第06讲 直线的倾斜角与斜率（5个知识点7大题型）-2025 年新高二数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（人教A版2019）

第06讲 直线的倾斜角与斜率 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：直线的倾斜角 平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角． 规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是． 知识点诠释： 1、要清楚定义中含有的三个条件 ①直线向上方向； ②轴正向； ③小于的角． 2、从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． 3、倾斜角的范围是．当时，直线与x轴平行或与x轴重合． 4、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应． 5、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置． 知识点二：直线的斜率 1、定义： 倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即． 知识点诠释： （1）当直线与x轴平行或重合时，，； （2）直线与x轴垂直时，，k不存在． 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在． 2、直线的倾斜角与斜率之间的关系 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 知识点三：斜率公式 已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式． 知识点诠释： 1、对于上面的斜率公式要注意下面五点： （1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直； （2）与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换； （3）斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得； （4）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合； （5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 2、斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题： （1）由、点的坐标求的值； （2）已知及中的三个量可求第四个量； （3）已知及、的横坐标（或纵坐标）可求； （4）证明三点共线． 知识点四：两直线平行的条件 设两条不重合的直线的斜率分别为．若，则与的倾斜角与相等．由，可得，即． 因此，若，则． 反之，若，则． 知识点诠释： 1、公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合； 2、当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则． 知识点五：两直线垂直的条件 设两条直线的斜率分别为．若，则． 知识点诠释： 1、公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； 2、当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直． 题型一：直线的倾斜角与斜率定义 【典例1-1】（多选题）在下列四个命题中，正确的有（   ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 【答案】BC 【解析】对于A，与轴平行的直线没有斜率，故A错误； 对于B，由直线倾斜角的取值范围可知直线的倾斜角的取值范围是，故B正确； 对于C，由题意可得直线的倾斜角的正切值为1，所以直线的倾斜角为，故C正确； 对于D，若直线的倾斜角为，则直线无斜率，故D错误； 故选：BC. 【典例1-2】（多选题）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（   ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 D．若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为 【答案】ABD 【解析】对于A，当直线的倾斜角为时，直线没有斜率，故A错误； 对于B，当直线的倾斜角为时，斜率为1，当直线的倾斜角为时，斜率为，故B错误； 对于C，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是，故C正确； 对于D，若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率不存在，故D错误. 故选：ABD. 【变式1-1】（多选题）（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期末）下列命题中，正确的是（    ） A．任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率 B．平行于轴的直线的倾斜角是或 C．若两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等 D．若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率相等 【答案】AC 【解析】对于A选项，任一条直线都有倾斜角，但倾斜角为直角的直线没有斜率， 即任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，A对； 对于B选项，平行于轴的直线的倾斜角是，B错； 对于C选项，若两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等，C对； 对于D选项，若两条直线的倾斜角都是直角时，则这两条直线的斜率都不存在，D错. 故选：AC. 【变式1-2】（多选题）（2025·高二·海南·期中）已知直线的倾斜角为，斜率为，则下列命题正确的有（     ） A．存在则一定存在 B．存在则一定存在 C．有些直线不存在，但存在 D．有些直线不存在，但存在 【答案】AD 【解析】所有直线都有倾斜角，但倾斜角时直线没有斜率. 由此可知，AD正确；BC错误. 故选：AD. 题型二：斜率与倾斜角的变化关系 【典例2-1】（多选题）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由图像可知， 则， 故选：AD. 【典例2-2】（多选题）（2025·高二·四川广安·期中）如图，直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】设直线，，的倾斜角分别为， 由图象可知，， 易知，当时， 又在时，且上单调递增， 所以，，即. 