第12讲 双曲线（6个知识点10大题型）-2025 年新高二数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（人教A版2019）

第12讲 双曲线 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距． 知识点诠释： 1、 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3、 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 知识点二：双曲线的标准方程 1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中 椭圆、双曲线的区别和联系： 椭圆 双曲线 根据|MF1|+|MF2|=2a 根据|MF1|－|MF2|=±2a a＞c＞0， a2－c2=b2（b＞0） 0＜a＜c， c2－a2=b2（b＞0） ， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b） （a最大） （c最大） 标准方程统一为： 方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件 方程Ax2+By2=C可化为，即， 所以只有A、B异号，方程表示双曲线． 当时，双曲线的焦点在x轴上； 当时，双曲线的焦点在y轴上． 知识点诠释： 3、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上． 4、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2． 5、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 6、对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 知识点三：求双曲线的标准方程 ①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”； ②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程． 知识点四：双曲线的简单几何性质 双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质 范围 双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a和x=a的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a． 对称性 对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心． 顶点 ①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点． ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为 A1（-a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点． ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，-b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b．a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长． ①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上． ③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率 ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作． ②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率． 由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度． ③等轴双曲线，所以离心率． 渐近线 经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是． 我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 知识点四：双曲线两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 轴 实轴长=，虚轴长= 离心率 渐近线方程 知识点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 知识点五：双曲线的渐近线 （1）已知双曲线方程求渐近线方程： 若双曲线方程为，则其渐近线方程为 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程． （2）已知渐近线方程求双曲线方程： 若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可． （3）与双曲线有公共渐近线的双曲线 与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） （4）等轴双曲线的渐近线 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为． 知识点六：双曲线中a，b，c的几何意义及有关线段的几何特征： 双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2． 双曲线，如图： （1）实轴长，虚轴长，焦距， （2）离心率：； （3）顶点到焦点的距离：，； 题型一：双曲线的定义 【典例1-1】（2025·高二·安徽蚌埠·期末）已知，，动点P满足，则点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．射线 【典例1-2】（2025·高二·北京延庆·期末）已知是双曲线上的动点，则到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】双曲线上一点到其中一个焦点的距离为，则这个点到另外一个焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，则的值为（   ）. A．9 B．1 C．1或9 D．2 【变式1-3】已知，是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是以，为焦点的双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二：求双曲线的标准方程 【典例2-1】以和为渐近线，且经过点的双曲线标准方程是 . 【典例2-2】等轴双曲线的一个焦点是，则它的标准方程是 ． 【变式2-1】（2025·高二·北京海淀·期末）已知双曲线M的中心在原点，以坐标轴为对称轴.从以下三个条件中任选两个条件，并根据所选条件求双曲线M的标准方程.①一个焦点坐标为；②经过点；③离心率为.你选择的两个条件是 ，得到的双曲线M的标准方程是 . 【变式2-2】已知双曲线中心在原点，且以椭圆的焦点为顶点，焦距长为16，则双曲线标准方程为 ． 【变式2-3】双曲线的焦距为4，且其渐近线与圆相切，则双曲线的标准方程为 ． 