3.2 双曲线-2024-2025学年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

3.2 双曲线 知识点一 双曲线的定义 【解题思路】　双曲线的定义的应用 (1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离． (2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用． 【例1-1】（2024·河北邢台）若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 【例1-2】（2024高三下·全国·专题练习）双曲线方程为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【变式】 1．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（    ） A．13 B．10 C．1 D．13或1 2．（23-24高二上·广东河源·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的左支上一点，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广东深圳·期末）双曲线的左右焦点分别是与是双曲线左支上的一点，且，则（    ） A．1 B．13 C．1或13 D．3 4．（23-24高二下·上海·阶段练习）设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．5或13 5．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）双曲线：的两个焦点分别是与，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则等于（    ） A．9 B．9或1 C．1 D．6 6．（2024·河北石家庄·二模）已知曲线，则“”是“曲线的焦点在轴上”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7（23-24高一下·四川成都·开学考试）方程表示双曲线的必要不充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 知识点二 焦点三角形 【例2-1】（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（    ） A．20 B．22 C．28 D．36 【例2-2】（23-24高二上·贵州贵阳·期末）双曲线的两个焦点为，为双曲线上一点，若，则的面积为 . 【变式】 1．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知点为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（23-24湖南长沙·阶段练习）双曲线的右支上一点在第一象限，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为1，则的面积等于（    ） A．24 B．12 C． D． 3．（23-24高二下·福建厦门·期末）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为右支上一点，且，则的面积为 . 知识点三 双曲线中线段和或差值 【例3-1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（22-23高二上·福建福州·期末）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（　　） A．5 B．7 C．9 D．11 2．（2023·河南郑州·一模）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．7 D．8 4．（2023·陕西西安·模拟预测）设点P是圆上的一动点，，，则的最小值为（    ）． A． B． C．6 D．12 知识点四 双曲线的离心率与渐近线 【解题思路】　求双曲线离心率的方法 (1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解． (2)解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解． 【例4-1】（23-24高二下·安徽六安·期末）已知双曲线的左焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【例4-2】（23-24高二下·云南玉溪·期末）设，是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例4-3】（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若的周长为，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知双曲线，若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·山西长治·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线交的左支于两点，若，，成等差数列，且，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河南·期末）已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山西阳泉·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于点，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 5 ．（23-24高二下·甘肃·期末）过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 知识点五 双曲线的标准方程 【解题思路】1.求双曲线的标准方程 (1)用待定系数法求双曲线的标准方程：若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解． (2)当mn<0时，方程＋＝1表示双曲线． 2.由双曲线的性质求双曲线的标准方程 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的技巧 渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)． 【例5】（2024江苏·课后作业）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为，且经过点； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； (3)经过和两点． （4）过点，离心率为； （5）与椭圆有公共焦点，且离心率； （6）与双曲线有共同渐近线，且过点. 【变式】 （23-24高二上·山东烟台·阶段练习）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，两顶点间距离是8且的双曲线的标准方程； (2)与双曲线有相同焦点，并且经过点的椭圆的标准方程. (3)经过点，且； (4)经过点、． (5)与椭圆有公共焦点，且过点； (6)焦点在轴上，焦距为，渐近线斜率为； (7)离心率，且经过点； (8)经过点，且一条渐近线的方程为． （9）与双曲线有共同渐近线，且过点； （10）与双曲线有公共焦点，且过点 知识点六 直线与双曲线的位置关系 【解题思路】设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点． 【例6】（23-24高二上·全国·课后作业）已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 【变式】 1．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）如果直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·假期作业）过点的直线与双曲线的公共点只有1个，则满足条件的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 3．