第11讲 椭圆（6个知识点10大题型）-2025 年新高二数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（人教A版2019）

第11讲 椭圆 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 知识点诠释： 若，则动点的轨迹为线段； 若，则动点的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 知识点诠释： （1）这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； （2）在椭圆的两种标准方程中，都有和； （3）椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； （4） 在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上. 知识点三：求椭圆的标准方程 求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法： （1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：. （2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题. 知识点四：椭圆的简单几何性质 我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质 椭圆的范围 椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b. 椭圆的对称性 对于椭圆标准方程，把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 椭圆的顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）。 ③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 椭圆的离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作. ②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。 知识点五：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。 可借助下图帮助记忆： a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。 和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角()结合起来，建立、之间的关系. 知识点六：椭圆两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长=，短轴长= 离心率 知识点诠释：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同； 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 题型一：椭圆的定义 【典例1-1】（2025·高二·辽宁抚顺·开学考试）已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（     ）. A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．抛物线 【典例1-2】（2025·高二·山东烟台·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D．16 【变式1-1】已知椭圆的两焦点分别为，点为椭圆上任意一点，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式1-2】（2025·高二·广西·开学考试）设是椭圆上的动点，则点到的两个焦点的距离之和为（    ） A．80 B．10 C．20 D．40 【变式1-3】（2025·高二·贵州安顺·期中）若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（　　） A．5 B．2 C．7 D．6 题型二：求椭圆的标准方程 【典例2-1】方程表示的曲线的标准方程是 . 【典例2-2】已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程为 ． 【变式2-1】已知两定点，，曲线上的点到、的距离之和是12，则该曲线的标准方程为 . 【变式2-2】（2025·高二·山东青岛·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程是 ． 【变式2-3】（2025·高二·河北·期中）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点均在x轴上，C的面积为，且离心率为，则C的标准方程为 ． 题型三：焦点三角形 【典例3-1】（多选题）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．当点P不在x轴上时，的周长是6 B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为 C．存在点P，使 D．的取值范围是 【典例3-2】（多选题）（2025·高二·湖南永州·期中）已知点是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（     ） A．点的纵坐标为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 【变式3-1】（多选题）已知点是左、右焦点为，的椭圆上的动点，则（   ） A．若，则的面积为 B．使为直角三角形的点有6个 C．的最大值为 D．若，则的最大、最小值分别为和 【变式3-2】（多选题）设椭圆的左、右焦点分别为，，坐标原点为O.若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（    ） A． B．的面积为2 C． D．的内切圆半径为 【变式3-3】（多选题）已知点为椭圆C：的左焦点，点P为C上的任意一点，点的坐标为，则下列正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为7 C．的最小值为 D．的最大值为1 【变式3-4】（多选题）（2025·高二·四川自贡·期末）已知椭圆 为左，右焦点. O为原点，P为椭圆上一点， 下列说法正确的是 （    ） A．满足条件的P点总共有4个 B．=4 C．|PO|=3 D． 