题型三：焦点三角形 【典例3-1】（多选题）（2025·高二·江苏泰州·期中）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，设是，的一个交点，与的离心率分别是，，则下列结论正确的有（    ） A． B．的面积 C．若，则 D． 【典例3-2】（多选题）（2025·全国·模拟预测）双曲线的左，右焦点分别为，，点P在C上.若是直角三角形，则的面积为（    ） A． B． C．4 D．2 【变式3-1】（多选题）（2025·高二·辽宁大连·期中）已知点在双曲线上，，分别为双曲线的左、右焦点，若的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．点到x轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 题型四：轨迹方程 【典例4-1】（2025·高二·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知定点，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程是（   ） A．7 B． C．. D． 【变式4-3】（2025·高二·四川成都·期末）设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型五：双曲线的简单几何性质 【典例5-1】（多选题）设分别是双曲线的左、右焦点，若点P在双曲线上，且，则（　　） A．5 B．3 C．7 D．6 【典例5-2】（多选题）（2025·高二·河北邢台·期中）已知是双曲线的上焦点，点在上，则（    ） A． B． C．的最小值为2 D．的最小值为4 【变式5-1】（多选题）已知双曲线和，其中，且，则（   ） A．与虚轴长相等 B．与焦距相等 C．与离心率相等 D．与渐近线相同 【变式5-2】（多选题）已知双曲线和，其中，且，则（） A．与虚轴长相等 B．与焦距相等 C．与离心率相等 D．与渐近线相同 【变式5-3】（多选题）（2025·高二·云南昆明·期中）已知点在左、右焦点分别为的双曲线上，，则（    ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C． D． 【变式5-4】（多选题）已知双曲线过点和，则下列说法正确的是（   ） A．实轴长为2 B．焦距为4 C．渐近线方程为 D．离心率为 题型六：求双曲线的离心率 【典例6-1】（2025·高三·河南周口·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为C右支上一点，与y轴交于点M，若为等边三角形，则C的离心率为 . 【典例6-2】若直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为 【变式6-1】（2025·高二·江西吉安·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，过点作轴的垂线与双曲线在第一象限交于点为坐标原点，若，且，则双曲线的离心率为 ． 【变式6-2】（2025·高三·江苏扬州·期末）已知直线是双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为 ． 【变式6-3】（2025·高二·广东茂名·期末）设双曲线的左，右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，，则的离心率为 . 题型七：求双曲线离心率的取值范围 【典例7-1】（2025·高二·浙江杭州·期末）椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，求取值范围 ． 【典例7-2】已知双曲线的左，右焦点分别为、，焦距为．若以线段为直径的圆与直线有交点，则双曲线C的离心率取值范围为 【变式7-1】（2025·高二·全国·单元测试）已知二次曲线，当时，该曲线的离心率的取值范围是 ． 【变式7-2】已知是双曲线的右焦点，直线与双曲线相交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【变式7-3】（2025·高二·辽宁锦州·期中）已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在双曲线右支上，满足，，又直线：与双曲线的左、右两支各交于一点，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【变式7-4】已知双曲线1（）的右焦点为F，若过F且倾斜角为60°的直线分别与双曲线的左右两支相交，则此双曲线离心率的取值范围是 . 题型八：由双曲线离心率求参数的取值范围 【典例8-1】已知双曲线的离心率为，则 ． 【典例8-2】设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是 . 【变式8-1】（2025·河北·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，直线在第一象限交双曲线C右支于点A.若双曲线的离心率满足，且，则k的取值范围是 . 【变式8-2】（2025·高二·陕西汉中·期末）已知双曲线：的离心率为，则双曲线的两条渐近线夹角（锐角）的正切值为 . 【变式8-3】（2025·高二·浙江绍兴·期中）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的值为 ． 题型九：双曲线中的范围与最值问题 【典例9-1】已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 【典例9-2】已知为双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为 . 【变式9-1】双曲线C的渐近线方程为，一个焦点为F（0，﹣8），则该双曲线的标准方程为 .已知点A（﹣6，0），若点P为C上一动点，且P点在x轴上方，当点P的位置变化时，△PAF的周长的最小值为 . 而|AF|=10，故，△PAF的周长的最小值为10+10+8=28. 故答案为：；28. 【变式9-2】（2025·高二·山西太原·期末）已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 【变式9-3】（2025·高二·上海·期末）已知F是双曲线的右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为 . 题型十：双曲线的综合问题 【典例10-1】已知双曲线的左右焦点为. (1)若双曲线的离心率为，且是正三角形，求的方程； (2)若，点在双曲线的右支上，且直线的斜率为，若，求. 【典例10-2】已知椭圆：的焦点与双曲线的焦点重合，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为的直线，交椭圆于两点，点，若为定值，求点的坐标． 【变式10-1】已知双曲线的焦距为，右顶点为，点在双曲线的渐近线上． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为的直线与双曲线交于M，N两点，若的面积为，求实数的值． 【变式10-2】已知双曲线E的渐近线方程为，且过点． (1)求双曲线E的标准方程； (2)点Q为双曲线E上一点，证明点Q到两渐近线的距离之积为定值，并求出该定值； (3)双曲线E的两个顶点分别为，点M在直线上，直线与双曲线E分别交于（异于）两点，且直线与x轴垂直，求点M的坐标及直线的方程． 