第04讲 命题、定理、定义与充分、必要、充要条件（知识清单+易错+4必考题型）-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备考系列（苏教版2019必修一）

第04讲 命题、定理、定义与充分、必要、充要条件 题型梳理 易错分析 易错点一 求充分、必要条件时忽略端点值致错 题型方法 题型一 充分条件、必要条件、充要条件的判断 题型二 充分条件、必要条件、充要条件的探求 题型三 充要条件的证明 题型四 含有参数的充分条件、必要条件、充要条件的应用 知识清单 知识点01 命题、定理、定义的概念 1．在数学中，我们将可判断真假的陈述句叫作命题． 2．在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 3．定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵． 注意点： (1)命题要求能判断真假，且为陈述句． (2)判断为真的命题是真命题，判断为假的命题是假命题，一个命题不能同时既是真命题又是假命题． (3)命题可用小写字母表示，如p，q…. (4)定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别． 知识点02命题的形式 数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论． 注意点： 确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． 知识点03充分条件与必要条件 充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q(读作p推出q) p⇏q(读作p不能推出q) 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 注意点： (1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)如果p⇒q，那么称p是q的充分条件或q是p的必要条件． (3)改变说法，“p是q的充分条件”还可以换成“q的一个充分条件是p”；“q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”． (4)充分、必要条件不唯一. 知识点04充要条件 1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件，也称q的充要条件是p. 2．如果p是q的充要条件，就记作p⇔q，称为“p与q等价”，或“p等价于q”． 注意点： (1)如果p⇒q且q⇏p，则称p是q的充分不必要条件． (2)如果p⇏q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． (3)如果p⇏q且q⇏p，则称p是q的既不充分又不必要条件． 知识点05判定定理、性质定理与充分、必要条件 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件，性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件． 注意点： (1)判定定理是数学中一类重要的定理，阐述了结论成立的依据，也就是说判定定理给出了结论成立的充分条件． (2)性质定理同样是数学中一类重要的定理，阐述了一个数学研究对象所具有的重要性质，其作用是揭示这个研究对象的某个特征，性质定理给出了结论成立的必要条件． 易错分析 【易错点一】求充分、必要条件时忽略端点值致错 【例1】（21-22高一上·江苏南京·阶段练习）如果不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据题意可得，再由集合的包含关系即可求解. 【详解】依题可得 所以或 解得或 故选：D. 【举一反三】【变式1】（20-21高一上·江苏扬州·阶段练习）已知，，且是的充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合法进行求解. 【详解】由，，规定集合, 要使是的充分条件， 只需B. 所以，解得：. 故选：B 【变式2】（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）已知集合或，非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意推出，由此可列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意知“”是“”的必要不充分条件， 故，则或， 解得或， 即实数的取值范围为， 故答案为： 【变式3】（2023高一·江苏·专题练习）已知，，若是的必要条件但不是充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】利用集合的包含关系可求参数的取值范围. 【详解】因为是的必要条件但不是充分条件，故 故有，故． 题型方法 【题型一】充分条件、必要条件、充要条件的判断 【例1】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设．则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求解不等式，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】不等式， 因此，而不能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 解题技巧 充分条件或必要条件的判断方法 (1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若p对应的集合为A，q对应的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (3)判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 ①定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． ②集合法：即利用集合的包含关系判断． ③传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 【举一反三】【变式1】（多选）（23-24高一上·江苏·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．