题型四：轨迹方程 【典例4-1】（2025·高二·吉林长春·期末）已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2025·高二·广东清远·期末）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·高二·广东梅州·期末）线段的长度为，其两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·高二·吉林·期末）已知一动圆O与圆外切，同时与内切，则动圆圆心O的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·高二·辽宁大连·期末）已知曲线：（），从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段中点的轨迹方程为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【变式4-4】（2025·高二·内蒙古包头·期末）在平面直角坐标系中，已知圆（圆心为），点，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-5】（2025·高二·甘肃兰州·期末）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型五：椭圆的简单几何性质 【典例5-1】（多选题）已知椭圆，则（    ） A．C的长轴长为8 B．C的焦点坐标为 C．C的离心率为 D．C上的点到焦点的最大距离为 【典例5-2】（多选题）（2025·高二·福建·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，是上任意一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．椭圆的离心率越大形状越扁平 【变式5-1】（多选题）（2025·高二·广西百色·期末）已知椭圆，则下列正确的是（    ） A．焦点在x轴 B．焦点在y轴 C．焦距是 D．焦距是2 【变式5-2】（多选题）已知是椭圆的两个焦点，点在上且不在轴上，则（    ） A．椭圆的长轴长为10 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的焦距为8 D．的周长为10 【变式5-3】（多选题）已知，是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线与交于，两点，且，则（ ） A．椭圆离心率为 B．周长为6 C．周长为6 D．椭圆方程为 【变式5-4】（多选题）已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（   ） A．C的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 题型六：求椭圆的离心率 【典例6-1】（2025·高二·四川南充·期中）已知椭圆（且）的焦点为为上的一点，若的周长为18，则椭圆的离心率为 ． 【典例6-2】（2025·高二·云南昆明·期末）如图，一束平行光线与地平面的夹角为60°，一直径为24cm的篮球在这束光线的照射下，在地平面上形成的影子轮廓为椭圆，则此椭圆的离心率为 ． 【变式6-1】（2025·高二·浙江金华·期中）设O是坐标原点，是椭圆的左焦点，椭圆上的点P关于O的对称点是Q，若，，则该椭圆的离心率是 ． 【变式6-2】（2025·高二·上海·期中）已知，分别为椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，则椭圆的离心率为 . 【变式6-3】已知是椭圆的右焦点，点是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为 ． 【变式6-4】已知为坐标原点，椭圆：（）的右顶点为，以为直径的圆与椭圆的三个公共点分别为，，，若以，，，为顶点的四边形是正方形，则椭圆的离心率为 . 题型七：求椭圆离心率的取值范围 【典例7-1】（2025·高二·湖北咸宁·期末）加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆：，若直线：上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 【典例7-2】（2025·高二·重庆渝中·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，若恒成立，则该椭圆离心率的取值范围为 . 【变式7-1】（2025·高二·广东深圳·期末）已知椭圆，设，若上存在3个不同的点使得，则的离心率的取值范围为 ． 【变式7-2】（2025·高二·贵州安顺·期中）已知椭圆和圆，过椭圆C上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B.若椭圆上存在点P，使得，则椭圆C的离心率e的取值范围是 【变式7-3】如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆上任意一点，直线垂直于OP且交线段于点M，若，则该椭圆的离心率的取值范围 ． 【变式7-4】已知椭圆的左、右焦点分别为、，若上存在点满足：，则的离心率的取值范围是 . 题型八：由椭圆离心率求参数的取值范围 【典例8-1】（2025·高二·湖北武汉·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上在第二象限的点，且P的纵坐标为，若椭圆的离心率e的范围是，则的范围是 . 【典例8-2】（2025·高二·广东茂名·期末）焦点在轴上的椭圆的离心率为，则值为 . 【变式8-1】（2025·高二·四川自贡·期中）若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是 ． 【变式8-2】（2025·上海普陀·一模）设椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为，若椭圆的离心率为，则的值为 . 【变式8-3】（2025·高二·河南开封·期中）已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点到直线的最短距离不小于，则长半轴长的取值范围为 ． 【变式8-4】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（在轴上方），连结并延长交椭圆于另一点，设，若垂直于轴，且椭圆的离心率，求实数的取值范围 ． 题型九：椭圆中的范围与最值问题 【典例9-1】已知动点P在椭圆上，，，则的最小值为 ． 【典例9-2】已知、、，若的周长为，则的最大值为 ，此时点的坐标为 ． 【变式9-1】（2025·高二·江西南昌·期中）已知是椭圆的左焦点，是椭圆上一动点，若，则的最大值为 . 【变式9-2】（2025·高二·广东·期中）已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最小值为 ． 【变式9-3】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，则的取值范围为 . 【变式9-4】（2025·高二·辽宁·期末）点是椭圆上任意一点，点是圆上任意一点，求的取值范围 ． 题型十：椭圆的综合问题 【典例10-1】已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线交椭圆于不同的两点和，若直线的斜率为1，且以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求直线的方程. 