【变式10-3】（2025·高二·浙江·期中）已知双曲线的顶点与椭圆：的左右顶点，重合，且离心率为. (1)求双曲线的标准方程. (2)过双曲线上一点（位于第一象限）作切线，分别与轴，轴交于两点，与椭圆交于两点. （i）若点的横坐标成等差数列，求直线的斜率. （ii）已知的面积为，求点的坐标. 1．过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 2．设P是双曲线右支上一点，，分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点，Q为线段的中点，若，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．已知，是双曲线的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 4．（2025·高二·云南·期中）椭圆的离心率与双曲线的离心率之积为1，点P是两曲线在第一象限的交点，则点P的横坐标可能为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为上一点，满足轴，且，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 6．（2025·高二·江苏盐城·开学考试）惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名建筑事务所steynstudio完成的.若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（   ） A．4 B． C．2 D． 7．（2025·高二·重庆巴南·期中）如图，在圆锥中，为底面圆的直径，过的中点与平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分．若，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·高二·广西贵港·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，是上一点，且，，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 9．已知双曲线两焦点为，，直线与双曲线的交点在以为直径的圆上，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 10．已知曲线，则的离心率为（   ） A． B． C． D．2 11．（多选题）（2025·高二·陕西宝鸡·期末）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率可能为（   ） A． B． C． D．2 12．（多选题）（2025·高二·陕西安康·期中）设双曲线的左，右焦点分别为，，且，为上关于原点中心对称的两点，则（   ） A．的实轴长为 B． C．若，则直线的斜率为 D．若，则 13．（多选题）已知动点与点都不重合，且直线PA，PB的斜率之积为定值．则（    ） A．点可能恒在某个圆上 B．点可能恒在焦点在轴上的某个双曲线上 C．点可能恒在焦点在轴上的某个椭圆上 D．点可能恒在某条直线上 14．（多选题）已知、是曲线上的两个动点， 则（    ） A．曲线是中心对称图形 B．曲线有且只有两条渐近线 C．若、分别在第二象限和第四象限，则的最小值为 D．曲线和圆恰好有个公共点 15．（多选题）已知双曲线 与动圆. 恰有两个交点，则（   ） A．双曲线C的离心率为2 B．双曲线C的渐近线被圆M截得的弦长为 C．双曲线 C上存在一条弦，该弦的中点坐标为 D．过双曲线C的一个焦点 F作圆M的两条切线，切点分别为A，B，则 16．（多选题）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，为的左顶点，过且斜率存在的直线与的左支分别交于，两点，设，分别为，的内切圆的圆心，且，则下列说法正确的是（    ） A．的渐近线方程为 B．直线轴 C．双曲线的方程为 D．的最小值为 17．已知双曲线的左､右焦点分别为，过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于两点，是的中点，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值是 . 18．已知双曲线的焦距为，则它的两条渐近线的夹角的余弦值为 ． 19．（2025·高二·贵州遵义·期中）已知双曲线的左焦点为，右顶点为，过作垂直于轴的直线与两渐近线分别交于点，若为等边三角形，则的离心率为 ． 20．（2025·河北保定·二模）已知双曲线的焦距为，离心率为． (1)求C的方程； (2)若A是C的左顶点，直线与C交于P，Q两点，求的面积． 21．（2025·河南·模拟预测）已知O为坐标原点，直线与双曲线的渐近线交于A，B两点，与椭圆交于E，F两点.当时，. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l与C相切，证明：的面积为定值. 22．（2025·山东济宁·二模）已知双曲线（，）的离心率为，且点在双曲线上， (1)求的方程； (2)若直线交于，两点，的平分线与轴垂直，求证：的倾斜角为定值. 23．（2025·高二·上海黄浦·期中）如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点、，它们距离城市中心的距离均为是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路，如图所示，道路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，其中道路起点到东西方向主干道的距离为，线路段上的任意一点到的距离都相等，以为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求道路的曲线方程； (2)现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置（即确定点的坐标）并写出最短距离． 24．（2025·高二·上海徐汇·期中）已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程； (2)若动点的轨迹上存在两点关于直线对称，求的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 双曲线 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距． 知识点诠释： 1、 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3、 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 知识点二：双曲线的标准方程 1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中 椭圆、双曲线的区别和联系： 椭圆 双曲线 根据|MF1|+|MF2|=2a 根据|MF1|－|MF2|=±2a a＞c＞0， a2－c2=b2（b＞0） 0＜a＜c， c2－a2=b2（b＞0） ， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b） （a最大） （c最大） 标准方程统一为： 方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件 方程Ax2+By2=C可化为，即， 所以只有A、B异号，方程表示双曲线． 当时，双曲线的焦点在x轴上； 当时，双曲线的焦点在y轴上． 