（23-24高二上·安徽黄山·期末）已知双曲线经过点，且其渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线至少有一个交点，求实数的取值范围． 知识点七 弦长 【解题思路】弦长公式 设直线y＝kx＋b与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝|x1－x2|＝·. 【例7-1】（23-24高二下·广东茂名·开学考试）已知双曲线与有相同的渐近线，点为的右焦点，，为的左右顶点． (1)求双曲线的方程； (2)过点倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求． 【例7-2】（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若为坐标原点，直线交双曲线于两点，求的面积． 【变式】 1．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，且的离心率为2，焦距为4． (1)求的方程； (2)直线过点且与交于两点，为坐标原点，若的面积为，求的方程． 2．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值. 知识点八 双曲线有关的轨迹问题 【解题思路】和双曲线有关的轨迹 (1)定义法．解决轨迹问题时利用双曲线的定义，判定动点的轨迹就是双曲线． (2)直接法．根据点满足条件直接代入计算 【例8-1】（2024·福建莆田·三模）已知圆，，P是圆C上的动点，线段的垂直平分线与直线（点C是圆C的圆心）交于点M，则点M的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式】 1．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3 ．（23-24高二上·广东·期末）已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川绵阳·期末）如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（    ）    A．射线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 知识点九 中点弦 【例9-1】（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【例9-2】（23-24高三下·全国·阶段练习）设直线与双曲线分别交于两点，若线段的中点横坐标是，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C．2 D． 【例9-3】（2023·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，过点的直线交双曲线E于A、B两点.若的中点坐标为，则E的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的斜率为(    ) A．3 B．6 C．8 D．12 2．（22-23高二上·广东佛山·期末）过点作斜率为1的直线，交双曲线于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·贵州贵阳·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（    ） A．2 B． C． D． 4．（2024·山东 ）过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 5．（2024陕西）已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为(    ) A． B． C． D． 【题组一 双曲线的定义】 1．（23-24高二上·四川南充·阶段练习）设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为分别是双曲线的左、右焦点，若，则（    ） A．1或5 B．6 C．7 D．8 2．（22-23高二下·安徽滁州·开学考试）若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（    ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4（23-24高二下·湖南邵阳·期中）（多选）对于曲线，下面说法正确的是（    ） A．若，曲线的长轴长为2 B．若曲线是椭圆，则的取值范围是 C．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为，则值为3 5．（23-24高二上·广东中山·期中）（多选）已知曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线可以表示圆 B．当时，曲线为双曲线，渐近线为 C．若表示双曲线，则或 D．若表示椭圆，则 【题组二 焦点三角形】 1 ．（23-24高二下·上海·期末）设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ． 2．（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）双曲线的左右两个焦点为，，第二象限内的一点P在双曲线上，且，则三角形的面积是 ． 3（2024湖北）已知为双曲线的左焦点，，为双曲线右支上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为（    ） A．28 B．36 C．44 D．48 4．（2023湖南）已知为双曲线的左焦点，为双曲线同一支上的两点．若，点在线段上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·福建）过双曲线的左焦点作一条直线交双曲线左支于，两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是___________. 【题组三 双曲线中线段和或差值】 1．（2024·安徽蚌埠 ）已知双曲线：，点是的左焦点，若点为右支上的动点，设点到的一条渐近线的距离为，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2 ．（2024湖南长沙·阶段练习）已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，则的最小值为（    ） A．19 B．25 C．37 D．85 3．（23-24高二下·上海静安·期末）已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 4．（2024·山西太原·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，若动点P位于y轴右侧，且到两定点，的距离之差为定值4，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的一动点，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 6．（23-24高二上·全国·单元测试）已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，左焦点为，焦距为4，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（    ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 【题组四双曲线的离心率与渐近线】 1．（23-24高二下·湖南·期末）已知双曲线E：（）的右焦点F到其一条渐近线的距离为1，则E的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 2．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与圆相切，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·湖北·阶段练习）如图，已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与交于两点，在第一象限，延长交于多一点，若且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·黑龙江大庆·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C．