命题“存在素数是偶数”是真命题 B．是x的必要不充分条件 C．“”的充要条件是“” D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】AD 【分析】由特殊值2判断A，根据充分条件、必要条件的定义判断BCD． 【详解】2既是素数又是偶数，A正确； ，但时，不一定成立，如， 因此是的充分不必要条件，B错； ，但时，如时， ，因此不是充要条件，C错； 时一定有，但时，如时不成立， 所以“ab>4”是“a>2，b>2”的必要不充分条件，D正确， 故选：AD． 【变式2】（多选）（21-22高一上·江苏南京·期末）设是的必要条件，是的充分条件，是的充分必要条件，是的充分条件，则下列说法正确的有（    ） A．是的必要条件 B．是的充分条件 C．是的充分必要条件 D．是的既不充分也不必要条件 【答案】BC 【分析】根据条件得到可判断每一个选项. 【详解】由题意，，则. 故选：BC. 【变式3】（多选）（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）下列说法正确的是（    ）． A．已知集合，则满足条件的集合N的个数为4 B．若集合中只有一个元素，则 C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．的一个必要条件是 【答案】AC 【分析】根据并集的结果可得，即可知A正确；易知方程只有一根，可得或，B错误；根据一元二次方程根与系数之间的关系可判断C正确，易知可得的一个充分条件是，即D错误. 【详解】对于A，根据可知，即集合为集合的子集， 由中有2个元素，因此集合N的个数为个，即A正确； 对于B，若集合中只有一个元素，则方程只有一根， 若，方程为，满足题意； 若，则可得，解得，满足题意； 因此或，所以B错误； 对于C，由可得，即一元二次方程有两根，且两根之积为，所以两根为一正一负，即充分性成立； 若一元二次方程有一正一负根则须满足，且两根积为，即，可得必要性成立，即C正确； 对于D，由可得，易知可推出，所以可得的一个充分条件是，即D错误. 故选：AC 【题型二】充分条件、必要条件、充要条件的探求 【例2】（24-25高一上·江苏淮安·期中）设，则“”的充要条件为（   ） A．至少有一个为1 B．都为1 C．都不为1 D． 【答案】A 【分析】将化为求解，结合充分、必要性定义即可得答案. 【详解】由，则，可得或，即至少有一个为1， 所以“”的充要条件为至少有一个为1，故只有A符合，其它选项均不符. 故选：A 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用充要条件的定义，结合一元二次方程根的情况求解即得. 【详解】一元二次方程有一个正根和一个负根，等价于，解得， 所以所求充要条件是. 故选：A 【变式2】（21-22高一下·江苏盐城·期末）“”的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依次判断选项中的满足的大小关系式，由此可判断充分性是否成立. 【详解】对于A，当时，满足，无法得到，充分性不成立，A错误； 对于B，当时，，或，充分性不成立，B错误； 对于C，当时，，可得到，C正确； 对于D，当时，，或，充分性不成立，D错误. 故选：C. 【变式3】（2021高一·江苏·专题练习）关于x的不等式|2x－3|＞a的解集为R的充要条件是 ． 【答案】a＜0 【分析】根据得到a＜0. 【详解】由题意知恒成立． 因为，所以 a＜0. 故答案为：a＜0. 【题型三】充要条件的证明 【例3】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知且，关于x的方程有两个不相等实数解，则p是q的什么条件（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求出命题q的等价命题，后判断命题p与q的关系即可. 【详解】因为关于x的方程有两个不相等实数解 且， 所以p是q的充要条件， 故选：C. 【举一反三】【变式1】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”． 【答案】证明见解析 【分析】由充要条件的定义，分别证明充分性和必要性即可. 【详解】必要性：若有一个根为2，则满足方程，即， 充分性：若，则，即满足方程， 则关于x的方程有一个根为2； 综上命题得证． 【变式2】（20-21高一上·江苏扬州·阶段练习）已知，求证：成立的充要条件是. 【答案】证明见解析 【解析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可． 【详解】证明：（1）充分性（条件→结论） 因为，而， 所以成立； （2）必要性（结论→条件） 因为，而， 又，所以且，从而，且. 所以，所以成立. 综上：成立的充要条件是. 【点睛】本题主要考查充要条件的应用，根据定义要分别证明充分性和必要性都要成立，属于中档题． 【变式3】（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】先证明充分性，即当时，方程有两个同号且不相等的实根；再证明必要性，方程有两个同号且不相等的实根，则． 【详解】先证明充分性：若，设方程的两个实根为，， 则，，， 故方程有两个同号且不相等的实根； 再证明必要性：若方程有两个同号且不相等的实根， 令， 当时，其图象是开口方向朝上，且以为对称轴的抛物线 若关于的方程有两个同号且不相等的实根 则必有两个不等的正根，则函数，有两个正零点， 则，解得； 当时，其图象是开口方向朝下，且以为对称轴的抛物线 若关于的方程有两个同号且不相等的实根 则必有两个不等的负根， 则函数，有两个负零点， 则，无解； 故关于的方程有两个同号且不相等的实根，则的取值范围是； 方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是． 