*）， 抛物线的准线方程为：，则， 即得，即， 将（*）代入解得：，则 于是该弦所在直线的斜率为：， 故该弦所在直线的倾斜角是或. 故选：BC. 【变式5-3】（多选题）（2025·高三·宁夏银川·期末）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为2 【答案】ACD 【解析】因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以抛物线为， 所以抛物线的焦点坐标是，抛物线的准线方程为， 抛物线的焦点到准线的距离为2，A,C,D选项正确； 代入抛物线为不成立，所以抛物线不关于轴对称，B选项错误. 故选：ACD. 题型六：抛物线中的范围与最值问题 【典例6-1】已知是抛物线的焦点，是抛物线上一动点，点，则取最小值时点的坐标为 ． 【答案】 【解析】抛物线的准线为，作于，由抛物线的定义知， 所以当三点共线时，有最小值，此时点的纵坐标为1， 所以横坐标为，即点的坐标为． 故答案为：. 【典例6-2】已知是抛物线的焦点，是抛物线上一动点，点到直线的距离为，则的最小值是 ． 【答案】3 【解析】由题设，抛物线焦点，准线为，故， 如图所示，， 当且仅当三点共线且点在两点之间时等号成立． 故答案为：3. 【变式6-1】（2025·上海虹口·三模）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一动点，是曲线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【解析】曲线是以为圆心，为半径的圆，抛物线的准线为， 过点作，垂足为，过点作，垂足为，交抛物线于点，如图， 根据抛物线的定义，得， 当且仅当点与重合，此时点与重合，点与重合， 即，当且仅当在一条直线上时等号成立， 所以的最小值为． 故答案为：4 【变式6-2】已知抛物线的准线为直线，为抛物线上一动点，点到轴的距离为，为圆上一动点，点到的距离为，则的最小值为 【答案】 【解析】由准线方程，则，∴， 圆的圆心，半径，∴， 由抛物线的定义可知， ∴， 当三点共线时，最小，即， 又∵，∴当共线时，取最小值， 即， 故答案为： 【变式6-3】设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】根据题意，抛物线的准线为，设点到准线的距离为，则， 设圆心为点，则点到准线的距离为5， 结合图象可知，则 当且仅当点与点重合，三点共线且点在之间时，等号成立. 故答案为：4. 【变式6-4】（2025·高二·黑龙江大庆·开学考试）设为抛物线上的动点，关于的对称点为，记到直线，的距离分别，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 因为为抛物线上的动点，到直线，的距离分别，， 所以，， 因为关于的对称点为， 所以， 所以， 又， 当且仅当点为线段与抛物线的交点时等号成立， 所以，当且仅当点为线段与抛物线的交点时等号成立， 所以当点为线段与抛物线的交点时，取最小值， 的最小值为， 故答案为：. 题型七：抛物线的综合问题 【典例7-1】（2025·高二·云南·期中）已知点F是抛物线的焦点，点是抛物线C上一点．且，又． (1)求抛物线C的方程； (2)直线l绕其上一点P旋转，当直线l与抛物线C只有一个公共点时，求直线l的方程； (3)设过点F的直线交抛物线C于A，B两点，求的最小值． 【解析】（1）抛物线的准线方程为， 由是抛物线C上一点，且， 则抛物线C的方程为． （2）由题知，直线l绕其上一点旋转， 当直线l与抛物线只有一个公共点时，直线l的斜率一定存在，                                 设直线l的斜率为k，直线l的方程为，即， 联立，直线与抛物线C只有一个公共点， 当时，解得，此时，直线与抛物线只有一个交点，， 当时，， 即或时，直线和抛物线只有一个公共点， 时，直线l的方程为，即， 时，直线l的方程为，即， 综上，直线与抛物线只有一个公共点时，直线方程为或或． （3）由（1）知，抛物线的焦点， 设，直线方程为， 联立， 所以， ， 因此，                 令，这个二次函数开口向上，对称轴方程为， 因此，当时，的最小值为，即的最小值为． 【典例7-2】（2025·高二·广西贵港·期中）已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且的左、右顶点分别为，． (1)求的方程； (2)求以为直径的圆的标准方程； (3)设过点且倾斜角为的直线与交于，两点，求． 【解析】（1）因为，所以的右焦点坐标为， 所以，即， 所以的方程为． （2）依题意得的坐标为， 所以线段的中点坐标为． 因为以为直径的圆的半径， 所以以为直径的圆的标准方程为． （3）依题意可得直线的方程为． 由得． 设，，则，，， 则． 【变式7-1】（2025·高二·贵州黔西·期中）已知抛物线的准线为，点在上，且点到直线的距离与其到轴的距离都等于2． (1)求的方程； (2)设为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，若的面积为3，求直线的方程． 【解析】（1）由点到直线的距离与其到轴的距离都等于2，则， 不妨令，则，结合，则，解得， 所以； （2）由题设，可设，则到该直线的距离， 联立与，可得，， 若，所以，， 所以，故，可得， 所以，即或. 