2或 D．或2 5．（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期中）已知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 6 ．（2024·天津河北·二模）函数被称为“对勾函数”，它可以由双曲线旋转得到，已知直线和直线是函数的渐近线，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【题组五 双曲线的标准方程】 1．（2024高三上·全国·专题练习）与双曲线1共渐近线，且过点的双曲线的标准方程是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 2．（23-24高二下·浙江·阶段练习）过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【题组六 直线与双曲线的位置关系】 1．（24-25高二下·上海·期中）已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围是 ． 2 ．（24-25高二上·上海 ）直线与双曲线有且只有一个交点，那么实数k的值是 ． 3．（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为 ． 4．（24-25高二上·上海·课后作业）若斜率为的直线l过双曲线的上焦点，与双曲线的上支交于两点，，则的值为 ． 5．（23-24高二上·福建福州·期末）已知双曲线方程为（），若直线与双曲线左右两支各交一点，则实数的取值范围为 . 【题组七 弦长】 1．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 . 2．（23-24高二下·上海·期末）已知、是双曲线的两点，的中点的坐标为． (1)求直线的方程； (2)求两点间距离． 3．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知双曲线的实轴比虚轴长2，且焦点到渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 4．（23-24高二下·河南·开学考试）已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)若直线交双曲线于两点，是坐标原点，若是弦的中点，求的面积. 5．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的焦距为4，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交双曲线的右支于，两点，连接并延长交双曲线的左支于点，求的面积的最小值. 【题组八 双曲线有关的轨迹问题】 1．（2024高二上·全国·专题练习）设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）已知圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为 . 5．（24-25高二上·上海·随堂练习）在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为 . 6．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 7．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）在平面直角坐标系中，动点P与两个定点和的连线的斜率之积等于，则点P的轨迹方程为 ． 8．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知圆，圆，若动圆M与圆均外切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 【题组九 中点弦】 1（2024天津西青·阶段练习）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2（2024全国·阶段练习）设直线与双曲线交于，两点，若是线段的中点，直线与直线（是坐标原点）的斜率的乘积等于，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（2024河北沧州·阶段练习）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 4（2024福建南平·阶段练习）已知双曲线C : (a>0，b>0)， 过点P(3，6) 的直线与C相交于A， B两点， 且AB的中点为N(12，15)， 则双曲线C的离心率为（ ） A．2 B．3 C． D． 5（2024四川内江·阶段练习）已知双曲线：，，过点的直线交于，两点，为的中点，且直线与的一条渐近线垂直，则的离心率为（    ） A．3 B． C．2 D． 6（2024云南丽江·期末）已知双曲线被斜率为1的直线截得的弦的中点为（4，2），则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2 双曲线 知识点一 双曲线的定义 【解题思路】　双曲线的定义的应用 (1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离． (2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用． 【例1-1】（2024·河北邢台）若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【解析】， 当点在左支时，的最小值为， 当点在右支时，的最小值为， 因为，则点在双曲线的左支上， 由双曲线的定义，解得； 当，点在左支时，；在右支时，；推不出； 故为充分不必要条件，故选：D. 【例1-2】（2024高三下·全国·专题练习）双曲线方程为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】由方程表示双曲线，可得， 当时，可得，解得或； 当时，可得，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：D. 【变式】 1．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（    ） A．13 B．10 C．1 D．13或1 【答案】A 【解析】由题意得焦距为，由双曲线定义可得， 所以或，又因为在双曲线中，所以，故A正确. 故选：A. 2．（23-24高二上·广东河源·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的左支上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据双曲线标准方程可知， 由双曲线定义可得， 又为左焦点，点是的左支上一点，所以， 可得. 故选：B 3．（23-24高二上·广东深圳·期末）双曲线的左右焦点分别是与是双曲线左支上的一点，且，则（    ） A．1 B．13 C．1或13 D．3 【答案】B 【解析】是双曲线左支上的一点， 所以，解得：， 由双曲线定义可知，，所以13. 故选：B. 4．（23-24高二下·上海·阶段练习）设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．5或13 【答案】B 【解析】双曲线的， 由双曲线的定义可得． 因为，所以，得或17， 若，则在右支上，应有，不成立； 若，则在左支上，应有，成立． 故选：B． 5．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）双曲线：的两个焦点分别是与，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则等于（    ） A．9 B．9或1 C．1 D．6 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以，解得， 根据双曲线定义可得， 所以，解得或， 当 时，不合题意，故舍去， 当时，，满足题意， 综上，. 故选：A 6．