第15讲：双曲线（10大题型）-2024-2025学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第15讲：双曲线 【考点梳理】 · 考点一、双曲线的定义及其应用 · 考点二、焦点三角形问题 · 考点三、根据双曲线方程求参数问题 · 考点四、求双曲线的标准方程 · 考点五、双曲线的简单几何性质 · 考点六、求双曲线的离心率 · 考点七：求双曲线的渐近线方程 · 考点八、双曲线的弦长问题 · 考点九：双曲线的中点弦问题 · 考点十：双曲线的定值、定点问题 【知识梳理】 知识点一　双曲线的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． 2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}． 3．焦点：两个定点F1，F2. 4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|. 知识点二　双曲线的标准方程与性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 知识点三　等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为. 知识点四　直线与双曲线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点；Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点． 知识点五　弦长公式 若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝. 【例题详解】 题型一、双曲线的定义及其应用 1．（24-25高二上·上海）已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为7，则（    ） A．8或20 B．20 C．6或22 D．22 3．（23-24高二上·湖北·期末）已知一个动圆P与两圆：和：都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为（    ） A．（） B． C．（） D．（） 题型二、焦点三角形问题 4．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（    ） A．20 B．22 C．28 D．36 5．（23-24高二上·河南南阳·期末）若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的面积值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 6．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，，且，则的值为（    ） A． B．4 C．5 D．8 题型三、根据双曲线方程求参数问题 7．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（23-24高二上·广西南宁·期末）已知方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 9．（23-24高二上·河北邢台·期中）已知椭圆和双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四、求双曲线的标准方程 10．（23-24高二上·福建福州·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4，则双曲线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 11．（23-24高二上·山东威海·期末）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，，且为与椭圆的一个交点，若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·北京房山·期末）已知双曲线与椭圆有公共焦点，且左、右焦点分别为，，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型五、双曲线的简单几何性质 13．（23-24高二上·安徽·期末）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦点坐标分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 14．（23-24高二上·山西太原·期末）已知直线与双曲线相交于两点，且两点的横坐标之积为，则该双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·河南开封·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则C的实轴长为（   ） A． B． C． D． 题型六、求双曲线的离心率 16．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若双曲线的右焦点为，且点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 17．（23-24高二下·湖南·期中）双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，为双曲线右支上的一点，连接交左支于点．若，且，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 18．（23-24高二上·浙江·期末）已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线左支上存在点使得，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型七：求双曲线的渐近线方程 19．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知为双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线的渐近线交于A、B两点，满足A，B均在y轴右侧，且为正三角形，则双曲线E的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二上·江西九江·期末）已知双曲线的离心率是，，分别是其左、右焦点，过点且与双曲线经过第一、三象限的渐近线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知双曲线的两焦点为为其渐近线上一点，满足：，则此双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型八、双曲线的弦长问题 22．