【典例10-2】已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点． (1)求的短轴长及的周长； (2)若直线过点，求弦长． 【变式10-1】（2025·浙江·三模）如图，椭圆C：的离心率为，左右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，椭圆上有一动点D（异于A，B），点E为线段的中点，点O为坐标原点.直线与直线相交于点M.已知面积有最大值为. (1)当点M坐标为时，求； (2)证明：. 【变式10-2】（2025·高二·河南新乡·期中）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程． (2)直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 【变式10-3】（2025·高二·甘肃兰州·开学考试）已知椭圆的离心率为，短轴长为2．过点的直线l与椭圆W交于A，B两点，O为坐标原点． (1)求椭圆W的方程； (2)设C为AB的中点，当直线l的斜率为1时，求中点C的坐标． 1．已知椭圆的右焦点为，离心率为．若，点是上的任意一点，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D． 2．已知焦点在轴上的椭圆，上顶点为，左、右焦点分别为，，经过点的直线垂直平分线段，且交椭圆于，两点，的周长为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 3．“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 4．（2025·高二·上海·期中）我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距离地面千米，并且、、在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（ ）千米 A． B． C．2 D． 5．（2025·高二·广东广州·期中）已知直线与椭圆交于A，B两点，椭圆E右焦点为F，直线AF与E的另外一个交点为C，若，若，则E的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·高二·上海·期中）某彗星绕太阳运动的轨道是椭圆Γ，太阳的中心是Γ的一个焦点．若该彗星在绕太阳运动的过程中，距太阳表面距离的最大值为ρ，最小值为μ，太阳半径为r，则椭圆Γ的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．设分别为椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，是的中点，，则点到椭圆左焦点的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．（2025·高二·山西·期中）已知椭圆E：的上、下顶点与左、右焦点分别为A，B，，，且四边形是正方形，则E的离心率为（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2025·高二·云南·期中）已知点，，，点在曲线：上，则（   ） A．存在无数个点，使得为定值 B．存在无数个点，使得为定值 C．直线与的所有交点的横坐标之积为 D．直线与的所有交点的横坐标之和大于5 10．（多选题）已知,分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则（    ） A．当时，满足的点共有4个 B．的周长不一定小于 C．的面积不可能大于 D．若恒成立，则的离心率的可能值为 11．已知椭圆的焦点在轴上，焦距为，求实数的值为 . 12．（2025·上海浦东新·三模）短轴长为2，离心率的椭圆的两焦点为，，过作直线交椭圆于A，B两点，则的周长为 . 13．（2025·高二·云南曲靖·期中）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，是上一点，若的周长为14，则的离心率为 . 14．（2025·高二·云南昆明·期末）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点． (1)求C的方程； (2)设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且AD⊥BD．证明：直线l经过定点 15．已知椭圆，点. (1)求椭圆的离心率和短轴长； (2)设直线与椭圆有两个不同的交点，，且，求实数的取值范围. 16．（2025·高二·云南昭通·期中）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的方程； (2)若直线与有且只有一个公共点，求的值． 17．（2025·高二·上海·期末）已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值，试求： (1)动点的轨迹的方程； (2)求直线与（1）中曲线相交所得弦的弦长. 18．（2025·高二·广东深圳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为P，长轴长为4，若为正三角形． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点，斜率为的直线与椭圆相交M，N两点，求的长． 19．已知点是圆上的动点，是坐标原点，，过垂直于轴的直线与过垂直于轴的直线交于点，点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)，，点是上一点，在射线上且，，求的面积. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 椭圆 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 知识点诠释： 若，则动点的轨迹为线段； 若，则动点的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 知识点诠释： （1）这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； （2）在椭圆的两种标准方程中，都有和； （3）椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； （4） 在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上. 知识点三：求椭圆的标准方程 求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法： （1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：. （2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题. 知识点四：椭圆的简单几何性质 我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质 椭圆的范围 椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b. 