（2024·河北石家庄·二模）已知曲线，则“”是“曲线的焦点在轴上”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时曲线表示焦点在轴上的椭圆，故充分性成立； 当时曲线表示焦点在轴上的双曲线， 故由曲线的焦点在轴上推不出，即必要性不成立； 所以“”是“曲线的焦点在轴上”的充分不必要条件. 故选：A 7（23-24高一下·四川成都·开学考试）方程表示双曲线的必要不充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如果方程表示双曲线，则，解得：， 则方程表示双曲线的必要不充分条件所对应的集合必须真包含． 只有选项C满足题意． 故选：． 知识点二 焦点三角形 【例2-1】（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（    ） A．20 B．22 C．28 D．36 【答案】C 【解析】由题意知，，所以， 又，所以，所以的周长为．故选：C． 【例2-2】（23-24高二上·贵州贵阳·期末）双曲线的两个焦点为，为双曲线上一点，若，则的面积为 . 【答案】3 【解析】双曲线，实轴长，焦距，由对称性不妨设， 由，有， 则， 解得，. 故答案为：3 【变式】 1．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知点为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【解析】由于为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点， 所以，故，由于， 所以，故选：A 2．（23-24湖南长沙·阶段练习）双曲线的右支上一点在第一象限，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为1，则的面积等于（    ） A．24 B．12 C． D． 【答案】C 【解析】由双曲线的，，，设圆与三角形三边相切于点, 则，又， 所以， 因此轴，因此,，, ,因此,故三角形的面积为．故选：C 3．（23-24高二下·福建厦门·期末）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为右支上一点，且，则的面积为 . 【答案】6 【解析】由，得，则， 因为为右支上一点，所以， 因为，所以， 由余弦定理得， 因为，所以， 所以的面积为. 故答案为：6 知识点三 双曲线中线段和或差值 【例3-1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设C为双曲线右焦点，则，， 而，仅当共线且A在之间时等号成立， 所以， 当共线且A在之间时等号成立． 故选：D． 【变式】 1．（22-23高二上·福建福州·期末）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（　　） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】C 【解析】由双曲线，则，即，且， 由题意， ， 当且仅当共线时，等号成立. 故选：C. 2．（2023·河南郑州·一模）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由双曲线定义得, 故 如图示，当三点共线，即Q在M位置时，取最小值， ，故方程为， 联立，解得点Q的坐标为 (Q为第一象限上的一点)， 故 故选：A 3．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．7 D．8 【答案】C 【解析】记双曲线的右焦点为，所以， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时，取到最小值． 故选：C． 4．（2023·陕西西安·模拟预测）设点P是圆上的一动点，，，则的最小值为（    ）． A． B． C．6 D．12 【答案】B 【解析】设， 则点P的轨迹为以A，B为焦点，为实轴长的双曲线的上支， ∴点P的轨迹方程为，依题意，双曲线与圆有公共点， 将圆的方程代入双曲线方程得， 即， 判别式，解得， 当时，，且， ∴等号能成立．∴． 故选：B 知识点四 双曲线的离心率与渐近线 【解题思路】　求双曲线离心率的方法 (1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解． (2)解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解． 【例4-1】（23-24高二下·安徽六安·期末）已知双曲线的左焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】根据双曲线的几何性质可知，左焦点， 其到渐近线的距离为， 因为，所以. 故选：C． 【例4-2】（23-24高二下·云南玉溪·期末）设，是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，，可得， 由双曲线定义可知， 所以，，， 由勾股定理可得 ，可得， 故， 故选:B. 【例4-3】（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若的周长为，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 根据双曲线定义知：的周长为，而， 所以，而的周长为， 所以，即，所以，解得， 双曲线离心率的取值范围是. 故选：D 【变式】 1．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知双曲线，若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意可知双曲线的渐近线为，从而，即， 所以，所以的离心率. 故选:B. 2．（23-24高二下·山西长治·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线交的左支于两点，若，，成等差数列，且，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，成等差数列， 所以，即， 又因为，所以，所以， 设，则，故， 在中，由余弦定理得，， 解得（舍去），所以， 因为，所以，即， 即，整理得，所以，即的离心率是.故选：A. 3．（23-24高二下·河南·期末）已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意得，圆心到的渐近线的距离为 4．（2024·山西阳泉·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于点，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】 因为是线段的中点，且，所以， 又，所以是等边三角形， 设的边长为，由双曲线的定义知，，， 所以， 又，所以，即， 所以， 在中，由余弦定理知，， 所以 即，所以离心率. 故选：C 5 ．（23-24高二下·甘肃·期末）过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】设，由，得， 设直线的方程为， 由消去，得， 由根与系数的关系，得， 所以， 所以，化简得， 所以，得， 所以，可得. 故选：D 知识点五 双曲线的标准方程 【解题思路】1.求双曲线的标准方程 (1)用待定系数法求双曲线的标准方程：若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解． (2)当mn<0时，方程＋＝1表示双曲线． 2.由双曲线的性质求双曲线的标准方程 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的技巧 渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)． 【例5】（2024江苏·课后作业）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为，且经过点； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； (3)经过和两点． （4）过点，离心率为； （5）与椭圆有公共焦点，且离心率； （6）与双曲线有共同渐近线，且过点. 【答案】(1)；(2)；(3).（4）；（5）；（6）. 