故选：ABD 【变式2-1】（多选题）已知直线的斜率分别是，倾斜角分别是，且，则下列关系可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】当倾斜角都为锐角或都是钝角时，； 当为两个锐角，即为锐角，是钝角时，； 一个锐角，即为锐角，是钝角时，. 故选:ABD 【变式2-2】（多选题）如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由图可得， ， ，且， 故ABC正确，D错误. 故选：ABC． 【变式2-3】（多选题）（2025·高二·江苏连云港·期中）已知直线，的斜率分别为2，，直线l与直线，围成一个等腰三角形，且顶角为钝角，则直线l的斜率可能是（    ） A． B． C． D．1 【答案】ACD 【解析】分别设直线，，的倾斜角为，，，则，，直线的斜率为， 将直线，平移至原点位置，设直线l与直线，分别交于点，， 当时，如图所示： 由题意知， 因为为等腰三角形，且顶角为钝角， 所以为钝角或为钝角， 若为钝角，则， 所以 ， 所以直线的斜率为，故A选项正确； 若为钝角，则， 所以， ， ， 所以， 所以直线的斜率为，故C选项正确； 当时，如图所示：    因为为等腰三角形，则， 所以 ， 所以由，解得或（舍）， 所以， 所以直线的斜率为，故D选项正确； 故选：ACD. 题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数 【典例3-1】（2025·高二·安徽·期末）若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意：向量所在的直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则，所以可得倾斜角为． 故选：D 【典例3-2】经过，两点的直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设倾斜角为，因为， 所以，又，故. 故选:D. 【变式3-1】（2025·高二·广东佛山·期末）已知点，在斜率为的直线l上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】点，在斜率为的直线l上，则. 故选：D. 【变式3-2】（2025·高二·河南开封·期中）若经过，两点的直线斜率为1，则实数（    ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】B 【解析】过，两点的直线斜率为， 所以，解得，． 故选：B． 【变式3-3】过两点，的直线的倾斜角是，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线过两点､，且倾斜角是， 所以直线的斜率， 又因为， 所以， 解得. 故选：A. 题型四：直线与线段相交关系求斜率范围 【典例4-1】已知点，点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于, 结合图形关系可知：要使直线过点且与线段相交， 则直线的斜率或， 故选：B 【典例4-2】（2025·高二·陕西西安·开学考试）已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记为点，直线的斜率，直线的斜率， 因为直线l过点，且与线段相交， 结合图象，可得直线的斜率的取值范围是． 故选：B． 【变式4-1】（多选题）（2025·高二·四川雅安·期中）直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】当直线过点时，设直线的倾斜角为，则 ， 当直线过点时，设直线的倾斜角为，则 ， 故要使直线过点，且与以，为端点的线段有公共点， 则直线的斜率的取值范围为或. 故选：ACD. 【变式4-2】（多选题）经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围为 B．直线的倾斜角的取值范围为 C．斜率的取值范围为 D．斜率的取值范围为 【答案】BC 【解析】由题意可以作图如下： ，， ∴由图可知斜率， 设直线倾斜角为且 ∴ 故选：BC 【变式4-3】（多选题）过点作直线l，使得直线和连接点，的线段总有公共点，则直线l的斜率的可能取值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】ABC 【解析】由题意，，， 且直线与连接点的线段总有公共点，如下图所示， 所以，即. 故选：ABC． 题型五：直线平行 【典例5-1】已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【答案】A 【解析】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 即，所以或重合. 故选：A 【典例5-2】设与是平面内不重合的直线，甲：与的斜率相等；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 【答案】A 【解析】因为若平面内两条不重合的直线的斜率相等，则两直线平行，所以甲是乙的充分条件； 若两直线平行，则两直线的斜率可能都不存在，即斜率可能不相等，则甲不是乙的必要条件， 所以甲是乙的充分条件但不是必要条件. 故选：A. 【变式5-1】已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【解析】， 由图可知不共线，所以． 故选：B 【变式5-2】已知直线与直线互相平行，则m为（   ） A． B．-2 C．-2或2 D．2 【答案】D 【解析】因为直线与直线互相平行， 所以，解得或， 又因为时，两直线重合，不符合题意，舍去. 所以，. 故选：D. 【变式5-3】若直线与直线平行，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】由直线与直线平行，得， 所以. 故选：D 【变式5-4】已知直线，若，则（   ） A． B． C．8 D． 【答案】D 【解析】因为，所以．验证当时，，两条直线平行. 故选：D． 题型六：直线垂直 【典例6-1】（2025·高二·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【解析】因为 ， 所以 , 故 因此该三角形为直角三角形. 故选：B. 【典例6-2】已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【解析】由题意， 所以， 所以. 故选：A. 【变式6-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ， 直线的斜率不存在，所以只有，所以． B选项正确，其它选项错误. 故选：B 【变式6-2】已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，直线的斜率为，因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为. 结合斜率与倾斜角的关系，得直线的倾斜角为. 故选：D. 【变式6-3】（2025·高二·山西·期中）若直线与直线垂直，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】由直线与直线垂直，得，所以. 