【题型四】含有参数的充分条件、必要条件、充要条件的应用 【例4】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得出两个集合之间的关系：，再对集合B中的不等式求解，分类讨论研究即可． 【详解】由题意知： ①当时，，，故，解得， 故； ②当时，，满足； ③当时，，，故，解得， 故； 综上所述：． 故选：A． 解题技巧 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 ①根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． ②根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解． 【举一反三】【变式1】（23-24高一上·江苏南通·期中）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为 ． 【答案】 【分析】先求得，然后根据必要不充分条件的知识求得集合. 【详解】依题意，， 若，则，满足是的必要不充分条件. 当时，， 由于是的必要不充分条件，所以或， 解得或， 综上所述，的所有可能取值构成的集合为. 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）设全集，集合，集合. (1)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由“”是“”’的充分条件可得，利用子集的概念求范围； （2）把转化为，分情况讨论集合是空集和非空集，结合子集的概念求参数范围. 【详解】（1）若“”是“”的充分条件，则， ∴ ∴. （2）若，则. 当时，，解得， 当时，，无解， 综上，a的取值范围是. 【变式3】（20-21高一上·江苏南通·阶段练习）给出如下三个条件：①充分不必要；②必要不充分；③充要. 请从中选择一个条件补充到下面的横线上.已知集合，，则是______的条件.若存在实数，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析 【解析】选择①时，可知且；选择②时，可知；由包含关系可分别解得范围；选择③时，需，易知不成立. 【详解】若选择①，即是的充分不必要条件，则且， ，解得：，即实数的取值范围为. 若选择②，即是的必要不充分条件，则. 当时，，解得：； 当时，，解得：，则，解得：， 此时解集为； 综上所述：实数的取值范围是. 若选择③，即是的充要条件，则，不成立， 则不存在实数，使是的充要条件. 【点睛】结论点睛：根据充分条件与必要条件求参数范围，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 好题必刷 一、单选题 1．（21-22高一上·江苏南京·期中）设，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据必要不充分条件得，即可求解． 【详解】由题意得，且， 故选：D． 2．（23-24高一上·江苏常州·期中）下列选项中，使成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合数集的包含关系，对选项进行判断. 【详解】不等式解得，根据充分条件、必要条件的定义可知： 对于A，是充要条件，A错误； 对于B，，是成立的一个必要不充分条件，B正确； 对于C，，是成立的一个充分不必要条件，C错误； 对于D，与没有包含关系，是既不充分也不必要条件，D错误. 故选：B. 3．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则“a，b都是偶数”是“是偶数”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】充分性成立，但必要性可举出反例，得到答案. 【详解】a，b都是偶数，则是偶数，充分性成立， 但是偶数，a，b都是奇数或都是偶数，必要性不成立， 故“a，b都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件. 故选：A 4．（20-21高一上·江苏连云港·阶段练习）已知“”是“或”的充分条件，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记集合,，用集合法求解即可. 【详解】记集合,， 要使“”是“或”的充分条件， 只需AB, 所以. 故选：B 5．（24-25高一上·江苏连云港·期中）下列所给的各组，中，是的必要不充分条件的是（   ） A．：，： B．：两个直角三角形全等，：两个直角三角形的斜边相等 C．：同位角相等，：两条直线平行 D．：四边形是平行四边形，：四边形的对角线互相平分 【答案】A 【分析】根据充分必要条件关系求解判断各个选项. 【详解】对于A，由题，成立可以推出，而成立不能推出，所以是的必要不充分条件，故A正确； 对于B，由两个直角三角形全等可以推出两个直角三角形的斜边相等，而由两个直角三角形的斜边相等不能推出两个直角三角形全等， 所以是的充分不必要条件，故B错误； 对于C，显然同位角相等是两直线平行的充要条件，故C错误； 对于D，四边形是平行四边形是四边形的对角线互相平分的充要条件，故D错误. 故选：A. 二、多选题 6．（23-24高一上·江苏常州·期中）关于的方程有两个实数解的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用二次方程的性质，结合充分条件的性质即可得解. 【详解】因为有两个实数解， 当时，，显然不满足题意； 当时，，得； 综上，且， 即有两个实数解等价于且，即或， 要使得选项中的范围是题设条件的充分条件， 则选项中的范围对应的集合是或的子集， 经检验，AB满足要求，CD不满足要求. 故选：AB. 7．（24-25高一上·江苏徐州·期中）“”的充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】解不等式，根据充分条件的概念即可求解. 