知识点诠释： 3、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上． 4、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2． 5、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 6、对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 知识点三：求双曲线的标准方程 ①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”； ②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程． 知识点四：双曲线的简单几何性质 双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质 范围 双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a和x=a的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a． 对称性 对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心． 顶点 ①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点． ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为 A1（-a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点． ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，-b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b．a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长． ①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上． ③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率 ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作． ②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率． 由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度． ③等轴双曲线，所以离心率． 渐近线 经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是． 我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 知识点四：双曲线两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 轴 实轴长=，虚轴长= 离心率 渐近线方程 知识点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 知识点五：双曲线的渐近线 （1）已知双曲线方程求渐近线方程： 若双曲线方程为，则其渐近线方程为 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程． （2）已知渐近线方程求双曲线方程： 若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可． （3）与双曲线有公共渐近线的双曲线 与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） （4）等轴双曲线的渐近线 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为． 知识点六：双曲线中a，b，c的几何意义及有关线段的几何特征： 双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2． 双曲线，如图： （1）实轴长，虚轴长，焦距， （2）离心率：； （3）顶点到焦点的距离：，； 题型一：双曲线的定义 【典例1-1】（2025·高二·安徽蚌埠·期末）已知，，动点P满足，则点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．射线 【答案】B 【解析】因为，，所以， 则，由双曲线的定义可知，点P的轨迹为双曲线的一支. 故选：B. 【典例1-2】（2025·高二·北京延庆·期末）已知是双曲线上的动点，则到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得，即； 再由双曲线定义可得到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为. 故选：B 【变式1-1】双曲线上一点到其中一个焦点的距离为，则这个点到另外一个焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设双曲线的左右焦点分别为，已知点为点，不妨设， 由双曲线得， 因为，所以点在双曲线的左支上， 由双曲线的定义可得，解得或（舍去）， 所以这个点到另外一个焦点的距离为. 故选：B. 【变式1-2】双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，则的值为（   ）. A．9 B．1 C．1或9 D．2 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以，解得， 根据双曲线定义可得， 所以，解得或， 当时，不合题意，故舍去， 当时，，满足题意， 综上，. 故选：A 【变式1-3】已知，是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是以，为焦点的双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】充分性：当“为定值”，但“”时，“动点的轨迹不是双曲线”，不满足充分性； 必要性：以，为焦点的双曲线上的动点满足“为定值”，满足必要性； 因此“为定值”是“动点的轨迹是以，为焦点的双曲线”的必要不充分条件． 故选：B. 题型二：求双曲线的标准方程 【典例2-1】以和为渐近线，且经过点的双曲线标准方程是 . 【答案】 【解析】渐近线为的双曲线可设为， 又双曲线经过点，代入曲线解得. 所以，双曲线的标准方程为. 故答案为：. 【典例2-2】等轴双曲线的一个焦点是，则它的标准方程是 ． 【答案】 【解析】由焦点在x轴上，可设双曲线方程为：. 又因，双曲线为等轴双曲线，则. 故答案为： 【变式2-1】（2025·高二·北京海淀·期末）已知双曲线M的中心在原点，以坐标轴为对称轴.从以下三个条件中任选两个条件，并根据所选条件求双曲线M的标准方程.①一个焦点坐标为；②经过点；③离心率为.你选择的两个条件是 ，得到的双曲线M的标准方程是 . 【答案】 ①②或①③或② ③ 或或 【解析】选①②，由题意则，， ， 双曲线的标准方程为， 故答案为：①②；， 选①③ ，由题意，， ， ， 双曲线的标准方程为， 选 ② ③，由题意知， ， ， 双曲线的标准方程为. 故答案为：①②；或①③；或② ③ ；. 【变式2-2】已知双曲线中心在原点，且以椭圆的焦点为顶点，焦距长为16，则双曲线标准方程为 ． 