故选：C 【变式6-4】若直线 与直线 垂直，则实数为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【解析】根据题意，可得，解得. 故选：C. 题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用 【典例7-1】（2025·全国·模拟预测）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为 ． 【答案】， 【解析】设正方形一条边所在的直线倾斜角为，则， 解得，故， 根据垂直关系可得另一条边的斜率为， 所以该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为，． 故答案为：；． 【典例7-2】设两直线，与轴构成三角形，则的取值范围为 . 【答案】且 【解析】当直线，及轴两两不平行，且不共点时，必围成三角形 当时，直线与直线平行； 当时，直线与轴平行； 当时，直线，及轴都过原点； 要使得两直线，与轴构成三角形，则的取值范围为且 故答案为：且 【变式7-1】已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【解析】由题得，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 因为，所以， 所以四边形是平行四边形． 【变式7-2】（2025·高二·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【解析】由已知可得边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率. 因为，，所以，. 因此四边形是平行四边形. 【变式7-3】在平面直角坐标系中，四边形的顶点按逆时针顺序依次是，，，，其中，试判断四边形的形状，并给出证明． 【解析】四边形是矩形．证明如下： 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 所以，，所以，， 所以四边形是平行四边形． 又， 所以，所以四边形是矩形． 又，， 令，即，无解， 所以与不垂直，故四边形是矩形． 1．（2025·高二·广东深圳·期末）直线，则 “”的充要条件是（    ） A． B． C．或 D．以上均不对 【答案】B 【解析】因为直线， 当时，，解得或， 当时，，此时两直线重合，舍去， 又时，，此时， 所以 “”的充要条件是“”. 故选：B. 2．（2025·高二·安徽淮南·期中）已知直线与直线平行，则的值为（   ） A．3 B． C．1或 D．或3 【答案】B 【解析】因为直线与直线平行， 所以,解得，或； 当时，两条直线为：两条直线重合，舍去； 当时，两条直线为：两条直线平行； 故选：B 3．（2025·高二·云南昭通·期中）已知直线与平行，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线与平行，所以，得. 故选：D 4．（2025·高二·江苏南京·期末）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】若则直线与垂直，满足题意， 若则,则. 综上所述，则或. 故选：C 5．（2025·高二·浙江温州·开学考试）已知是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由直线的方向向量知，直线的斜率为 ， 设直线的倾斜角为，所以 ，解得 . 故选：D 6．（2025·高二·安徽淮北·开学考试）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致如图，一座斜拉桥共有对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距、均为，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，， ，则点，， 所以拉索所在直线的斜率. 故选：D 7．（2025·高二·江苏南京·期末）已知直线：，：，当时，实数的值为（    ） A．0 B． C．3 D． 【答案】C 【解析】由直线：与：垂直，得， 所以. 故选：C 8．（2025·高二·江苏扬州·期末）已知直线经过和两点，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的斜率为， 设的倾斜角为，则，解得. 故选：D 9．（2025·高二·江西九江·期末）已知经过点和点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，得，解得， 故选：C． 10．（多选题）（2025·高二·河南开封·期末）已知经过，两点的直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由题意，，解得，则， 设倾斜角为，则，解得或. 故选：BC 11．（多选题）（2025·高二·甘肃·期末）已知直线和直线，则直线平行的充分不必要条件可以是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】AC 【解析】当直线平行时， 则有，解得或，经检验此时两直线平行， 所以直线平行的充要条件为或， 由充分不必要条件的定义可知A，C满足题意. 故选：AC． 12．（多选题）（2025·高二·陕西榆林·期末）若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数a的值为（    ）． A．1 B．3 C．0 D．4 【答案】AB 【解析】因，且，则的斜率必存在， 故，即， 化简得，解得或． 故选：AB． 13．（多选题）若直线与直线平行，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】因为直线与直线平行， 则，解得或. 故选：AB. 14．已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ． 【答案】/ 【解析】因为直线经过点、两点，所以， 设直线的倾斜角为，所以，故， 故直线的斜率为. 故答案为：. 15．已知直线，，则与的夹角大小是 ． 【答案】 【解析】直线的斜率为1，则倾斜角； 直线的斜率为，倾斜角， 所以与的夹角. 故答案为： 16．（2025·高二·上海浦东新·期中）若直线与直线的夹角为，则实数的值为 . 【答案】 【解析】直线的斜率为，倾斜角为， 因为直线与直线的夹角为， 所以直线的倾斜角为或， 若直线的倾斜角为，则不存在； 若直线的倾斜角为，则. 综上所述，. 故答案为：. 17．（2025·高二·广西·开学考试）已知直线：，直线：. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【解析】（1）因为，所以， 整理得 解得或. 当时，重合； 当时，，符合题意. 故. （2）因为，所以 解得或. 18．（2025·高二·湖南长沙·期中）已知直线和， (1)若与平行，求m的值； (2)若与垂直，求m的值． 【解析】（1）若与平行，则，解得：或， 当时，直线和，与平行； 当时，直线和，与重合. 综上：. （2）当时，即时，与垂直， 即时，与垂直. 19．给出两条直线：，：，其中． (1)当m为何值时，与重合？ (2)设，求m； (3)设与相交，求m的取值范围； (4)求m的值，使得． 