椭圆的对称性 对于椭圆标准方程，把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 椭圆的顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）。 ③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 椭圆的离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作. ②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。 知识点五：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。 可借助下图帮助记忆： a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。 和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角()结合起来，建立、之间的关系. 知识点六：椭圆两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长=，短轴长= 离心率 知识点诠释：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同； 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 题型一：椭圆的定义 【典例1-1】（2025·高二·辽宁抚顺·开学考试）已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（     ）. A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【解析】因为为平面内两个不同定点，且， ， 则动点的轨迹是以为焦点的椭圆. 故选：A 【典例1-2】（2025·高二·山东烟台·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D．16 【答案】C 【解析】由题意知，，由椭圆的定义知， 四边形的周长为. 故选：C 【变式1-1】已知椭圆的两焦点分别为，点为椭圆上任意一点，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【解析】由椭圆的标准方程可得，由椭圆的定义可得. 故选：D 【变式1-2】（2025·高二·广西·开学考试）设是椭圆上的动点，则点到的两个焦点的距离之和为（    ） A．80 B．10 C．20 D．40 【答案】D 【解析】由椭圆方程可知：椭圆的长半轴长为， 所以点到的两个焦点的距离之和为． 故选：D. 【变式1-3】（2025·高二·贵州安顺·期中）若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（　　） A．5 B．2 C．7 D．6 【答案】C 【解析】椭圆的长轴长，由点到椭圆一个焦点的距离为3及椭圆定义， 得到另一个焦点的距离为. 故选：C 题型二：求椭圆的标准方程 【典例2-1】方程表示的曲线的标准方程是 . 【答案】 【解析】方程， 表示点到两点的距离之和等于10，而， 所以方程表示的曲线是椭圆， 且长轴长，焦距，所以， 所以短半轴长， 所以其标准方程为， 故答案为： 【典例2-2】已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程为 ． 【答案】 【解析】因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为， 由椭圆的定义知， 所以． 又因为， 所以， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 【变式2-1】已知两定点，，曲线上的点到、的距离之和是12，则该曲线的标准方程为 . 【答案】 【解析】由条件可知，，所以点的轨迹是以点为焦点的椭圆， 且，，，， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为： 【变式2-2】（2025·高二·山东青岛·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程是 ． 【答案】 【解析】由题意设椭圆的方程为，， 将点代入，， 整理可得：， 解得或（舍， 所以椭圆的方程为：， 故答案为：． 【变式2-3】（2025·高二·河北·期中）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点均在x轴上，C的面积为，且离心率为，则C的标准方程为 ． 【答案】 【解析】设C的标准方程为，则解得所以C的标准方程为． 故答案为：. 题型三：焦点三角形 【典例3-1】（多选题）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．当点P不在x轴上时，的周长是6 B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为 C．存在点P，使 D．的取值范围是 【答案】ABD 【解析】由椭圆方程可知，，则， 由椭圆定义得的周长是，故A正确； 设，面积的为， 则面积的最大值为，故B正确； 可知，当位于椭圆短轴一个端点时，最大，此时， 又，则为正三角形，， 即不存在点P，使，故C错误； 可知，当位于椭圆右顶点时，最大值为， 当位于椭圆左顶点时，最小值为， 即的取值范围是，故D正确； 故选：ABD. 【典例3-2】（多选题）（2025·高二·湖南永州·期中）已知点是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（     ） A．点的纵坐标为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 【答案】BC 【解析】依题意，不妨设点，由可得故， 则的面积为解得：， 对于A选项，由上分析知点的纵坐标为，故A项错误； 对于B选项，由 知，此时点为椭圆短轴顶点，故， 又由知，故B项正确； 对于C选项，因点在椭圆上，故有 于是的周长为故C项正确； 对于D选项，设的内切圆半径为，则由三角形面积相等可得： ，解之得： 故D项错误. 故选：BC. 【变式3-1】（多选题）已知点是左、右焦点为，的椭圆上的动点，则（   ） A．若，则的面积为 B．使为直角三角形的点有6个 C．的最大值为 D．若，则的最大、最小值分别为和 【答案】BCD 【解析】A选项：由椭圆方程，所以，，所以， 所以的面积为，故A错误； B选项：当或时为直角三角形，这样的点有4个， 设椭圆的上下顶点分别为，，则，，，同理， 知，所以当位于椭圆的上、下顶点时也为直角三角形， 其他位置不满足，满足条件的点有6个，故B正确； C选项：由于， 所以当最小即时，取得最大值，故C正确； D选项：因为， 又， 的最大、最小值分别为和， 当点位于的延长线上时取最大值， 当位置的延长线上时取最小值，故D正确. 故选：BCD 【变式3-2】（多选题）设椭圆的左、右焦点分别为，，坐标原点为O.