【答案】 【解析】椭圆化为标准方程， 则椭圆的交点坐标为， 设双曲线标准方程为， 则， 由题意双曲线的焦距，则， 所以， 所以双曲线标准方程为. 故答案为：. 【变式2-3】双曲线的焦距为4，且其渐近线与圆相切，则双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【解析】因为双曲线的焦距为4，所以． 由双曲线的两条渐近线与圆相切，可得． 又，所以，， 所以双曲线的标准方程为． 故答案为： 题型三：焦点三角形 【典例3-1】（多选题）（2025·高二·江苏泰州·期中）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，设是，的一个交点，与的离心率分别是，，则下列结论正确的有（    ） A． B．的面积 C．若，则 D． 【答案】ABD 【解析】设，，又∵， 即， 又∵，，令， ∴，， ∴，故A正确； ，， ，故B正确； 当时，，得， ∴，故C不正确． 设，证明椭圆的焦点三角形面积为， 记，， 在中，由余弦定理有：， ∴， 又由椭圆定义有：， ∴；∴， 又∵， ∴ ， 设，证明双曲线的焦点三角形面积为， 记，， 在中，由余弦定理有：， ∴， 又由双曲线定义有：， ∴；∴， 又∵， ∴ ， 由，故D正确． 故选:ABD． 【典例3-2】（多选题）（2025·全国·模拟预测）双曲线的左，右焦点分别为，，点P在C上.若是直角三角形，则的面积为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】AC 【解析】由双曲线可得.根据双曲线的对称性只需考虑或. 当时，将代入可得，所以的面积为. 当时，由双曲线的定义可知， ，由勾股定理可得. 因为， 所以，此时的面积为 综上所述，的面积为4或. 故选：. 【变式3-1】（多选题）（2025·高二·辽宁大连·期中）已知点在双曲线上，，分别为双曲线的左、右焦点，若的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．点到x轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 【答案】AC 【解析】由双曲线的方程可得，，则， 由的面积为，得，解得， 即点到x轴的距离为，故A选项正确； 将代入双曲线方程可得，根据双曲线的对称性可设， 则， 由双曲线的定义知，则， 则，故B选项错误； 在中，， 则，为钝角， 则为钝角三角形，故C选项正确； ， 则错误， 故选：AC. 题型四：轨迹方程 【典例4-1】（2025·高二·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 圆的圆心为，半径为，由中垂线的性质可得, 所以, 所以点的轨迹方程是双曲线，且，，，， 所以点的轨迹方程为. 故选：A. 【典例4-2】若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】定圆的圆心为，与关于原点对称. 设，由两圆外切可得，所以, 所以，点的轨迹为双曲线的右支. 设双曲线的方程为，则，，， 所以，点的轨迹方程为. 故选：D. 【变式4-1】动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得， 化简得． 故选：B 【变式4-2】已知定点，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程是（   ） A．7 B． C．. D． 【答案】B 【解析】如图，当点在轴左侧时，连接，由点关于点的对称点为，得是线段中点， 而点是线段的中点，则， 由为线段的垂直平分线，得， 于是，当点在轴右侧时，同理， 则， 所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线，对应的方程为. 故选：B 【变式4-3】（2025·高二·四川成都·期末）设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 动点的轨迹是以为焦点的双曲线，且， ，双曲线的方程为. 故选：B. 题型五：双曲线的简单几何性质 【典例5-1】（多选题）设分别是双曲线的左、右焦点，若点P在双曲线上，且，则（　　） A．5 B．3 C．7 D．6 【答案】BC 【解析】由双曲线的定义可知，即， 所以或． 故选：BC． 【典例5-2】（多选题）（2025·高二·河北邢台·期中）已知是双曲线的上焦点，点在上，则（    ） A． B． C．的最小值为2 D．的最小值为4 【答案】AC 【解析】由可得，所以，得，A正确，B错误， 当为上顶点时，此时的最小值为．C正确，D错误， 故选：AC 【变式5-1】（多选题）已知双曲线和，其中，且，则（   ） A．与虚轴长相等 B．与焦距相等 C．与离心率相等 D．与渐近线相同 【答案】BD 【解析】双曲线的虚轴在轴上，虚轴长为， 双曲线的虚轴在轴上，虚轴长为，故A错误； 双曲线和焦距均为，故B正确； 双曲线的离心率为， 双曲线的离心率为，故C错误； 双曲线的渐近线为， 双曲线的渐近线为，故D正确． 故选：BD. 【变式5-2】（多选题）已知双曲线和，其中，且，则（） A．与虚轴长相等 B．与焦距相等 C．与离心率相等 D．与渐近线相同 【答案】BD 【解析】对于选项A，双曲线的实轴在轴上，实轴长为，虚轴长为， 双曲线的实轴在轴上，实轴长为，虚轴长为，因为，所以选项A错误， 对于选项B，双曲线和焦距均为，所以选项B正确， 对于选项C，双曲线的离心率为， 双曲线的离心率为，所以选项C错误， 对于选项D，双曲线的渐近线为，双曲线的渐近线为，所以选项D正确， 故选：BD． 【变式5-3】（多选题）（2025·高二·云南昆明·期中）已知点在左、右焦点分别为的双曲线上，，则（    ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C． D． 【答案】BC 【解析】由题意可得，焦点在轴上，所以， 渐近线方程为，离心率为，A错误，B正确； 不妨设点在双曲线的右支上，所以， 因为，所以， 所以，C正确； ，所以，D错误. 故选：BC 【变式5-4】（多选题）已知双曲线过点和，则下列说法正确的是（   ） A．实轴长为2 B．焦距为4 C．渐近线方程为 D．离心率为 【答案】ABC 【解析】因为双曲线过点和， 则，则， 对于A、实轴长为，故A正确； 对于B、焦距为，故B正确； 对于C、渐近线方程为，故C正确； 对于D、离心率为，故D错误. 故选：ABC. 题型六：求双曲线的离心率 【典例6-1】（2025·高三·河南周口·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为C右支上一点，与y轴交于点M，若为等边三角形，则C的离心率为 . 【答案】 【解析】由题意，是底角为的等腰三角形，又为等边三角形， 所以，，且， 则，又， 故. 故答案为： 【典例6-2】若直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为 【答案】 【解析】因为直线是双曲线的一条渐近线， 所以，则， 所以的离心率. 故答案为：. 【变式6-1】（2025·高二·江西吉安·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，过点作轴的垂线与双曲线在第一象限交于点为坐标原点，若，且，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【解析】根据题意轴，所以为直角三角形，由有， 设，把代入有，所以，即， 由有，由， 即. 故答案为：. 【变式6-2】（2025·高三·江苏扬州·期末）已知直线是双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以，即， 因此双曲线方程为，所以双曲线的离心率. 