【详解】由，得，所以是”的充要条件， 可得是”的必要条件，故A错误； 可得是”的充分条件，故B正确； 可得是”的必要条件，故C错误； 可得是”的充分条件，故D正确. 故选：BD. 8．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件．则（    ） A．p是q的充分条件 B．p是q的必要条件 C．s是r的充要条件 D．r是q的充要条件 【答案】BCD 【分析】根据充分条件、必要条件的定义求解即可. 【详解】因为p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件， 所以，，，， 所以，，则， 所以p是q的必要条件，故A错误，B正确； s是r的充要条件，故C正确； r是q的充要条件，故D正确. 故选：BCD. 9．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知全集为，下列选项中，“”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据充要条件的定义结合集合的运算，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于选项A，若，则有，又当，有，所以选项A正确； 对于选项B，若，则有，又当，有，所以选项B正确； 对于选项C，若，则，可得到，但，得不出，即得不出，所以选项B不正确； 对于选项D，，则有，得不出，所以选项D不正确； 故选：AB. 三、填空题 10．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，即可得解. 【详解】因为“”是“”的必要条件， 所以，所以. 故答案为：. 11．（2021高一上·江苏·专题练习）已知，或，则p是q的 条件． 【答案】充分不必要 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答. 【详解】命题“若p，则q”：假设不正确，即且，则有与已知矛盾，即假设是错的， 于是得q是正确的，因此，“若p，则q”是真命题，即p是q的充分条件， 命题“若q，则p”：显然当时，有，而满足或， 于是得“若q，则p”是假命题，即p不是q的必要条件， 所以是q的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要 12．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）“”是“”的 条件（选择用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空） 【答案】必要不充分 【分析】化简，然后应用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】解：因为由可得或， 所以即且. 因为由“”不能推出“且”； 由“且”可推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 13．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知集合，，若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由得到，结合充分条件求实数的取值范围. 【详解】若，则，即， 要使“”是“”的充分条件，只需， 所以. 故答案为： 四、解答题 14．（20-21高一·江苏）求证：一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根的充要条件是q＜0. 【答案】证明见解析 【分析】充分性：根据q＜0，得出Δ＝p2－4q＞0，即充分性满足；必要性：利用两根之积即可证明. 【详解】证明　①充分性： 因为q＜0，所以方程x2＋px＋q＝0的Δ＝p2－4q＞0， 故方程x2＋px＋q＝0有两个不相等的实数根． 设方程的两根为x1，x2. 因为x1·x2＝q＜0，所以方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根． ②必要性： 因为方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根， 设两根为x1，x2，所以x1·x2＜0. 因为x1·x2＝q，所以q＜0. 由①②，命题得证． 15．（2023高一·江苏·专题练习）判断下列各题中p是q的什么条件． (1)，中至少有一个不为零； (2)，； (3)，． 【答案】(1)p是q的充分不必要条件 (2)p是q的充分不必要条件 (3)p是q的充要条件 【分析】（1）（2）根据充分、必要条件分析判断； （3）根据集合的包含关系和运算结合充要条件分析判断. 【详解】（1）若可得中至少有一个不为零，即充分性成立， 但中至少有一个不为零不能得出，例如，即必要性不成立， 所以p是q的充分不必要条件. （2）若可得，即充分性成立， 但不能得出，例如，即必要性不成立， 所以p是q的充分不必要条件. （3）由题意可知：等价于，等价于， 所以等价于， 所以p是q的充要条件. 16．（23-24高一上·江苏淮安·期末）已知集合， (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，再根据集合得包含关系即可得解； （2）由题意可得，再分和两种情况讨论即可得解. 【详解】（1）因为是的充分条件， 所以， 所以，解得； （2）因为，所以， 当时，符合题意，则，解得， 当时，则，解得， 综上所述，. 17．（23-24高一上·江苏南京·期中）在①，②“”是“”的充分条件，③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并求解. 已知集合，. (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）代入，得出，然后根据交集的运算求解，即可得出答案； （2）若选①，可推得，由已知列出不等式组，求解即可得出答案；若选②，可推得，由已知列出不等式组，求解即可得出答案；若选③，根据交集的运算结果，列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】（1）当时，， 所以，. （2）若选①， 由可得，. 