（23-24高二上·四川宜宾·期末）双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且．则的面积为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高二上·天津河西·期末）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 24．（22-23高二下·四川自贡·期末）已知是双曲线的左焦点，过倾斜角为的直线与双曲线渐近线相交于，两点，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 题型九：双曲线的中点弦问题 25．（23-24高三下·全国）设直线与双曲线分别交于两点，若线段的中点横坐标是，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C．2 D． 26．（23-24高二上·重庆·期末）已和双曲线与直线相交于A、B两点，若弦的中点M的横坐标为1，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，过点且斜率为3的直线与双曲线分别交于两点，若是线段的中点，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 题型十：双曲线的定值、定点问题 28．（23-24高二下·云南玉溪）已知双曲线经过点，离心率为，直线过点且与双曲线交于两点（异于点）. (1)求双曲线的方程； (2)求证：直线与直线的斜率之积为定值，并求出该定值. 29．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知双曲线过点，左右焦点分别为，且． (1)求的标准方程． (2)设过点的直线与交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及该常数的值：若不存在，请说明理由． 30．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知双曲线：过点，离心率为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线交双曲线左支于点，平行于的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，点A在第一象限，直线的斜率为.若四边形为平行四边形，证明：为定值. 【专项训练】 一、单选题 31．（24-25高二上·上海）过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 32．（23-24高二下·黑龙江大庆·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C．2或 D．或2 33．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知是双曲线C：的左、右焦点，直线l是C的一条渐近线，垂足为P．若C的离心率为，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 35．（23-24高三上·河南·期末）已知双曲线的左焦点为，过点的直线与轴交于点，与双曲线交于点(在轴右侧)．若是线段AF的中点，则双曲线的离心率是（    ） A． B．2 C． D．3 36．（23-24高三上·四川·期末）已知双曲线的两个焦点为为上一点，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点P为双曲线E上的一点，且，射线PN平分，交x轴于点N，若，则双曲线E的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高二上·浙江舟山·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 39．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）对于曲线，下面说法正确的是（    ） A．若，曲线的长轴长为2 B．若曲线是椭圆，则的取值范围是 C．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为，则值为3 40．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（     ）. A．有相同的焦距 B．有相同的焦点 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线 41．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知分别为双曲线的左、右焦点，点A为双曲线右支上任意一点，点，下列结论中正确的是（    ） A． B．若，则的面积为2 C．过P点且与双曲线只有一个公共点的直线有3条 D．存在直线与双曲线交于M，N两点，且点P为中点 42．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知双曲线的左，右焦点分别是，，左，右顶点分别是A，B，点P在C上，l是C的一条渐近线，O是坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．焦点到l的距离为1 B．若，则的面积为1 C．若l的倾斜角为30°，则其实轴长为 D．若直线PA，PB的斜率分别为，则 三、填空题 43．（24-25高二上·上海·随堂练习）抛物线的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A、B两点，若的周长为，则抛物线方程是 ． 44．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，Q在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为 ． 45．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 46．（24-25高二上·上海·单元测试）已知在双曲线上，其左、右焦点分别为、，三角形的内切圆切轴于点，则的值为 ． 四、解答题 47．（23-24高二下·陕西榆林·开学考试）已知点在双曲线：（）上. (1)求双曲线的方程； (2)是否存在过点的直线与双曲线相交于，两点，且满足是线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 48．