【解析】（1）由题可设双曲线方程为， ∵经过点，∴，即，又一个焦点为，∴， ∴所求的双曲线方程为； （2）由题可设双曲线方程为，则 ，解得或（舍去）所以所求双曲线方程为； （3）设所求双曲线方程为，则， 解得，∴所求双曲线方程为. （4）若双曲线的焦点在轴上，设其方程为， 由题意可得，解得，所以双曲线的标准方程为； 若双曲线的焦点在轴上时，设其方程为，由题意可得，此时无解， 综上所述：双曲线的标准方程为； （5）由椭圆方程，知半焦距为，所以椭圆焦点是，， 因此双曲线的焦点为，，设双曲线方程为， 由题意可得，解得，所以所求双曲线的标准方程为； （6）设所求双曲线方程为，将点代入得，所以双曲线方程为，即双曲线的标准方程为. 【变式】 （23-24高二上·山东烟台·阶段练习）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，两顶点间距离是8且的双曲线的标准方程； (2)与双曲线有相同焦点，并且经过点的椭圆的标准方程. (3)经过点，且； (4)经过点、． (5)与椭圆有公共焦点，且过点； (6)焦点在轴上，焦距为，渐近线斜率为； (7)离心率，且经过点； (8)经过点，且一条渐近线的方程为． （9）与双曲线有共同渐近线，且过点； （10）与双曲线有公共焦点，且过点 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6) (7)(8)（9），（10） 【解析】（1）因为顶点在轴上，设双曲线方程为， 又两顶点间距离是8，即，所以，且，所以，又， 所以双曲线方程为. （2）因为双曲线中，设椭圆方程为， 则，解得，所以椭圆方程为. （3）因为，可知双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为， 代入，即，解得，所以双曲线的标准方程为. （4）设双曲线的标准方程为， 代入点、可得，解得，所以双曲线的标准方程为. （5）椭圆的焦点，由题意设所求双曲线为， 双曲线过点，，整理得，解得或（舍去）， 所求双曲线方程为． （6）设双曲线的标准方程为，则渐近线为， 焦距为，渐近线斜率为，，， 又，所以，，双曲线的标准方程为， （7）离心率，经过点，则，所以， 所以双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为， ，解得，所以双曲线方程为，即. （8）因为双曲线的一条渐近线的方程为， 所以设双曲线方程为，又双曲线过点，所以，解得， 所以双曲线方程为. （9）由题意设所求双曲线方程为， 因为双曲线过点，所以，得，所以，即 所以所求双曲线方程为， （10）由题意设所求双曲线方程为， 因为双曲线过点，所以，得，， 解得或，所以所求双曲线方程为 知识点六 直线与双曲线的位置关系 【解题思路】设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点． 【例6】（23-24高二上·全国·课后作业）已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 【答案】(1)或或； (2)或 (3)或 【解析】（1）联立， 消整理得，（*） 因为直线l与双曲线C有两个公共点， 所以，整理得 解得： 或或. （2）当即时，直线l与双曲线的渐近线平行， 方程（*）化为，故方程（*）有唯一实数解， 即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点，满足题意． 当时， 因为直线l与双曲线C仅有一个公共点， 则，解得；综上，或. （3）因为直线l与双曲线C没有公共点，所以，解得： 或. 【变式】 1．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）如果直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】联立方程组，整理得， 因为直线和双曲线没有公共点， 所以，可得，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 2．（24-25高二上·全国·假期作业）过点的直线与双曲线的公共点只有1个，则满足条件的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【解析】当直线的斜率不存在时，显然与双曲线没有公共点. 当直线的斜率存在时，设方程为， 与双曲线方程联立， 若即，此时直线和双曲线的公共点只有1个. 当时，；当时，. 当时，， 整理可得，因为，所以有两个不等的实数根， 又不是的根，且此时直线和双曲线的公共点只有1个. 综上可知，直线和双曲线的公共点只有1个时，对应直线有4条. 故选：C. 3．（23-24高二上·安徽黄山·期末）已知双曲线经过点，且其渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线至少有一个交点，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）结合题意可得：点在渐近线的上方， 双曲线要经过此点，则焦点在轴上，设双曲线方程为， 则渐近线方程为，所以， 因为双曲线经过点，所以， 所以，解得，所以双曲线的标准方程为. （2）结合（1）问：联立，可得， 当时，即，此时与渐近线平行，故只有一个交点，满足题意； 当时，即，要使直线与双曲线至少有一个交点， 则，解得或,且. 综上所述: 实数的取值范围为. 知识点七 弦长 【解题思路】弦长公式 设直线y＝kx＋b与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝|x1－x2|＝·. 【例7-1】（23-24高二下·广东茂名·开学考试）已知双曲线与有相同的渐近线，点为的右焦点，，为的左右顶点． (1)求双曲线的方程； (2)过点倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求． 【答案】(1)(2)6 【解析】（1）双曲线与有相同的渐近线，则， 为的右焦点，则，解得，， 双曲线方程为； （2）直线的方程为，，即， ，，， . 【例7-2】（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若为坐标原点，直线交双曲线于两点，求的面积． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）由题意得：，令， 则， 又焦点到渐近线的距离为， 所以， 所以， 所以， 所以双曲线的标准方程为； （2）设，， 联立方程组，消去整理得， 则，，， 所以， 又原点到直线的距离， 所以． 【变式】 1．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，且的离心率为2，焦距为4． (1)求的方程； (2)直线过点且与交于两点，为坐标原点，若的面积为，求的方程． 【答案】(1) (2)或． 【解析】（1）由题意得，解得，所以，故的方程为． （2）由（1）知，显然直线的斜率不为0，设的方程为，    联立方程组，消去得， 则． 设，则． 所以． 由，化简得， 解得（负值舍去），即， 所以直线的方程为或． 2．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值. 【答案】(1)(2). 【解析】（1）双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为， 设双曲线的方程（，）， 由已知得，，所以，. 所以双曲线方程为. （2）直线与双曲线C交于A，B两点，且， 联立方程组，得， 当时，设， ，. 所以 令，解得. 经检验符合题意，所以. 知识点八 双曲线有关的轨迹问题 【解题思路】和双曲线有关的轨迹 (1)定义法．解决轨迹问题时利用双曲线的定义，判定动点的轨迹就是双曲线． (2)直接法．根据点满足条件直接代入计算 【例8-1】（2024·福建莆田·三模）已知圆，，P是圆C上的动点，线段的垂直平分线与直线（点C是圆C的圆心）交于点M，则点M的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【解析】由题意可得圆心，半径. 因为M是线段的垂直平分线，所以， 则. 因为，所以点M的轨迹是以A，C为焦点的双曲线.故选：C 【变式】 1．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由圆M：，得圆心，半径， 由圆N：，得圆心，半径． 设圆P的半径为r，则有，． 两式相减得， 所以圆心P的运动轨迹为以、为焦点的双曲线的左支， 又，所以C的方程为． 故选：B． 