【变式7-2】（2025·高二·上海·期中）已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若动点在抛物线上，为抛物线的焦点，线段的中点为，求点的轨迹方程； (3)试探究:抛物线上是否存在点使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）已知点在抛物线上 代入得 所以抛物线方程为 （2）易知抛物线焦点为， 设动点，中点的坐标为 显然； 且， ； 即点的轨迹方程为； （3）设点在抛物线上，则 直线的方程为，如下图： 联立，解得，； 所以， 因此 依题意可得 可得 整理可得，即， 解得或或或； 显然当或时，与重合，不合题意； 所以存在，满足题意. 【变式7-3】（2025·高二·云南昭通·期中）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点． (1)求抛物线的方程； (2)求的面积； (3)若为的准线，证明：以为直径的圆与相切． 【解析】（1）直线过点， 所以抛物线的焦点， 所以， 所以抛物线的方程为． （2）设， 由，消去并化简得， 解得， 所以， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为． （3） 设的中点为，且到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半， 所以以为直径的圆与直线相切． 1．曲线，其中均为正数，则下列命题正确的个数是（   ） ①当时，曲线是轴对称图形 ②当时，曲线关于中心对称 ③当时，曲线所围成的面积大于 ④当时，曲线上的点与距离的最小值等于1 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】对于①，点关于直线的对称点为，由，则，故①正确； 对于②，由点关于点的对称点为，且，则，故②正确； 对于③，圆的面积为，曲线，易知， 当时，，由，，则， 易知圆与曲线都是关于原点成中心对称， 当时，曲线上的点都在圆外， 当时，曲线与圆存在公共点， 所以曲线围成的图形的面积必定大于，故③正确； 对于④，圆上的每一个点到原点的距离为， 当时，由，则，由，，则； 当时，由，则， 综上当时，曲线上的点在圆外， 当或时，由，则曲线与圆有公共点为，故④正确. 故选：D. 2．已知抛物线的焦点为，过作斜率为1的直线交抛物线于两点，若线段中点的纵坐标为3，则抛物线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由抛物线方程可得，由题意可设直线的方程为， 设，联立直线与抛物线的方程， 整理可得，则，所以中点的纵坐标为， 由题意可得，所以抛物线方程为， 故选：C. 3．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【解析】根据题意，抛物线，焦点， 双曲线的渐近线为， 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为 故选：D. 4．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（   ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】B 【解析】由题意可得：拋物线的焦点，准线， 设动点直线的距离分别为， 点到直线的距离分别为， 则，可得， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间时，等号成立， 动点到直线直线的距离之和的最小值是3. 故选：B. 5．设为坐标原点，直线与抛物线交于、两点，与的准线交于点．若，为的焦点，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为、， 由抛物线的定义可得，， 抛物线的焦点，直线+2过定点， ，，， ． 故选：C. 6．设为坐标原点，直线与抛物线交于两点，与的准线交于点．若为的焦点，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，分别过点作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为 ， 则 抛物线的焦点 直线过定点 因为 所以 所以 故选：C. 7．（2025·北京丰台·二模）已知抛物线的焦点为，准线为．过的直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为．若四边形的周长等于，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由抛物线的定义可知，，， 则四边形的周长为， 则， 设直线的倾斜角为，则，则或， 则，则直线的斜率为. 故选：C 8．（多选题）已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（   ） A．抛物线的焦点坐标是 B． C．若，则 D．若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 【答案】ABD 【解析】对选项A，抛物线：的焦点到准线的距离是4， 所以，，故A正确. 对选项B，当直线的斜率不存在时，，所以， 当直线的斜率存在时，设， 得：，所以. 故B正确. 对选项C，，故C错误. 对选项D，如图所示： 过分别向准线作垂线，垂足为， 因为， 所以， 即：以为直径的圆与的准线相切，故D正确. 故选：ABD 9．