（23-24高二上·四川成都·期末）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点是双曲线的右顶点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线相交于A、B两点，解决下列问题： （i）求弦长； （ii）求证：. 49．（23-24高二下·山西运城·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，是上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线的方程; (2)已知过点的直线交于两点（异于A，B），直线与直线交于点.求证:点在定直线上. 50．（23-24高二上·浙江·期末）已知离心率为的双曲线与x轴交于A，B两点，B在A的右侧．在E上任取一点，过点B作直线QB垂直PA交于点Q，直线PB、QA分别交y轴于不同的两点M，N． (1)求双曲线E的方程； (2)求证：直线与直线的斜率乘积为定值； (3)三角形MNB的外接圆是否过x轴上除B点之外的定点，若是，求出该定点坐标：若不是，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲：双曲线 【考点梳理】 · 考点一、双曲线的定义及其应用 · 考点二、焦点三角形问题 · 考点三、根据双曲线方程求参数问题 · 考点四、求双曲线的标准方程 · 考点五、双曲线的简单几何性质 · 考点六、求双曲线的离心率 · 考点七：求双曲线的渐近线方程 · 考点八、双曲线的弦长问题 · 考点九：双曲线的中点弦问题 · 考点十：双曲线的定值、定点问题 【知识梳理】 知识点一　双曲线的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． 2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}． 3．焦点：两个定点F1，F2. 4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|. 知识点二　双曲线的标准方程与性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 知识点三　等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为. 知识点四　直线与双曲线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点；Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点． 知识点五　弦长公式 若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝. 【例题详解】 题型一、双曲线的定义及其应用 1．（24-25高二上·上海）已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆P的半径为r，外切关系可得，，进而得，从而利用双曲线的定义即可求解. 【详解】由圆M：，得圆心，半径， 由圆N：，得圆心，半径． 设圆P的半径为r，则有，． 两式相减得， 所以圆心P的运动轨迹为以、为焦点的双曲线的左支， 又，所以C的方程为． 故选：B． 2．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为7，则（    ） A．8或20 B．20 C．6或22 D．22 【答案】B 【分析】根据中位线的性质和双曲线的定义，即可求. 【详解】由双曲线方程可知，，，设双曲线的右焦点为， 中，点分别是的中点，所以， 则，又因为. 故选：B 3．（23-24高二上·湖北·期末）已知一个动圆P与两圆：和：都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为（    ） A．（） B． C．（） D．（） 【答案】A 【分析】利用双曲线的定义及两圆的位置关系计算即可. 【详解】由题意易知两圆圆心分别为，半径分别为， 设动圆圆心，半径， 则根据题意有, 根据双曲线的定义知的轨迹是以原点为中心，为左右焦点，为实轴长的双曲线的左支，故其轨迹方程为：. 故选：A 题型二、焦点三角形问题 4．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（    ） A．20 B．22 C．28 D．36 【答案】C 【分析】先根据双曲线定义列出，，然后结合求出的周长. 【详解】由题意知，， 所以， 又， 所以， 所以的周长为． 故选：C． 5．（23-24高二上·河南南阳·期末）若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的面积值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】A 【分析】利用椭圆，双曲线的定义求出，进而可求出，，利用余弦定理求出，进而可得，最后利用面积公式计算即可. 【详解】不妨设为左焦点，为右焦点，为两曲线在第一象限的交点， 则由已知得， 则， ， ， 则， 所以. 故选：A. 6．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，，且，则的值为（    ） A． B．4 C．5 D．8 【答案】D 【分析】由三角形面积公式结合双曲线定义先求得，再结合勾股定理即可得解. 【详解】不妨设点在双曲线的左支，且，又，所以， 因为，且， 所以，解得， 所以， 在直角三角形中，由勾股定理有，解得. 故选：D. 题型三、根据双曲线方程求参数问题 7．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出方程表示双曲线的充要条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】方程表示双曲线，则，解得或， 当时，方程表示双曲线， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A 8．（23-24高二上·广西南宁·期末）已知方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由双曲线的性质求出即可. 【详解】方程表示双曲线， 因为恒成立， 所以， 解得， 故选：A． 9．（23-24高二上·河北邢台·期中）已知椭圆和双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据椭圆和双曲线的标准方程列出不等式组求解即可.【详解】由题意可得，解得且，故选：C 题型四、求双曲线的标准方程 10．（23-24高二上·福建福州·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4，则双曲线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分焦点在x轴和y轴两种情况，结合公式求出答案. 