若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（    ） A． B．的面积为2 C． D．的内切圆半径为 【答案】ABD 【解析】由题意得，，则，． 由对称性可设（，），，，， 由，解得，又，， 所以，， 所以． 由椭圆的定义得， 对于A，在中，设，由余弦定理，得， 即， 解得，故A正确； 对于B，的面积为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，设的内切圆半径为r，由的面积相等，得， 即，解得，故D正确． 故选：ABD． 【变式3-3】（多选题）已知点为椭圆C：的左焦点，点P为C上的任意一点，点的坐标为，则下列正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为7 C．的最小值为 D．的最大值为1 【答案】ABD 【解析】依题意，，所以， 的最小值，即是的长，当点在位置时取到， 所以的最小值为，故A正确； 设椭圆的右焦点为，所以， 则当点在位置时取到最大值， 所以的最大值为，故B正确； 的最小值当在位置时取到， 即的最小值为，故C错误； 由， 则当点在位置时取到最大值， 所以的最大值为，故D正确. 故选:ABD 【变式3-4】（多选题）（2025·高二·四川自贡·期末）已知椭圆 为左，右焦点. O为原点，P为椭圆上一点， 下列说法正确的是 （    ） A．满足条件的P点总共有4个 B．=4 C．|PO|=3 D． 【答案】ABD 【解析】由题意得，，设 则 在中，由余弦定理得，， 即 ，即 ，解得 故B项正确； 设P（x₀，y₀）， 代入椭圆方程得， 解得 则 故C项错误； 由故P点共有4个，故A项正确； 对于D， 故D项正确. 故选：ABD. 题型四：轨迹方程 【典例4-1】（2025·高二·吉林长春·期末）已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】：的圆心C为，半径， 点，，又的垂直平分线交于点M， ， 的轨迹是以为焦点，长轴长为3的椭圆， ，， ，，， 点M的轨迹方程是 故选： 【典例4-2】（2025·高二·广东清远·期末）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为，所以两圆相内切于点， 设动圆的圆心为，半径为，则， ， 因此点的轨迹方程是以为焦点，长轴长为10的椭圆（不含点）， 所以该动圆的圆心的轨迹方程为. 故选：B 【变式4-1】（2025·高二·广东梅州·期末）线段的长度为，其两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点、，设线段上靠近点的三等分点为， 由题意可得，则， 所以，，所以，， 则，化简得， 故线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为. 故选：C. 【变式4-2】（2025·高二·吉林·期末）已知一动圆O与圆外切，同时与内切，则动圆圆心O的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设动圆的圆心为，半径为R， 动圆与圆外切，同时与圆内切， 则，又， 因此该动圆是以原点为中心，焦点在x轴上的椭圆， 设椭圆的方程为，故，解得，， 由a、b、c的关系得，故椭圆的方程为： 故选：A 【变式4-3】（2025·高二·辽宁大连·期末）已知曲线：（），从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段中点的轨迹方程为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【解析】设点，则，， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：C. 【变式4-4】（2025·高二·内蒙古包头·期末）在平面直角坐标系中，已知圆（圆心为），点，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆：的圆心，半径. 由于， 所以在圆内，， 根据垂直平分线的性质可知， 所以， 所以点的轨迹是椭圆， 设该椭圆方程为，设椭圆的半焦距为， 则，， 所以，，， 所以点的轨迹方程是. 故选：B. 【变式4-5】（2025·高二·甘肃兰州·期末）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，设，，则， 因是线段的中点， 又因为点在曲线上，即， 故，即. 故选：A 题型五：椭圆的简单几何性质 【典例5-1】（多选题）已知椭圆，则（    ） A．C的长轴长为8 B．C的焦点坐标为 C．C的离心率为 D．C上的点到焦点的最大距离为 【答案】ACD 【解析】对于椭圆，，则， 则， 对于A，椭圆的长轴长为，故A正确； 对于B，椭圆的焦点在轴上，且， 则焦点坐标为，故B错误； 对于C，离心率，故C正确； 对于D，椭圆上的点到焦点的最大距离为，故D正确； 故选：ACD 【典例5-2】（多选题）（2025·高二·福建·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，是上任意一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．椭圆的离心率越大形状越扁平 【答案】ABD 【解析】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆的离心率，A正确； 对于B，的周长为，B正确； 对于C，的最小值为，C错误； 对于D，当一定时，椭圆的离心率越大，则越大，越小，椭圆形状越扁平，D正确. 故选：ABD 【变式5-1】（多选题）（2025·高二·广西百色·期末）已知椭圆，则下列正确的是（    ） A．焦点在x轴 B．焦点在y轴 C．焦距是 D．焦距是2 【答案】BD 【解析】方程可化为， 表示焦点在y轴的椭圆，A错误，B正确； 由方程可得，，， 故焦距，C错误，D正确. 故选：BD. 【变式5-2】（多选题）已知是椭圆的两个焦点，点在上且不在轴上，则（    ） A．椭圆的长轴长为10 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的焦距为8 D．的周长为10 【答案】AC 【解析】由椭圆方程可知，焦点在轴，， 所以椭圆长轴长为，离心率为， 焦距为，的周长为，所以AC正确，BD错误. 故选：AC. 【变式5-3】（多选题）已知，是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线与交于，两点，且，则（ ） A．椭圆离心率为 B．周长为6 C．周长为6 D．椭圆方程为 【答案】CD 【解析】由题意可设椭圆方程为，则， 当时，则，则， 结合故可得，故椭圆方程为， 离心率为，的周长为，的周长为， 故CD正确，AB错误， 故选：CD 【变式5-4】（多选题）已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（   ） A．C的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【解析】椭圆即为， 故， 对于A，，故A错误； 对于B，的周长为，故B正确； 对于C，的最小值为，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确， 故选：BD. 