（多选题）已知圆的圆心为，抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线和圆分别交于A，B，E，F（点A，E，F，B在直线上依次排列），则（   ） A． B．的最小值为4 C． D．的最小值为 【答案】ABD 【解析】 圆的圆心为，故，A正确； 设， 联立恒成立， 则， 由抛物线定义得， 当时，即当与轴垂直时，取得最小值，最小值为4，B正确； 又，C错误； ， 当且仅当时，等号成立，D正确. 故选：ABD. 10．（多选题）已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点且斜率存在的直线与抛物线相交于，两点，线段的中点为，过且与轴平行的直线与抛物线和准线分别交于，两点.则（    ） A．当时，直线的倾斜角为或 B．是线段的中点 C． D．过点与抛物线相切的直线与直线平行 【答案】BCD 【解析】由抛物线，可得，准线为， 设过点的直线方程为，代入抛物线 ，得， 所以，则：，， 由，得， 所以中点的坐标为， 过且与轴平行的直线线的方程为， 代入抛物线可得，的坐标为， 与准线 的交点 ， 因为， 又， 所以，又， 所以，解得，所以，所以，， 由题设直线的倾斜角为，，所以，故A错误； 因为，所以 的中点坐标为， 这与 相同，故B正确； 又，所以，所以，故C正确； 设过点与抛物线相切的直线方程为， 与抛物线方程联立可得，整理得， 因为直线与抛物线相切，所以， 解得，所以过点与抛物线相切的直线方程为，即 所以过点与抛物线相切的直线与直线 平行，故D正确. 故选：BCD. 11．（多选题）（2025·湖北·模拟预测）已知点在抛物线上运动，为抛物线的焦点，点，则的值可能是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】ABC 【解析】抛物线的焦点，准线， 如图，过点作于A，过点作于，连接， 由抛物线的定义知，则，当且仅当点在上时取等号， 又，所以的最小值为7. 故选：ABC 12．（2025·高二·上海·期中）以抛物线的焦点为圆心、且与该抛物线的准线相切的圆的方程为 . 【答案】 【解析】因为抛物线的焦点，准线， 所求圆的圆心半径为， 所以圆的方程为. 故答案为： 13．抛物线的焦点为，准线为和为上位于第一象限的两点，若，过分别作的垂线，垂足分别为和，已知，则的外接圆的面积为 . 【答案】/ 【解析】不妨设在的左侧，延长交于， 设，则，故， 而， 所以， . 因为，所以. 因为，所以，所以， 因此的外接圆的面积为. 故答案为： 14．如图，过抛物线的焦点的直线（斜率为正）交抛物线于点两点（其中点在第一象限），交其准线于点，若，则到抛物线的准线的距离为 . 【答案】4 【解析】如图，分别过点M，N作准线的垂线，垂足分别为点A，B，设，所以，所以，所以 ，在中，，， 又，所以，记准线与对称轴交于点C， 因为，解得，即F到抛物线的准线的距离为4. 故答案为：4. 15．已知抛物线：的焦点与椭圆：的一个焦点重合. (1)求抛物线的方程； (2)设点为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，分别与抛物线切于，两点，求抛物线的焦点到直线的最大距离. 【解析】（1）对于椭圆：，，，∴， ∴，∴椭圆的焦点为， ∵抛物线的焦点，，则由题意得，∴， 故抛物线的方程为 （2）设点，，， 由得， ∴抛物线在处的切线方程为：， 同理，抛物线在处的切线方程为：， ∵切线，均过点，∴， ∴都在直线：上，即：， ∴直线恒过定点， 故当时，到直线的距离最大，最大距离为 16．已知抛物线（）的焦点F与椭圆的一个焦点重合. (1)求抛物线C的方程； (2)设点P为直线上的动点，过点P作抛物线C的两条切线，分别与抛物线切于A，B两点，求抛物线C的焦点F到直线的最大距离. 【解析】（1）设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， 则，，∴， ∴，∴椭圆的焦点为， ∵抛物线C的焦点，，∴，∴， ∴抛物线C的方程为. （2）设点，，.由得， ∴抛物线C在A处的切线方程为， 同理抛物线C在B处的切线方程为， ∵切线，均过点，∴， ∴A，B都在直线上，即， ∴直线恒过定点， 由（1）知焦点， ∴F到直线的最大距离为. 17．在平面直角坐标系中，动点到定点的距离是点到轴的距离与点到直线的距离的等差中项，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若点，过的直线与曲线交于两点，且，求的面积. 【解析】（1）设点，则它到轴的距离与它到直线的距离分别为， 由题意得， 又，结合图形可知，点不可能在轴的右侧，所以， 由抛物线的定义可知，动点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线， 故曲线的方程为. （2）由题意知，过的直线的斜率不为零， 设其方程为， 联立方程，得消去并整理，得， 则，且， 所以， 解得， 所以点到直线的距离， 故的面积为. 18．（2025·高二·海南海口·期中）已知抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点. (1)求抛物线的标准方程； (2)设直线与交于两点. ①当时，求的面积； ②过点分别作抛物线的切线交于点，证明：点在定直线上. 【解析】（1）由题意，可设抛物线的标准方程为.