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由椭圆，得椭圆半焦距，即有，则椭圆的左焦点为， 设以FQ为直径的圆的圆心为C，如图， 由圆O与圆C外切，得，又，， 则， 因此Q的轨迹是以、F为焦点，实轴长的双曲线的右支，即，， 所以双曲线方程：． 故选：C 3 ．（23-24高二上·广东·期末）已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆：，圆心，半径 ， 圆：，圆心，半径 ， 设动圆圆心，半径为，由动圆与圆，都外切， 得，则， 因此圆心的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线左支， 即，半焦距，虚半轴长， 所以动圆圆心的轨迹方程是. 故选：B 4．（23-24高二上·四川绵阳·期末）如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（    ）    A．射线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 【答案】C 【解析】连接、，如图所示：    因为为的垂直平分线，所以， 所以为定值， 又因为点在圆外，所以， 根据双曲线定义，点的轨迹是以、为焦点，为实轴长的双曲线.故选：C. 知识点九 中点弦 【例9-1】（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，则直线l的斜率为 代入，得，两式相减得：. 又线段AB的中点为点，则. 则.经检验满足题意.故选：D 【例9-2】（23-24高三下·全国·阶段练习）设直线与双曲线分别交于两点，若线段的中点横坐标是，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由线段的中点横坐标是，得线段的中点纵坐标是，设， 由消去x得， ， 因此，整理得，显然成立， 所以该双曲线的离心率. 故选：A 【例9-3】（2023·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，过点的直线交双曲线E于A、B两点.若的中点坐标为，则E的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，两式相减得， 即，化简得，又，解得， 所以双曲线的方程为： .故选：D. 【变式】 1．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的斜率为(    ) A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【解析】设， 则有， 化简得， 即. 故选：B 2．（22-23高二上·广东佛山·期末）过点作斜率为1的直线，交双曲线于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点，则有，两式做差后整理得， 由已知，，又，，得故选：B 3．（2022·贵州贵阳·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】设、，则，， 两式相减可得， 为线段的中点，，， ，又，， ，即，， 故选：D. 4．（2024·山东 ）过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】不妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令 由，整理得 则， 则，由，可得 则有，即，则双曲线的离心率 故选：D 5．（2024陕西）已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由F、N两点的坐标得直线l的斜率． ∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2． 设双曲线C的方程为，则． 设，，则，，． 由，得， 即，∴，易得，，， ∴双曲线C的离心率． 故选：B． 【题组一 双曲线的定义】 1．（23-24高二上·四川南充·阶段练习）设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为分别是双曲线的左、右焦点，若，则（    ） A．1或5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，可得，解得， 又是双曲线上一点，分别是双曲线的左、右焦点,，， 可得点在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，则. 故答案为：C. 2．（22-23高二下·安徽滁州·开学考试）若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】由双曲线标准方程得：，由双曲线定义得:即， 解得（舍去）或，故选：A. 3．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 因为方程表示焦点在轴上的双曲线，所以，解得.故选：A. 4（23-24高二下·湖南邵阳·期中）（多选）对于曲线，下面说法正确的是（    ） A．若，曲线的长轴长为2 B．若曲线是椭圆，则的取值范围是 C．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为，则值为3 【答案】CD 【解析】A选项，为椭圆方程，故长轴长为，A错误； B选项，，解得或，B错误； C选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，故，解得，C正确； D选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为， 故，解得， 又，解得，D正确. 故选：CD 5．（23-24高二上·广东中山·期中）（多选）已知曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线可以表示圆 B．当时，曲线为双曲线，渐近线为 C．若表示双曲线，则或 D．若表示椭圆，则 【答案】AC 【解析】若，即时，曲线表示圆，A正确； 当时，表示双曲线，其渐近线方程为，B不正确； 若表示双曲线，则有，即或，C正确； 若表示椭圆，则，解得且，D不正确.故选：AC 【题组二 焦点三角形】 1 ．（23-24高二下·上海·期末）设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【答案】 【解析】 由题意，，不妨设， 则，由余弦定理， 所以，， 所以，. 故答案为：. 2．（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）双曲线的左右两个焦点为，，第二象限内的一点P在双曲线上，且，则三角形的面积是 ． 【答案】/ 【解析】 由可得：，如图，设则①， 在中，由余弦定理，，即：② 由①②联立，解得：. 则三角形的面积为. 故答案为：. 3（2024湖北）已知为双曲线的左焦点，，为双曲线右支上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为（    ） A．28 B．36 C．44 D．48 【答案】C 【解析】如图所示： ∵双曲线的左焦点为， ∴点是双曲线的右焦点，又，∴虚轴长为2b＝8，∴． ∵①，②， ∴①+②得， ∴的周长． 故选：C 4．（2023湖南）已知为双曲线的左焦点，为双曲线同一支上的两点．若，点在线段上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，，所以，解得， 所以双曲线的左焦点，所以点是双曲线的右焦点．作出双曲线，如图所示． 由双曲线的定义，知①，②， 由①②，得， 又，所以的周长为．故选：C. 5．（2024·福建）过双曲线的左焦点作一条直线交双曲线左支于，两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是___________. 【答案】24 【解析】由双曲线定义知：， 所以，，而， 故，故的周长为.故答案为：24 【题组三 双曲线中线段和或差值】 1．（2024·安徽蚌埠 ）已知双曲线：，点是的左焦点，若点为右支上的动点，设点到的一条渐近线的距离为，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】过作垂直于双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，则， 连接与双曲线的另一个焦点，如下所示： 由双曲线的定义可知，， 又双曲线方程为，故， 又点坐标为，双曲线的渐近线为， 故点到渐近线的距离为， 故. 