题型六：求椭圆的离心率 【典例6-1】（2025·高二·四川南充·期中）已知椭圆（且）的焦点为为上的一点，若的周长为18，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【解析】若的长半轴为3，即，又， 所以的周长小于12，不符题意． 所以的长半轴为，，解得， 所以椭圆， 所以的离心率为． 故答案为： 【典例6-2】（2025·高二·云南昆明·期末）如图，一束平行光线与地平面的夹角为60°，一直径为24cm的篮球在这束光线的照射下，在地平面上形成的影子轮廓为椭圆，则此椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【解析】由图可得，椭圆的为球的直径，故， 椭圆的为球在地面投影，故， ， 故答案为：. 【变式6-1】（2025·高二·浙江金华·期中）设O是坐标原点，是椭圆的左焦点，椭圆上的点P关于O的对称点是Q，若，，则该椭圆的离心率是 ． 【答案】/0.5 【解析】 由题意，点P关于O的对称点是Q，所以点是线段的中点， 根据椭圆的对称性知，点是线段（为椭圆的右焦点）的中点， 则四边形为平行四边形； 由，得，则， 在平行四边形中，由，得， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 由题意，， 又， 所以，则，即， 得，所以离心率. 故答案为：. 【变式6-2】（2025·高二·上海·期中）已知，分别为椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【解析】设，则， 由椭圆定义知，故， 其中， 在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得 ， 因为，所以， 即，故， 解得， 故，， 由， 故离心率. 故答案为： 【变式6-3】已知是椭圆的右焦点，点是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【解析】取为椭圆上顶点，则， 因为，所以，即， 代入椭圆得， 所以，又，所以. 故答案为：. 【变式6-4】已知为坐标原点，椭圆：（）的右顶点为，以为直径的圆与椭圆的三个公共点分别为，，，若以，，，为顶点的四边形是正方形，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【解析】以为直径的圆，和椭圆关于轴对称，则交点在中垂线上，不妨设点在第一象限，则，代入椭圆：，得， 即，解得. 故答案为：. 题型七：求椭圆离心率的取值范围 【典例7-1】（2025·高二·湖北咸宁·期末）加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆：，若直线：上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题可知，点在椭圆的蒙日圆上，又因为点在直线上，所以，问题转化为直线和蒙日圆有公共点. 由椭圆方程， 如图当长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为和， 其对角线长为，因此蒙日圆半径为，所以蒙日圆方程为，因此，需满足圆心到直线的距离不大于半径， 即，所以，所以椭圆离心率，所以. 故答案为： 【典例7-2】（2025·高二·重庆渝中·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，若恒成立，则该椭圆离心率的取值范围为 . 【答案】 【解析】如下图所示：易知， 又焦半径的最小值为，且恒成立， 则，又，所以， 整理可得，即，可得，即， 又，解得，又半径，则，解得， 所以. 故答案为： 【变式7-1】（2025·高二·广东深圳·期末）已知椭圆，设，若上存在3个不同的点使得，则的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【解析】设，由，得， 整理得， 即点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆. 因为椭圆与圆有3个不同的交点， 由椭圆，则. 结合图形可知，点是椭圆与圆的一个公共点. 由，消去，整理得， 易知，且为该方程的一个根， 由椭圆与圆有3个不同的交点， 则方程必有另一根，且在内. 设另一个根为（），且此根对应椭圆与圆的个公共点， 由韦达定理得，即，所以， 解得， 所以， 又，所以. 故答案为： 【变式7-2】（2025·高二·贵州安顺·期中）已知椭圆和圆，过椭圆C上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B.若椭圆上存在点P，使得，则椭圆C的离心率e的取值范围是 【答案】 【解析】由，得，又是圆的切线， 由圆的性质，得四边形是正方形，则， 因此，椭圆离心率， 所以椭圆C的离心率e的取值范围是. 故答案为： 【变式7-3】如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆上任意一点，直线垂直于OP且交线段于点M，若，则该椭圆的离心率的取值范围 ． 【答案】 【解析】设， 若点为右顶点，则，此时点重合， ，由得，故， 若点为左顶点，则，此时点重合， ，由得，无解， 若点是椭圆上下顶点，此时重合，，，不合要求，舍去， 若点不是椭圆顶点时， 由得，其中， 故，解得， 所以， 又⊥，， 故， 即， 整理得①， 因为②，两式联立得， 解得或， 因为，所以（舍去）， 又，解得， 综上， 所以椭圆离心率取值范围是. 故答案为： 【变式7-4】已知椭圆的左、右焦点分别为、，若上存在点满足：，则的离心率的取值范围是 . 【答案】 【解析】由椭圆的定义可得， 由余弦定理可得 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为余弦函数在上单调递减， 故当时，即当为椭圆短轴顶点时，最大， 因为椭圆上存在点满足：，则，可得， 所以，，故椭圆的离心率的取值范围是. 故答案为：. 题型八：由椭圆离心率求参数的取值范围 【典例8-1】（2025·高二·湖北武汉·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上在第二象限的点，且P的纵坐标为，若椭圆的离心率e的范围是，则的范围是 . 【答案】 【解析】将P的纵坐标代入椭圆的方程，则， 所以，， 即 ， 所以， 因为， 令，则 所以， 即，所以，故 故答案为： 【典例8-2】（2025·高二·广东茂名·期末）焦点在轴上的椭圆的离心率为，则值为 . 【答案】4 【解析】由，故离心率为，解得. 故答案为：4. 【变式8-1】（2025·高二·四川自贡·期中）若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由椭圆可得其离心率， 由椭圆可得其离心率为， 由于比椭圆更扁， 故的离心率满足，即，解得， 故长轴长为. 故答案为：． 【变式8-2】（2025·上海普陀·一模）设椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为，若椭圆的离心率为，则的值为 . 