【详解】实轴长， 若双曲线焦点在x轴上，则双曲线方程为， 若双曲线焦点在y轴上，则双曲线方程为. 故选：C． 11．（23-24高二上·山东威海·期末）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，，且为与椭圆的一个交点，若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设P在第一象限，设双曲线方程，由题意可得c的值，且有，，结合余弦定理即可求得的值，求出，即可求得答案. 【详解】由题意可设双曲线方程为， 由于双曲线与椭圆有相同的焦点，，故，即， 不妨设P在第一象限，为左焦点，为右焦点，则，， 以上两式平方后相加减，得，， 由于，故， 则，则， 故双曲线方程为， 故选：D 12．（23-24高二上·北京房山·期末）已知双曲线与椭圆有公共焦点，且左、右焦点分别为，，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的和双曲线的定义结合焦点三角形的性质求解即可. 【详解】设双曲线的方程为， 在椭圆中， 则，因为是以为底边的等腰三角形， 所以，由椭圆的定义可知，， 所以，再由双曲线的定义可得， 所以，因为双曲线与椭圆有公共焦点， 所以， 故双曲线的标准方程为. 故选：C. 题型五、双曲线的简单几何性质 13．（23-24高二上·安徽·期末）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦点坐标分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由渐近线、的关系以及焦点的概念即可求解. 【详解】已知双曲线的渐近线方程为，对照，可得， 所以，所以该双曲线的焦点坐标分别为，． 故选：B. 14．（23-24高二上·山西太原·期末）已知直线与双曲线相交于两点，且两点的横坐标之积为，则该双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立解方程，求出交点横坐标，然后列式计算即可. 【详解】联立，消去得， 所以，此时方程的解为， 所以， 解得，符合， 所以双曲线的焦距为. 故选：B. 15．（23-24高二上·河南开封·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则C的实轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据渐近线方程可设双曲线，代入运算，即可得双曲线方程，进而可得实轴长. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为， 可设双曲线， 代入可得：， 则双曲线，即， 可知，所以C的实轴长为. 故选：B. 题型六、求双曲线的离心率 16．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若双曲线的右焦点为，且点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用焦点到渐近线的距离求出，从而求出，即可求出离心率． 【详解】因为双曲线的右焦点为，则，即， 双曲线的渐近线方程为， 不妨取， 又点到双曲线的一条渐近线的距离为， 可得， 所以， 所以双曲线的离心率． 故选：C． 17．（23-24高二下·湖南·期中）双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，为双曲线右支上的一点，连接交左支于点．若，且，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义以及已知和三角形面积公式，可推，，，得为等边三角形，进而在中利用余弦定理可得到a,c之间的关系式，求得答案. 【详解】如图所示， 由双曲线的定义可知：， 所以，又有，因为， 即手， 所以则为等边三角形，， 由余弦定理可得： ，解得． 故选：B 18．（23-24高二上·浙江·期末）已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线左支上存在点使得，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的性质：双曲线左支上的点到右焦点的距离：可确定双曲线离心率的取值范围. 【详解】由题意：. 故选：A 题型七：求双曲线的渐近线方程 19．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知为双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线的渐近线交于A、B两点，满足A，B均在y轴右侧，且为正三角形，则双曲线E的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由几何关系得到，求出，从而得到方程，求出答案. 【详解】依题意，，根据对称性可知，从而， 不妨设A在第一象限，其中一条渐近线方程为，令得， 则，故，故， 可得渐近线方程为． 故选：B 20．（23-24高二上·江西九江·期末）已知双曲线的离心率是，，分别是其左、右焦点，过点且与双曲线经过第一、三象限的渐近线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的离心率，求出，求出渐近线方程，求出焦点坐标，利用点斜式求解直线方程即可． 【详解】解：由得，所以双曲线的右焦点是， 经过第一、三象限的渐近线方程是， 于是所求的直线方程是，即． 故选：C． 21．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知双曲线的两焦点为为其渐近线上一点，满足：，则此双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题上的条件把用表示出来，在借助余弦定理求出，最后求出，即为其中一条渐近线的斜率，有对称性得到另外一条渐近线的斜率，从而得到正确答案. 【详解】由为双曲线渐近线上一点，， 又，设，则，由， 即，解得 又在中，为斜边中线，因此， 在中，由余弦定理可求得，则为锐角， 则，即其中一条渐近线的斜率， 因此双曲线的渐近线的方程为. 故选:C． 题型八、双曲线的弦长问题 22．（23-24高二上·四川宜宾·期末）双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且．则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线的定义结合，解得，又，可求的面积. 【详解】因为双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点， 由，又有，所以． 