故答案为： 【变式6-3】（2025·高二·广东茂名·期末）设双曲线的左，右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，，则的离心率为 . 【答案】 【解析】 由双曲线的对称性可知，，有四边形为平行四边形， 令，则， 由双曲线定义可知，故有，即， 即，， 则 ， 即，，所以. 故答案为： 题型七：求双曲线离心率的取值范围 【典例7-1】（2025·高二·浙江杭州·期末）椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，求取值范围 ． 【答案】 【解析】由题设，则，而， 又，则. 故答案为： 【典例7-2】已知双曲线的左，右焦点分别为、，焦距为．若以线段为直径的圆与直线有交点，则双曲线C的离心率取值范围为 【答案】 【解析】以线段为直径的圆的方程是，与直线有交点， 则圆心到直线的距离， 所以双曲线的离心率． 故答案为：． 【变式7-1】（2025·高二·全国·单元测试）已知二次曲线，当时，该曲线的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，∴曲线方程化为，曲线为双曲线， 所以，，， 所以，因为，所以. 故答案为：. 【变式7-2】已知是双曲线的右焦点，直线与双曲线相交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【解析】联立方程，消去x得： 所以，即，解得， 设，则可得， 取双曲线的左焦点为，连结，由对称性知四边形为平行四边形， 由可得， ∵，则， ∴，则 即，整理得，解得， 综上可得：. 故双曲线的离心率的取值范围是. 故答案为：. 【变式7-3】（2025·高二·辽宁锦州·期中）已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在双曲线右支上，满足，，又直线：与双曲线的左、右两支各交于一点，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为，故， 由双曲线定义可得， 由勾股定理知：， 整理得，， 又，，， 故，， 解得， 直线：与双曲线的左、右两支各交于一点， 则直线的斜率， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式7-4】已知双曲线1（）的右焦点为F，若过F且倾斜角为60°的直线分别与双曲线的左右两支相交，则此双曲线离心率的取值范围是 . 【答案】(2，+∞) 【解析】依题意，斜率为的直线l过双曲线1（a＞0，b＞0） 的右焦点为F且与双曲线的左右两支分别相交， 双曲线的一条渐近线的斜率必大于， 即，因此该双曲线的离心率e2． 故答案为：(2，+∞)． 题型八：由双曲线离心率求参数的取值范围 【典例8-1】已知双曲线的离心率为，则 ． 【答案】或 【解析】双曲线， 当焦点在轴时，，， 可得， 双曲线的离心率为， ，即，解得， 当焦点在轴时，，， 可得， 双曲线的离心率为， ， 可得，即，可得． 故答案为：或． 【典例8-2】设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】记椭圆，双曲线的半焦距分别为， 由题意知椭圆的，双曲线的，则椭圆与双曲线共焦点， 设，则， ，设，则，解得，即， 又，且，故的取值范围是. 故答案为： 【变式8-1】（2025·河北·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，直线在第一象限交双曲线C右支于点A.若双曲线的离心率满足，且，则k的取值范围是 . 【答案】 【解析】设，由题可知，∴. ∴，∴，∴. 又由，可知，∴，解得. ∵，，∴. ∴，依题意，，∴. 故答案为： 【变式8-2】（2025·高二·陕西汉中·期末）已知双曲线：的离心率为，则双曲线的两条渐近线夹角（锐角）的正切值为 . 【答案】 【解析】因为双曲线的离心率为，所以，即，则， 故双曲线两条渐渐近线的斜率为， 设双曲线的两条渐近线的夹角为，则， 故答案为： 【变式8-3】（2025·高二·浙江绍兴·期中）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的值为 ． 【答案】 【解析】设椭圆与双曲线的半焦距为，则， 则，， 所以. 故答案为：． 题型九：双曲线中的范围与最值问题 【典例9-1】已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】设右焦点为，则，则， 依题意有， ，（当在线段与双曲线的交点时，取等号）． 故的最小值为9. 故答案为：. 【典例9-2】已知为双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为 . 【答案】9 【解析】，，，则 故双曲线的两个焦点为，， ，也分别是两个圆的圆心，半径分别为， 所以， 则 ， 故答案为：9 【变式9-1】双曲线C的渐近线方程为，一个焦点为F（0，﹣8），则该双曲线的标准方程为 .已知点A（﹣6，0），若点P为C上一动点，且P点在x轴上方，当点P的位置变化时，△PAF的周长的最小值为 . 【答案】 28 【解析】∵双曲线C的渐近线方程为，一个焦点为F（0，﹣8）， ∴，解得a=4，b=4. ∴双曲线的标准方程为； 设双曲线的上焦点为F′（0，8），则|PF|=|PF′|+8， △PAF的周长为|PF|+|PA|+|AF|=|PF′|+|PA|+|AF|+8. 当P点在第二象限，且A，P，F′共线时，|PF′|+|PA|最小，最小值为|AF′|=10. 而|AF|=10，故，△PAF的周长的最小值为10+10+8=28. 故答案为：；28. 【变式9-2】（2025·高二·山西太原·期末）已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【解析】设双曲线E：的右焦点为，则，. 由双曲线定义可得，即. ， 当且仅当三点共线时，取得最大值. ∵点N是圆上的动点， ∴圆心设为，半径， ，. 故答案为：. 【变式9-3】（2025·高二·上海·期末）已知F是双曲线的右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】双曲线，，，，，，即为， 圆的圆心为，半径， P在双曲线的左支上，，， 所以， 根据圆的几何性质可知， 的最小值是， 所以的最小值是. 故答案为：6 题型十：双曲线的综合问题 【典例10-1】已知双曲线的左右焦点为. (1)若双曲线的离心率为，且是正三角形，求的方程； (2)若，点在双曲线的右支上，且直线的斜率为，若，求. 【解析】（1）根据题意，，又是正三角形，， 解得，，，， 的方程为：. （2）直线的斜率为，，， ，又， 设，则， 在中，由正弦定理可得：，解得， 在中，由余弦定理可得， 解得，，，即. 【典例10-2】已知椭圆：的焦点与双曲线的焦点重合，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为的直线，交椭圆于两点，点，若为定值，求点的坐标． 【解析】（1）双曲线的焦点为，， 对椭圆：有， 又椭圆的离心率为，则由，得， 又有， 椭圆的标准方程为； （2）设，，设直线方程为， 由，整理得：， 由， ，， ，， ， 要使为定值，则， 即，即， 解得：或舍， 故． 【变式10-1】已知双曲线的焦距为，右顶点为，点在双曲线的渐近线上． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为的直线与双曲线交于M，N两点，若的面积为，求实数的值． 