【答案】 【解析】由题意可得，则，， 由椭圆离心率为，可得，则， 所以. 故答案为：. 【变式8-3】（2025·高二·河南开封·期中）已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点到直线的最短距离不小于，则长半轴长的取值范围为 ． 【答案】 【解析】过第二，三，四象限，由题意得椭圆与直线没有公共点， 故在椭圆下方， 设直线在上方，与平行， 且它们之间的距离为，设直线方程为， 故，解得或7， 时，直线在下方，不合要求，当时，直线在上方， 则的方程为， 由整理得， 因为上的点到直线的最短距离不小于， 所以，整理得， 由椭圆的离心率为，可知，所以， 所以，则，所以． 故答案为： 【变式8-4】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（在轴上方），连结并延长交椭圆于另一点，设，若垂直于轴，且椭圆的离心率，求实数的取值范围 ． 【答案】 【解析】设， 因为垂直于轴，所以代入椭圆方程， 得，所以， 设， 联立，消去整理得，， 所以，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以. 故答案为：. 题型九：椭圆中的范围与最值问题 【典例9-1】已知动点P在椭圆上，，，则的最小值为 ． 【答案】1 【解析】由题意是椭圆的下焦点，如图，设上焦点为， 在椭圆上，则， 所以， 当且仅当是线段与椭圆的焦点时等号成立， 故答案为：1. 【典例9-2】已知、、，若的周长为，则的最大值为 ，此时点的坐标为 ． 【答案】 【解析】由题意可得，， 所以，点的轨迹是以点、为焦点，长轴长为的椭圆（除去长轴的端点）， 设其方程为，则，， 所以，点的轨迹方程为，如下图所示： 因为，故点在椭圆外， 由椭圆的定义可得， 所以，， 当且仅当点为直线与椭圆的交点，且、方向相同时，等号成立， 因为，直线的方程为， 联立，解得，即点. 故答案为：；. 【变式9-1】（2025·高二·江西南昌·期中）已知是椭圆的左焦点，是椭圆上一动点，若，则的最大值为 . 【答案】/ 【解析】椭圆，则，，， 如图，椭圆的右焦点为， 则， ， 由图结合三角形两边之差小于第三边，则， 则当点在射线与椭圆的交点时，取最大值， 的最大值为． 故答案为： 【变式9-2】（2025·高二·广东·期中）已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】 如图所示， 由圆，可知圆心，半径， 设椭圆的左焦点为，且， 则， 再由椭圆定义可知， 即， 当且仅当点，在线段上时，等号成立， 又， 即的最小值为， 故答案为：. 【变式9-3】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意知，，所以， 设，则，即， 由，得， 故， 所以当时，取得最大值9， 当或时，取得最小值5， 故的取值范围为. 故答案为：. 【变式9-4】（2025·高二·辽宁·期末）点是椭圆上任意一点，点是圆上任意一点，求的取值范围 ． 【答案】 【解析】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为点是圆上任意一点， 则，即， 又因为点是椭圆上任意一点，设， 可得， 当时，取到最小值； 当时，取到最大值5； 可得，所以的取值范围为. 故答案为：. 题型十：椭圆的综合问题 【典例10-1】已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线交椭圆于不同的两点和，若直线的斜率为1，且以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求直线的方程. 【解析】（1）因为椭圆C的离心率为，且过点， 所以，， 又，解得，，则椭圆C的方程. （2）设直线l的方程为， 联立，消去y并整理得，， 由韦达定理得，， 因为以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点，所以， 即， 整理得， 因为，， 所以， 即，解得或， 因为， 所以当或时，满足条件， 则直线的方程为或. 【典例10-2】已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点． (1)求的短轴长及的周长； (2)若直线过点，求弦长． 【解析】（1）由题意，所以短轴长为，且， 所以的周长为， 即的周长为． （2），又直线过点，所以， 所以直线的方程为， 联立，整理可得，可得或，可得或， 所以． 【变式10-1】（2025·浙江·三模）如图，椭圆C：的离心率为，左右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，椭圆上有一动点D（异于A，B），点E为线段的中点，点O为坐标原点.直线与直线相交于点M.已知面积有最大值为. (1)当点M坐标为时，求； (2)证明：. 【解析】（1）由题意得，，，解得，， 故椭圆C的方程为. 当点M坐标为时，， 设，则. 代入椭圆方程得解得或0（舍去），即， 又，故. （2）设直线AD：，与椭圆C方程联立得，， 又，故，则，，又， 故直线的斜率， 所以，故. 【变式10-2】（2025·高二·河南新乡·期中）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程． (2)直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 【解析】（1）因为点在椭圆C上，所以． 椭圆C的离心率为，解得． 故椭圆C的标准方程为． （2）联立得． ①，解得， 所以m的取值范围为． ②因为，所以，解得． ． 【变式10-3】（2025·高二·甘肃兰州·开学考试）已知椭圆的离心率为，短轴长为2．过点的直线l与椭圆W交于A，B两点，O为坐标原点． (1)求椭圆W的方程； (2)设C为AB的中点，当直线l的斜率为1时，求中点C的坐标． 【解析】（1）因为短轴长为2，所以， 因为椭圆W的离心率为，所以，即， 解得， 所以椭圆的方程为． （2）当直线的斜率为1时，直线l的方程为． 由得， 设． 则， 所以，代入直线得． 所以中点的坐标为． 1．已知椭圆的右焦点为，离心率为．若，点是上的任意一点，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【解析】设的左焦点为，半焦距为， 由题意得，又离心率，所以， 由椭圆的定义得：， 所以， 当点为线段的延长线与的交点时取等号， 故的最大值为. 故选：D. 2．已知焦点在轴上的椭圆，上顶点为，左、右焦点分别为，，经过点的直线垂直平分线段，且交椭圆于，两点，的周长为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图，因经过点的直线垂直平分线段，则，即， 因，则的周长等于的周长， 即，解得，，故椭圆的标准方程为. 故选：D． 3．“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【解析】由题意有， 所以“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的必要非充分条件， 故选：B. 4．