由，为等腰三角形，则底边上的高， . 故选：B 23．（23-24高二上·天津河西·期末）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定直线的方程，代入双曲线方程，求出，的坐标，即可求线段的长． 【详解】由双曲线的方程得，，直线的方程为① 将其代入双曲线方程消去得，，解之得，． 将，代入①，得，， 故． 故选：C． 24．（22-23高二下·四川自贡·期末）已知是双曲线的左焦点，过倾斜角为的直线与双曲线渐近线相交于，两点，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得双曲线焦点坐标和渐近线方程，求得过倾斜角为的直线方程，判断，求出坐标，继而求得，即可求得答案. 【详解】由题意双曲线可知，， 故其渐近线方程为， 过倾斜角为的直线方程为，即， 不妨设l与渐近线的交点如图示：    由于，即； 联立，解得，即，则， 联立，解得，即，则， 则, 故的面积为， 故选：D 题型九：双曲线的中点弦问题 25．（23-24高三下·全国）设直线与双曲线分别交于两点，若线段的中点横坐标是，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，联立直线与双曲线方程，借助中点横坐标列式求解即得. 【详解】由线段的中点横坐标是，得线段的中点纵坐标是，设， 由消去x得， ， 因此，整理得，显然成立， 所以该双曲线的离心率. 故选：A 26．（23-24高二上·重庆·期末）已和双曲线与直线相交于A、B两点，若弦的中点M的横坐标为1，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用点差法求解. 【详解】解：因为双曲线与直线相交于A、B两点， 且弦的中点M的横坐标为1，则纵坐标为3， 设 ，则， 两式相减得 ，则 ， 解得 ，即 ， 所以双曲线C的渐近线方程为， 故选：A 27．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，过点且斜率为3的直线与双曲线分别交于两点，若是线段的中点，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理求得的坐标，利用，列出方程得出的关系，进而得渐近线方程. 【详解】直线方程为， 与联立得， 设，则， ， 则，即， ∵，∴， 整理得，即 令，则，得，解得， 所以，即， 则双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 题型十：双曲线的定值、定点问题 28．（23-24高二下·云南玉溪）已知双曲线经过点，离心率为，直线过点且与双曲线交于两点（异于点）. (1)求双曲线的方程； (2)求证：直线与直线的斜率之积为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及，，之间的关系，列出方程从而可求出双曲线的方程； （2）设出直线方程，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理以及斜率公式再进行求解即可. 【详解】（1）令双曲线半焦距为，依题意，， 由，解得， 则双曲线的方程为， （2）法一：显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 由消去得， 设，则， 直线的斜率分别为， 法二：①当直线垂直于轴时，的方程为，易得 ②当直线不垂直于轴时，设直线的方程为， 由,消去得：, 设，则： 直线的斜率分别为， 29．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知双曲线过点，左右焦点分别为，且． (1)求的标准方程． (2)设过点的直线与交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及该常数的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，点，该常数为56 【分析】（1）根据给定条件，利用双曲线定义求出实轴长即可求出双曲线方程. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理及数量积的坐标表示求解即得. 【详解】（1）依题意，双曲线半焦距， ，则， 所以的方程为. （2）依题意，直线的斜率存在，设的方程为， 由，消去得，显然， 且，得且，则， 设存在符合条件的定点，则， 因此 要为常数，当且仅当，解得，此时该常数的值为56， 所以在轴上存在点，使得为常数，该常数为56．    30．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知双曲线：过点，离心率为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线交双曲线左支于点，平行于的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，点A在第一象限，直线的斜率为.若四边形为平行四边形，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）根据双曲线离心率公式，结合代入法进行求解即可； （2）设直线的方程为，直线的方程为，，将代入直线可得，联立直线与椭圆方程得关于的一元二次方程，由韦达定理得；联立方程和渐近线方程求出，得到，由题易得，即，联立求出的关系式，再由定义表示出，将所有未知量全部代换成即可求证. 【详解】（1）因为双曲线：过点，离心率为， 所以有； （2）设直线的方程为， 直线的方程为，， 将代入直线得，即， 联立，得， 得，即，， 因为在第一象限，双曲线渐近线方程为， 联立，得，即， 联立，得.即， 所以， 因为，所以，所以①， 又②， ①②得，， 所以， 所以， 因为 所以，为定值. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 【专项训练】 一、单选题 31．（24-25高二上·上海）过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点的坐标，结合两圆外切的性质探求出点的轨迹特征，进而求出方程. 【详解】由椭圆，得椭圆半焦距，即有，则椭圆的左焦点为， 设以FQ为直径的圆的圆心为C，如图， 由圆O与圆C外切，得，又，， 则， 因此Q的轨迹是以、F为焦点，实轴长的双曲线的右支，即，， 所以双曲线方程：． 故选：C 32．（23-24高二下·黑龙江大庆·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C．2或 D．或2 【答案】A 【分析】根据双曲线的焦点在轴上，渐近线斜率为，再结合，可求. 