【解析】（1）设双曲线的半焦距为， 由题意可知，① 又因为在双曲线的渐近线上，所以，② 由方程①和②解得， 所以双曲线的方程为． （2）由题意可设直线的方程为， 联立方程可得①， 所以， 且方程①的判别式， 得且． 设直线与双曲线交于两点，有 则 ， 所以，即， 解得或或， 所以实数或或． 【变式10-2】已知双曲线E的渐近线方程为，且过点． (1)求双曲线E的标准方程； (2)点Q为双曲线E上一点，证明点Q到两渐近线的距离之积为定值，并求出该定值； (3)双曲线E的两个顶点分别为，点M在直线上，直线与双曲线E分别交于（异于）两点，且直线与x轴垂直，求点M的坐标及直线的方程． 【解析】（1）由渐近线方程为，可设双曲线方程为， 将点代入方程可得，即. 故双曲线方程为. （2）证明：设Q， 因为点Q在双曲线E上，所以，即， 双曲线E的渐近线方程为， 点Q到两渐近线的距离之积为， 故点Q到两渐近线的距离之积为定值，定值为. （3）由（1）得，则双曲线E的两个顶点分别为， 不妨设， 由三点共线可得，即 由三点共线可得，即 则，代入双曲线方程得，即， 把，代入方程得， 所以，直线的方程为. 【变式10-3】（2025·高二·浙江·期中）已知双曲线的顶点与椭圆：的左右顶点，重合，且离心率为. (1)求双曲线的标准方程. (2)过双曲线上一点（位于第一象限）作切线，分别与轴，轴交于两点，与椭圆交于两点. （i）若点的横坐标成等差数列，求直线的斜率. （ii）已知的面积为，求点的坐标. 【解析】（1）由题意可得，椭圆左右顶点，分别为，， 而双曲线的顶点与，重合. 故可设双曲线的标准方程为，此时； 由得，即. 因此双曲线的标准方程为. （2）（i）由题意可得，切线的斜率存在， 不妨设：，切点， 联立方程：，整理可得：， 由于与双曲线相切： 因此，即， 经化简可得：（*） 此时，，且，， 若点的横坐标成等差数列， 则，即， 若，则根据（*）式可得，， 此时为双曲线的渐近线，不可能为切线， 故，解得， 所以（切点在第一象限） （ii）不妨设，，此时切线：与椭圆联立： ，整理得：（※） （※）式中，恒成立， 此时， 解得，或，， 则的坐标为或. 1．过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【解析】如图所示，双曲线方程的两焦点坐标为，， 连接，，，，则， 因为，， 所以 ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故选：B. 2．设P是双曲线右支上一点，，分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点，Q为线段的中点，若，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】由双曲线，则， 由于为的中点，Q为线段的中点，且， 所以，则. 故选：C. 3．已知，是双曲线的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由题意可知，，渐近线方程为， 因，不妨设点在第一象限， 则由，得，即， 因，则， 结合，得. 故选：A 4．（2025·高二·云南·期中）椭圆的离心率与双曲线的离心率之积为1，点P是两曲线在第一象限的交点，则点P的横坐标可能为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】D 【解析】椭圆离心率，所以双曲线离心率，则渐近线方程为， 联立椭圆方程，得， 由渐近线与双曲线位置关系，它们与椭圆在第一象限交点横坐标有， 所以，只有满足. 故选：D 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为上一点，满足轴，且，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【解析】如图P为上一点，满足轴，则P在双曲线左支上， 将代入，可得， 故，则， 又，故，即， 即，，则， 故选：C 6．（2025·高二·江苏盐城·开学考试）惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名建筑事务所steynstudio完成的.若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】双曲线的渐近线方程为， 而双曲线的一条渐近线方程为，则，解得， 所以该双曲线的离心率. 故选：D 7．（2025·高二·重庆巴南·期中）如图，在圆锥中，为底面圆的直径，过的中点与平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分．若，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设曲线与圆锥的底面圆交于点，, 则,为等边三角形， 设为的中点，取的中点， 过作，交直线于点，过点作轴， 建立如图平面直角坐标系，设双曲线方程为， 得到,又,所以, 则 则，故， 从而求出离心率. 故选：A. 8．（2025·高二·广西贵港·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，是上一点，且，，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】由题意得得， 在中，由余弦定理得， 得，则， 得（负值舍去）． 故选：C 9．已知双曲线两焦点为，，直线与双曲线的交点在以为直径的圆上，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设与直线的交点坐标为，与联立得，， 以为直径的圆的方程为，所以，即， ，， 故选：C． 10．已知曲线，则的离心率为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】由题可得曲线， 所以曲线为焦点在x轴上的双曲线，且， 所以曲线的离心率为. 故选：C 11．（多选题）（2025·高二·陕西宝鸡·期末）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率可能为（   ） A． B． C． D．2 【答案】AD 【解析】由双曲线，可得其中一条渐近线方程为， 因为双曲线的两条渐近线的夹角为， 所以直线的倾斜角为或，则或， 解得或， 当时，可得，此时双曲线的离心率为； 当时，可得，此时双曲线的离心率为. 故选：AD. 12．（多选题）（2025·高二·陕西安康·期中）设双曲线的左，右焦点分别为，，且，为上关于原点中心对称的两点，则（   ） A．的实轴长为 B． C．若，则直线的斜率为 D．若，则 【答案】ABD 【解析】设为双曲线的半焦距，则2， 由，即，所以的实轴长为，故A正确； 由于关于原点中心对称，关于原点中心对称， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以，故B正确； 由，解得，所以， 所以直线斜率即直线斜率，，故C错误； 由，，可得，， 则，所以， 又，所以，故D正确. 故选：ABD. 13．（多选题）已知动点与点都不重合，且直线PA，PB的斜率之积为定值．则（    ） A．点可能恒在某个圆上 B．点可能恒在焦点在轴上的某个双曲线上 C．点可能恒在焦点在轴上的某个椭圆上 D．点可能恒在某条直线上 【答案】AC 【解析】设，由PA，PB的斜率之积为定值，得，即． 对于A，当时，方程化为，此时点在圆上，故A正确； 对于C，当且时，方程可化为，表示椭圆，当时，点在焦点在轴上的椭圆上，故C正确； 对于B，D，当时，方程可化为，点在焦点在轴上的双曲线上，故B，D错误． 故选：AC. 14．（多选题）已知、是曲线上的两个动点， 则（    ） A．曲线是中心对称图形 B．曲线有且只有两条渐近线 C．