精品解析：广东省顺德区容桂街道 2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题

2024学年第二学期期中学科素养展示 七年级数学 说明: l．本卷共6页，满分为120分，考试用时为120分钟． 2．解答过程写在答题卡上，监考教师只收答题卡． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答；画图时用2B铅笔并描清晰． 一．选择题（10个题，每题3分，共30分） 1. 计算的结果是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列图形中，∠1和∠2是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 3. 随着北斗系统全球组网的步伐，国产北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，支持北斗三号信号的22nm（即0.000000022m）工艺射频基带一体化导航定位芯片已实现规模化应用，其中0.000000022用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ）． A. 经过红绿灯路口，遇到绿灯 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 班里的两名同学，他们的生日是同一天 D. 从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东．甲、乙两地同时开工，若干天后公路准确接通．从乙地测，所修公路的走向是（ ） A. 南偏东 B. 南偏西 C. 北偏西 D. 北偏东 7. 下列图形中，线段的长度表示点A到直线距离的是（ ） A. B. C. D. 8. 将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一个圆形转盘被分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、蓝扇形的圆心角度数分别为，转动转盘，停止后指针落在黄色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，图1的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2这样的杯子中，那么一共需要（ ）个这样的杯子． A. B. C. D. 二．填空题（5个题，每题3分，共15分） 11. 计算：(x+1)(x+2)＝______． 12. 若一个角为70°，则它的余角为______． 13. 等腰三角形一边长是，另一边长是，则第三边的长是______． 14. 某兴趣小组通过实验研究一批绿豆的发芽率，实验结果如下表所示： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数 90 280 352 554 930 1864 2793 发芽频率 估计这批绿豆中每一粒绿豆发芽的概率是________．（保留小数点后2位） 15. “杨辉三角”，又称“贾宪三角”，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律，观察下列各式及其展开式： 请写出展开式的第三项的系数是______． 三．解答题（8个题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 已知，求的值． 18. 现有甲、乙两个不透明盒子，甲盒装有红球5个，白球2个和黑球3个；乙盒装有红球5个，白球20个和黑球10个．每个球除颜色外都相同． （1）如果想摸出1个黑球，从____盒中抽取成功的可能性大； （2）小明同学说：“将10个红球再放入乙盒后，乙盒中的红球个数比甲盒中红球个数多，所以此时想摸出1个红球，选乙盒成功的可能性大．”请利用概率的知识判断小明的说法是否正确． 19. 如图，在中，，是的角平分线． （1）尺规作图：过点D作，交于点E； （2）在（1）条件下，求的度数． 20. 观察下列各式： ； ； ； ； … 我们发现规律：十位数字相同、个位数字之和等于10的两个两位数相乘时，可以把十位数乘比它大1的数作为积的前两位，把个位数的乘积作为积的后两位． （1）请根据上述规律计算：______；______． （2）设这两个两位数的十位数字都为a，其中一个两位数的个位数字为b，另一个两位数的个位数字为c，且．请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性． 21. 小宁是一名爱研究数学的中学生，他发现生活中有很多与数学相关的实例．请根据以下材料，完成相应的任务． 台灯中的数学问题 素材1 如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度，从而在使用时对人的眼睛起到保护的作用． 素材2 图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角．小宁在解决问题时，他的思路是：过点作，则可以得到，如图③所示． （1）任务1：根据素材2，过点作，可以得到的依据是______； （2）任务2：当台灯处于最佳照明角度时，根据素材2中小宁的思路，求和的度数． 22. 我们知道，把完全平方公式适当变形，可解决很多数学问题． （1）若，，则的值为______． 【阅读材料】若，求值． 解：设，，则，， ，即． 【归纳方法】首先，利用换元进行式子简化，再利用和（差）是定值，积是定值特点与其平方和之间的关系进行转化． 【解决问题】 （2）若满足，求的值； （3）若，则的值是为______； （4）如图所示，已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、作正方形和正方形，求图中阴影部分的面积． 23. 如图1，将一把含角的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． 【特例初探】 （1）图1中，______，______． 【技能提升】 （2）把三角板如图2放置，线段与相交于点H，当时，求的值． 