【详解】由题意，双曲线的焦点在轴上，且一条渐近线的倾斜角为，所以，所以， 又，所以，又，所以. 故选：A 33．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意对方程变形，然后列出关于的不等式组，可求得答案. 【详解】由，得， 因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以，解得. 故选：A. 34．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知是双曲线C：的左、右焦点，直线l是C的一条渐近线，垂足为P．若C的离心率为，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据离心率得到的关系,再根据余弦定理可求的余弦值. 【详解】不妨设的一条渐近线为 由题意知由的离心率为得即 在中， 在中， 所以所以 故选:C． 35．（23-24高三上·河南·期末）已知双曲线的左焦点为，过点的直线与轴交于点，与双曲线交于点(在轴右侧)．若是线段AF的中点，则双曲线的离心率是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】首先设双曲线的右焦点为，再结合几何关系，以及双曲线的定义，即可求得离心率. 【详解】设双曲线的右焦点为．因为直线的斜率是，所以， 所以． 因为是线段AF的中点，所以． 因为，所以． 由双曲线的定义可得，则双曲线的离心率． 故选：C 36．（23-24高三上·四川·期末）已知双曲线的两个焦点为为上一点，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等腰三角形的性质及特殊角的三角函数值结合双曲线的定义与性质计算即可. 【详解】如图，取线段的中点，连接， 因为，， 所以，且， 所以 ， 设，则， 所以的离心率 ． 故选：D 37．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点P为双曲线E上的一点，且，射线PN平分，交x轴于点N，若，则双曲线E的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由角平分线性质定理结合双曲线定义求出，，再利用余弦定理求得关系式即得答案. 【详解】依题意，点P在双曲线右支上，由射线平分，， 得， 由双曲线定义知：，则，，令双曲线E的半焦距为c, 在中，由余弦定理得：， 整理得，于是， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C 38．（23-24高二上·浙江舟山·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得且，确定点M的坐标，将代入双曲线方程可得，则，根据的齐次式求解出离心率的值. 【详解】不妨设点M位于第一象限， 因为是等腰直角三角形，所以且，则， 将代入双曲线方程，得，解得， 所以，即，得， 由，解得. 故选：C 二、多选题 39．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）对于曲线，下面说法正确的是（    ） A．若，曲线的长轴长为2 B．若曲线是椭圆，则的取值范围是 C．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为，则值为3 【答案】CD 【分析】A选项，得到，得到长轴长；B选项，根据曲线是椭圆，得到不等式，求出的取值范围；C选项，根据曲线是焦点在轴上的双曲线，得到不等式，求出答案；D选项，根据曲线是焦点在轴上的椭圆，得到不等式，结合离心率得到方程，求出的值. 【详解】A选项，为椭圆方程，故长轴长为，A错误； B选项，，解得或，B错误； C选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，故，解得，C正确； D选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为， 故，解得， 又，解得，D正确. 故选：CD 40．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（     ）. A．有相同的焦距 B．有相同的焦点 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线 【答案】AC 【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，则焦距为， 焦点坐标为，渐近线方程为，离心率为； 又由双曲线，可得，则焦距为， 焦点坐标为，渐近线方程为，离心率为， 所以双曲线和有相同的焦距，离心率相同，焦点坐标和渐近线方程不同. 故选：AC. 41．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知分别为双曲线的左、右焦点，点A为双曲线右支上任意一点，点，下列结论中正确的是（    ） A． B．若，则的面积为2 C．过P点且与双曲线只有一个公共点的直线有3条 D．存在直线与双曲线交于M，N两点，且点P为中点 【答案】AB 【分析】对A，根据双曲线的定义判断即可；对B，根据双曲线定义结合勾股定理求解即可；对C，数形结合分析判断即可；对D，根据点差法结合双曲线性质求解即可. 【详解】对A，根据双曲线的定义可得，故A正确； 对B，因为，，则， 又，故，即， 故，故B正确； 对C，由双曲线的渐近线可得，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有 与两条渐近线分别平行的两条直线、与双曲线右支相切的两条直线，共4条，故C错误； 对D，设存在两点，为中点，则， 即，又，故， ，故，即. 由渐近线的性质可得过点且斜率为2的直线与双曲线无交点， 故不存在直线与双曲线交于M，N两点，且点P为中点，故D错误.    故选：AB 42．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知双曲线的左，右焦点分别是，，左，右顶点分别是A，B，点P在C上，l是C的一条渐近线，O是坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．焦点到l的距离为1 B．若，则的面积为1 C．若l的倾斜角为30°，则其实轴长为 D．若直线PA，PB的斜率分别为，则 【答案】ABD 【分析】代入点到直线的距离公式，即可判断A；根据几何关系判断，再根据双曲线的定义和面积公式，即可判断B；根据渐近线的斜率求，即可判断C；根据坐标表示斜率，即可判断D. 【详解】A.设点，，其中，点到的距离，故A正确； B.若，则， 则，其中， 则，得， 所以的面积为，故B正确； C.若直线的倾斜角为，则，得， 则其实轴长为，故C错误； D.