（2025·高二·上海·期中）我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距离地面千米，并且、、在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（ ）千米 A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由题知，记椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为、、，由题可知， 由题意可得， 上述两个等式相乘可得， 因此，卫星运行的轨道的短轴长为千米. 故选：A. 5．（2025·高二·广东广州·期中）已知直线与椭圆交于A，B两点，椭圆E右焦点为F，直线AF与E的另外一个交点为C，若，若，则E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设椭圆的左焦点为，连接， 设，由对称性可知， 由定义得，则， 又，，所以， 在直角中，由， 即，解得. 在直角中，，即， 把代入整理得，由解得. 故选：C 6．（2025·高二·上海·期中）某彗星绕太阳运动的轨道是椭圆Γ，太阳的中心是Γ的一个焦点．若该彗星在绕太阳运动的过程中，距太阳表面距离的最大值为ρ，最小值为μ，太阳半径为r，则椭圆Γ的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设椭圆的焦距为，长轴长为， 则由已知可得， 两式相加可得，两式相减可得， 则，， 所以离心率. 故选：A. 7．设分别为椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，是的中点，，则点到椭圆左焦点的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解析】如图，连接， 因为是的中点，是的中点， 所以为的中位线，即， 又由椭圆的定义可得，所以. 故选：A． 8．（2025·高二·山西·期中）已知椭圆E：的上、下顶点与左、右焦点分别为A，B，，，且四边形是正方形，则E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，故， 又， 则E的离心率为. 故选：B 9．（多选题）（2025·高二·云南·期中）已知点，，，点在曲线：上，则（   ） A．存在无数个点，使得为定值 B．存在无数个点，使得为定值 C．直线与的所有交点的横坐标之积为 D．直线与的所有交点的横坐标之和大于5 【答案】ABD 【解析】由，得， 即4或， 所以曲线由圆与椭圆组成，且圆的圆心为，椭圆的焦点为，故A，B均正确. 将代入，得， 由判别式大于0，得该方程有两个不相等的实根，则，， 将代入，得， 由判别式大于0，得该方程有两个不相等的实根，， 则，，则， ，故C错误，D正确. 故选：ABD. 10．（多选题）已知,分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则（    ） A．当时，满足的点共有4个 B．的周长不一定小于 C．的面积不可能大于 D．若恒成立，则的离心率的可能值为 【答案】AC 【解析】对于A，当点的坐标为或时，最大， 若，此时，所以， 所以，即最大值为， 故使的点有个，故A正确； 对于B，由椭圆的定义可知的周长为，故B错误； 对于C，的面积为，故C正确； 对于D，因为，所以， 两边平方结合可得， 得，解得，又，所以， 因为，故D错误. 故选：AC. 11．已知椭圆的焦点在轴上，焦距为，求实数的值为 . 【答案】5 【解析】椭圆的焦点在轴上，焦距为 所以. 可得，解得. 故答案为：5. 12．（2025·上海浦东新·三模）短轴长为2，离心率的椭圆的两焦点为，，过作直线交椭圆于A，B两点，则的周长为 . 【答案】/ 【解析】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，则， 又离心率为，则，解得， 所以周长为. 故答案为：. 13．（2025·高二·云南曲靖·期中）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，是上一点，若的周长为14，则的离心率为 . 【答案】/ 【解析】因为，分别是椭圆：的左、右焦点，是上一点， 所以的周长为14， 所以，，解得， 故离心率. 故答案为： 14．（2025·高二·云南昆明·期末）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点． (1)求C的方程； (2)设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且AD⊥BD．证明：直线l经过定点 【解析】（1）设椭圆的方程为，一个焦点为， 所以，椭圆的另一个焦点为， 又C经过点，所以由椭圆定义得： ， 即，所以, 所以的方程为. （2）证明：由已知得， 由，得， 故， 设，，则，， ，， 由得， 即， 所以，解得或， ①当 时，直线 经过点，舍去； ②当时，显然有，直线 经过定点． 15．已知椭圆，点. (1)求椭圆的离心率和短轴长； (2)设直线与椭圆有两个不同的交点，，且，求实数的取值范围. 【解析】（1）依题意得，故，进而 故离心率为，短轴长为， （2）由得. 因为直线与椭圆有两个交点， 所以，即（*）， 设，，则， 所以， 所以线段的中点．易知, 直线的斜率， 由，得，所以，解得 将代入到（*）中，得，即，且 解得， 综上所述，实数的取值范围是． 16．（2025·高二·云南昭通·期中）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的方程； (2)若直线与有且只有一个公共点，求的值． 【解析】（1）椭圆的离心率为，且过点， 可得解得，， 故的方程为． （2）联立得． 由题可得， 解得，∴． 17．（2025·高二·上海·期末）已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值，试求： (1)动点的轨迹的方程； (2)求直线与（1）中曲线相交所得弦的弦长. 【解析】（1）设，， 所以，整理为，； （2）设直线与曲线的两个交点分别为，， 联立，得，得，， 所以弦长. 18．（2025·高二·广东深圳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为P，长轴长为4，若为正三角形． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点，斜率为的直线与椭圆相交M，N两点，求的长． 【解析】（1）由题设，又为正三角形，则， 所以，则椭圆C的标准方程为. （2）由（1）知，，故该直线为， 由，消去可得，故，， 所以． 19．已知点是圆上的动点，是坐标原点，，过垂直于轴的直线与过垂直于轴的直线交于点，点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)，，点是上一点，在射线上且，，求的面积. 【解析】（1）设点，则，. ，所以.     在圆上，得， 的方程是. （2）设，， 则     由②、③式联立，解得：，由题意，， 解得：或     当，时，， 到的距离为，， 故，   当，时，同理可得. 故所求面积为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$