故选：B. 2 ．（2024湖南长沙·阶段练习）已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，则的最小值为（    ） A．19 B．25 C．37 D．85 【答案】B 【解析】由题意，双曲线焦点坐标为， 设，且，则， 当且仅当即时等号成立， 所以最小值为25， 故选：B. 3．（23-24高二下·上海静安·期末）已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【解析】由双曲线可知， 且圆的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 由圆的性质可知：， 可得， 可知，为双曲线的焦点，则， 可得， 所以的最小值为5. 故选：B. 4．（2024·山西太原·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，若动点P位于y轴右侧，且到两定点，的距离之差为定值4，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由动点P到两定点，的距离之差为定值4， 结合双曲线定义可知，动点P的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 易得，，由得，则动点P的轨迹方程为， 如图： 又，则，且 故的周长为:， 当且仅当P，A，三点共线且点位于、之间时等号成立，故周长的最小值为． 故选：D 5．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的一动点，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设双曲线的右焦点为， 由可知，，则， 因为P是双曲线右支上的一动点，根据双曲线的定义可知： ， 所以， 因为， 当且仅当，，三点共线时，达到最小值， 因为，，所以， 即的最小值为． 故选：C． 6．（23-24高二上·全国·单元测试）已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，左焦点为，焦距为4，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可设双曲线的方程为， 则，即，得到，所以， 由双曲线的定义可得， 则， 当三点共线时，取得等号，则的最大值为， 故选：C． 7．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（    ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【解析】依题意，下焦点，设上焦点， 双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为， 所以延长时，与双曲线没有交点，， 设延长，交双曲线上支于， 依题意，是双曲线上支上的动点， 根据双曲线的定义可知， ，当在点时等号成立，则， 所以，所以， 所以，所以的最大值不存在. 故选：A 【题组四双曲线的离心率与渐近线】 1．（23-24高二下·湖南·期末）已知双曲线E：（）的右焦点F到其一条渐近线的距离为1，则E的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由题意可知，双曲线焦点在轴，，右焦点到渐近线的距离， 所以，，. 故选：A 2．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与圆相切，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】双曲线的一条渐近线为，即， 圆的圆心为，半径，由直线与圆相切可得：化简可得：，则， 故选：C 3．（23-24高二下·湖北·阶段练习）如图，已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与交于两点，在第一象限，延长交于多一点，若且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设的左焦点为，连接， 则，因为，由双曲线的对称性知四边形为矩形. 在中，由，得，化简得. 在中，由，得，化简得，即离心率.故选：A. 4．（23-24高二下·黑龙江大庆·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C．2或 D．或2 【答案】A 【解析】由题意，双曲线的焦点在轴上，且一条渐近线的倾斜角为，所以，所以， 又，所以，又，所以. 故选：A 5．（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期中）已知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】曲线的渐近线方程为，因为双曲线C的离心率为，所以. 两边平方，即，又，所以. 解得，则. 故双曲线C的渐近线方程为． 故选：C. 6 ．（2024·天津河北·二模）函数被称为“对勾函数”，它可以由双曲线旋转得到，已知直线和直线是函数的渐近线，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线和直线的夹角为，由题意可得双曲线夹角为， 而双曲线的渐近线方程为，所以，则，解得（负值舍去），所以双曲线的渐近线方程为.故选：B. 【题组五 双曲线的标准方程】 1．（2024高三上·全国·专题练习）与双曲线1共渐近线，且过点的双曲线的标准方程是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 【答案】D 【解析】由题意知，要求双曲线与双曲线共渐近线， 设要求的双曲线为. 又该双曲线经过点，则，解得， 则要求的双曲线的标准方程为. 故选：D. 2．（23-24高二下·浙江·阶段练习）过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为所求双曲线与双曲线有相同的渐近线，所以设其方程为， 又点在双曲线上，所以，解得， 则双曲线方程为. 故选：B． 3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意设所求双曲线方程为，又双曲线过点， ∴，即， ∴双曲线方程为，即， 故选：D． 【题组六 直线与双曲线的位置关系】 1．（24-25高二下·上海·期中）已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】联立可得，由题意可知，关于x的方程无实数解， 则，解得，故答案为：． 2 ．（24-25高二上·上海 ）直线与双曲线有且只有一个交点，那么实数k的值是 ． 【答案】或 【解析】当直线与双曲线相切时：，则， 则，解得； 渐近线方程为，当直线与渐近线平行时，. 综上所述：或. 故答案为：，. 3．（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为 ． 【答案】或 【解析】因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为； 由，消去整理得． 当即时，此时直线与双曲线的渐近线平行， 此时直线与双曲线相交于一点，符合题意； 当即时，由，解得， 此时直线双曲线相切于一个公共点，符合题意， 综上所述：符合题意的的所有取值为或，故答案为：或. 4．（24-25高二上·上海·课后作业）若斜率为的直线l过双曲线的上焦点，与双曲线的上支交于两点，，则的值为 ． 【答案】/ 【解析】因为双曲线：，所以， 设直线方程为，代入双曲线方程消去得． 设， 因为，且， 所以，． 因为，所以， 所以，， 两式联立解得（负值舍去）． 故答案为：. 5．（23-24高二上·福建福州·期末）已知双曲线方程为（），若直线与双曲线左右两支各交一点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为双曲线方程为（）， 所以双曲线的渐近线方程为， 因为直线与双曲线左右两支各交一点， 所以，解得， 即实数的取值范围为， 故答案为： 【题组七 弦长】 1．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 . 【答案】 【解析】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线为， 联立，得， 设，则， 所以，解得，经检验符合题意； 则，. 