若、分别在第二象限和第四象限，则的最小值为 D．曲线和圆恰好有个公共点 【答案】ABD 【解析】对于A选项，在曲线上任取一点，则， 则点关于原点的对称点为，则， 故点也在曲线上，故曲线关于原点对称，A对； 对于B选项，由得，解得或， 显然或均不满足方程，所以且， 由可得，由可得， 因为反比例函数、的渐近线都为、轴， 因此，曲线的渐近线有两条，B对； 对于C选项，由题意可得，其中，， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，C错； 对于D选项，联立可得或， 故曲线与圆的方程有个交点， 联立可得或或或， 所以曲线与圆的方程有个交点， 综上所述，曲线和圆恰好有个公共点，D对. 故选：ABD. 15．（多选题）已知双曲线 与动圆. 恰有两个交点，则（   ） A．双曲线C的离心率为2 B．双曲线C的渐近线被圆M截得的弦长为 C．双曲线 C上存在一条弦，该弦的中点坐标为 D．过双曲线C的一个焦点 F作圆M的两条切线，切点分别为A，B，则 【答案】ACD 【解析】对于A，联立C与M的方程，消去x，得， 即， 由题意得， 由m的任意性，解得，则，离心率，A项正确； 对于B，直线是双曲线C的一条渐近线， 圆心到该渐近线的距离为， 圆M的半径为，则该渐近线被圆M截得的弦长为，B项错误； 对于C，设中点为的弦所在的直线与C交于，两点， 则，，且， 两式相减可得 化简得， 所以中点弦所在直线方程为，即， 联立，得， ， 所以存在，故C项正确； 不妨设，圆心，半径， ， 在中，， 所以，则，故D正确； 故选：ACD 16．（多选题）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，为的左顶点，过且斜率存在的直线与的左支分别交于，两点，设，分别为，的内切圆的圆心，且，则下列说法正确的是（    ） A．的渐近线方程为 B．直线轴 C．双曲线的方程为 D．的最小值为 【答案】BC 【解析】对于选项A： 因为离心率，，所以. 化简得：，所以. 所以双曲线的渐近线方程为，故A错误. 对于选项B： 过点作，因为是内切圆的圆心， 所以. 因为，所以， 所以，所以①. 又②，①②联立解得，所以重合， 所以轴，故B正确. 对于选项C： 根据题意可知，，由选项B知， 所以化简得，所以，又， 所以解得，从而. 所以双曲线的方程为，故C正确. 根据选项B中的内容，按照同样的方法即可证明轴. 由选项C求出的双曲线方程可知，. 那么根据基本不等式的性质，， 当且仅当时，取最小值. 通过图象可以发现，当时，即和的内切圆半径相等， 所以与全等， 因为与全等，与全等， 所以，根据双曲线对称的性质可知，直线轴. 此时点， 此时直线没有斜率，不合题意， 故，取不到最小值，故D错误. 故选：BC. 17．已知双曲线的左､右焦点分别为，过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于两点，是的中点，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值是 . 【答案】 【解析】设，，则，， 两式相减得， 是的中点，，， ，又，，， 解得，． 故答案为：. 18．已知双曲线的焦距为，则它的两条渐近线的夹角的余弦值为 ． 【答案】/0.6 【解析】由题意有，，所以， 所以双曲线渐近线方程为， 设一条渐近线的倾斜角为，另一条渐近线的倾斜角为，不妨， 所以，， 所以，由，解得， 即两条渐近线的夹角的余弦值为. 故答案为：. 19．（2025·高二·贵州遵义·期中）已知双曲线的左焦点为，右顶点为，过作垂直于轴的直线与两渐近线分别交于点，若为等边三角形，则的离心率为 ． 【答案】2 【解析】双曲线的渐近线方程为，直线方程为， 由对称性得，令，则， 由为等边三角形，得，即， 解得，所以的离心率. 故答案为：2 20．（2025·河北保定·二模）已知双曲线的焦距为，离心率为． (1)求C的方程； (2)若A是C的左顶点，直线与C交于P，Q两点，求的面积． 【解析】（1）依题意，双曲线的半焦距，由离心率，解得，， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知双曲线的左顶点，点到直线的距离， 由消去得，解得，， 则，所以的面积. 21．（2025·河南·模拟预测）已知O为坐标原点，直线与双曲线的渐近线交于A，B两点，与椭圆交于E，F两点.当时，. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l与C相切，证明：的面积为定值. 【解析】（1）设， 因为，所以， 由，得，同理可得，所以， 由，得，， 所以，即，由，解得， 所以双曲线的方程为. （2）双曲线的渐近线方程为， 由（1）得，，， 所以，， ， 由，得， 因为直线与双曲线相切，所以，即， 所以. 22．（2025·山东济宁·二模）已知双曲线（，）的离心率为，且点在双曲线上， (1)求的方程； (2)若直线交于，两点，的平分线与轴垂直，求证：的倾斜角为定值. 【解析】（1）由题意有，又点在双曲线上，所以， 解得，所以双曲线的方程为； （2）由已知得直线的斜率存在，设其方程为，设 所以， 所以， 由韦达定理有：， 又因为的平分线与轴垂直，所以， 即，所以，即， 所以， 即，所以或， 当时，直线的方程为，即直线过点，不符合题意， 所以，设倾斜角为，即，， 即直线的倾斜角为定值. 23．（2025·高二·上海黄浦·期中）如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点、，它们距离城市中心的距离均为是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路，如图所示，道路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，其中道路起点到东西方向主干道的距离为，线路段上的任意一点到的距离都相等，以为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求道路的曲线方程； (2)现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置（即确定点的坐标）并写出最短距离． 【解析】（1）根据题意，线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多， 则线路所在的曲线在定点为左右焦点的双曲线的右支上，且， 所以，且道路起点到东西方向主干道的距离为， 则线路所在的曲线方程为，即， 又由线路段上的任意一点到的距离都相等，则线路所在的曲线为以为圆心，为半径的圆， 其方程为， 故道路曲线方程为段：，段：. （2）设，又，则， 当点在线路上，由（1）知，则， 可得当时，有最小值，且， 当点在线路上，由（1）知，则， 又，则当时，有最小值，且， 因为，所以有最小值为，此时，则， 则点的坐标为，此时到的距离最小，最小距离为. 24．（2025·高二·上海徐汇·期中）已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程； (2)若动点的轨迹上存在两点关于直线对称，求的取值范围． 【解析】（1）由题知，点到两定点之间距离之差的绝对值为， 所以动点的轨迹为以为焦点的双曲线， 其中焦距，实轴长， 所以， 所以动点的轨迹方程为. （2）当时，直线，符合题意； 当时，设是轨迹上关于对称的两点， 则，设直线方程为，中点为， 则，又， 可得，① 联立，可得， 则该方程必有两个不同的根， 即， 可得，② 又，，③ 联立①③，可得，， 代入②，解得， 解得或，所以或或， 综上，的取值范围为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$