【综合运用】 （3）将三角板如图3放置，使点恰好落在边上，现将射线绕点B以速度逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以的速度顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线，均停止转动，设旋转时间为． ①在旋转过程中，若射线与射线相交于点P．当时，求的度数． ②在旋转过程中，当时，求出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期期中学科素养展示 七年级数学 说明: l．本卷共6页，满分为120分，考试用时为120分钟． 2．解答过程写在答题卡上，监考教师只收答题卡． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答；画图时用2B铅笔并描清晰． 一．选择题（10个题，每题3分，共30分） 1. 计算的结果是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂，根据，进行求解即可． 【详解】解：； 故选C． 2. 下列图形中，∠1和∠2是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角的概念，根据对顶角的概念判断即可，解题关键是要紧扣概念中的关键词语，如：两条直线相交，有一个公共顶点，反向延长线等． 【详解】解：根据对顶角的概念可知， A、B、C中与都不符合对顶角的特征， 而D图中的与只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，属于对顶角． 故选：D． 3. 随着北斗系统全球组网的步伐，国产北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，支持北斗三号信号的22nm（即0.000000022m）工艺射频基带一体化导航定位芯片已实现规模化应用，其中0.000000022用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的数，可以用科学记数法表示为，其中，为原数左起第一个非0数前面所有0的个数． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，为原数左起第一个非0数前面所有0的个数，正确确定和的值是解题关键． 4. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ）． A. 经过红绿灯路口，遇到绿灯 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 班里的两名同学，他们的生日是同一天 D. 从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意，根据不可能事件的定义分析，即可得到答案． 【详解】经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件 ∴选项A错误； 射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件 ∴选项B错误； 班里的两名同学，他们的生日是同一天，是随机事件 ∴选项C错误； 从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球，是不可能事件 ∴选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了随机事件的知识；解题的关键是熟练掌握不可能事件的性质，从而完成求解． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握，，，，即可． 【详解】A、，错误，不符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，错误，不符合题意； D、，正确，符合题意； 故选：D． 6. 如图，在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东．甲、乙两地同时开工，若干天后公路准确接通．从乙地测，所修公路的走向是（ ） A. 南偏东 B. 南偏西 C. 北偏西 D. 北偏东 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查方向角，根据方向角的表示方法以及甲乙之间是一条直线，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：从乙地测，所修公路的走向是南偏西； 故选B． 7. 下列图形中，线段的长度表示点A到直线距离的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查点到直线的距离，根据线段的长度表示点A到直线距离，得到，据此进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴符合条件题意是： 故选C． 8. 将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和平角的定义，利用两直线平行的性质得到角关系是解答此题的关键．由平角定义先求，再由平行线性质求得，进而求，，即可作出判断． 【详解】解：由平角定义可知，， ∵纸条两边平行， ∴，， 又三角板为直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，一个圆形转盘被分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、蓝扇形的圆心角度数分别为，转动转盘，停止后指针落在黄色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何概率，求出相应部分所占整体的几分之几是解决问题的关键． 求出黄色区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率． 【详解】解：黄色区域圆心角：， ∴转动转盘，停止后指针落在黄色区域的概率是：， 故选：C． 10. 如图，图1的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2这样的杯子中，那么一共需要（ ）个这样的杯子． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式除法的应用，列代数式，解本题的关键在熟练掌握圆柱的体积公式．圆柱的体积公式．首先算出图（1）中瓶子的体积，然后再算出图（2）中杯子的体积，即可得出结论． 【详解】解：图（1）瓶子的上半部分的体积为； 图（1）瓶子的下半部分的体积为； ∴图（1）瓶子的体积为； 图（2）杯子的体积为； ∴一共需要杯子为个 故选：A． 二．填空题（5个题，每题3分，共15分） 11. 计算：(x+1)(x+2)＝______． 【答案】x2+3x+2 【解析】 分析】原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果． 【详解】解：原式＝x2+2x+x+2＝x2+3x+2， 故答案为x2+3x+2. 【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12. 若一个角为70°，则它的余角为______． 【答案】##20度 【解析】 【分析】根据余角的定义即可求解，如果两个角的和为90度，那么这两个角互为余角． 【详解】解：若一个角为70°，则它的余角为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一个角的余角，掌握余角的定义是解题的关键． 13. 等腰三角形一边长是，另一边长是，则第三边的长是______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，以及三角形三边关系，解题的关键是掌握等腰三角形的定义以及三角形三边关系． 分两种情况，当腰长分别为或时，结合三角形三边关系，求解即可． 【详解】解：当腰长为时，则三角形三边分别为、、， ∵ ∴满足三角形三边关系，能构成三角形， 当腰长为，则三角形三边分别为、、， ∵， ∴满足三角形三边关系，符合题意． 故答案为：或． 14. 某兴趣小组通过实验研究一批绿豆的发芽率，实验结果如下表所示： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数 90 280 352 554 930 1864 2793 发芽频率 估计这批绿豆中每一粒绿豆发芽的概率是________．（保留小数点后2位） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键在于理解频率稳定性定理，分析实验数据的变化趋势，并据此做出合理的概率估计；大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；据此判断即可. 【详解】解：根据表中的发芽的频率，当实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在左右，所以可估计这种绿豆发芽的概率大约是． 故答案为：． 15. “杨辉三角”，又称“贾宪三角”，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律，观察下列各式及其展开式： 请写出展开式的第三项的系数是______． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查多项式乘法中的规律探究，观察可知，的第三项的系数为1，的第三项的系数为，的第三项的系数为，进而得出规律，进行求解即可． 【详解】解：的第三项的系数为1， 的第三项的系数为， 的第三项的系数为， ， ∴的第三项的系数为：， ∴展开式的第三项的系数是． 故答案为：21 三．解答题（8个题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握单项式的乘除法法则、平方差公式及单项式除以单项式法则是解决问题的关键． （1）先计算平方差公式及零次幂运算，然后计算加减法即可； （2）先计算单项式除以单项式，单项式乘以单项式，然后计算加减法即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 17. 已知，求的值． 【答案】，18 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、单项式乘以多项式、多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算完全平方公式、单项式乘以多项式、多项式除以单项式，再利用完全平方公式计算即可得． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴，即， ∴原式． 18. 现有甲、乙两个不透明盒子，甲盒装有红球5个，白球2个和黑球3个；乙盒装有红球5个，白球20个和黑球10个．每个球除颜色外都相同． （1）如果想摸出1个黑球，从____盒中抽取成功的可能性大； （2）小明同学说：“将10个红球再放入乙盒后，乙盒中的红球个数比甲盒中红球个数多，所以此时想摸出1个红球，选乙盒成功的可能性大．”请利用概率的知识判断小明的说法是否正确． 【答案】（1）甲 （2）小明的说法是不正确的，见解析 【解析】 【分析】本题考查概率公式，解题关键在于掌握概率公式． （1）利用简单随机事件的概率公式分别求出从甲、乙两盒中随机取出1个黑球的概率，再对概率进比较即可解题； （2）利用简单随机事件的概率公式分别求出从甲盒、以及数量变化后的乙盒中随机取出1个红球的概率，再对概率进比较即可解题； 【小问1详解】 解：从甲盒中随机取出 1 个黑球概率为：， 从乙盒中随机取出 1 个黑球的概率为：， ∵， ∴从甲盒中抽取成功的机会大； 故答案为：甲． 【小问2详解】 解：在甲盒中，一共有10个球，其中红球有5个，所以在甲盒中抽到红球的概率为：， 在乙盒中，再放多10个红球，则乙盒中一共有45个球，其中红球有15个，所以在乙盒中抽到红球的概率为：， 由于， 所以在甲盒中抽到红球的概率比乙盒大，因此小明的说法是不正确的． 19. 如图，在中，，是的角平分线． （1）尺规作图：过点D作，交于点E； （2）在（1）的条件下，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作即可； （2）利用三角形内角和定理求得的度数，再利用角平分线的定义以及平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图，线段即为所求． 