， 因为点在抛物线上，可得，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）①当时，直线， 联立方程组，整理得， 方程的判别式， 设，，则，， 所以， 又由到直线的距离， 所以的面积； ②联立方程组，整理得， 设，，则且，， 不妨设在第一象限，则在曲线上，则有， 则在处的切线方程为， 又由，可得在处的切线方程为， 同理可得，点在曲线上，则有， 则在处的切线方程为，且； 所以在处的切线方程为， 联立方程组，解得，所以点在定直线上. 19．（2025·贵州遵义·模拟预测）过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点． (1)若线段中点的横坐标为1，求的值； (2)求的取值范围． 【解析】（1）抛物线的焦点，设， 由线段中点的横坐标为，得，由抛物线定义得， 所以. （2）由直线过点，设直线的方程为， 由消去并整理得， 由，得，且， 则， 所以的取值范围为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 抛物线 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 知识点诠释: （1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值 （2）定义中的隐含条件：焦点F不在准线上，若F在上，抛物线变为过F且垂直与的一条直线. （3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化. 知识点二：抛物线的标准方程 抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 ，，，。 知识点诠释： ①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程； ②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下） ③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍. ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论. ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。 知识点三：抛物线的简单几何性质： 抛物线标准方程的几何性质 范围：，， 抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。 对称性：关于x轴对称 抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。 顶点：坐标原点 抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。 抛物线标准方程几何性质的对比 图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 顶点 O（0，0） 范围 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 e=1 准线方程 焦半径 知识点诠释： （1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线； （2）标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程. 题型一：抛物线的定义 【典例1-1】已知是抛物线：的焦点，是上一点，，则到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2025·新疆·模拟预测）抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·陕西安康·三模）已知抛物线上的点到焦点的距离为6，则点到轴的距离为（    ） A． B． C．2 D．4 【变式1-2】（2025·陕西汉中·二模）如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10cm，口径26cm，底径10cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·高二·四川凉山·期末）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型二：求抛物线的标准方程 【典例2-1】（2025·高二·北京东城·期中）已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2025·高二·山西太原·期末）已知抛物线以圆的圆心为焦点，则其标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·高二·北京平谷·期末）以为焦点的抛物线标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·高二·山西运城·期末）抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点.