【解析】（1）由，解得，所以当时，与重合. （2）由，解得，所以时，与平行. （3）当，即且时，与相交. （4）当时，即时，与相垂直. 20．（2025·高二·上海·期中）已知平面直角坐标系中，，，， (1)若直线与直线平行，求m的值； (2)若直线与直线垂直，求m的值. 【解析】（1）因为直线AC与直线BD平行，所以， 所以，经检验两直线不重合， 所以 （2）因为直线AC与直线BC垂直，两直线斜率均存在， 所以， 所以， 21．（2025·高二·山东潍坊·期中）已知坐标平面内三点． (1)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (2)若是线段上一动点，求的取值范围． 【解析】（1）如图，当点在第一象限时，， 设，则，解得， 故点的坐标为. （2）由题意得为直线的斜率，如图， 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，． 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 直线的倾斜角与斜率 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：直线的倾斜角 平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角． 规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是． 知识点诠释： 1、要清楚定义中含有的三个条件 ①直线向上方向； ②轴正向； ③小于的角． 2、从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． 3、倾斜角的范围是．当时，直线与x轴平行或与x轴重合． 4、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应． 5、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置． 知识点二：直线的斜率 1、定义： 倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即． 知识点诠释： （1）当直线与x轴平行或重合时，，； （2）直线与x轴垂直时，，k不存在． 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在． 2、直线的倾斜角与斜率之间的关系 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 知识点三：斜率公式 已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式． 知识点诠释： 1、对于上面的斜率公式要注意下面五点： （1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直； （2）与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换； （3）斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得； （4）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合； （5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 2、斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题： （1）由、点的坐标求的值； （2）已知及中的三个量可求第四个量； （3）已知及、的横坐标（或纵坐标）可求； （4）证明三点共线． 知识点四：两直线平行的条件 设两条不重合的直线的斜率分别为．若，则与的倾斜角与相等．由，可得，即． 因此，若，则． 反之，若，则． 知识点诠释： 1、公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合； 2、当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则． 知识点五：两直线垂直的条件 设两条直线的斜率分别为．若，则． 知识点诠释： 1、公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； 2、当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直． 题型一：直线的倾斜角与斜率定义 【典例1-1】（多选题）在下列四个命题中，正确的有（   ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 【典例1-2】（多选题）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（   ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 D．若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为 【变式1-1】（多选题）（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期末）下列命题中，正确的是（    ） A．任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率 B．平行于轴的直线的倾斜角是或 C．若两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等 D．若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率相等 【变式1-2】（多选题）（2025·高二·海南·期中）已知直线的倾斜角为，斜率为，则下列命题正确的有（     ） A．存在则一定存在 B．存在则一定存在 C．有些直线不存在，但存在 D．有些直线不存在，但存在 题型二：斜率与倾斜角的变化关系 【典例2-1】（多选题）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D． 【典例2-2】（多选题）（2025·高二·四川广安·期中）如图，直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（多选题）已知直线的斜率分别是，倾斜角分别是，且，则下列关系可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选题）如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（多选题）（2025·高二·江苏连云港·期中）已知直线，的斜率分别为2，，直线l与直线，围成一个等腰三角形，且顶角为钝角，则直线l的斜率可能是（    ） A． B． C． D．1 题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数 【典例3-1】（2025·高二·安徽·期末）若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】经过，两点的直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·高二·广东佛山·期末）已知点，在斜率为的直线l上，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·高二·河南开封·期中）若经过，两点的直线斜率为1，则实数（    ） A．