由已知可得，所以有，解得； 若选②“”是“”的充分条件， 由已知可得. 由已知可得，所以有，解得； 若选③， 由已知可得，所以有或， 解得或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 命题、定理、定义与充分、必要、充要条件 题型梳理 易错分析 易错点一 求充分、必要条件时忽略端点值致错 题型方法 题型一 充分条件、必要条件、充要条件的判断 题型二 充分条件、必要条件、充要条件的探求 题型三 充要条件的证明 题型四 含有参数的充分条件、必要条件、充要条件的应用 知识清单 知识点01 命题、定理、定义的概念 1．在数学中，我们将可判断真假的陈述句叫作命题． 2．在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 3．定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵． 注意点： (1)命题要求能判断真假，且为陈述句． (2)判断为真的命题是真命题，判断为假的命题是假命题，一个命题不能同时既是真命题又是假命题． (3)命题可用小写字母表示，如p，q…. (4)定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别． 知识点02命题的形式 数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论． 注意点： 确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． 知识点03充分条件与必要条件 充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q(读作p推出q) p⇏q(读作p不能推出q) 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 注意点： (1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)如果p⇒q，那么称p是q的充分条件或q是p的必要条件． (3)改变说法，“p是q的充分条件”还可以换成“q的一个充分条件是p”；“q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”． (4)充分、必要条件不唯一. 知识点04充要条件 1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件，也称q的充要条件是p. 2．如果p是q的充要条件，就记作p⇔q，称为“p与q等价”，或“p等价于q”． 注意点： (1)如果p⇒q且q⇏p，则称p是q的充分不必要条件． (2)如果p⇏q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． (3)如果p⇏q且q⇏p，则称p是q的既不充分又不必要条件． 知识点05判定定理、性质定理与充分、必要条件 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件，性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件． 注意点： (1)判定定理是数学中一类重要的定理，阐述了结论成立的依据，也就是说判定定理给出了结论成立的充分条件． (2)性质定理同样是数学中一类重要的定理，阐述了一个数学研究对象所具有的重要性质，其作用是揭示这个研究对象的某个特征，性质定理给出了结论成立的必要条件． 易错分析 【易错点一】求充分、必要条件时忽略端点值致错 【例1】（21-22高一上·江苏南京·阶段练习）如果不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【举一反三】【变式1】（20-21高一上·江苏扬州·阶段练习）已知，，且是的充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）已知集合或，非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 【变式3】（2023高一·江苏·专题练习）已知，，若是的必要条件但不是充分条件，求实数的取值范围． 题型方法 【题型一】充分条件、必要条件、充要条件的判断 【例1】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设．则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解题技巧 充分条件或必要条件的判断方法 (1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若p对应的集合为A，q对应的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (3)判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 ①定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． ②集合法：即利用集合的包含关系判断． ③传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 【举一反三】【变式1】（多选）（23-24高一上·江苏·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．命题“存在素数是偶数”是真命题 B．是x的必要不充分条件 C．“”的充要条件是“” D．“”是“”的必要不充分条件 【变式2】（多选）（21-22高一上·江苏南京·期末）设是的必要条件，是的充分条件，是的充分必要条件，是的充分条件，则下列说法正确的有（    ） A．是的必要条件 B．是的充分条件 C．是的充分必要条件 D．是的既不充分也不必要条件 【变式3】（多选）（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）下列说法正确的是（    ）． A．