现有一束光线从抛物线的焦点射出，经抛物线上一点反射后，反射光线所在直线经过点，若，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·高二·安徽马鞍山·开学考试）过拋物线：焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，，O为坐标原点，且△的面积为，则抛物线C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型三：焦点三角形 【典例3-1】（2025·浙江金华·三模）已知过抛物线焦点的直线与该抛物线交于两点，若，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【典例3-2】（多选题）（2025·高二·广东·期中）已知抛物线的焦点为，点在上，则（   ） A． B．的准线方程为 C．若，则 D．以为直径的圆与轴相切 【变式3-1】（多选题）（2025·新疆喀什·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．F的坐标为 C．若，则 D． 【变式3-2】（多选题）（2025·高二·广东深圳·期末）设为坐标原点，直线经过抛物线的焦点，且与交于，两点（点在轴上方），与的准线交于点，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（多选题）（2025·高三·浙江杭州·期末）已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴交于点A，M为抛物线上的点，且满足，过M作l的垂线，垂足为与交于点Q，则（   ） A．直线的斜率为定值 B． C． D． 题型四：轨迹方程 【典例4-1】已知F是抛物线的焦点，P是该抛物线上一动点，则线段PF的中点E的轨迹方程是（   ）． A． B． C． D． 【典例4-2】（2025·高二·福建福州·期末）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之和是2，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·高二·江苏苏州·期末）如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 【变式4-2】已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·高二·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 题型五：抛物线的简单几何性质 【典例5-1】（多选题）（2025·重庆·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于，两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是（     ） A．若为的中线，则 B． C．存在直线使得 D．对于任意直线，都有 【典例5-2】（多选题）（2025·甘肃·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过且斜率为1的直线与交于两点，若，则的值可能为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式5-1】（多选题）（2025·高二·福建泉州·期中）已知为坐标原点，过抛物线：焦点的直线与交于、两点，则下列选项正确的是（   ） A． B．面积的最小值为2. C． D．可能为直角. 【变式5-2】（多选题）（2025·高二·辽宁抚顺·开学考试）已知过抛物线焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是（    ）. A． B． C． D． 【变式5-3】（多选题）（2025·高三·宁夏银川·期末）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为2 题型六：抛物线中的范围与最值问题 【典例6-1】已知是抛物线的焦点，是抛物线上一动点，点，则取最小值时点的坐标为 ． 【典例6-2】已知是抛物线的焦点，是抛物线上一动点，点到直线的距离为，则的最小值是 ． 【变式6-1】（2025·上海虹口·三模）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一动点，是曲线上一动点，则的最小值为 ． 【变式6-2】已知抛物线的准线为直线，为抛物线上一动点，点到轴的距离为，为圆上一动点，点到的距离为，则的最小值为 【变式6-3】设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 . 【变式6-4】（2025·高二·黑龙江大庆·开学考试）设为抛物线上的动点，关于的对称点为，记到直线，的距离分别，，则的最小值为 . 题型七：抛物线的综合问题 【典例7-1】（2025·高二·云南·期中）已知点F是抛物线的焦点，点是抛物线C上一点．且，又． (1)求抛物线C的方程； (2)直线l绕其上一点P旋转，当直线l与抛物线C只有一个公共点时，求直线l的方程； (3)设过点F的直线交抛物线C于A，B两点，求的最小值． 【典例7-2】（2025·高二·广西贵港·期中）已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且的左、右顶点分别为，． (1)求的方程； (2)求以为直径的圆的标准方程； (3)设过点且倾斜角为的直线与交于，两点，求． 