弦长. 故答案为：. 2．（23-24高二下·上海·期末）已知、是双曲线的两点，的中点的坐标为． (1)求直线的方程； (2)求两点间距离． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设， 因为的中点的坐标为，可得，即， 又由，两式相减，可得， 可得，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 联立方程组，整理得， 则，即直线与双曲线相交，满足条件. 所以直线的方程为. （2）由（1）知，直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则，且， 所以两点间的距离为：. 3．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知双曲线的实轴比虚轴长2，且焦点到渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）设双曲线焦点为，一条渐近线方程为， 所以该焦点到渐近线的距离为， 又双曲线实轴比虚轴长2，故，即， 故双曲线的方程为； （2）当直线的斜率不存在时，若动直线与双曲线恰有1个公共点， 则直线经过双曲线的顶点，不妨设，又渐近线方程为， 将代入，得，将代入，得， 则，； 当直线的斜率存在，设直线，且， 联立，消去并整理得， 因为动直线与双曲线恰有1个公共点， 所以，得， 设动直线与的交点为，与的交点为， 联立，得，同理得， 则， 因为原点到直线的距离， 所以， 又因为，所以，即， 故的面积为定值，且定值为. 4．（23-24高二下·河南·开学考试）已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)若直线交双曲线于两点，是坐标原点，若是弦的中点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由双曲线的一条渐近线方程为，所以， 故到渐近线的距离， 所以，又，所以， 故的方程为. （2）设点，因为是弦的中点，则 由于，所以两式相减得， 所以，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 联立消去并整理，得， 所以，且， 所以. 点到直线的距离为， 所以的面积为.    5．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的焦距为4，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交双曲线的右支于，两点，连接并延长交双曲线的左支于点，求的面积的最小值. 【答案】(1) (2)12 【解析】（1）法一：设双曲线的标准方程为 由题知：，故其左右焦点分别为，. 由，解得. 从而， 双曲线的标准方程为. 法二：设双曲线方程为， 由题知：得到. 又，得到. 得到，解得（舍）或， 双曲线的标准方程为. （2）由题意，设作出图形如图所示，    显然直线与轴不垂直，设，， 联立 故，. 由于，均在双曲线右支上， 故，即，解得. 由双曲线的对称性知的中点为， 故 ， 代入韦达定理得 令，则 易知随的增大而减小， 当时，. 【题组八 双曲线有关的轨迹问题】 1．（2024高二上·全国·专题练习）设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图，设直线与的交点为，则 ∵共线，故①，又∵共线，故②. 由①，② 两式相乘得（*）, 因在椭圆上，则，可得：将其代入（*）式，即得：， 化简得：，即P的轨迹方程为. 故选：C. 2．（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）已知圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得圆圆心，半径为；圆圆心，半径为 由图设动圆P与圆，圆外切切点分别为A，B.则共线，共线. 则，注意到， 则，又，则点P轨迹为以为焦点双曲线的右支. 设双曲线方程为：，由题可得. 故相应轨迹方程为：. 故选：A    3．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为双曲线与直线有唯一的公共点， 所以直线与双曲线相切， 联立，消去并整理得， 所以，即， 将代入，得， 得，因为，，所以， 所以，，即， 由可知， 所以过点且与垂直的直线为， 令，得，令，得， 则，， 由，得，， 代入，得，即， 故选：D 4．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设，由题意可知，， 整理可得动点的轨迹方程为. 故答案为：. 5．（24-25高二上·上海·随堂练习）在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设，则， 又因为可得. 则点的轨迹方程为. 故答案为：. 6．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】由点是线段垂直平分线上的点， ， 又， 满足双曲线定义且，， ， 轨迹方程：． 故答案为：． 7．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）在平面直角坐标系中，动点P与两个定点和的连线的斜率之积等于，则点P的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设点， 由已知得，整理得， 所以点P的轨迹方程为． 故答案为：. 8．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知圆，圆，若动圆M与圆均外切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径， 设动圆的半径为，由动圆与圆，都外切，得， 则，因此点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 设方程为，则， 所以M的轨迹方程为. 故答案为：. 【题组九 中点弦】 1（2024天津西青·阶段练习）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的方程为：，即， 设双曲线的方程为：，由消去y并整理得：， ，因弦的中点为， 于是得，即，而，解得，满足， 所以双曲线的方程为，即. 故选：C 2（2024全国·阶段练习）设直线与双曲线交于，两点，若是线段的中点，直线与直线（是坐标原点）的斜率的乘积等于，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，则直线的斜率为，直线的斜率为， 即． 因为点，在双曲线上，所以有，， 化简可得：， 所以有，离心率为． 故选：D． 3．（2024河北沧州·阶段练习）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设双曲线的方程为， 由题意可得，① 设，，，， 可得，， 两式相减可得， 由题意可得的中点坐标为，直线的斜率为， 则，② 由①②解得，， 所以双曲线的方程为． 故选：A． 4（2024福建南平·阶段练习）已知双曲线C : (a>0，b>0)， 过点P(3，6) 的直线与C相交于A， B两点， 且AB的中点为N(12，15)， 则双曲线C的离心率为（ ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【解析】设，，由已知可得，， 相减化简可得， 又AB的中点N(12,15)，直线AB过点P(3,6)， ∴  ，，， ∴  ， ∴  ， ∴ 离心率， 故选：C. 5（2024四川内江·阶段练习）已知双曲线：，，过点的直线交于，两点，为的中点，且直线与的一条渐近线垂直，则的离心率为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】设，代入双曲线方程中得：， 两式相减得：， 因为为的中点，所以，所以， 由题意可知：， 所以， 故选：B. 6（2024云南丽江·期末）已知双曲线被斜率为1的直线截得的弦的中点为（4，2），则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】设弦的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 ，， 两式作差整理得：． ∵斜率为1，弦的中点为（4，2）， ∴，，， ∴，即， ∴. 故. 故选：B 1 学科网（北京）股份有限公司 $$