已知集合，则满足条件的集合N的个数为4 B．若集合中只有一个元素，则 C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．的一个必要条件是 【题型二】充分条件、必要条件、充要条件的探求 【例2】（24-25高一上·江苏淮安·期中）设，则“”的充要条件为（   ） A．至少有一个为1 B．都为1 C．都不为1 D． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高一下·江苏盐城·期末）“”的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2021高一·江苏·专题练习）关于x的不等式|2x－3|＞a的解集为R的充要条件是 ． 【题型三】充要条件的证明 【例3】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知且，关于x的方程有两个不相等实数解，则p是q的什么条件（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【举一反三】【变式1】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”． 【变式2】（20-21高一上·江苏扬州·阶段练习）已知，求证：成立的充要条件是. 【变式3】（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 【题型四】含有参数的充分条件、必要条件、充要条件的应用 【例4】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 解题技巧 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 ①根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． ②根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解． 【举一反三】【变式1】（23-24高一上·江苏南通·期中）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为 ． 【变式2】（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）设全集，集合，集合. (1)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【变式3】（20-21高一上·江苏南通·阶段练习）给出如下三个条件：①充分不必要；②必要不充分；③充要. 请从中选择一个条件补充到下面的横线上.已知集合，，则是______的条件.若存在实数，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 好题必刷 一、单选题 1．（21-22高一上·江苏南京·期中）设，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏常州·期中）下列选项中，使成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则“a，b都是偶数”是“是偶数”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（20-21高一上·江苏连云港·阶段练习）已知“”是“或”的充分条件，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏连云港·期中）下列所给的各组，中，是的必要不充分条件的是（   ） A．：，： B．：两个直角三角形全等，：两个直角三角形的斜边相等 C．：同位角相等，：两条直线平行 D．：四边形是平行四边形，：四边形的对角线互相平分 二、多选题 6．（23-24高一上·江苏常州·期中）关于的方程有两个实数解的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·江苏徐州·期中）“”的充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件．则（    ） A．p是q的充分条件 B．p是q的必要条件 C．s是r的充要条件 D．r是q的充要条件 9．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知全集为，下列选项中，“”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 ． 11．（2021高一上·江苏·专题练习）已知，或，则p是q的 条件． 12．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）“”是“”的 条件（选择用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空） 13．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知集合，，若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为 . 四、解答题 14．（20-21高一·江苏）求证：一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根的充要条件是q＜0. 15．（2023高一·江苏·专题练习）判断下列各题中p是q的什么条件． (1)，中至少有一个不为零； (2)，； (3)，． 16．（23-24高一上·江苏淮安·期末）已知集合， (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 17．（23-24高一上·江苏南京·期中）在①，②“”是“”的充分条件，③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并求解. 已知集合，. (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$