【变式7-1】（2025·高二·贵州黔西·期中）已知抛物线的准线为，点在上，且点到直线的距离与其到轴的距离都等于2． (1)求的方程； (2)设为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，若的面积为3，求直线的方程． 【变式7-2】（2025·高二·上海·期中）已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若动点在抛物线上，为抛物线的焦点，线段的中点为，求点的轨迹方程； (3)试探究:抛物线上是否存在点使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【变式7-3】（2025·高二·云南昭通·期中）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点． (1)求抛物线的方程； (2)求的面积； (3)若为的准线，证明：以为直径的圆与相切． 1．曲线，其中均为正数，则下列命题正确的个数是（   ） ①当时，曲线是轴对称图形 ②当时，曲线关于中心对称 ③当时，曲线所围成的面积大于 ④当时，曲线上的点与距离的最小值等于1 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知抛物线的焦点为，过作斜率为1的直线交抛物线于两点，若线段中点的纵坐标为3，则抛物线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（    ） A．2 B． C． D．1 4．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（   ） A．2 B．3 C． D．5 5．设为坐标原点，直线与抛物线交于、两点，与的准线交于点．若，为的焦点，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 6．设为坐标原点，直线与抛物线交于两点，与的准线交于点．若为的焦点，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·北京丰台·二模）已知抛物线的焦点为，准线为．过的直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为．若四边形的周长等于，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 8．（多选题）已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（   ） A．抛物线的焦点坐标是 B． C．若，则 D．若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 9．（多选题）已知圆的圆心为，抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线和圆分别交于A，B，E，F（点A，E，F，B在直线上依次排列），则（   ） A． B．的最小值为4 C． D．的最小值为 10．（多选题）已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点且斜率存在的直线与抛物线相交于，两点，线段的中点为，过且与轴平行的直线与抛物线和准线分别交于，两点.则（    ） A．当时，直线的倾斜角为或 B．是线段的中点 C． D．过点与抛物线相切的直线与直线平行 11．（多选题）（2025·湖北·模拟预测）已知点在抛物线上运动，为抛物线的焦点，点，则的值可能是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 12．（2025·高二·上海·期中）以抛物线的焦点为圆心、且与该抛物线的准线相切的圆的方程为 . 13．抛物线的焦点为，准线为和为上位于第一象限的两点，若，过分别作的垂线，垂足分别为和，已知，则的外接圆的面积为 . 14．如图，过抛物线的焦点的直线（斜率为正）交抛物线于点两点（其中点在第一象限），交其准线于点，若，则到抛物线的准线的距离为 . 15．已知抛物线：的焦点与椭圆：的一个焦点重合. (1)求抛物线的方程； (2)设点为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，分别与抛物线切于，两点，求抛物线的焦点到直线的最大距离. 16．已知抛物线（）的焦点F与椭圆的一个焦点重合. (1)求抛物线C的方程； (2)设点P为直线上的动点，过点P作抛物线C的两条切线，分别与抛物线切于A，B两点，求抛物线C的焦点F到直线的最大距离. 17．在平面直角坐标系中，动点到定点的距离是点到轴的距离与点到直线的距离的等差中项，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若点，过的直线与曲线交于两点，且，求的面积. 18．（2025·高二·海南海口·期中）已知抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点. (1)求抛物线的标准方程； (2)设直线与交于两点. ①当时，求的面积； ②过点分别作抛物线的切线交于点，证明：点在定直线上. 19．（2025·贵州遵义·模拟预测）过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点． (1)若线段中点的横坐标为1，求的值； (2)求的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$