设，，， ，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 43．（24-25高二上·上海·随堂练习）抛物线的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A、B两点，若的周长为，则抛物线方程是 ． 【答案】 【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，双曲线渐近线方程，得到，由勾股定理得到，根据周长得到方程，求出，得到抛物线方程. 【详解】由题意得，准线方程为， 的渐近线方程为， 中，令得， 故，由勾股定理得， 故的周长为，解得， 故抛物线方程为.    故答案为： 44．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，Q在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】设点渐近线上，直线的方程为，联立求得,由，求得，代入双曲线方程化简即可得出结果. 【详解】 设左焦点，假设点渐近线上，则直线的方程为， 联立，即， 又因为，所以为的中点，所以， 因为Q在双曲线上，所以，化简得， 则双曲线的离心率为， 故答案为：. 45．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可得点满足双曲线的定义，且求得，的值，再由求得，则点的轨迹的方程可求． 【详解】解：由点是线段垂直平分线上的点， ， 又， 满足双曲线定义且，， ， 轨迹方程：． 故答案为：． 46．（24-25高二上·上海·单元测试）已知在双曲线上，其左、右焦点分别为、，三角形的内切圆切轴于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】由已知点的坐标求得，根据内切圆性求得点坐标，然后由数量积的坐标运算计算． 【详解】因为在双曲线上，所以，解得， ∴，则、， 如图，设，内切圆与轴的切点是点，、与内切圆的切点分别为、， ∵由双曲线的定义可得， 由圆的切线长定理知，，，， 故，即，故， ∴，即，则，， ∴， 故答案为：． 四、解答题 47．（23-24高二下·陕西榆林·开学考试）已知点在双曲线：（）上. (1)求双曲线的方程； (2)是否存在过点的直线与双曲线相交于，两点，且满足是线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由点在双曲线上，可得，求解可得双曲线的方程； （2）设直线的方程为，且设交点，，先利用点差法求得，进而求得直线的方程，代入双曲线方程消去可得的一元二次方程，利用判别式判断方程的根的情况即可得结论. 【详解】（1）已知点在双曲线：（）上， 所以，整理得，解得，则， 所以双曲线方程为； （2）由题可知若直线存在，则直线的斜率存在，故设直线的方程为， 且设交点，， 则，两式相减得， 由于为中点，则，， 则， 即有直线的方程为，即， 由，可得， 检验判别式为，方程有实根， 故存在过点的直线与该双曲线相交于，两点，且满足是线段的中点. 此时的方程为. 48．（23-24高二上·四川成都·期末）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点是双曲线的右顶点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线相交于A、B两点，解决下列问题： （i）求弦长； （ii）求证：. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）求出双曲线右顶点，再求出抛物线的方程即得. （2）把直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合弦长公式及数量积的坐标表示求解即得. 【详解】（1）双曲线，即，其右顶点为，则抛物线的焦点为， 而抛物线的顶点是坐标原点，所以抛物线的方程：. （2）（i）设，， 由消去x得：，则，， 于是， 所以. （ii）显然，， 则，显然，即， 所以.    49．（23-24高二下·山西运城·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，是上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线的方程; (2)已知过点的直线交于两点（异于A，B），直线与直线交于点.求证:点在定直线上. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由可求，利用两点斜率公式表示，由条件列方程求，由此可得双曲线方程； （2）设的方程为， ，利用设而不求法可得， 求直线直线与直线的交点坐标，由此证明结论. 【详解】（1）由题意可知， 因为，所以. 设，则，所以， 又， 所以. 所以双曲线的方程为. （2）若直线的斜率为，则直线与双曲线交于点，与条件矛盾， 所以直线的斜率不能为0， 设的方程为. 联立，化简得 所以，所以， ， 直线AD的方程为， 直线BE的方程为. 联立直线AD与BE的方程，得， 所以， 所以， 所以. 所以点的横坐标始终为1，故点在定直线上. 【点睛】方法点睛：（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 50．（23-24高二上·浙江·期末）已知离心率为的双曲线与x轴交于A，B两点，B在A的右侧．在E上任取一点，过点B作直线QB垂直PA交于点Q，直线PB、QA分别交y轴于不同的两点M，N． (1)求双曲线E的方程； (2)求证：直线与直线的斜率乘积为定值； (3)三角形MNB的外接圆是否过x轴上除B点之外的定点，若是，求出该定点坐标：若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析； (3)过定点，坐标为 【分析】（1）根据离心率和双曲线方程可得，可求出双曲线E的方程； （2）分别表示出，再由化简可得斜率乘积为定值2； （3）求出三角形MNB的外接圆圆心坐标为，写出圆的标准方程并令可解得符合题意，即可得外接圆过定点. 【详解】（1）由离心率为可得， 又易知，所以， 可得双曲线E的方程为； （2）易知，如下图所示： 易知的斜率均存在，且满足，可得， 又易知， 所以， 因此直线与直线的斜率乘积为定值2； （3）由（2）可知直线的方程为， 直线的方程为； 因此可得， 所以三角形MNB的外接圆圆心在线段的垂直平分线上，即； 线段的中点坐标为， 易知线段的垂直平分线为， 联立两直线方程可得圆心坐标为， 所以外接圆半径为， 圆的标准方程为， 令可得， 解得（舍）或 因此可得三角形MNB的外接圆过x轴上除B点之外的定点，该定点坐标为. 【点睛】关键点点睛：求解三角形MNB的外接圆过定点时，关键是写出外接圆的标准方程，再令纵坐标即可求得定点坐标为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$