3 B． C．2 D．1 【变式3-3】过两点，的直线的倾斜角是，则等于（    ） A． B． C． D． 题型四：直线与线段相交关系求斜率范围 【典例4-1】已知点，点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2025·高二·陕西西安·开学考试）已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（多选题）（2025·高二·四川雅安·期中）直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（多选题）经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围为 B．直线的倾斜角的取值范围为 C．斜率的取值范围为 D．斜率的取值范围为 【变式4-3】（多选题）过点作直线l，使得直线和连接点，的线段总有公共点，则直线l的斜率的可能取值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 题型五：直线平行 【典例5-1】已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【典例5-2】设与是平面内不重合的直线，甲：与的斜率相等；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 【变式5-1】已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【变式5-2】已知直线与直线互相平行，则m为（   ） A． B．-2 C．-2或2 D．2 【变式5-3】若直线与直线平行，则（   ） A．2 B． C． D． 【变式5-4】已知直线，若，则（   ） A． B． C．8 D． 题型六：直线垂直 【典例6-1】（2025·高二·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【典例6-2】已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【变式6-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·高二·山西·期中）若直线与直线垂直，则（   ） A． B． C．1 D．2 【变式6-4】若直线 与直线 垂直，则实数为（    ） A． B． C．0 D．1 题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用 【典例7-1】（2025·全国·模拟预测）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为 ． 【典例7-2】设两直线，与轴构成三角形，则的取值范围为 . 【变式7-1】已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【变式7-2】（2025·高二·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【变式7-3】在平面直角坐标系中，四边形的顶点按逆时针顺序依次是，，，，其中，试判断四边形的形状，并给出证明． 1．（2025·高二·广东深圳·期末）直线，则 “”的充要条件是（    ） A． B． C．或 D．以上均不对 2．（2025·高二·安徽淮南·期中）已知直线与直线平行，则的值为（   ） A．3 B． C．1或 D．或3 3．（2025·高二·云南昭通·期中）已知直线与平行，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D． 4．（2025·高二·江苏南京·期末）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C．或 D．或 5．（2025·高二·浙江温州·开学考试）已知是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·高二·安徽淮北·开学考试）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致如图，一座斜拉桥共有对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距、均为，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·高二·江苏南京·期末）已知直线：，：，当时，实数的值为（    ） A．0 B． C．3 D． 8．（2025·高二·江苏扬州·期末）已知直线经过和两点，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·高二·江西九江·期末）已知经过点和点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2025·高二·河南开封·期末）已知经过，两点的直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角可能为（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2025·高二·甘肃·期末）已知直线和直线，则直线平行的充分不必要条件可以是（   ） A． B．或 C． D． 12．（多选题）（2025·高二·陕西榆林·期末）若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数a的值为（    ）． A．1 B．3 C．0 D．4 13．（多选题）若直线与直线平行，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 14．已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ． 15．已知直线，，则与的夹角大小是 ． 16．（2025·高二·上海浦东新·期中）若直线与直线的夹角为，则实数的值为 . 17．（2025·高二·广西·开学考试）已知直线：，直线：. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 18．（2025·高二·湖南长沙·期中）已知直线和， (1)若与平行，求m的值； (2)若与垂直，求m的值． 19．给出两条直线：，：，其中． (1)当m为何值时，与重合？ (2)设，求m； (3)设与相交，求m的取值范围； (4)求m的值，使得． 20．（2025·高二·上海·期中）已知平面直角坐标系中，，，， (1)若直线与直线平行，求m的值； (2)若直线与直线垂直，求m的值. 21．（2025·高二·山东潍坊·期中）已知坐标平面内三点． (1)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (2)若是线段上一动点，求的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$