【小问2详解】 解：∵，， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． 20. 观察下列各式： ； ； ； ； … 我们发现规律：十位数字相同、个位数字之和等于10的两个两位数相乘时，可以把十位数乘比它大1的数作为积的前两位，把个位数的乘积作为积的后两位． （1）请根据上述规律计算：______；______． （2）设这两个两位数的十位数字都为a，其中一个两位数的个位数字为b，另一个两位数的个位数字为c，且．请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性． 【答案】（1）5621；9016 （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式的应用，正确表示出两个乘数是解题的关键． （1）利用所给规律可直接得出答案； （2）两个乘数可以表示为和，积可以表示为，根据多项式乘多项式，结合可证． 【小问1详解】 解：由题意知，，， 故答案为：5621；9016． 【小问2详解】 解：用代数式表示规律：； 理由如下： ， ． 21. 小宁是一名爱研究数学的中学生，他发现生活中有很多与数学相关的实例．请根据以下材料，完成相应的任务． 台灯中的数学问题 素材1 如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度，从而在使用时对人的眼睛起到保护的作用． 素材2 图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角．小宁在解决问题时，他的思路是：过点作，则可以得到，如图③所示． （1）任务1：根据素材2，过点作，可以得到的依据是______； （2）任务2：当台灯处于最佳照明角度时，根据素材2中小宁思路，求和的度数． 【答案】（1）平行于同一直线的两条直线平行 （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质及平行公理及推论，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的推论即可得出答案； （2）根据得，，进而得出，根据得，根据得，进而得出，从而得出的度数； 【小问1详解】 解：由题意得（台灯水平放置，默认与平行）， ∵过直线外一点作 ， ∴根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行， 则． 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行； 【小问2详解】 解：如图，过点C作， ， ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ． 22. 我们知道，把完全平方公式适当变形，可解决很多数学问题． （1）若，，则的值为______． 【阅读材料】若，求的值． 解：设，，则，， ，即． 【归纳方法】首先，利用换元进行式子简化，再利用和（差）是定值，积是定值的特点与其平方和之间的关系进行转化． 【解决问题】 （2）若满足，求的值； （3）若，则的值是为______； （4）如图所示，已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、作正方形和正方形，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）7；（2）；（3）17；（4）28 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，完全平方公式的变形求值，解题的关键是掌握完全平方公式． （1）根据计算即可； （2），则，然后根据完全平方公式，变形求值即可； （3）设，，则，，然后根据完全平方公式变形求值即可； （4）由题意可知：；，根据长方形的面积是48，得出，设，则，根据完全平方公式变形求出． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ； （2）设，则， ， 即； （3）设，，则，， ∴， 即； （4）由题意可知：；， 长方形的面积是48， ， 设，则， ，且， ， ． 23. 如图1，将一把含角的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． 【特例初探】 （1）在图1中，______，______． 【技能提升】 （2）把三角板如图2放置，线段与相交于点H，当时，求的值． 【综合运用】 （3）将三角板如图3放置，使点恰好落在边上，现将射线绕点B以的速度逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以的速度顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线，均停止转动，设旋转时间为． ①在旋转过程中，若射线与射线相交于点P．当时，求的度数． ②在旋转过程中，当时，求出此时的值． 【答案】（1），；（2）；（3）①；②存在，9或45 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、邻补角的定义、三角形外角的性质、一元一次方程的应用等知识点，掌握平行线的性质定理并能熟练应用是解题的关键． （1）根据邻补角的定义和平行线的性质以及三角形的外角性质求解即可； （2）先求得，同（1）的方法求解即可； （3）①设，得到，，由角的和差和三角形的外角性质可得答案；②分两种情况，根据平行线的性质列方程可解得答案． 【详解】解：（1）∵且， ∴， 又∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：，； （2）三角板是一块含直角三角板 ， ， ， ∵， ， ， ， 是的外角， ， ； （3）①如图，根据题意得：，， 设， ，， ∵， ，， ， ； ②存在，理由如下： 依题意得，， 情况一：如图 ，， ， ， ， 解得， 情况二：如图 ， ， ， 解得， 综上所述，的值为9或45． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$